Originalaufgabe: Kreiselspiel (Blum et al.(hrsg.) (2006): Bildungsstandards Mathematik konkret. Berlin: Cornelsen, 70.)

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1 Acht (didaktische) Seiten des Kreiselspiels Anregungen zur Leitidee Daten und Zufall von der beschreibenden Statistik bis zu den statistischen Testverfahren Kinga Szűcs Friedrich-Schiller-Universität Jena Fakultät für Mathematik und Informatik Abteilung Didaktik Vortrag an den 20. Tagen des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts Erfurt

2 Originalaufgabe: Kreiselspiel (Blum et al.(hrsg.) (2006): Bildungsstandards Mathematik konkret. Berlin: Cornelsen, 70.) Für das folgende Spiel benötigt man zwei gleich große Mengen Bonbons als Zahlungsmittel und einen regelmäßigen achteckigen Kreisel wie in der nebenstehenden Abbildung. Spielregeln: Heike bezahlt an Martin eine noch zu vereinbarende Menge an Bonbons als Einsatz, damit sie den Kreisel einmal drehen darf. Liegt der Kreisel bei der 4 auf, so bekommt sie von Martin 4 Bonbons; stoppt er bei der 12, so bekommt Heike von Martin 12 Bonbons, und stoppt er bei 0, so bekommt sie von Martin keine Bonbons. a) Führe das Spiel mindestens 100-mal durch und notiere, wie viele Bonbons Heike jeweils gewinnt. b) Was gewinnt Martin im Mittel, wenn er 5 Bonbons pro Spiel als Einsatz nimmt? Was gewinnt Heike, wenn sie als Einsatz nur 3 Bonbons gibt? c) Heike will auf Dauer nicht verlieren. Gib ihr einen Rat, wie viele Bonbons sie höchstens als Einsatz an Martin bezahlen sollte. Begründe deine Antwort. d) Martin will auf Dauer aber auch nicht verlieren. Gib auch ihm einen Rat, wie viele Bonbons er mindestens pro Spiel verlangen sollte. Begründe deinen Rat. e) Wie kann Martin diesen Kreisel und die zugehörigen Regeln für Heike attraktiver machen? Nenne eine Möglichkeit.

3 1. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen Anna und Peter spielen mit einem achteckigen Kreisel wie in der nebenstehenden Abbildung: Sie drehen den Kreisel und schauen, auf welche Seite gekippt er stehenbleibt. Anna hat den Kreisel einmal schon gedreht und das Ergebnis war grün. Sie behauptet nun, dass grün am häufigsten als Ergebnis vorkommen wird. Bist du mit Anna einverstanden? Begründe deine Meinung! Lass mit deinem Banknachbarn den Kreisel noch 19mal drehen, notiere dabei die Ergebnisse! Welche Farbe ist am häufigsten vorgekommen? Hatte Anna oder hattest du recht?

4 1. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen grün, Urliste grün: blau: rot: Strichliste grün blau rot Häufig- keits- tabelle Die häufigste Farbe: Modalwert

5 1. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen Stellt eure Ergebnisse als Säulen (auf Kästchenpapier) dar! Dabei soll die Höhe einer Säule die Zahl ausdrücken, wie oft eine Farbe gekreiselt wurde.

6 1. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen Anschließend: Vergleicht mit einer anderen Gruppe und dann in der ganzen Klasse eure Ergebnisse! Welcher Aussage könnt ihr zustimmen? Begründet eure Meinung! Die Säulen sehen in jeder Gruppe ähnlich aus. Jede Gruppe hat die gleiche Farbe als häufigste ermittelt, und zwar: Blau und grün kommen immer gleich oft vor. Rot wurde immer mindestens 10mal gekreiselt.

7 1. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen Falls Bruchrechnung vorhanden (hängt vom Zeitpunkt des Einsatzes ab): Ermittlung von relativen Häufigkeiten Darstellung der relativen Häufigkeiten als Säulendiagramm, Blockdiagramm oder Streifendiagramm Kreisdiagramm wegen der visuellen Ähnlichkeit eher ungeeignet

8 2. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons Anna und Peter spielen wieder mit dem achteckigen Kreisel, nun aber ein bisschen anders: Jeder darf achtmal kreiseln. Wenn der Kreisel bei rot stehenbleibt, bekommt man nichts. Wenn grün gekreiselt wird, bekommt man ein Bonbon, wenn blau, vier Bonbons von Oma, so hat sie es versprochen. Wieviel Bonbons soll Oma bereithalten, wenn sie ihr Wort unter allen Umständen halten möchte? Wieviel Bonbons wird sie deiner Meinung tatsächlich an die Kinder geben? Begründe deine Meinung!

9 2. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons Lass nun den Kreisel achtmal drehen und notiere dabei, wie viele Bonbons du bekommen würdest. Wie oft gekreiselt So viele Bonbons wert Grün Blau Rot gesamt

10 2. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons Nun wollen wir uns über unsere Klasse einen Überblick verschaffen: Wer hat die meisten Bonbons, wer die wenigstens Bonbons erhalten? Wie viele Bonbons haben die meisten bekommen? Am besten: Darstellung in einer Tabelle, deren Werte (und demzufolge deren Zeilen) man anschließend der Reihe nach ordnet.

11 2. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons Name Bonbons Maik 12 Jutta 9 Marie 11 Ulf 7 Eva 8 Michael 11 Matthias 6 Lisa 13 Robert 15 Kerstin 5 Leo 11 Philipp 7 Lili 8 Annemarie 14 Kevin 17 Lukas 9 Silke 12 Jonas 10 Ulrike 9 Mathilde 13 Monika 10 Name Bonbons Kerstin 5 Matthias 6 Ulf 7 Philipp 7 Eva 8 Lili 8 Jutta 9 Lukas 9 Ulrike 9 Jonas 10 Monika 10 Marie 11 Leo 11 Michael 11 Maik 12 Silke 12 Lisa 13 Mathilde 13 Annemarie 14 Robert 15 Kevin 17

12 2. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons Minimum: 5 Maximum: 17 Spannbreite: 12 Median: 10 Modalwerte: 9 und 11 (es kann mehrere geben, nicht zwangsläufig identisch mit Median) Fakultativ: unteres Quartil: 8, oberes Quartil: 12,5, Quartilabstand: 4,5 Wie verändern sich die obigen Kenngrößen, wenn ein Schüler dazukommt und er eine sehr kleine/große Anzahl an Bonbons kreiselt?

13 2. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons Ausgabe CASIO Classpad II:

14 2. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons

15 3. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons Vertiefung Wie viele Bonbons wurden in unserer Klasse insgesamt verteilt? Wie viele Bonbons hat ein Schüler in unserer Klasse im Durchschnitt bekommen? etwa 10 (217/21 10,3) Erarbeitung des Begriffs arithmetisches Mittel Wenn jeder in unserer Klasse 10 Bonbons bekommt, erhalten wir denselben Durchschnitt. Nennt weitere Beispiele, bei denen derselbe Durchschnitt rauskommt.

16 3. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons Vertiefung Es liegen die Daten von einer anderen Schulklasse vor, in der der Durchschnitt dem in unserer Klasse nahekam. Wie könnte man die zwei Klassen (die Verteilung der Bonbons) miteinander vergleichen? graphische Darstellung der Daten Notwendigkeit, die Abweichungen vom Durchschnitt zu betrachten Durchschnitt der Abweichungen vom Durchschnitt (ergibt 0!!!) Durchschnitt der absoluten Abweichungen vom Durchschnitt Wurzel aus dem Durchschnitt der quadratischen Abweichungen (Varianz, bzw. Standardabweichung)

17 3. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons Vertiefung 6 andere Klasse 5 Unsere Klasse 4 3, , , ,

18 3. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons Vertiefung Durchschnitt: 217/21 10,33 Durchschnitt der Abweichungen vom Durchschnitt: 0 Durchschnitt der absoluten Abweichungen vom Durchschnitt: 51,33/21 2,44 Durchschnitt der quadratischen Abweichungen vom Durchschnitt: 8,88 Standardabweichung: 2,98 Durchschnitt: 271/27 10,037 Durchschnitt der Abweichungen vom Durchschnitt: 0 Durchschnitt der absoluten Abweichungen vom Durchschnitt: 51,185/27 1,9 Durchschnitt der quadratischen Abweichungen vom Durchschnitt: 6,4 Standardabweichung: 2,53

19 4. Seite: Gruppenexploration Es wird mit einem achteckigen Kreisel wie in der nebenstehenden Abbildung gespielt: Den Kreisel wird gedreht und dabei wird darauf geschaut, auf welche Seite gekippt er stehenbleibt. Schätze in Partnerarbeit, in wie viel Prozent aller Fälle auf lange Sicht die einzelnen Farben zu erwarten sind. Wie seid ihr dabei vorgegangen? Begründet eure Meinung!

20 4. Seite: Gruppenexploration Lasst nun den Kreisel 20mal kreiseln und notiert dabei, wie oft die einzelnen Farben in der Tat als Ergebnis vorkamen. Tragt nun die Ergebnisse aus der gesamten Gruppe in die untenstehende Tabelle ein: Name Rot Grün blau Gesamt:

21 4. Seite: Gruppenexploration Berechnet, in wie viel Prozent der Fälle a.) bei eurer 20maligen Durchführung b.) der Gesamtdurchführung in der Klasse die einzelnen Farben gekreiselt wurden! Stimmen diese Ergebnisse mit eurer Prognose überein? Stellt eure Prognose und die tatsächlichen Ergebnisse (die relativen Häufigkeiten) zunächst aus eurer 20maligen Durchführung in einem gemeinsamen Diagramm dar. Weichen die relativen Häufigkeiten sehr von der Prognose ab? Stellt eure Prognose und die tatsächlichen Ergebnisse (die relativen Häufigkeiten) aus der Gesamtdurchführung in einem gemeinsamen Diagramm dar. Weichen diese relativen Häufigkeiten sehr von eurer Prognose ab?

22 4. Seite: Gruppenexploration Erweiterung durch Computersimulation: Man kann den CAS/Computer mehr als ca. 500mal kreiseln lassen. Eine Möglichkeit kann durch die Formulierung einer analogen Aufgabe bzw. durch den Einsatz des Würfelsimulations-Menü des CASIO Classpad II erfolgen. Darstellung der relativen Häufigkeiten und Betrachtung der Abweichungen von der Prognose sollen folgen.

23 4. Seite: Gruppenexploration Betrachtet nun die ermittelten Abweichungen der tatsächlichen Ergebnisse von der Prognose. a.) Bei welcher Anzahl an Durchführungen wichen die relativen Häufigkeiten am ehesten von der Prognose ab? b.) Bei welcher Anzahl an Durchführungen wichen die relativen Häufigkeiten am geringsten von der Prognose ab? c.) Was würdest du/würdet ihr bei einer Versuchsanzahl von / / erwarten? Formulierung des (frequentistischen und des klassischen d.h. Laplace'schen) Wahrscheinlichkeitsbegriffs

24 5. Seite: Gefärbte Flächen und Bonbons mit Spieleinsatz fair oder unfair? Variante 1 (in starker Anlehnung an die Originalaufgabe): Anna und Peter spielen wieder mit dem achteckigen Kreisel, nun aber ein bisschen anders: Peter bezahlt an Anna eine noch zu vereinbarende Menge an Bonbons als Einsatz, damit er den Kreisel einmal drehen darf. Liegt der Kreisel bei der 4 auf, so bekommt er von Anna 4 Bonbons; stoppt er bei der 1, so bekommt Peter von Anna ein Bonbon und stoppt er bei 0, so bekommt er von Anna keine Bonbons. a) Führe das Spiel mindestens 100-mal durch und notiere, wie viele Bonbons Peter jeweils gewinnt. b) Was gewinnt Anna im Mittel, wenn sie 2 Bonbons pro Spiel als Einsatz nimmt? Was gewinnt Peter, wenn er als Einsatz nur ein Bonbon gibt? c) Peter will auf Dauer nicht verlieren. Gib ihm einen Rat, wie viele Bonbons er höchstens als Einsatz an Anna bezahlen sollte. Begründe deine Antwort. d) Anna will auf Dauer aber auch nicht verlieren. Gib auch ihr einen Rat, wie viele Bonbons sie mindestens pro Spiel verlangen sollte. Begründe deinen Rat. e) Wie kann Anna diesen Kreisel und die zugehörigen Regeln für Peter attraktiver machen? Nenne eine Möglichkeit.

25 5. Seite: Gefärbte Flächen und Bonbons mit Spieleinsatz fair oder unfair? Variante 2: Anna und Peter spielen wieder mit achteckigen Kreiseln, Anna zeigt Peter zwei solche Spielzeuge: Kreisel 1 Kreisel 2

26 5. Seite: Gefärbte Flächen und Bonbons mit Spieleinsatz fair oder unfair? Peter darf sich auswählen, welchen Kreisel er drehen möchte und bekommt in jeder Runde so viele Bonbons von Anna, wie viel er kreiselt. a.) Was würdest du Peter empfehlen, welchen Kreisel soll er wählen? Begründe deine Meinung. b.) Führe das Spiel mit beiden Kreiseln 100-mal durch und notiere, wie viele Bonbons Peter jeweils gewinnt. c.) Anna möchte nun pro Runde einen Einsatz an Bonbons von Peter erhalten, damit er den Kreisel drehen darf. Sie möchte aber den Einsatz erst festlegen, wenn Peter den Kreisel ausgewählt hat. Anna möchte auf Dauer natürlich nicht verlieren. Was würdest du ihr empfehlen, wie viele Bonbons soll sie mindestens als Einsatz nehmen? Begründe deinen Rat. d.) Peter möchte auf Dauer auch nicht verlieren. Was meinst du, wie viele Bonbons soll er pro Spiel höchstens an Anna bezahlen? Begründe deine Meinung.

27 5. Seite: Gefärbte Flächen und Bonbons mit Spieleinsatz fair oder unfair? Weiterführende Aufgaben mit Erwartungswert und fairem Spiel: Aus mehreren Kreiseln diejenigen auswählen, die einen bestimmten (vorgegebenen) Erwartungswert haben Aus mehreren Kreiseln diejenigen auswählen, die den gleichen Erwartungswert haben Aus mehreren Kreiseln diejenigen auswählen, die bei einem bestimmten (vorgegebenen) Einsatz an Bonbons zu einem fairen Spiel führen zu einem gegebenen Erwartungswert Kreisel erstellen Form des Kreisels (z.b. Fünfeck, Sechseck, Zwölfeck etc.) verändern und Erwartungswerte vergleichen

28 6. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons - Verteilung von Wahrscheinlichkeiten Anna spielt wieder mit dem achteckigen Kreisel. Wenn der Kreisel bei rot stehenbleibt, bekommt sie nichts. Wenn grün gekreiselt wird, bekommt sie ein Bonbon, wenn blau, vier Bonbons von Oma, so hat sie es ihr versprochen. Stelle zunächst in einer Tabelle dar, wie viele Bonbons Anna mit welcher Wahrscheinlichkeit von Oma erhält. Erstelle anschließend ein Diagramm hierzu! Stelle im gleichen Diagramm auch den Erwartungswert der Anzahl der zu erhaltenden Bonbons dar.

29 6. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons - Verteilung von Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeitsverteilung der zu erhaltenden Bonbons 0,6 Anzahl an Bonbons ,5 0,4 Erwartungswert Wahrscheinlichkeit ½ ¼ ¼ 0,3 0,2 0,

30 6. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons - Verteilung von Wahrscheinlichkeiten Oma zeigt nun Anna zwei weitere Kreisel:

31 6. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons - Verteilung von Wahrscheinlichkeiten Stelle in zwei weiteren Tabellen dar, wie viele Bonbons Anna mit welcher Wahrscheinlichkeit bei den beiden neuen Kreiseln von Oma erhält. Erstelle anschließend je ein Diagramm hierzu! Stelle in den gleichen Diagrammen auch die Erwartungswerte der Anzahl der zu erhaltenden Bonbons dar. Vergleiche nun die drei Diagramme: Wieviel beträgt die Summe der Wahrscheinlichkeiten in den Diagrammen? Was meinst du, warum? Zwischen welchen Werten befindet sich jeweils der Erwartungswert? Warum? Begründe deine Meinung.

32 6. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons - Verteilung von Wahrscheinlichkeiten Weiterführende Aufgaben: Gibt es deiner Meinung nach Kreisel, deren Erwartungswert 0 beträgt? Erstelle so einen Kreisel! Gibt es Kreisel, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung symmetrisch ist? Erstelle so einen Kreisel! Vergleicht anschließend eure Ergebnisse in der Klasse. Formuliere analoge Aufgaben, d.h. solche, die zur gleichen Wahrscheinlichkeitsverteilung und demzufolge zum gleichen Erwartungswert führen. (z.b. Werfen eines Oktaeders, Ziehen aus einer Urne, )

33 6. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons - Verteilung von Wahrscheinlichkeiten Oma zeigt Anna einen weiteren Kreisel. Anna versucht, die beiden Kreisel miteinander zu vergleichen und kommt darauf, dass sie den gleichen Erwartungswert haben. Die zwei Verteilungen sehen aber unterschiedlich aus. Hilf nun Anna beim Vergleich: z.b.: a.) Wie groß ist der Abstand der einzelnen Werte vom Erwartungswert? b.) Wie groß ist der durchschnittliche Abstand der einzelnen Werte vom Erwartungswert?

34 6. Seite: Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons - Verteilung von Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeitsverteilung der zu erhaltenden Bonbons Kreisel1 Wahrscheinlichkeitsverteilung der zu erhaltenden Bonbons Kreisel2 0,6 0,6 Erwartungswert 0,5 0,5 0,4 0,4 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0,

35 7. Seite: gezinkter Kreisel Anna und Peter spielen wieder mit dem achteckigen Kreisel wie in der nebenstehenden Abbildung: Sie drehen den Kreisel und schauen, auf welche Seite gekippt er stehenbleibt. Anna hat den Kreisel schon zehnmal gedreht und das Ergebnis war dreimal rot, fünfmal grün und zweimal blau. Sie behauptet nun, dass der Kreisel gezinkt ist. Ein ähnliches Entscheidungsverfahren könnte darin bestehen, wenn man den Kreisel ebenfalls 10-mal dreht und auf das Ergebnis schaut. Wie könnte man bei diesem 10maligen Drehen des Kreisels entscheiden, ob der Kreisel fair (= nicht gezinkt) ist? Formulieren Sie eine Hypothese, die man mithilfe des Drehens testen könnte! Formulieren Sie anschließend ein geeignetes Entscheidungskriterium!

36 7. Seite: gezinkter Kreisel Bevor Sie das Drehen durchführen, überlegen Sie sich, mit welcher Wahrscheinlichkeit Sie sich erlauben, sich zu irren; d.h. mit welcher Wahrscheinlichkeit Sie es zulassen wollen, dass das Experiment ein unglaubwürdiges Ergebnis (z.b. dass 10mal grün kommt) liefert und daraus auf einen unfairen Kreisel geschlussfolgert wird, wobei der Kreisel doch fair ist. Bestimmen Sie anschließend, bei welchen Ergebnissen Sie auf einen fairen bzw. auf einen unfairen Kreisel schließen! Lassen Sie nun 10mal das Kreiselspiel kreiseln und dokumentieren Sie das Ergebnis. Prüfen Sie, ob das Ergebnis innerhalb oder außerhalb des von Ihnen festgelegten Bereiches für einen fairen Kreisel liegt. Ist Ihr Kreisel fair? Diskutieren Sie anschließend im Plenum, wie man das Verfahren weiter präzisieren könnte.

37 7. Seite: gezinkter Kreisel 0,3 Wahrscheinlichkeitsverteilung bei P(grün)=0,25 und n=10, zweiseitiger Test 0,25 0,2 0,15 0,1 0,

38 7. Seite: gezinkter Kreisel k p k p 0 + +p k 0 0, , , , ,3 Wahrscheinlichkeitsverteilung bei P(grün)=0,25 und n=10, einseitiger Test 2 0, , ,25 3 0, , , , , , , , ,2 0,15 0,1 7 0, , , , ,861E-05 0, , ,5367E-07 1

39 7. Seite: gezinkter Kreisel 0,25 Wahrscheinlichkeitsverteilung bei P(grün)=0,25 und n=20, zweiseitiger Test 0,2 0,15 0,1 0,

40 7. Seite: gezinkter Kreisel 0,25 Wahrscheinlichkeitsverteilung bei P(grün)=0,25 und n=20, einseitiger Test 0,2 0,15 0,1 0,

41 7. Seite: gezinkter Kreisel Erweiterung zum Alternativtest: Anna behauptet nach ihrem eigenen Experiment, dass der Kreisel nicht nur gezinkt ist, sondern dass er derart gezinkt ist, dass grün mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 gedreht wird. Hier gegenüber steht die theoretische (nach den Flächeninhalten berechnete) Wahrscheinlichkeit von 0,25 für grün. Wer hat nun recht? Gehen Sie nun analog wie beim Signifikanztest vor: a.) Überlegen Sie sich ein mögliches Entscheidungsverfahren und formulieren Sie ein geeignetes Entscheidungskriterium!

42 7. Seite: gezinkter Kreisel b.) Bevor Sie das Verfahren durchführen, überlegen Sie sich, mit welcher Wahrscheinlichkeit Sie sich erlauben, sich zu irren; d.h. mit welcher Wahrscheinlichkeit Sie es zulassen wollen, dass das Experiment ein unglaubwürdiges Ergebnis (z.b. dass nur grün kommt) liefert und daraus auf einen unfairen Kreisel geschlussfolgert wird, wobei der Kreisel doch fair ist. Denken Sie auch daran, dass Sie einen weiteren Fehler begehen können: Sie schließen auf einen fairen Kreisel, obwohl er gezinkt ist. Bestimmen Sie anschließend, bei welchen Ergebnissen Sie auf einen fairen bzw. auf einen gezinkten Kreisel schließen! c.) Führen Sie nun das Verfahren durch und dokumentieren Sie das Ergebnis. In welchem Bereich liegt Ihr Ergebnis? Ist Ihr Kreisel fair oder gezinkt und fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 auf die grüne Seite? d.) Diskutieren Sie anschließend im Plenum, wie man das Verfahren weiter präzisieren könnte.

43 7. Seite: gezinkter Kreisel 0,25 Wahrscheinlichkeitsverteilung bei P(grün)=0,25, P(grün)=0,5 und n=20, Alternativtest 0,2 0,15 0,1 0,

44 *8. Seite: gezinkter Kreisel - Vertiefung Anna und Peter spielen wieder mit dem achteckigen Kreisel wie in der nebenstehenden Abbildung: Sie drehen den Kreisel und schauen, auf welche Seite gekippt er stehenbleibt. Peter hat den Kreisel schon 200mal mit folgendem Ergebnis gedreht: Farbe rot grün blau Anzahl

45 *8. Seite: gezinkter Kreisel - Vertiefung Nun möchte Peter herausfinden, ob diese Werte von einem 0,5-0,25-0,25- verteilten Kreisel stammen können, oder ob er in eine Richtung gezinkt ist. Hierzu berechnet er zunächst die erwarteten Werte bei einer Versuchsserie von 200 Durchführungen: Farbe rot grün blau erwartete Anzahl ½ 200=100 ¼ 200=50 ¼ 200=50

46 *8. Seite: gezinkter Kreisel - Vertiefung Nun berechnet er die Abweichungen der tatsächlichen Werte von den erwarteten Werten. Da es sowohl negative als auch positive Abweichungen geben kann, nimmt er die Abweichungen zum Quadrat und relativiert diese (d.h. dividiert sie) durch die erwarteten Werte. Zum Schluss summiert er die Ergebnisse auf, sodass er eine Maßzahl für die komplette Abweichung der Realität von der Theorie bekommt: ,84 1,62 3,38 9,84

47 *8. Seite: gezinkter Kreisel - Vertiefung Es handelt sich um die Realisierung einer näherungsweise Chi-Quadratverteilten Zufallsvariablen mit 2 (=3-1) Freiheitsgraden, falls die Nullhypothese, dass der Kreisel 0,5-0,25-0,25-verteilt ist, richtig ist. Nach einem Blick in die Tabelle der Chi-Quadrat-Verteilung ergibt sich, dass die Nullhypothese mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,005 angenommen wird. Man kann darüber diskutieren, dass die Nullhypothese bei einer niedrigeren Irrtumswahrscheinlichkeit (z.b. 0,01) abgelehnt werden muss.

48 Überblick Aufgabe Mathematische Inhalte Didaktische Bemerkungen 1. Gefärbte Flächen Urliste, Strichliste, Häufigkeitstabelle, Säulendiagramm, Modalwert Relative Häufigkeit Indirekt: geometrische, Laplace sche und prognostische Wahrscheinlichkeit, Zufallsexperiment Arbeit mit nominalen Daten Bruchrechnung notwendig Idealvorstellung weicht von der tatsächlichen Durchführung ab 2. gefärbte Flächen und Bonbons Ordnen und Darstellen von Daten, Minimum, Maximum, Spannbreite, Median, unteres und oberes Quartil, Quartilabstand Indirekt: Funktionaler Zusammenhang, Zusammenhang zwischen empirischem EW und EW einer Zufallsvariable Arbeit mit ordinalen (auch metrischen) Daten Je nach Tiefe der Auswertung Möglichkeit zur Binnendifferenzierung bzw. zur Diff. nach Schulform

49 Überblick Aufgabe Mathematische Inhalte Didaktische Bemerkungen 3. Gefärbte Flächen mit Bonbons - Vertiefung 4. Gruppenexploration 5. Gefärbte Flächen und Bonbons mit Spieleinsatz fair oder unfair? Arithmetisches Mittel, Varianz, Standardabweichung Wahrscheinlichkeit Erwartungswert einer Zufallsvariable, Zusammenhang zwischen empirischem EW und EW einer Zufallsvariable, faires Spiel Nur bei metrisch skalierten Daten möglich Manipulation der Daten mit Hilfe von Computer/CAS zur Ermittlung des Einflusses von einzelnen Werten auf die Kenngrößen frequentistisch, und prognostisch, Indirekt aber auch klassisch und axiomatisch Computersimulation möglich Formulierung von analogen Aufgaben fördern das divergente Denken Aufgaben zur Begriffsidentifizierung und Begriffsrealisierung, Binnendifferenzierung Produktive Aufgabenstellung durch Manipulation

50 Überblick Aufgabe Mathematische Inhalte Didaktische Bemerkungen 6. Kreiselspiel mit gefärbten Flächen und Bonbons - Verteilung von Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und deren Darstellung bzw. deren Kenngrößen Erwartungswert wird als Begriff vorausgesetzt, auf empirische Standardabweichung kann zurückgegriffen werden 7. gezinkter Kreisel Ein- und zweiseitiger Signifikanztest, Alternativtest Binomialverteilung wird vorausgesetzt Komplex Analogie zum indirekten Beweis 8. gezinkter Kreisel - Vertiefung Chi-Quadrat-Anpassungstest fakultativ

51 Literatur Blum et al.(hrsg.) (2006): Bildungsstandards Mathematik konkret. Berlin: Cornelsen, 70. Büchter, A./Leuders, T. (2011): Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Lernen fördern Leistung überprüfen. Berlin: Cornelsen. Pallack, A./Schmidt, U. (Hrsg.) (2012): Daten und Zufall im Mathematikunterricht. Mit neuen Medien verständlich erklärt. Berlin: Cornelsen. Tietze, U.-P. et al. (Hrsg.) (2002): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Band 3. Didaktik der Stochastik. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg.

52 Danke für die Aufmerksamkeit!