Lernheft Mathematik. Oberstufe. -Lernstufe 7/8- erarbeitet von Simone Milles, Ute Noga und Volker Czastrau (Dezember 2005)

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1 Lernheft Mathematik Oberstufe -Lernstufe 7/8- erarbeitet von Simone Milles, Ute Noga und Volker Czastrau (Dezember 2005)

2 Lernheft Mathematik: Lernstufe 7/8 2 Fachspezifische Anforderungen für den Mathematikunterricht in der Klasse 7/8 Das Mathematiklernen in der Schule sollte nicht auf die Aneignung von Kenntnissen und Fertigkeiten reduziert werden. Das Ziel ist vielmehr die Entwicklung eines gesicherten Verständnisses mathematischer Inhalte. Im Vordergrund sollten deshalb allgemeine und inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen stehen, die für das Mathematiklernen und die Mathematik insgesamt charakteristisch sind (vgl. Beschlüsse der Kultusministerkonferenz (1) 2004, S.7-8). Allgemeine mathematische Kompetenzen (Anwendungsorientierung) (vgl. Beschlüsse der Kultusministerkonferenz (1) 2004, S. 9-10) Von zentraler Bedeutung für eine erfolgreiche Nutzung und Aneignung von Mathematik sind vor allem die folgenden fünf allgemeinen mathematischen Kompetenzen:

3 Lernheft Mathematik: Lernstufe 7/8 3 Problemlösen mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (z.b. systematisch probieren) Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen Kommunizieren eigene Vorgehensweisen beschreiben, Lösungswege anderer verstehen und gemeinsam darüber reflektieren mathematische Fachbegriffe und Zeichen sachgerecht verwenden Aufgaben gemeinsam bearbeiten, dabei Verabredungen treffen und einhalten Argumentieren mathematische Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit prüfen mathematische Zusammenhänge erkennen und Vermutungen entwickeln Begründungen suchen und nachvollziehen Modellieren Sachtexten und anderen Darstellungen der Lebenswirklichkeit die relevanten Informationen entnehmen Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen, innermathematisch lösen und diese Lösungen auf die Ausgangssituation beziehen zu Termen, Gleichungen und bildlichen Darstellungen Sachaufgaben formulieren Darstellen für das Bearbeiten mathematischer Probleme geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen und nutzen eine Darstellung in eine andere übertragen Darstellungen miteinander vergleichen und bewerten Um individuelle Aussagen über den Leistungsstand jeder/jedes Schülerin/Schülers machen zu können, erscheint es sinnvoll die einzelnen Lernziele nach n zu differenzieren. Die Schülerinnen und Schüler sollten schrittweise, nach ihrem individuellen Lerntempo, auf immer höhere n geführt werden.

4 Lernheft Mathematik: Lernstufe 7/8 4 n im Fach Mathematik (vgl. Regelein 2000, S.8-13) Zahlbegriffe und mathematische Operationen entwickeln sich in vier Phasen: 1) Handeln mit konkreten Material (enaktive Phase) Durch selbsttätiges Handeln sollen die Kinder Einsicht in die mathematische Struktur gewinnen und ein gedachtes Bild, ein inneres Vorstellungsbild entwickeln (Verinnerlichung). Lernschritte: I) Handeln mit Alltagsgegenständen, II) Handeln mit Gegenstandssymbolen (Veranschaulichungsmittel), III) Malen entsprechender Bilder mit begleitendem Sprechen, IV) Verdeckte Handlungen regen zum Operieren mit inneren Bildern an. (Beispiel: Vier Plättchen hinlegen und dann mit einem Tuch abdecken. Drei Plättchen zeigen und unter das Tuch schieben. Wie viele Plättchen sind nun unter dem Tuch?), V) Verbalisieren vorgestellter Handlungsschritte. 2) Bildhafte Darstellung (ikonische Phase) Mengen und Längen werden grafisch abgebildet und Operationen werden durch grafische Zeichen (z.b. Pfeile, Durchstreichungen) angedeutet. Beispiel: 7 4 = 3 Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α 3) Symbolische Darstellung (symbolische Phase) Handlung und bildhafte Darstellung werden durch Ziffern und Symbole dargestellt. 4) Automatisierung Voraussetzung ist, dass die ersten drei Phasen gut fundiert sind. Das Ziel dieser Phase besteht in der Entlastung des Kurzzeitgedächtnisses, um auch Rechnungen mit größeren Zahlen und Sachaufgaben bewältigen zu können (Üben, Einmaleins, Einsdurcheins, Kopfrechnen,...). Inhaltliche mathematische Kompetenzen für die Klassen 7 und 8 in der Förderschule mit dem Schwerpunkt Lernen (Strukturorientierung) Das vorliegende Lernheft ist der schulinterne Lernplan der Diesterweg-Schule Koblenz für das Fach Mathematik für die Lernstufen 7 und 8. In dem Lernheft finden sich die Lernvoraussetzungen und die Lernziele für die Lernstufe 7 und 8. Jeder Abschnitt ist unterteilt nach: Zahlen und Rechenoperationen Größen Geometrie

5 Lernheft Mathematik: Lernstufe 7/8 5 Sachrechnen Anforderungsbereiche der allgemeinen mathematischen Kompetenzen Zum Lösen mathematischer Aufgaben werden die allgemeinen mathematischen Kompetenzen in unterschiedlicher Ausprägung benötigt. Diesbezüglich lassen sich drei Anforderungsbereiche unterscheiden: Reproduzieren, Zusammenhänge herstellen sowie Verallgemeinern und Reflektieren. Im Allgemeinen nehmen Anspruch und kognitive Komplexität von Anforderungsbereich zu Anforderungsbereich zu. Die Anforderungsbereiche (I III) sind für alle allgemeinen mathematischen Kompetenzen wie folgt charakterisiert: Anforderungsbereich I: Reproduzieren Dieser Bereich umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang. Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellen Dieser Bereich umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebieten erworben wurden. Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und Reflektieren Dieser Bereich umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u.a. mit dem Ziel, zu eigenen Problemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu gelangen.

6 Lernheft Mathematik: Lernstufe 7/8 6 Die nachfolgende Tabelle stellt eine Ausdifferenzierung der allgemeinen mathematischen Kompetenzen in den drei Anforderungsbereichen dar. Mit Hilfe der Tabelle kann der Prozess des Bearbeitens einer mathematischen Aufgabe analysiert werden, um zu bestimmen, welche Kompetenzen in welchen Anforderungsbereichen zur Bearbeitung gebraucht werden. Es sollte für jedes Kind ein eigenes Lernheft geführt werden. In den Spalten auf der rechten Seite zeichnen die Lehrerinnen und Lehrer mit ihrer Unterschrift ab, wenn ein Lernziel erreicht wurde. Hier wird nach den oben beschriebenen n unterschieden. Auf diese Weise können der Leistungsstand und Lernfortschritt jeder/jedes Schülerin/Schülers festgehalten werden. Durch die Arbeit mit dem Lernheft ergeben sich viele Vorteile: Der individuelle Leistungsstand der/des Schülerin/Schülers kann im Sinne einer Lernprozessdiagnostik zu jeder Zeit festgestellt werden, genaue Absprachen im Kollegium geben Transparenz und Sicherheit, die Schülerinnen und Schüler und Eltern können jederzeit Einsicht in ihr Lernheft nehmen und so Mitverantwortung für ihren Lernfortschritt übernehmen, der individuelle Leistungsstand der/des Schülerin/Schülers wird festgehalten und gibt bei Lehrerwechsel genaue Auskunft über den Leistungsstand und ist eine Hilfe bei der Leistungsbeschreibung im Zeugnis.

7 Lernheft Mathematik: Lernstufe 7 7 Lernstufe 7 Zahlen und Rechenoperationen Zahlenraum bis I II III Zahlen darstellen und bestimmen Zahlen lesen und schreiben (Stellenwert) Zahlen vergleichen und ordnen die Zeichen =, > und < richtig anwenden Vorgänger und Nachfolger bestimmen Nachbarzehner, -hunderter, -tausender, -zehntausender bestimmen Orientierung am Zahlenstrahl Zahlen auf- u. abrunden Kopfrechnen (Addition ohne Überschreitung) Kopfrechnen (Addition mit Überschreitung) Kopfrechnen (Subtraktion ohne Unterschreitung) Kopfrechnen (Subtraktion mit Unterschreitung) Kopfrechnen (Ergänzungsaufgaben) Kopfrechnen (einfache Multiplikationsaufgaben) Kopfrechnen (einfache Divisionsaufgaben) Schriftliche Rechenoperationen I II III Additionsaufgaben ohne Stellenüberschreitung Additionsaufgaben mit Stellenüberschreitung Subtraktionsaufgaben ohne Stellenunterschreitung

8 Lernheft Mathematik: Lernstufe 7 8 Subtraktionsaufgaben mit Stellenunterschreitung Multiplikationsaufgaben mit einstelligem Multiplikator Divisionsaufgaben mit einstelligem Divisor Multiplikationsaufgaben mit Zehnerzahlen Multiplikationsaufgaben mit gemischten zweistelligen Zahlen Multiplikationsaufgaben mit Hunderterzahlen Multiplikationsaufgaben mit gemischten dreistelligen Zahlen Überschlagsrechnungen zur Multiplikation durchführen Multiplikation von mehrstelligen Zahlen mit 1000 Division von Zahlen durch 10, 100, 1000 ohne Rest Multiplikation als Umkehrung der Division anwenden Additionsaufgaben in Sachaufgaben anwenden Subtraktionsaufgaben in Sachaufgaben anwenden Multiplikationsaufgaben in Sachaufgaben anwenden Divisionsaufgaben in Sachaufgaben anwenden Taschenrechner Die Tastatur des Taschenrechners kennen und bedienen Aufgaben der vier Grundrechenarten mit dem Taschenrechner lösen Taschenrechner als Hilfsmittel zur Lösungskontrolle einsetzen Eingliedrige Sachaufgaben lösen Zweigliedrige Sachaufgaben lösen (Memorytaste bedienen) mehrgliedrige Sachaufgaben lösen (Memorytaste bedienen)

9 Lernheft Mathematik: Lernstufe 7 9 Bruchrechnen Verschiedene Objekte in gleiche Teile teilen können Namen für Bruchteile kennen Namen für Bruchteile verwenden und begründen Versprachlichen können Schreibweise kennen und verwenden Die Begriffe Bruchstrich, Zähler, Nenner kennen Handlungen durchführen und versprachlichen Aufgaben zeichnerisch lösen Das Ganze in Brüche umformen Brüche zu einem Ganzen ergänzen Brüche vom Ganzen subtrahieren Gleichnamige Brüche addieren Gleichnamige Brüche subtrahieren Gebräuchliche Brüche bei Maßeinheiten verwenden Bruchteile von Größen herstellen und bestimmen Bruchteile von Anzahlen herstellen und bestimmen Größen Längen, Gewichte, Zeit, Rauminhalte und Rechnen mit Kommazahlen Längen I II III Bruchteile von Längen herstellen, benennen, als Bruch notieren Handlungen verbalisieren Mit Brüchen der Maßeinheit Meter rechnen Genaues Messen üben

10 Lernheft Mathematik: Lernstufe 7 10 Handlungen beim Messen verbalisieren Kontrollmöglichkeiten entwickeln Gewichte Maßeinheit Tonne (t) kennen Große Gewichte schätzen Beziehung zwischen Tonne und Kilogramm herstellen Gewichtsangaben in Stellen Tafeln angeben Verschiedene Schreibweisen kennen und verwenden Informationen für andere zugänglich machen und darstellen Bruchteile der Maßeinheit kg kennen Beispiele für Bruchteile kennen Brüche richtig schreiben und lesen Mit Gewichtsangaben rechnen Mit Bruchteilen von Kilogramm konkret handeln und daraus Rechenaufgaben entwickeln Zeit Maßeinheiten der Zeit in Beziehung setzen Zeitangaben aus einer in eine andere Maßeinheit umrechnen Zeitspannen berechnen Übersichtskalender nutzen Zeitleiste anlegen und deuten Fahrpläne lesen Zeitpunkte berechnen Zeitpläne erstellen Zeiträume einteilen Zeitspannen/Zeitpunkte graphisch darstellen Persönlichen Zeitplan erstellen Termine absprechen und einhalten Rauminhalte, Liter und Milliliter Rauminhalte direkt vergleichen und ordnen Füllmengen schätzen und vergleichen

11 Lernheft Mathematik: Lernstufe 7 11 Gefäße nach ihrem Rauminhalt ordnen Vorgehensweise verbalisieren Erkennen dass Gefäße unterschiedlicher Form den gleichen Inhalt besitzen können Rauminhalt mit willkürlichen bestimmen und vergleichen Rauminhalt mit Flüssigkeiten ermitteln Ergebnisse diskutieren Maßeinheit Liter kennen und verwenden Mit einem Messbecher Füllmengen abmessen Gebräuchliche Bruchteile der Maßeinheit Liter herstellen, benennen und als Bruchzahl notieren Mit gebräuchlichen Brüchen der Maßeinheit Liter konkret anschaulich rechnen Maßeinheit Milliliter kennen und verwenden Mit dem Messbecher Milliliter abmessen Größenvorstellung vom Milliliter entwickeln Die Maßeinheiten Liter und Milliliter in Beziehung setzen Rechnen mit Kommazahlen Kommazahlen sicher addieren und subtrahieren Kommazahlen stellengerecht untereinander schreiben Anwenden schriftlicher Subtraktion Anwenden schriftlicher Addition Kommazahlen und ganze Zahlen addieren und subtrahieren Eine Kommazahl mit einer ganzen multiplizieren Überschlagsrechnungen durchführen Schriftliches Multiplikationsverfahren anwenden Eine Kommazahl durch eine einstellige ganze Zahl dividieren Überschlagsrechnung durchführen Schriftliches Divisionsverfahren anwenden Runden Taschenrechner sachgemäß zur Ergebniskontrolle einsetzen

12 Lernheft Mathematik: Lernstufe 7 12 Geometrie Flächen, Quader und Würfel, Winkel Flächen I II III Flächen in der Umgebung aufzeigen und benennen Größe der Fläche schätzen und vergleichen Flächen nach ihrer Größe ordnen Flächen mit willkürlichen Maßeinheiten vergleichen und verbalisieren (z.b. hat eine größere Fläche als ) Vorgehensweise verbalisieren und Messungen durchführen cm² ist ein Quadrat mit 1 cm Kantenlänge m² ist ein Quadrat mit 1 m Kantenlänge Rechtecke und Quadrate mit cm² und m² auslegen Flächeninhalt mit Hilfe von A = a x b berechnen Rechteckige Flächen zeichnen und Fläche berechnen Seite a berechnen wenn Seite a (b) und Fläche gegeben sind Quader und Würfel Eigenschaften des Quaders benennen (Flächen, Kanten, Ecken) Eigenschaften des Würfels benennen (Flächen, Kanten, Ecken) Rechtwinkligkeit von Quader und Würfel kennen Würfel und Quader vergleichen, Unterschiede und Gemeinsamkeiten feststellen und verbalisieren Netze abzeichnen können Teilflächen benennen und beschreiben Netze nach Quader oder Würfel unterscheiden Rechtecksäulen aus Netzen herstellen Winkel Winkel in der Umwelt erkennen Winkelteile kennen und benennen (Scheitelpunkt, Schenkel, Winkelbogen) Rechte, spitze und stumpfe Winkel kennen und unterscheiden

13 Lernheft Mathematik: Lernstufe 7 13 Gradeinteilung auf dem Geodreieck kennen Vorgegebene Winkel mit dem Geodreieck genau messen Winkel mit dem Geodreieck zeichnen Sachrechnen Proportionale Zuordnungen erkennen und beschreiben Größen handelnd und zeichnerisch zuordnen Rechnerisch von Einheit auf Mehrheit schließen Rechnerisch von Mehrheit auf Einheit schließen Proportionale Zuordnungen tabellarisch darstellen Proportionale Zuordnungen graphische darstellen Sachverhalte erkennen, bei denen keine proportionale Zuordnung vorliegt Proportionale und nichtproportionale Zuordnungen in Sachaufgaben erkennen und lösen Sachverhalte erfassen und beschreiben Fragestellung finden und formulieren Eingliedrige Sachaufgaben lösen Zweigliedrige Sachaufgaben lösen Schriftliches Multiplikationsverfahren anwenden können Überschlagsrechnung durchführen und deuten können Kommazahl durch eine einstellige ganze Zahl dividieren Schriftliches Divisionsverfahren anwenden können Taschenrechner sachgemäß einsetzen können Rechnen mit Rest Runden bei Aufgaben mit Rest I II III

14 Lernheft Mathematik: Lernstufe 8 14 Lernstufe 8 Zahlen und Rechenoperationen Zahlen größer als I II III Zahlen darstellen und bestimmen Zahlen lesen und schreiben (Stellenwert) Zahlen vergleichen und ordnen die Zeichen =, > und < richtig anwenden Vorgänger und Nachfolger bestimmen Nachbarzehner, -hunderter, -tausender, -zehntausender, -hunderttausender bestimmen Orientierung am Zahlenstrahl Zahlen auf- u. abrunden Kopfrechnen (Addition ohne Überschreitung) Kopfrechnen (Addition mit Überschreitung) Kopfrechnen (Subtraktion ohne Unterschreitung) Kopfrechnen (Subtraktion mit Unterschreitung) Kopfrechnen (Ergänzungsaufgaben) Kopfrechnen (einfache Multiplikationsaufgaben) Kopfrechnen (einfache Divisionsaufgaben) Schriftliche Rechenoperationen I II III Additionsaufgaben ohne Stellenüberschreitung Additionsaufgaben mit Stellenüberschreitung Subtraktionsaufgaben ohne Stellenunterschreitung

15 Lernheft Mathematik: Lernstufe 8 15 Subtraktionsaufgaben mit Stellenunterschreitung Multiplikationsaufgaben mit einstelligem Multiplikator Multiplikationsaufgaben mit zweistelligem Multiplikator Divisionsaufgaben mit einstelligem Divisor Divisionsaufgaben mit Zehnerzahlen Divisionsaufgaben mit Hunderterzahlen Kontrollrechnungen zur schriftlichen Division durchführen Additionsaufgaben in Sachaufgaben anwenden Subtraktionsaufgaben in Sachaufgaben anwenden Multiplikationsaufgaben in Sachaufgaben anwenden Divisionsaufgaben in Sachaufgaben anwenden Brüche darstellen und bestimmen Bruchrechnen wertgleiche Brüche mit verschiedenen Nennern herstellen, vergleichen und bestimmen Brüche in ganze Zahlen umformen und umgekehrt Brüche in gemischte Zahlen umformen und umgekehrt Gleichnamige Brüche addieren Gleichnamige Brüche subtrahieren Ungleichnamige Brüche addieren Ungleichnamige Brüche subtrahieren Gleichnamige Brüche und ganze Zahlen addieren Gleichnamige Brüche und gemischte Zahlen addieren Gleichnamige Brüche und ganze Zahlen subtrahieren Gleichnamige Brüche und gemischte Zahlen subtrahieren Zehntel-, Hundertstel- und Tausendstelbrüche als Dezimalzahlen schreiben I II III

16 Lernheft Mathematik: Lernstufe 8 16 Bruchteile von Größen und Anzahlen herstellen und berechnen Bruchteile einer Maßeinheit in der nächst kleineren Maßeinheit angeben Größen Rechnen mit Kommazahlen I II III Kommazahl mit einer Kommazahl schriftlich multiplizieren Überschlagsrechnung durchführen Ergebnis runden Kommaverschiebungsregel kennen und anwenden Kommazahlen schriftlich mit 10, 100, 1000 multiplizieren Kommazahlen schriftlich durch 10, 100, 1000 dividieren Geometrie Kreisförmige Flächen, Kreisumfang, dreieckige Flächen, Umfang des Dreiecks, rechteckige Flächen, Rauminhalt von Rechtecksäulen Kreisförmige Flächen Kreisförmige Gegenstände erkennen und benennen Kreisumfang an Gegenständen schätzen und messen Kreis mit Zirkel zeichnen und sachgerecht mit Zirkel umgehen Mittelpunkt (M), Durchmesser (d) und Radius (r) des Kreises kennen, benennen und einzeichnen Erkennen und wissen, dass beim Kreis alle Punkte auf der Kreislinie gleich weit vom Kreismittelpunkt entfernt sind I II III

17 Lernheft Mathematik: Lernstufe 8 17 Kreisumfang Kreisumfang und Kreisdurchmesser in Beziehung setzen Das Zeichen π für die gerundete Zahl 3,14 erkennen u = π d zur Berechnung des Kreisumfangs als Formel kennen und anwenden Sachaufgaben zur Umfangsberechnung lösen Dreieckige Flächen Merkmale des Dreiecks kennen und benennen (Seiten a, b, d; Ecken A, B, C; und Winkel) Besondere Dreiecke kennen und beschreiben (gleichschenklig, gleichseitig, rechtwinklig) Seiten und Winkel messen Dreiecke zeichnen (mit drei gegebenen Seiten ein Dreieck konstruieren) Umfang des Dreiecks Seitenlängen messen und addieren Umfangsberechnungen in Sachzusammenhängen durchführen Rechteckige Flächen Flächeninhalt (A) und Umfang (u) schätzen und berechnen (entsprechende Formeln anwenden) An Modellen und Netzen Flächen ausmessen und berechnen Bedarfsmengen (Tapete, Farbe, Fliesen etc.) aus Alltagssituationen ermitteln In Sachaufgaben anwenden Rechteckige Flächen im Maßstab 1 : 100 und 1 : 10 verkleinern Erkennen, dass 1 m in der Wirklichkeit 1 cm (10 cm) in der Zeichnung entspricht Die verkleinerte Fläche maßstabsgetreu zeichnen Rauminhalt von Rechtecksäulen (Würfel und Quader) Rauminhalt mit willkürlichen Maßeinheiten vergleichen und bestimmen Maßeinheiten cm³, dm³ und m³ kennen und verwenden Rauminhalt von Rechtecksäulen mit genormten Maßeinheiten bestimmen

18 Lernheft Mathematik: Lernstufe 8 18 Formel für die Berechnung des Rauminhalts kennen und anwenden (V = a b h) Sachaufgaben zur Berechnung des Rauminhalts von Rechtecksäulen lösen Schrägbilder von Rechtecksäulen zeichnen Sachrechnen Dreisatz Dreisatz, Prozentrechnen und Sachaufgaben Proportionale Zuordnungen erkennen und beschreiben Fehlende Größen durch Division oder Multiplikation errechnen Proportionale Zuordnung tabellarisch und grafisch darstellen Sachaufgaben mit proportionaler Zuordnung lösen Prozentrechnen Prozentsätze als Hundertstel verstehen, darstellen und verwenden Prozentwerte mit Hilfe von Dreisatz und Kurztabelle berechnen In verschiedenen Sachgebieten Prozentwerte berechnen Sachaufgaben Sachsituationen mathematisieren und daraus zwei- und mehrgliedrige Sachaufgaben entwickeln Geeignete Lösungsverfahren anwenden Die Fragestellung mündlich und schriftlich beantworten I II III