Zufallsexperimente Grundbegriffe

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1 Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Zufallsexperimente Grundbegriffe Zufallsexperiment/Zufallsversuch Ein Zufallsexperiment (aka Zufallsversuch) ist ein Experiment, dessen Ausgang mit zur Verfügung stehenden Mitteln nicht vorhergesagt werden kann. Beispiele: Das Werfen einer Münze, eines Würfels o.ä. Das Ziehen eines Loses, einer Nummer aus einer Urne, der Lottozahlen o.ä. Sogar ein Fußballspiel oder jedes andere Spiel, dessen Ausgang nicht vorhergesagt werden kann Ergebnis Ein einzelner Ausgang eines Zufallsexperimentes heißt Ergebnis. Beispiele: Die 3 ist ein mögliches Ergebnis beim Würfeln. Die Niete ist ein mögliches Ergebnis beim Lose-Ziehen., 4, 3,, 34, 4; Zusatzzahl: 5; Superzahl 4 ist ein mögliches Ergebnis bei der Ziehung der Lottozahlen. 3: ist das mögliche Ergebnis eines Fußballspiels. Ergebnismenge Will man mehrere Ergebnisse zusammenfassen, schreibt man sie als Ergebnismenge mit geschwungenen Klammern {}: Alle ungeraden Zahlen beim Würfeln sind {, 3, 5}. Alle Zahlen des zweiten Drittels beim Roulette sind {3,..., 4}. Alle Ergebnisse, bei denen die Eintracht gewinnt {:0, :0,, 4:,, 6:3, } Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Gegenereignis Zu jedem Ereignis E gibt es ein Gegenereignis E = Ω \ E, das alle möglichen Ergebnisse enthält, die E nicht enthält. Beispiele in Bezug auf das Würfeln: Das Gegenereignis von Es wird eine gerade Zahl gewürfelt ist Es wird eine ungerade Zahl gewürfelt. Das Gegenereignis von Es fällt eine 4 ist Es fällt keine 4, bzw. Es fällt eine,, 3, 5 oder 6. Vereinigung von Ereignissen Man kann eine Vereinigung von Ereignissen bilden. Die Vereinigung der Ereignisse E und E wird so geschrieben: E E und meint eine Menge, die alle Ergebnisse beider Ereignisse enthält. Beispiel: E : Es wird eine gerade Zahl gewürfelt: {, 4, 6} E : Es wird eine Zahl kleiner als vier gewürfelt: {,, 3} In der Vereinigung sind nun alle Ergebnisse aus E und E enthalten. E E : {,, 3, 4, 6} Die Vereinigung eines Ereignisses mit seinem Gegenereignis ist immer der Ergebnisraum: E E = Ω Ergebnisraum Die Gesamtmenge aller möglichen Ergebnisse ist der Ergebnisraum, bezeichnet mit Omega: Ω Beim Würfeln mit einem Standard-Würfel ist der Ergebnisraum {,, 3, 4, 5, 6} Beim Werfen einer Euromünze ist der Ergebnisraum {Zahl, Adler} Schnitt von Ereignissen Der Schnitt von zwei Ereignissen E und E meint diejenigen Ergebnisse, die in beiden Ereignissen enthalten ist. Man schreibt ihn so: Ereignis Ein Ereignis E ist eine Ergebnismenge, die kein, ein, mehrere oder alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments enthalten kann. Beispiele in Bezug auf das Drehen eines Roulette-Rades: Es kommt eine rote Zahl Die gezogene Zahl ist kleiner als 7 Es wird eine gerade Zahl gezogen Ereignisse mit nur einem Element (also einem einzigen Ergebnis) heißen Elementarereignisse. Das unmögliche Ereignis E = kann nicht eintreten, da es keine Ergebnisse enthält. Das sichere Ereignis E= Ω tritt auf jeden Fall ein, weil es alle möglichen Ergebnisse enthält. Zufallsexperimente Grundbegriffe Bild: Wikipedia Beispiel: E : Es wird eine gerade Zahl gewürfelt: {, 4, 6} E : Es wird eine Zahl kleiner als vier gewürfelt: {,, 3} E E : {} E E Der Schnitt eines Ereignisses mit seinem Gegenereignis ist immer das unmögliche Ereignis (leere Menge): E E = Wichtig: Die Zeichen + und kann man bei Mengen nicht verwenden!!! Zufallsexperimente Grundbegriffe

2 Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Aufgaben Regeln von de Morgan Wenn E und E Ereignisse eines Zufallsexperiments sind, dann gelten die folgenden Gleichungen: E E = E E Hinweis Es hat sich folgende Sprechweise eingebürgert: Wann immer in der Stochastik ein Gefäß benutzt wird, in dem sich irgendwelche Kugeln o.ä. befinden, spricht man von einer Urne. Man könnte natürlich auch Eimer, Schüsseln, Töpfe, Bierseidel oder Kokosnussschalen benutzen.. In einer Urne liegen 50 Kugeln, die ein kreativer Mensch von 50 durchnummeriert hat. Willi Winzig zieht eine E E = E E Kugel. Stelle die folgenden Ereignisse, bzw. deren Verbindungen als Ergebnismengen dar. Benutze bei den Schnitten und Vereinigungen zur Unterstützung ein Mengenbild. a. E : Die gezogene Nummer ist durch 9 teilbar. b. E : Die gezogene Nummer ist durch teilbar. c. E3 : Die gezogene Nummer ist durch 3 teilbar. d. E E Mengenbilder Zur Veranschaulichung von Ereignissen, Gegenereignissen usw. kann man Mengenbilder benutzen. e. E E3 f. Beispiel: Das folgende Mengenbild bezieht sich auf das Zufallsexperiment Würfeln eines Standard-Würfels. Dabei gilt:. Es wird gewürfelt! Bestimme jeweils die Gegenereignisse. a. E : Die Augenzahl ist mindestens 3. E ist das Ereignis, dass eine Zahl kleiner als vier gewürfelt wird: {,, 3} b. E : Die Augenzahl ist ungerade. E ist das Ereignis, dass eine ungerade Zahl gewürfelt wird: {, 3, 5} c. E3 : Die Augenzahl ist 5 oder 6. Mit dem Mengenbild kann man nun recht einfach den Schnitt und die Vereinigung, sowie die jeweiligen Gegenereignisse herausfinden: 6 E E E E 3 E E g. E E3 5 4 d. E4 : Die Augenzahl höchstens Nun geht es um Skat-Karten (7, 8, 9, 0, Bube, Dame, König, As; jeweils mit Kreuz, Pik, Herz und Karo). E ist das Ereignis, dass Kreuz gezogen wird. E ist das Ereignis, dass ein König gezogen wird. Stelle folgende Ereignis-Verknüpfungen in der Mengen-Schrreibweise dar und beschreibe sie: a. E E b. E E c. E E d. E E Hier noch einmal alle hier beteiligten Ereignisse und deren Verbindungen als Ergebnismengen: E : {,, 3} E : {, 3, 5} E : {4, 5, 6} E : {, 4, 6} E E : {,, 3, 5} E E : {, 3} E E = E E : {4, 6} E E = E E : {, 4, 5, 6} 4. Nun wird es allgemeiner: Stelle die graue Fläche schriftlich als Verknüpfung (Vereinigung und Schnitt, sowie Kombinationen davon) der Ereignisse E und E dar. Diese Aufgaben wurden größtenteils aus dem Mathematik-Buch 3. übernommen, und zwar S. 3, Ü. 4, 6, 8, 9 Zufallsexperimente Grundbegriffe 3 Zufallsexperimente Grundbegriffe 4

3 Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten Bevor wir viele lustige Wahrscheinlichkeiten ausrechnen, müssen wir uns zunächst einmal damit befassen, was eine Wahrscheinlichkeit überhaupt ist. Dazu blicken wir zunächst auf Absolute und relative Häufigkeiten siehe Buch, S. 6 9 Beispiel Angenommen, man wirft eine Euro-Münze 80mal. Dabei kommt 4mal die Zahl. Dann ist k=4 die absolute Häufigkeit des Ergebnisses Zahl und k 4 = = 0,55die relative Häufigkeit des Ergebnisses Zahl. n 80 Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Wahrscheinlichkeiten Bitte auch den Text und die Definition auf Seite 0 lesen! Wahrscheinlichkeit eine Arbeitsdefinition Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der zu erwartende Stabilisierungswert für die relative Häufigkeit des Ereignisses, wenn die Anzahl der Versuchsdurchführungen n gegen Unendlich läuft. Merke: Jede Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses beträgt aufgrund der obigen Definition mindestens 0 (dann ist das Ereignis unmöglich) und höchstens (dann ist das Ereignis sicher). Laplace-Wahrscheinlichkeiten Bitte Texte auf Seite und 3 lesen! Definitionen Bei einem Zufallsexperiment mit n Versuchen, bei dem k-mal ein bestimmtes Ereignis eintritt, definiert man also a (E) = k als die absolute Häufigkeit des Ereignisses n Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse/Elementarereignisse gleich wahrscheinlich. Beispiele Einmaliges Werfen eines Würfels Ziehen einer Zahl beim Roulette k h n(e) = n als die relative Häufigkeit des Ereignisses Für die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses E bei einem Laplace-Experiment gilt: Gesetz der großen Zahlen Wird z.b. eine Münze sehr oft geworfen, kann man davon ausgehen, dass in etwa bei der Hälfte aller Würfe Zahl das Ergebnis ist. Man sagt dann, dass sich die relative Häufigkeit bei 0,5 stabilisiert. Aufgaben. Erläutere schlüssig die einzelnen Ziffern des Satzes I. auf Seite 9 mit eigenen Worten.. Übungen: Seiten 7 9 Zu erledigen bis Hinweise 0 Siehe Beispiel auf S. 6 7 Kein Hinweis. Das läuft auch so. 5 Bei den Beweisen darf man ganz formal nur die Definitionen und den Satz I. 6 von Seite 9 benutzen! Anzahl der in E enthaltenen Ergebnisse E P(E) = = Anzahl der im Ergebnisraum enthaltenen Ergebnisse Ω Aufgaben Seiten 4 6 Zu erledigen bis Hinweise 9 Bei d ist wirklich mit Sicherheit gemeint. Bezug zur Studienfahrt! Tripel = Dreiergrüppchen Tipp: Erst zeichnen! 4 Keiner.

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8 Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Bedingte Wahrscheinlichkeiten Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Die Wahrscheinlichkeiten von eben kann man unmittelbar aus dem Baum ablesen. Wenn es jedoch zu umständlich ist, einen Baum zu zeichnen, kann man folgende Rechenregel anwenden: Buch S PB (A) = P(A B) P(B) Grundlagen Hier geht es darum, dass innerhalb eines mehrstufigen Zufallsexperiments die Resultate einer Stufe Einfluss auf die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe haben kann Nehmen wir an, wir haben eine Urne mit acht Kugeln, 5 roten und 3 blauen, und ziehen zweimal ohne Zurücklegen. Dann ergibt sich der folgende Baum: rot 3 7 blau 5 7 rot rot woraus man durch einfache Gleichungsumformung den Produktsatz/Multiplikationssatz gewinnen kann: PB (A) P(B) = P(A B) Selbstverständlich gilt: P(B)> In unserem Beispiel würde dann z.b. gelten: Pblau(rot) = 8 7 = (W keit, dass im zweiten Wurf rot kommt, unter der Bedingung, dass zuerst blau kam) Start 3 8 Stochastische Unabhängigkeit blau 7 Buch, S Eine stochastische Arbeit ist es, Ereignisse darauf zu überprüfen, ob sie überhaupt abhängig sind. Ist dies nicht der Fall, sind sie unabhängig und es gilt: blau Es ist offensichtlich, dass die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Wurf eine rote Kugel zu ziehen, davon abhängt, was im ersten Zug gezogen wurde. Das Resultat des ersten Zugs bedingt also die Chancen im zweiten Zug. Definition Zwei Ereignisse A und B heißten stochastisch unabhängig voneinander, wenn Folgendes gilt: PB (A) = P(A) und PA (B) = P(B) Schreibwesen/Beispiele 5 7 für die Wahrscheinlichkeit, dass rot kommt, unter der Bedingung, dass zuerst blau kam. Man schreibt: Pblau(rot) = Praktischerweise gelten bei stochastisch unabhängigen Ereignissen die folgenden vereinfachten Rechenregeln Multiplikationssatz für stochastisch unabhängige Ereignisse (und nur für diese!) P(A B) = P(A) P(B) 4 Und Prot (rot) = 7 Additionssatz für stochastisch unabhängige Ereignisse (und nur für diese!) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A) P(B) für die Wahrscheinlichkeit, dass im zweiten Wurf rot kommt, unter der Bedingung, dass zuerst auch rot kam. Es geht weiter mit der totalen Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten

9 Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Die totale Wahrscheinlichkeit Wenn man z.b. wissen möchte, wie groß insgesamt die Wahrscheinlichkeit dafür ist, das irgendein Ereignis eintritt, egal, unter welcher Bedingung, muss man folgenden Satz anwenden (man mache ihn sich am Baum klar): Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Die totale Wahrscheinlichkeit Wenn man z.b. wissen möchte, wie groß insgesamt die Wahrscheinlichkeit dafür ist, das irgendein Ereignis eintritt, egal, unter welcher Bedingung, muss man folgenden Satz anwenden (man mache ihn sich am Baum klar): Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit P(A) = P(B) P (A) + P(B) P (A) Voraussetzung ist, dass alle vorkommenden Wahrscheinlichkeiten ungleich Null sind. B B Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit P(A) = P(B) P (A) + P(B) P (A) Voraussetzung ist, dass alle vorkommenden Wahrscheinlichkeiten ungleich Null sind. B B Die Formel von Bayes Wenn man alle bisherigen Definitionen und Sätze zusammenführt, ergibt sich die Formel von Bayes: Die Formel von Bayes Wenn man alle bisherigen Definitionen und Sätze zusammenführt, ergibt sich die Formel von Bayes: P (A) B P(A) P (B) P(A) P A(B) P(B) P(A) P (B) + P(A) P (B) A = = A A P (A) B P(A) P (B) P(A) P A(B) P(B) P(A) P (B) + P(A) P (B) A = = A A Aufgabe: Beweise die Formel von Bayes mithilfe der vorigen Definitionen und Sätze. Aufgabe: Beweise die Formel von Bayes mithilfe der vorigen Definitionen und Sätze. Aufgaben Seite, Übung Zu erledigen bis Seite, Übung Zu erledigen bis Abhängigkeit Einfache Bed. S. 7 Ü. 8 S. 88 Ü. S. 7 Ü. 9 S. 93 Ü. 5 Totale W. S. 7 Ü. 0 S. 93 Ü. 6 S. 78 Ü. S. 94 Ü. 3 S. 83 Ü. 8 S. 96 Ü. S. 85 Ü. 3 S. 98 Ü. S. 87 Ü. 6 S. 0 Ü. 7 Bayes S. 87 Ü. 8 S. 0 Ü. 9 Aufgaben Seite, Übung Zu erledigen bis Seite, Übung Zu erledigen bis Abhängigkeit Einfache Bed. S. 7 Ü. 8 S. 88 Ü. S. 7 Ü. 9 S. 93 Ü. 5 Totale W. S. 7 Ü. 0 S. 93 Ü. 6 S. 78 Ü. S. 94 Ü. 3 S. 83 Ü. 8 S. 96 Ü. S. 85 Ü. 3 S. 98 Ü. S. 87 Ü. 6 S. 0 Ü. 7 Bayes S. 87 Ü. 8 S. 0 Ü. 9 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 3

10 Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Buch S. 06 bis 35 Grundbegriffe Begriffe und Definitionen Eine Zufallsgröße oder Zufallsvariable ist eine eindeutige Zuordnung (Funktion) X : Ω R, die jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine reelle Zahl zuordnet. X = x i ist ein Ereignis, das alle Ergebnisse enthält, bei dem X den Wert xi annimmt. Zufallsgrößen Zufallsgrößen Passende Beispiele Beim Würfeln wird jeder Augenzahl eine bestimmte Gewinnsumme zugeordnet, z.b.: 6 3, 5 3, 4 0, 3,50,,50,,50, X =,50 wären alle Ergebnisse, bei denen der Spieler,50 Euro gewinnt. Möchte man die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Beim unserem Würfel-Beispiel sähe die Wahrscheinlichkeitsverteilung so aus: Zufallsgröße X herausfinden, so muss man jedem möglichen Wert x i, den X ja annehmen kann, eine Wahrscheinlichkeit P(X = x P(X = 3 Euro) = = i) zuordnen. 6 3 P(X = 0 Euro) = 6 3 P(X =,50 Euro) = = 6 Der Erwartungswert Wenn man ein Spiel spielt, interessiert den Spieler natürlich, welchen Gewinn/Verlust er zu erwarten hat, wenn er das Spiel recht lange spielt. Diesen Erwartungswert kürzt man E(X) oder dem griechischen Buchstaben µ (Mü) ab. Nehmen wir an, es gäbe m verschiedene Ergebnisse, die die Zufallsgröße annehmen kann, dann ist der Erwartungswert: µ = E(X) = x P(X = x ) + x P(X = x ) + x P(X = x ) x P(X = x ) + x P(X = x ) m = x P(X = x ) i= i 3 3 m m m m i Beispiel In dem Beispiel aus der obigen Tabelle wäre der Erwartungswert µ = E(X) = ( 3) + 0 +,5 = ,75 = 0,5 3 6 Der Spieler hat also langfristig mit einem Verlust von 5 Cent pro Spiel zu rechnen. Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Varianz und Standardabweichung Man möchte beim Spielen natürlich nicht nur wissen, wie groß der Erwartungswert ist, sondern auch, wie weit die tatsächlich zu erwartenden Gewinne/Verluste von diesem abweichen. Bei einem Spiel mit dem Erwartungswert Null kann es ja der Fall sein, dass man einmal einen Euro gewinnt und ein andermal einen Euro verliert, es kann aber auch sein, dass man einmal eine Million Euro gewinnt und ein andermal den gleichen Betrag verliert. Deshalb gibt es Maßzahlen, die Aufschluss darüber geben sollen, wie weit die tatsächlichen Ergebnisse etwa um den Erwartungswert streuen. Dabei muss man wissen, dass es sich hierbei nicht um Zahlen handelt, aus denen man präzise Rückschlüsse über tatsächliche Ergebnisse ziehen kann, sondern dass auch sie nur eine Orientierung bieten. Definition/Berechnung der Varianz Man muss wissen, dass die Berechnungsgrundlage für die Varianz zwar nicht willkürlich ist, aber doch ein ganzes Stück auf Erfahrung und praktischen Erfordernissen beruht. Sie kann nicht aus irgendetwas hergeleitet werden, sie wird definiert als: V(X) = (x µ ) P(X = x ) + (x µ ) P(X = x ) (x µ ) P(X = x ) n n n (x i ) P(X x i) i= = µ = Definition/Berechnung der Standardabweichung Die Standardabweichung wird definiert als die Quadratwurzel aus der Varianz: σ (X) = Die Standardabweichung ist so etwas wie der Erwartungswert der Abweichung vom Erwartungswert, tatsächliche Ergebnisse werden also im Mittel um die Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen. Zufallsgrößen V(X) Wenn ihr irgendwann einmal Psychologie studiert, werdet ihr diese beiden Größen zu schätzen wissen. Die Ungleichung von Tschebyschew siehe Buch, Seite 5ff Mithilfe der Ungleichung von Tschebyschew kann man abschätzen, wie wahrscheinlich eine bestimmte Abweichung vom Erwartungswert ist. σ σ µ = P( X c) c c Es geht hier um die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X einen Wert annimmt, der mindestens um c von dem Erwartungswert µ abweicht. Äquivalent dazu ist die Ungleichung σ σ µ < = P( X c) c c

11 Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Kombinationen von Zufallsgrößen siehe Buch, S. 9ff Bisher haben wir innerhalb eines Zusammenhangs nur mit einer Zufallsgröße gearbeitet. Doch man kann Zufallsgrößen auch kombinieren! Gerechnet wird dabei ähnlich wie mit Wahrscheinlichkeiten. Unabhängige Zufallsgrößen Hierbei geht es um Zufallsgrößen, die keinen Einfluss aufeinander haben, z.b. kann es bei X um Ergebnisse eines Würfels und bei Y um die eines Glücksrades gehen. Mit solchen Größen befassen wir uns in der Hauptsache. Seien X und Y Zufallsgrößen mit den Wertemengen {x,...,x n} und {y,...,y m}, dann heißen X und Y unabhängig, wenn für alle möglichen Paare (x i,y j)folgendes gilt: P(X = x i,y = y j) = P(X = x i) P(Y = y j) Hierbei wird die bekannte Pfadregel für Wahrscheinlichkeitsbäume ausgenutzt. Siehe Beispiel auf Seite 30. Erwartungswert und Rechenregeln Für Summen und Produkte von Zufallsgrößen lassen sich einfach Erwartungswerte bilden vorausgesetzt, die Zufallsgrößen X und Y sind unabhängig voneinander. E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(X Y) = E(X) E(Y) Die Rechenregeln zu Erwartungswert und Varianz bitte ich auf S, 33 nachzulesen, man beachte unbedingt auch die Begründungen. Aufgaben Seite, Übung Zu erledigen bis Seite, Übung Zu erledigen bis W-Vert. Erwartungswert Spielstr. Varianz S. 08, A. Zufallsgrößen 3 Varianz S. 4, A. 5 S. 09, A. 5 S. 4, A. 6 S., A. Tschebyschew S. 7, A. S. 3, A. 3 S. 7, A. S. 3, A. 5 S. 7, A. 3 S. 4, A. 8 S. 8, A. 6 S. 6, A. 9 Kombinationen S. 30, A. S. 0, A. S. 34, A. 3 S., A. 3 S. 34, A. 5 S. 3, A. S. 34, A. 7 S. 4, A. S. 35, A. S. 4, A. 3 S. 35, A. Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Kombinationen von Zufallsgrößen siehe Buch, S. 9ff Bisher haben wir innerhalb eines Zusammenhangs nur mit einer Zufallsgröße gearbeitet. Doch man kann Zufallsgrößen auch kombinieren! Gerechnet wird dabei ähnlich wie mit Wahrscheinlichkeiten. Unabhängige Zufallsgrößen Hierbei geht es um Zufallsgrößen, die keinen Einfluss aufeinander haben, z.b. kann es bei X um Ergebnisse eines Würfels und bei Y um die eines Glücksrades gehen. Mit solchen Größen befassen wir uns in der Hauptsache. Seien X und Y Zufallsgrößen mit den Wertemengen {x,...,x n} und {y,...,y m}, dann heißen X und Y unabhängig, wenn für alle möglichen Paare (x i,y j)folgendes gilt: P(X = x i,y = y j) = P(X = x i) P(Y = y j) Hierbei wird die bekannte Pfadregel für Wahrscheinlichkeitsbäume ausgenutzt. Siehe Beispiel auf Seite 30. Erwartungswert und Rechenregeln Für Summen und Produkte von Zufallsgrößen lassen sich einfach Erwartungswerte bilden vorausgesetzt, die Zufallsgrößen X und Y sind unabhängig voneinander. E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(X Y) = E(X) E(Y) Die Rechenregeln zu Erwartungswert und Varianz bitte ich auf S, 33 nachzulesen, man beachte unbedingt auch die Begründungen. Aufgaben Seite, Übung Zu erledigen bis Seite, Übung Zu erledigen bis W-Vert. Erwartungswert Spielstr. Varianz S. 08, A. Zufallsgrößen 3 Varianz S. 4, A. 5 S. 09, A. 5 S. 4, A. 6 S., A. Tschebyschew S. 7, A. S. 3, A. 3 S. 7, A. S. 3, A. 5 S. 7, A. 3 S. 4, A. 8 S. 8, A. 6 S. 6, A. 9 Kombinationen S. 30, A. S. 0, A. S. 34, A. 3 S., A. 3 S. 34, A. 5 S. 3, A. S. 34, A. 7 S. 4, A. S. 35, A. S. 4, A. 3 S. 35, A.

12 Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Buch S Binomialverteilung Bernoulli-Ketten & Binomialverteilung Grundlagen Definitionen Ein Bernoulli-Experiment ist dadurch gekennzeichnet, dass es nur zwei zu unterscheidende Ausgänge hat. Wenn man ein solches Experiment n-mal wiederholt und dabei die Trefferwahrscheinlichkeit p immer gleich bleibt, hat man eine Bernoulli-Kette der Länge n. In einer Bernoulli-Kette können ja maximal n Treffer vorkommen. Wenn die Zufallsgröße X die Anzahl der Treffer ist, wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X als Binomialverteilung bezeichnet. Die Formel von Bernoulli Für eine Bernoulli-Kette legt man zunächst fest: n = Länge der Kette, also Anzahl der Versuche p = Trefferwahrscheinlichkeit k = Anzahl der Treffer Dann kann man die Wahrscheinlichkeit für k Treffer in dieser Kette mit der Bernoulli-Formel berechnen: Erwartungswert und Varianz n k k n k P(X = k) = B(n; p; k) = p ( p) Aufgrund der Regelmäßigkeit der Binomialverteilung sind Erwartungswert und Varianz sehr einfach zu berechnen. Herleitung: Siehe S. 53. Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Aufgaben Seitenbereich Aufgaben Zu erledigen bis Hinweise Grundlagenaufgaben Darstellung, Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung Dies und das Zwei Ausgänge, gleichbleibendes p! Mindestens, genau usw. sind relevante Wörter! 3 Bei c braucht man mal wieder eine Variable. 5 Otto = Sheldon. 8 Von Alfred Tetzlaff gab es früher eine Fernsehsendung. 7 Zu spät. Die NASA hat sie ins Museum gestellt. GeoGebra benutzen und ausdrucken gilt nicht. Geht schnell. 3 Ebenso. 4 Ein Extremalproblem? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einer Verspätung? 3 Gewissermaßen P(X=E(X)) 5 Auf das nicht achten und umformulieren! Ein paar Bildchen aus der reichhaltigen Office-Clipart-Galerie: µ = E(X) = n p V(X) = n p ( p) Kumulierte Binomialverteilung Häufig interessiert es nicht so sehr, wie groß die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer ist, sondern wie hoch die Wahrscheinlichkeit z.b. für höchstens k Treffer ist. Dann muss man die kumulierte Binomialverteilung benutzen: n k k i n i P(X k) = F(n; p; k) = B(n; p; i) = p ( p) i= 0 i= 0 i Der Klugscheißerspruch zum Abschluss: Es heißt Binomial, nicht Binominal. Binomialverteilung Binomialverteilung

13 Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Buch S. 60 bis 84 Beurteilende Statistik Die σ Umgebung der Erwartungswertes bei Bernoulli-Ketten Es ist für einen Versuchsdurchführenden bisweilen interessant zu wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich die Ergebnisse seines Versuches innerhalb einer bestimmten Umgebung um den Erwartungswert befinden. Auf Basis mannigfaltiger empirischer Erfahrungen hat sich herausgestellt, dass die folgenden Werte für Bernoulli-Ketten gute Orientierungen bieten und nahe an der Realität liegen. Unter der (Laplace-)Bedingung, dass σ = n p ( p) > 3 erfüllt ist, gilt: Bitte unbedingt Beispiele auf S. 68f lesen und begreifen! Bezeichnungen Beurteilende Statistik Die Werte von X (Anzahl Treffer) fallen zu etwa 68% ins Intervall [ µ σ ; µ + σ] 95,5% ins Intervall [ µ σ ; µ + σ] 99,7% ins Intervall [ µ 3 σ ; µ + 3 σ] Signifikante Abweichungen So bezeichnet man Abweichungen, die um mehr als das Doppelte der Standardabweichung (also σ) vom Erwartungswert abweichen. Hochsignifikante Abweichungen So bezeichnet man Abweichungen, die um mehr als das Dreifache der Standardabweichung (also 3σ ) vom Erwartungswert abweichen. Die n σ Umgebung der Trefferwahrscheinlichkeit Gilt auch nur für Bernoulli-Ketten. Genauso, wie man oben die Wahrscheinlichkeit dafür angeben konnte, dass sich die Trefferzahl in einem bestimmten Intervall, eben einer Sigma-Umgebung um den Erwartungswert, befindet, kann man jetzt auch eine Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass sich eine bestimmte relative Häufigkeit innerhalb einer bestimmten Sigma-Umgebung um die Trefferwahrscheinlichkeit herum befindet. Die Werte von X (relative Trefferhäufigkeit) fallen zu etwa n 68% ins Intervall σ σ [p ;p + ] Unter der (Laplace-)Bedingung, dass n n σ = n p ( p) > 3 erfüllt ist, gilt: σ σ 95,5% ins Intervall [p ;p + ] n n 3σ 3σ 99,7% ins Intervall [p ;p + ] n n Man kann sich schnell davon überzeugen, dass für diese Werte einfach die Werte aus der Tabelle ganz oben durch n geteilt wurden. Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Bernoulli-Gesetz der großen Zahlen Je größer bei einer Stichprobe n ist, desto kleiner werden bei gleichem p die Sigma-Umgebungen, 3σ 3σ z.b. [p ;p + ], in denen sich die relative Häufigkeit X um die Trefferwahrscheinlichkeit p befindet. Wie n n n X auf den Seiten 74f genauer ausgeführt, ergibt sich dadurch der Grenzwert limp p < ε = n n Diese Gleichung sagt nichts anderes, als dass die sich relative Häufigkeit bei sehr großem n der Wahrscheinlichkeit annähert. Das Gesetz ist der Grund, dass man z.b. aussagekräftige Umfrageresultate bei größeren Stichproben erhält. Tschebyschew sche Ungleichung für Bernoulli-Ketten Sie ergibt sich, indem man die gewöhnliche Tschebyschew-Gleichung durch n teilt. Es gilt entsprechend: Konfidenzintervalle P X p ε n 4nε Beurteilende Statistik c ε = n Begriff: Von lat. confidentia = Vertrauen. Manchmal ergibt sich die verdrießliche Situation, dass man gar nicht weiß, wie wahrscheinlich irgendetwas ist, z.b. wenn es um Einschaltquoten im Fernsehen geht. Niemand kann die tatsächlichen Zuschaueranteile einer Sendung messen, aber man kann auf Basis einer ausreichend großen Stichprobe Aussagen darüber machen, wie viele Menschen eine Sendung wahrscheinlich verfolgt haben. Man geht zusammengefasst so vor: Zunächst wählt man eine möglichst große Stichprobe und befragt die Menschen, ob sie z.b. das Fußballspiel am Dienstag gesehen haben. Es ergibt sich eine relative Häufigkeit X n. Nun weiß man, dass mit einer 99,7%-igen Wahrscheinlichkeit die ermittelte relative Häufigkeit X sich in einer n 3σ -Umgebung befinden um die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit p befinden muss. Also kann man um- n gekehrt auch sagen, dass sich die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit in einer 3 nσ -Umgebung um die relative Häufigkeit befinden muss. Das sich ergebende Intervall um die relative Häufigkeit herum ist das Konfidenzintervall. Aufgaben (verpflichtend) Seite, Übung Zu erledigen bis Seite, Übung Zu erledigen bis Sigma-Umgebung Sigma/n 66 G.D.g.Z Konfidenzintervalle

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