Linearisierung NTC - Fieberthermometer

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1 u_linearisierung_c.doc Linearisierung C - Fieberthermometer Ergänzungsart: echenübung mit Lösung. des Moduls: Unsicherheit und Fehler Stichwörter: Linearisierung, Linearitätsfehler, Parallelwiderstand, Emfindlichkeit, C, Zweiunkt-Linearisierung Zweck: Zielgrue: Autor: Ausgehend vom starken nichtlinearen Verhalten der Messcharakteristik die mit einer Änderung der Emfindlichkeit verbunden ist, werden die Linearitätsfehler des C berechnet. Ist ein eingeschränkter Messbereich gefordert, z.. für die Anwendung als Fieberthermometer, wird auch der Linearitätsfehler klein sein. Durch die Parallelschaltung eines konstanten Widerstandes kann der Linearitätsfehler noch deutlich reduziert werden. FH-Ing. Franz aumgartner Inhalt 1. Aufgabenstellung: Messcharakteristik C 1.1. Widerstandswert im Messbereich 1.. Linearitätsfehler des einfachen C 1.3. Emfindlichkeitsfehler des einfachen C 1.4. Linearisierung mit einem Parallelwiderstand. Lösungsweg: Messcharakteristik C.1. erechnung: Widerstandswert im Messbereich.. erechnung: Linearitätsfehler des einfachen C.3. erechnung: Emfindlichkeitsfehler des einfachen C.4. erechnung: Linearität mit einem Parallelwiderstand << Zur Liste aller Ergänzungen des Moduls Franz aumgartner / /. ov.

2 u_linearisierung_c.doc 1. Aufgabenstellung: Messcharakteristik C Ein C Widerstandssensor mit den Kenndaten 358 K und einem Widerstand von 5 1kΩ soll in einem Fieberthermometer mit dem Messbereich 35ºC bis 43ºC eingesetzt werden Widerstandswert im Messbereich Skizzieren sie die Messcharakteristik und ergänzen sie die Zahlenwerte in der nachfolgenden ab. 1. ab. 1: Kenndaten C emeratur [ºC] C ( [kω] Emfindlichkeit [%/K] relativ zu C ( 1.. Linearitätsfehler des einfachen C estimmen Sie den maximalen Linearitätsfehler des C in ºC. (Wahlweise Festunkt oder oleranzbandmethode 1.3. Emfindlichkeitsfehler des einfachen C estimmen Sie die relative Änderung der Emfindlichkeit an den beiden Grenzen des Messbereichs des C Linearisierung mit einem Parallelwiderstand estimmen Sie den maximalen Linearitätsfehler in ºC mit der Linearisierung durch einen Parallelwiderstand. (Wahlweise Festunkt oder oleranzbandmethode Franz aumgartner / /. ov.

3 u_linearisierung_c.doc. Lösungsweg: Messcharakteristik C Der Widerstandswert eines C Widerstandssensor errechnet sich aus den Kenndaten 358 K und einem Widerstand von 5 1kΩ nach der bekannten Formel e ( Gl. 1 und die Emfindlichkeit durch Ableitung von Gl. 1 nach der emeratur mit 1 1 G d ( d e ( Gl..1. erechnung: Widerstandswert im Messbereich Die errechneten Kenndaten sind in ab. 1 aufgeführt, wobei die oleranzen der Kennwerte von und nicht berücksichtigt wurden. (vgl. Fig. 1 Dabei kann die relative Emfindlichkeit entsrechend Gl. durch / bestimmt werden. ab. 1: Die Kenndaten des C folgen aus Gl. 1 und ( 98.15K für 5ºC emeratur [ºC] C ( [Ω] Emfindlichkeit relativ zu C ( [%/K] Emfindlichkeit absolut [Ω/K] % % % % erechnung: Linearitätsfehler des einfachen C estimmen Sie den maximalen Linearitätsfehler nach der Festunktmethode: Die Sollgerade geht durch den Widerstandswert von C am eginn (5ºC und am Ende (43ºC des Messbereichs. Der Linearitätsfehler ist dann die Abweichung dieser Gerade zur Gl. 1. Diese Abweichung verschwindet am eginn 1 und Ende des Messbereichs. Die maximale Abweichung, wird erfahrungsgemäss in der Mitte des Messbereichs m, hier bei 39ºC, entsrechend Gl. 3 auftreten. (Mathematisch exakt ist das Maximum dieses Linearitätsfehlers durch ullsetzen der ersten Ableitung zu bestimmen ( ( (m ( 1 Gl. 3 1 Die aus Gl. 3 erhaltene Differenz von 7.3 Ω lässt sich mit der absoluten Emfindlichkeit nach ab. 1 für die emeratur m in den Linearitätsfehler von.34ºc umrechnen. Dies stimmt gut mit der Sanne des Linearitätsfehlers nach der oleranzband-, Minimummethode nach Fig. 1 ein. Sie wurde durch Franz aumgartner / /. ov.

4 u_linearisierung_c.doc erechnung der linearen rendlinie in EXCEL und der Differenz zum Wert nach Gl. 1 errechnet. In Fig. 1 ist ersichtlich, dass die tyischen oleranzen der C Kennwerte hier.5% für und % für den Widerstand bei der eferenztemeratur, 5 eine mindestens so hohe Unsicherheit bei der absoluten emeraturmessung verursacht, wie der Linearitätsfehler. 1 C - emeraturunsicherheit Einfluss der oleranzen von und 5, C-y 41 von Philis, Jahr ntc(.5%,5-%.4. Lin Fehler ntc(.5%,5% ntc(358,51kohm ntc(-.5%,5-% ntc(-.5%,5% -1 emeratur in C Fig. 1 Linearitätsfehler nach der oleranzbandmethode (mit den Kennlinien für die Grenzen der C - auteilwerte von und 5.3. erechnung: Emfindlichkeitsfehler des einfachen C Die relative Änderung der Emfindlichkeit des C, an den beiden Grenzen des Messbereichs lässt sich direkt durch Differenzbildung aus der ab. 1 mit.19% erhalten. Die absolute Emfindlichkeit ändert von 5.3 Ω/K auf -19. Ω/K..4. erechnung: Linearität mit einem Parallelwiderstand Es lässt sich zeigen, dass der otimale Parallelwiderstand nach der Formel M (M Gl. 4 M bestimmt werden kann. Hier folgt für m bei 39ºC der Wert von 411 Ω. In Fig. ist ersichtlich, dass der dann der erhaltene Linearitätsfehler gegenüber den oleranzschwankungen der C Kennwerte von und 5 vernachlässigt werden kann. Den genauen Verlauf des Linearitätsfehlers nach der Festunktmethode (Zweiunkt Linearisierung - mittleren Emfindlichkeit von 3.6 Ω/K zeigt Fig. 3. Daraus kann ein maximaler Linearitätsfehler von kleiner.3ºc Ω ablesen werden, der nicht in der Mitte des Messbereichs Franz aumgartner / /. ov.

5 u_linearisierung_c.doc liegt. Wird also hier die Abweichung der Messcharakteristik von der Geraden in der Mitte des Messbereiches ermittelt, so liefert dies eine schwindend kleinen Fehler der nicht dem maximalen Linearitätsfehler im gesamten Messbereich entsricht. Es ist aber erneut zu beachten, dass der maximale Linearitätsfehler von wenigen mk kleiner als ein Prozent der Fehler durch die auteilschwankungen, Hersteller-oleranzen beträgt. Linearität C mit 411Ohm.8.6 ntc(.5%,5-%.4 Linearitätsfehler in C Maximaler Linearitätsfehler nur.3 C für ntc(358, 51kOhm ohne oleranzen ntc(-.5%,5% emeratur in Celsius Fig. Linearitätsfehler mit Parallelwiderstand nach der oleranzbandmethode (mit den Kennlinien für die Grenzen der C - auteilwerte von und 5 Linearitätsfehler C mit - Festunktmethode.3 Linearitätsfehler [C] emeratur [C] Fig. 3 Linearitätsfehler mit Parallelwiderstand nach der Festunktmethode (ominalwerte der C - Kennwerte von und 5 Franz aumgartner / /. ov.

6 u_linearisierung_c.doc Franz aumgartner / / / Projekt WM EH / Literaturverzeichnis: 1 -Sensordatenbank / / emeratursensoren Franz aumgartner / /. ov.

7 1 Linearisierung C mit Parallelwiderstand Ergänzungsart: Vertiefung: Herleitung des Moduls: Stichwörter: Zweck: Zielgrue: Autor: Unsicherheit und Fehler Parallelwiderstand, Wendeunkt, Linearisierung, C erechung des otimalen Parallelwiderstandes für einen C - emeratursensor. FH-Ing. Franz aumgartner Inhalt 1. Aufgabenstellung. Herleitung.1. Erste Ableitung.. Zweite Ableitung << Zur Liste aller Ergänzungen des Moduls 1. Aufgabenstellung Zu bestimmen ist der otimale Wert eines Parallelwiderstandes für einen C- emeratursensor, um den Linearitätsfehler minimal zu halten. Der C soll entsrechend dem bekannten Modell e ( Gl. 1 durch die drei Parameter, und beschrieben werden. Der Gesamtwiderstand G ( errechnet sich aus jenem von ( und dem gesuchten, der für unterschiedliche emeraturen konstant sei, wie folgt: G ( ( Gl. ( Hinweis: Der Parallelwiderstand ist so zu wählen, dass der Wendeunkt des Gesamtwiderstandes G in Funktion der emeratur in der Mitte des Messbereichs bei der emeratur M zu liegen kommt. F. aumgartner / / v_linearisierung_c_herleitung.doc

8 1. Herleitung Die gesuchte Funktion für lässt sich durch ullsetzen der zweiten Ableitung von G ( nach der emeratur erhalten..1. Erste Ableitung Mit der inneren Ableitung von ( nach Gl. 1 ( e d ( d 1 1 G Gl. 3 folgt für die Ableitung des Gesamtwiderstandes Gl. nach [ ] [ ] G ( d ( d Gl. 4 und weiter [ ] [ ] G ( ( d ( d Gl. 5.. Zweite Ableitung Die Forderung nach dem ullsetzen der zweiten Ableitung erlaubt es den konstanten temeraturunabhängigen Faktor in Gl. 5 zu eliminieren: [ ] G ( d d d ( d Gl. 6 Die ullstelle von Gl. 6 wird durch das ullsetzten des Zählerausdrucks der Ableitung erhalten, woraus folgt: [ ] [ ] ( ( ( Gl. 7 ach Kürzen von (( und Einsetzen von ` [ ] ( ( Gl. 8 und nach einer Zwischenumformung durch Kürzen von / ( Gl. 9 und nach Ausklammern von wird das Ergebnis zu M M M ( Gl. 1 wobei für die emeratur M, Mitte des Linearisierungsbereichs, gelte. F. aumgartner / / v_linearisierung_c_herleitung.doc