Formale Methoden III

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1 Formale Methoden III Grundlagen der Unifiionsgrammatik Christian Ebert Formale Methoden III,

2 Vorlesung: Donnerstag, Uhr, Raum C0-281 Christian Ebert Sprechstunde: Donnerstag, Uhr, Raum C6-214 Tutorien: Dienstag, Uhr, Raum C (20 Personen) Freitag, 9-10 Uhr, Raum C4-123 (45 Personen) Daniel Jettka Online: Nach jeder Vorlesung: Folien und neues Aufgabenblatt Abgabe der Aufgabenblätter: vor Beginn der nächsten Vorlesung Formale Methoden III,

3 Literatur Kai-Uwe Carstensen, Christian Ebert, Cornelia Endriss, Susanne Je, Ralf Klabunde, und Hagen Langer, (eds.) Computerlinguistik und Sprachtechnologie Eine Einführung. 2. Auflage. Elsevier, Kapitel 2.3 Graphen und Merkmalsstrukturen (von Peter Kolb) Kapitel 3.4 Syntax und Parsing (von Hagen Langer) Andreas Witt und Stefan Müller. Gundlagen für den Computereinsatz in der Linguistik: Attribute, Werte, Unifiion. In Horst M. Müller, editor, Arbeitsbuch Linguistik. Schöningh, Formale Methoden III,

4 Literatur Stuart M. Shieber. An Introduction to Unification-Based Approaches to Grammar, CSLI, Gerald Gazdar and Chris Mellish. Natural Language Processing in Prolog. Addison-Wesley, Wokingham, England, Mark Johnson. Attribute-Value Logic and the Theory of Grammar, CSLI, Carl Pollard und Ivan Sag. Head-Driven Phrase Structure Grammar., CSLI, Emily Bender, Ivan Sag und Thomas Wasow. Syntactic Theory: a Formal Introduction. 2. Auflage, CSLI, Formale Methoden III,

5 Unifiionsgrammatiken wozu eigentlich? Formale Methoden III,

6 I. Motivation Erinnerung: Kontextfreie Grammatiken Kontextfreie Grammatiken Eine kontextfreie Grammatik (KFG) G = N, T, P, S besteht aus 1. einer Menge von Nichtterminalsymbolen N, 2. einer Menge von Terminalsymbolen T, 3. einer Menge von Produktionsregeln P der Form A x 1... x n wobei A N ein Nichtterminal ist und x i (N T ) Nichtterminale oder Terminale sind, und 4. einem Startsymbol S N. Formale Methoden III,

7 I. Motivation Erinnerung: Kontextfreie Grammatiken Spielzeuggrammatik Nichtterminale: {S, NP, VP, Det, N, V } Terminale: { der, die, den, Hund, Hunde, Katze, Katzen, schnarcht, schnarchen, beisst, beissen } Produktionsregeln: { S NP VP, N Hund, NP Det N, N Hunde, VP V, N Katze, VP V NP, N Katzen, Det der, V schnarcht, Det die, V schnarchen, Det den, V beisst, V beissen } Startsymbol: S Formale Methoden III,

8 I. Motivation Erinnerung: Kontextfreie Grammatiken Die Spielzeuggrammatik erzeugt u.a. den Satz: S NP VP Det N V NP die Katze beisst Det N den Hund Und auch: die Hunde beissen den Hund die Katze schnarcht der Hund beisst die Katzen die Hunde schnarchen *die Katze beisst die Hund *die Hunde schnarcht *die Hunde beissen *die Katze schnarcht den Hund *der Katzen beisst *der Katzen schnarchen die Hund Formale Methoden III,

9 I. Motivation Erweiterung einer kontextfreien Grammatik Problem: Die Grammatik enthält keine Beschränkungen hinsichtlich... Kongruenz Innerhalb der NP kongruieren Artikel und Nomen bzgl. Numerus, Genus und Kasus. der sg, mask, nom Hund sg, mask, nom die pl, fem, akk Katzen pl, fem, akk *der sg, mask, nom *die sg, fem, nom Hunde pl, mask, nom Hund sg, mask, nom Die Subjekt-NP und das Verb kongruieren bzgl. Numerus. der Hund sg schnarcht sg *die Katzen pl schnarcht sg Formale Methoden III,

10 I. Motivation Erweiterung einer kontextfreien Grammatik Problem: Die Grammatik enthält keine Beschränkungen hinsichtlich... Subegorisierung Verben haben unterschiedliche Komplementanforderungen. Transitive Verben verlangen ein Objekt, intransitive nicht. der Hund schnarcht intrans die Katze beisst trans die Hunde *der Hund schnarcht intrans die Katze *die Katze beisst trans Kasusanforderungen an die Komplemente (in unserem Beispiel Akkusativ) inkl. dem Subjekt (Nominativ) *den Hund akk schnarcht *der Hund nom beisst der Hund nom Formale Methoden III,

11 I. Motivation Erweiterung einer kontextfreien Grammatik Lösungsidee: Stecke nötige Information in Nichtterminale und Regeln. Im Beispiel der Spielzeuggrammatik zunächst nur Unterscheidung von sg/pl fem/mask nom/akk trans/intrans (Numerus) (Genus) (Kasus) (Subegorisierung) Kongruenz in der NP. Statt des Nichtterminals N, neue Nichtterminale N sg,fem,nom N sg,fem,akk N pl,fem,nom N pl,fem,akk N sg,mask,nom N sg,mask,akk N pl,mask,nom N pl,mask,akk Formale Methoden III,

12 I. Motivation Erweiterung einer kontextfreien Grammatik Kongruenz in der NP. Dasselbe für Det Det sg,fem,nom Det sg,fem,akk Det pl,fem,nom Det pl,fem,akk Det sg,mask,nom Det sg,mask,akk Det pl,mask,nom Det pl,mask,akk Anpassung der lexikalischen Regeln für Det und N Det sg,fem,nom die, N sg,fem,nom Katze, Det sg,fem,akk die, N sg,fem,akk Katze, Det sg,mask,nom der, N sg,mask,nom Hund, Det sg,mask,akk den, N sg,mask,akk Hund, Det pl,fem,nom die, N pl,fem,nom Katzen, Det pl,fem,akk die, N pl,fem,akk Katzen, Det pl,mask,nom die, N pl,mask,nom Hunde, Det pl,mask,akk die, N pl,mask,akk Hunde, Formale Methoden III,

13 I. Motivation Erweiterung einer kontextfreien Grammatik Kongruenz in der NP. Anpassung der Regel(n): Statt NP Det N NP sg,nom Det sg,fem,nom N sg,fem,nom NP sg,akk Det sg,fem,akk N sg,fem,akk NP pl,nom Det pl,fem,nom N pl,fem,nom NP pl,akk Det pl,fem,akk N pl,fem,akk NP sg,nom Det sg,mask,nom N sg,mask,nom NP sg,akk Det sg,mask,akk N sg,mask,akk NP pl,nom Det pl,mask,nom N pl,mask,nom NP pl,akk Det pl,mask,akk N pl,mask,akk Damit ist die korrekte Behandlung der Kongruenz innerhalb der NP möglich, z.b. NP sg,nom NP pl,akk Det sg,fem,nom N sg,fem,nom Det pl,mask,akk N pl,mask,akk die Katze die Hunde Formale Methoden III,

14 I. Motivation Erweiterung einer kontextfreien Grammatik Kongruenz von Subjekt und V bzgl. Numerus und Subegorisierung. Statt des Nichtterminals V, neue Nichtterminale V sg,trans V pl,trans V sg,intrans V pl,intrans Anpassung der lexikalischen Regeln für V V sg,intrans schnarcht, V pl,intrans schnarchen, V sg,trans beisst, V pl,trans beissen Anpassung der Regel(n): Statt VP V und VP V NP VP sg V sg,intrans VP sg V sg,trans NP sg,akk VP pl V pl,trans NP sg,akk VP pl V pl,intrans VP sg V sg,trans NP pl,akk VP pl V pl,trans NP pl,akk Formale Methoden III,

15 I. Motivation Erweiterung einer kontextfreien Grammatik Kongruenz von Subjekt und V bzgl. Numerus und Subegorisierung. Schließlich Anpassung der Regel S NP VP S NP sg,nom VP sg S NP pl,nom VP pl Mit der geänderten Grammatik ist folgende Ableitung möglich S NP sg,nom VP sg Det sg,fem,nom N sg,fem,nom V sg,trans NP pl,akk die Katze beisst Det pl,mask,akk N pl,mask,akk die Hunde Wichtiger: Ungrammatische Sätze sind nicht mehr ableitbar! Formale Methoden III,

16 I. Motivation Probleme kontextfreier Grammatiken Probleme dieses Lösungsansatzes: Explosionsartiges Wachstum der Menge der Nichtterminale und Regeln: z.b.: aus der Regel NP Det N entstanden acht Regeln Es kommt noch schlimmer! Folgende Erweiterungen vorstellbar: Genus: neutrum (neut) Kasus: Dativ und Genitiv (dat, gen) weitere Subegorisierung der Verben: ditransitive Verben (z.b. geben), Satzkomplement-Verben (z.b. wissen), Infinitivkomplement- Verben (z.b. versuchen), etc. Adjektive, die auch innerhalb der NP mit Artikel und Nomen kongruieren, etc. Formale Methoden III,

17 I. Motivation Probleme kontextfreier Grammatiken Probleme dieses Lösungsansatzes: Nichtterminalsymbole bei KFGn haben keine innere Struktur, Umbenennung macht keinen Unterschied. S NP sg,nom VP sg S NP pl,nom VP pl VP sg V sg,intrans VP pl V pl,intrans VP sg V sg,trans NP sg,akk VP sg V sg,trans NP pl,akk VP pl V pl,trans NP sg,akk VP pl V pl,trans NP pl,akk NP sg,nom Det sg,fem,nom N sg,fem,nom NP sg,nom Det sg,mask,nom N sg,mask,nom NP sg,akk Det sg,fem,akk N sg,fem,akk NP sg,akk Det sg,mask,akk N sg,mask,akk NP pl,nom Det pl,fem,nom N pl,fem,nom NP pl,nom Det pl,mask,nom N pl,mask,nom NP pl,akk Det pl,fem,akk N pl,fem,akk NP pl,akk Det pl,mask,akk N pl,mask,akk Det sg,fem,nom die N sg,fem,nom Katze Det sg,fem,akk die N sg,fem,akk Katze Det sg,mask,nom der. N sg,mask,nom Hund. Formale Methoden III,

18 I. Motivation Probleme kontextfreier Grammatiken Probleme dieses Lösungsansatzes:... ist äquivalent zu... S B C S E D C F D G C H I C H J D K I D K J B L M B N O I P Q I R T E U V E W X J Y Z J Ä Ü L die M Katze P die Q Katze N. der O. Hund So sieht man: wichtige Information steckt nicht tatsächlich in der Grammatik, sondern nur in der Benennung der Nichttermiale. Formale Methoden III,

19 I. Motivation Probleme kontextfreier Grammatiken Probleme dieses Lösungsansatzes: Kategorienzugehörigkeit nicht ausgedrückt: N sg,fem,nom Katze M Katze N sg,mask,nom Hund O Hund Nicht ersichtlich: Katze und Hund gehören zur selben Kategorie Nomen. V sg,intrans schnarcht F schnarcht V sg,trans beisst H beisst Nicht ersichtlich: intransitive und transitive Verben sind Unteregorien (Subegorien) der Verben. Formale Methoden III,

20 I. Motivation Probleme kontextfreier Grammatiken Probleme dieses Lösungsansatzes: Erwünschte Generalisierungen nicht wirklich ausgedrückt: NP sg,nom Det sg,fem,nom N sg,fem,nom B L M NP sg,nom Det sg,mask,nom N sg,mask,nom B N O NP sg,akk Det sg,fem,akk N sg,fem,akk I P Q NP sg,akk Det sg,mask,akk N sg,mask,akk I R T Nicht ersichtlich: Determinierer und Nomen kongruieren. Fazit: Mittels kontextfreien Grammatiken lassen sich wichtige linguistische Eigenschaften und Generalisierungen nicht ausdrücken. = Unifiionsgrammatiken Formale Methoden III,

21 I. Motivation Probleme kontextfreier Grammatiken Merkmalsstrukturen Modelle der Unifikiationsgrammatik Formale Methoden III,

22 Einführung in Merkmalsstrukturen Merkmalsstrukturen Merkmalsstrukturen modellieren linguistische Objekte Die wichtigste Operation mit Merkmalsstrukturen ist die Unifiion (kommt später), daher der Name Mit Merkmalsstrukturen lassen sich Merkmale organisieren Beispiel: Das Nomen Katzen hat u.a. folgende Merkmale und Werte: Kategorie: Nomen Numerus: Plural Genus: Feminin Kasus: Nominativ... Formale Methoden III,

23 Einführung in Merkmalsstrukturen Merkmalsstrukturen werden beschrieben mittels Attribut-Wert-Matrizen Eine Attribut-Wert-Matrix die diese Merkmalsstruktur beschreibt ist die folgende: numerus pl genus fem kasus nom numerus, genus, kasus sind die Attribute und pl, fem, nom deren Werte Die Attribut-Wert-Matrix besteht aus den Attribut-Wert-Paaren... numerus, pl genus, fem kasus, nom... die einfach untereinander in eine Matrix geschrieben werden. Formale Methoden III,

24 Attribut-Wert-Matrizen beschreiben Merkmalsstrukturen modellieren linguistische Objekte numerus genus kasus pl fem Einführung in Merkmalsstrukturen nom Kategorie: Nomen... Numerus: Plural... Genus: Feminin Kasus: Nominativ. Katzen AVMs können unterspezifiziert hinsichtlich mancher Merkmale sein Formale Methoden III,

25 Einführung in Merkmalsstrukturen Attribute heissen auch... Features Merkmale Merkmalsstrukturen heissen auch... Feature Structures Attribut-Wert-Matrizen heissen auch... Attribute-Value-Matrices (AVM) Merkmalsstrukturen (!) Merkmalsstruktur und AWM werden oft synonym verwendet, obwohl AWMs nur Beschreibungen von Merkmalsstrukturen sind. Formale Methoden III,

26 Einführung in Merkmalsstrukturen Allgemeine Definition: Eine Attribut-Wert-Matrix ist eine (ungeordneten) Menge von Attribut- Wert-Paaren Die Werte können atomar sein, z.b. sg, pl, nom, akk, oder komplex, d.h. selbst wieder eine AVM Nicht-linguistisches Beispiel: Adressbucheintrag name Peter Meier strasse Blumenstr. 78 adresse plz ort Berlin telefon 030/ Formale Methoden III,

27 Einführung in Merkmalsstrukturen Detailierte Betrachtung der Attribut-Wert-Paare der AWM name Peter Meier strasse Blumenstr. 78 adresse plz ort Berlin telefon 030/ Merkmal: Wert: Typ: name Peter Meier atomar Formale Methoden III,

28 Einführung in Merkmalsstrukturen Detailierte Betrachtung der Attribut-Wert-Paare der AWM name Peter Meier strasse Blumenstr. 78 adresse plz ort Berlin telefon 030/ Merkmal: Wert: Typ: adresse strasse Blumenstr. 78 plz ort Berlin komplex Formale Methoden III,

29 Einführung in Merkmalsstrukturen Detailierte Betrachtung der Attribut-Wert-Paare der AWM name Peter Meier strasse Blumenstr. 78 adresse plz ort Berlin telefon 030/ Merkmal: telefon Wert: 030/ Typ: atomar Formale Methoden III,

30 Einführung in Merkmalsstrukturen Detailierte Betrachtung der Attribut-Wert-Paare der AWM name Peter Meier strasse Blumenstr. 78 adresse plz ort Berlin telefon 030/ Für die Teilstruktur strasse Blumenstr. 78 plz ort Berlin Merkmal: strasse Wert: Blumenstr. 78 Typ: atomar Formale Methoden III,

31 Einführung in Merkmalsstrukturen Detailierte Betrachtung der Attribut-Wert-Paare der AWM name Peter Meier strasse Blumenstr. 78 adresse plz ort Berlin telefon 030/ Für die Teilstruktur strasse Blumenstr. 78 plz ort Berlin Merkmal: plz Wert: Typ: atomar Formale Methoden III,

32 Einführung in Merkmalsstrukturen Detailierte Betrachtung der Attribut-Wert-Paare der AWM name Peter Meier strasse Blumenstr. 78 adresse plz ort Berlin telefon 030/ Für die Teilstruktur strasse Blumenstr. 78 plz ort Berlin Merkmal: Wert: Typ: ort Berlin atomar Formale Methoden III,

33 Einführung in Merkmalsstrukturen Merke: Die Attribut-Wert-Paare sind ungeordnet. Reihenfolge in der Matrixschreibweise spielt keine Rolle, z.b. name Peter Meier strasse Blumenstr. 78 adresse plz ort Berlin telefon 030/ ort Berlin adresse plz strasse Blumenstr. 78 telefon 030/ name Peter Meier Formale Methoden III,

34 Einführung in Merkmalsstrukturen Linguistisches Beispiel: Zusammenfassung der Kongruenzmerkmale unter neuem Merkmal kgr Neues Merkmal für die Kategorie eines Ausdrucks kgr N Hund bellt der numerus genus kasus sg mask nom kgr V h numerus sg 3 i kgr Det numerus genus kasus sg mask nom Formale Methoden III,

35 Einführung in Merkmalsstrukturen Weiteres Linguistisches Beispiel: HPSG AWM für Peter schläft phon Peter schläft synsem local cat " head 1 verb subcat # cont 3 " reln sleep sleeper 2 # dtrs head-dtr phon schläft synsem local cat 2 4 head 1 subcat D 4 E 3 5 cont comp-dtr phon Peter synsem local cat " head noun subcat # cont " index 2 " num sing gend masc ## AWMs können ganz schön groß werden... Formale Methoden III,

36 Merkmalsstrukturen als Graphen Merkmalsstrukturen als Graphen Ein Graph ist ein Paar V, E bestehend aus 1. einer Menge von Knoten (engl. vertex/vertices) V und 2. einer Menge von Kanten (engl. edges) E. Jede Kante ist ein ungeordnetes Paar (v 1, v 2 ) von Knoten. Beispiel: Bielefeld und Restdeutschland V = {Bielefeld, Berlin, Frankfurt, Hamburg, München} E = {(Bielefeld, Hamburg), (Bielefeld, Berlin), (Bielefeld, Frankfurt), (Bielefeld, München) } Formale Methoden III,

37 Merkmalsstrukturen als Graphen Grafische Darstellung: Bielefeld 270 Hamburg 400 Berlin 320 Frankfurt 620 München Kanten (und damit der Graph) können auch etikettiert (markiert) sein Formale Methoden III,

38 Merkmalsstrukturen als Graphen und abreise/uebersichtsplaene/ Formale Methoden III,

39 Merkmalsstrukturen als Graphen Gerichtete Graphen: Kanten sind geordnete Paare v 1, v 2 von Knoten d.h. Kanten haben eine Richtung Beispiel: Straßennetz der Bielefelder Innenstadt V = { x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x 10, x 11, x 12, x 13, x 14, x 15 } E = { x 1, x 3, x 2, x 1, x 2, x 3, x 3, x 2, x 3, x 4, x 4, x 6, x 4, x 7, x 5, x 2, x 5, x 9, x 6, x 4, x 6, x 5, x 7, x 4, x 7, x 8, x 7, x 10, x 8, x 6, x 8, x 7, x 8, x 9, x 8, x 11, x 9, x 8, x 9, x 11, x 10, x 7, x 11, x 8, x 11, x 13, x 12, x 11, x 13, x 11, x 13, x 14, x 15, x 13 } Formale Methoden III,

40 Merkmalsstrukturen als Graphen Grafische Darstellung: x 9 Mauerstr. x 5 Ritterstr. x 6 x 2 x 15 Klosterstr. x 8 Ritterstr. Niedernstr. Renteistr. x 14 x 13 Klasingstr. x 11 x 10 x 7 Hagenbruchstr. x 4 x 3 Altstädter Kirchplatz x 1 x 12 Knoten Kreuzung Kante Straße in dieser Richtung befahrbar Formale Methoden III,

41 Merkmalsstrukturen als Graphen Ein Pfad ist eine Reihe von Knoten, die durch Kanten verbunden sind. z.b. x 1, x 3, x 4, x 7, x 8, x 6, x 5, x 9, x 8, x 11, x 13 x 9 x 5 x 6 x 2 x 15 x 8 x 14 x 13 x 11 x 10 x 7 x 4 x 3 x 1 x 12 Beobachtung: x 8 wird zweimal durchlaufen Formale Methoden III,

42 Merkmalsstrukturen als Graphen Ein Graph ist azyklisch wenn es keinen Pfad gibt, in dem Knoten mehrfach vorkommen. Innenstadtgraph nicht azyklisch (x 8 kam zweimal im Pfad vor). Eine azyklische Variante des Innenstadtgraphen: x 9 x 5 x 6 x 2 x 15 x 8 x 14 x 13 x 11 x 10 x 7 x 4 x 3 x 1 x 12 Formale Methoden III,

43 Merkmalsstrukturen als Graphen Merkmalsstrukturen können als etikettierte, gerichtete, azyklische Graphen verstanden werden: Attribute etikettierte Kanten Werte Knoten Prozedur zur Bestimmung der minimalen Merkmalsstruktur, die eine AWM beschreibt: 1. Weise der AWM einen Knoten zu. 2. Weise jedem Wert in der AWM einen Knoten zu. 3. Definiere eine Kante zwischen dem Knoten der AWM und jedem Knoten eines Wertes und etikettiere sie mit dem entsprechenden Attribut. Bei komplexen Werten, wende dieselbe Prozedur für die Wert-AWM an Formale Methoden III,

44 Merkmalsstrukturen als Graphen einfaches Beispiel: numerus genus kasus pl fem nom Prozedur: Formale Methoden III,

45 Merkmalsstrukturen als Graphen einfaches Beispiel: numerus genus kasus pl fem nom Prozedur: 1. Weise der AWM einen Knoten zu. Formale Methoden III,

46 Merkmalsstrukturen als Graphen einfaches Beispiel: numerus genus kasus Prozedur: pl fem nom pl fem nom 1. Weise der AWM einen Knoten zu. 2. Weise jedem Wert in der AWM einen Knoten zu. Formale Methoden III,

47 Merkmalsstrukturen als Graphen einfaches Beispiel: numerus genus kasus pl fem nom numerus kasus genus pl fem nom Prozedur: 1. Weise der AWM einen Knoten zu. 2. Weise jedem Wert in der AWM einen Knoten zu. 3. Definiere eine Kante zwischen dem Knoten der AWM und jedem Knoten eines Wertes und etikettiere sie mit dem entsprechenden Attribut. Formale Methoden III,

48 Merkmalsstrukturen als Graphen komplexeres Beispiel: kgr N numerus genus kasus pl fem nom Prozedur: 1. Weise der AWM einen Knoten zu. Formale Methoden III,

49 Merkmalsstrukturen als Graphen komplexeres Beispiel: kgr N numerus genus kasus pl fem nom N Prozedur: 1. Weise der AWM einen Knoten zu. 2. Weise jedem Wert in der AWM einen Knoten zu. Formale Methoden III,

50 Merkmalsstrukturen als Graphen komplexeres Beispiel: kgr N numerus genus kasus pl fem nom kgr N Prozedur: 1. Weise der AWM einen Knoten zu. 2. Weise jedem Wert in der AWM einen Knoten zu. 3. Definiere eine Kante zwischen dem Knoten der AWM und jedem Knoten eines Wertes und etikettiere sie mit dem entsprechenden Attribut. Formale Methoden III,

51 Merkmalsstrukturen als Graphen komplexeres Beispiel: kgr N numerus genus kasus pl fem nom kgr N Wiederhole Prozedur für komplexen Wert: Formale Methoden III,

52 Merkmalsstrukturen als Graphen komplexeres Beispiel: kgr N numerus genus kasus pl fem nom kgr N Wiederhole Prozedur für komplexen Wert: 1. Weise der AWM einen Knoten zu. Formale Methoden III,

53 Merkmalsstrukturen als Graphen komplexeres Beispiel: N numerus pl kgr genus fem kasus nom kgr Wiederhole Prozedur für komplexen Wert: 1. Weise der AWM einen Knoten zu. 2. Weise jedem Wert in der AWM einen Knoten zu. N pl fem nom Formale Methoden III,

54 Merkmalsstrukturen als Graphen komplexeres Beispiel: kgr N numerus genus kasus pl fem nom Wiederhole Prozedur für komplexen Wert: 1. Weise der AWM einen Knoten zu. kgr 2. Weise jedem Wert in der AWM einen Knoten zu. N numerus kasus genus pl fem nom 3. Definiere eine Kante zwischen dem Knoten der AWM und jedem Knoten eines Wertes und etikettiere sie mit dem entsprechenden Attribut. Formale Methoden III,

55 Merkmalsstrukturen als Graphen Abkürzende Schreibweise für Pfade in Merkmalsstrukturen Attribute werden durch getrennt aufgelistet Beispiel: kgr N numerus genus kasus kgr genus pl fem nom Platzsparend bei komplexen AWMs " phon Peter synsem local cat head noun # kgr phon synsem Peter " local N cat numerus kasus genus h head noun pl fem nom 3 i # 7 5 Formale Methoden III,

56 Koreferenz Koreferente Attribute Erinnerung: Kongruenz zwischen Det und N innerhalb der NP anders formuliert: Det und N haben dieselben Werte bei den Kongruenzmerkmalen Modelliere dieser Generalisierung in den Merkmalsstrukturen für NPen: Kategorienmerkmal mit Wert NP Merkmal dtr1 für die erste Tochter (den Determinierer) Merkmal dtr2 für die zweite Tochter (das Nomen) Zusätzliche Information, dass kgr von dtr1 und kgr von dtr2 denselben Wert haben Formale Methoden III,

57 Koreferenz dtr1 dtr2 die Katze NP Det numerus kgr 1 genus kasus N kgr 1 sg fem nom 1 nennt man einen Index (oder auch engl. tag) Ein Index ist wie eine Variable, die auf einen Wert referiert. Die beiden Vorkommen von 1 zeigen an, dass sich die beiden kgr Merkmale von dtr1 und dtr2 denselben Wert teilen (ko-referieren). Formale Methoden III,

58 Koreferenz Koreferenz im Graphen NP dtr1 dtr2 NP kgr 1 " N kgr 1 Det # numerus genus kasus sg fem nom dtr1 kgr dtr2 kgr Det numerus N genus kasus sg fem nom Die beiden kgr Kanten gehen zum selben Knoten (und damit Teilgraphen) Die beiden kgr Merkmale teilen sich denselben Wert Formale Methoden III,

59 Koreferenz Anders als bei Merkmalsstrukturen mit gleichen Werten dtr1 dtr2 NP kgr kgr Det N numerus genus kasus numerus genus kasus sg fem nom sg fem nom dtr1 Die beiden kgr Kanten gehen zu identischen Teilgraphen dtr2 NP kgr kgr Die beiden kgr Merkmale haben die gleichen Werte Det numerus N genus kasus numerus genus kasus sg fem nom sg nom fem Formale Methoden III,

60 Koreferenz Koreferenz lässt sich auch durch Pfadgleichungen ausdrücken dtr1 dtr2 NP Det numerus kgr 1 genus kasus N kgr 1 sg fem nom Zugehörige Pfadgleichung: dtr1 kgr = dtr2 kgr Formale Methoden III,

61 Koreferenz Erweiterung des Beispiels: auch NPen tragen Kongruenzinformation Notwendig wegen Kongruenz bzgl. Numerus zwischen Subjekts-NP und VP Numerus einer NP wird durch den Kopf der Phrase (hier: N) bestimmt. NP kgr numerus 2 Det dtr1 kgr 1 N dtr2 numerus 2 sg kgr 1 genus fem kasus nom Formale Methoden III,

62 Koreferenz Die vorige Struktur erfüllt gleichzeitig zwei Pfadgleichungen: dtr1 kgr = dtr2 kgr kgr numerus = dtr2 kgr numerus Andere Option: NP erbt die gesamten Kongruenzmerkmale des Kopfes dtr1 kgr = dtr2 kgr kgr = dtr2 kgr Diese Informationsteilung mittels koreferenten Attributen ist ein zentraler Bestandteil von Unifiionsgrammatiken Charakteristisch für die Head-Driven Phrase Structure Grammar (HPSG): Kopfmerkmale bestimmen die Merkmale der Phrase ( später) Formale Methoden III,

63 Koreferenz In diesem Zusammenhang auch häufig benutzter Begriff: Reentranz von engl. reentrancy (etwa: Wiedereintrittsfähigkeit) ein Wert (d.h. ein Knoten) wird mehr als einmal betreten (d.h. benutzt) Folgende Begriffe sind auch gebräuchlich: reentrante Attribute/Merkmalsstrukturen koreferente Attribute koindizierte Attribute structure sharing Formale Methoden III,

64 Subsumtion und Ordnungen Subsumtion und Ordnungen AVMs beschreiben Merkmalsstrukturen Merkmalsstrukturen modellieren linguistische Objekte z.b. beschreibt A 1 alle Merkmalsstrukturen, die Nomen modellieren A 1 = A 2 beschreibt alle Merkmalsstrukturen, die Nomen mit Kasus Nominativ modellieren A 2 = kgr kasus N N nom Formale Methoden III,

65 Subsumtion und Ordnungen A 3 beschreibt alle Merkmalsstrukturen, die Nomen mit Kasus Nominativ und Genus maskulin modellieren A 3 = kgr N genus kasus mask nom Hunde Hund Stuhl Bälle Stühle Ball Katze Katzen Haus Häuser Tante Tanten Hunden Hundes Haus Häusern Tante Tanten A 3 A 2 A 1 Formale Methoden III,

66 Subsumtion und Ordnungen Allgemein: Eine AWM beschreibt eine Menge von Merkmalsstrukturen Information näher spezifizieren Hinzufügen von zusätzlichen Attribut-Wert-Paaren Menge wird eingeschränkt Andersrum ausgedrückt: Attribut-Wert-Matrizen erlauben Unterspezifiion durch Weglassen von Informationen, z.b. ist kgr N " genus mask kasus nom 3 # 7 5 unterspezifiert bzgl. Numerus Formale Methoden III,

67 Subsumtion und Ordnungen Attribut-Wert-Matrizen lassen sich nach Informationsgehalt ordnen A subsumiert A wenn A mindestens so informativ wie A ist Formale Schreibweise: A A Beispiel: N kgr kasus N nom kgr N genus kasus mask nom Beziehung Subsumtion/beschriebene Mengen: A A von A beschriebene MS von A beschriebene MS Formale Methoden III,

68 Subsumtion und Ordnungen Formale Definition der Subsumtion: A subsumiert A genau dann, wenn folgendes gilt: Jedes Attribut in A ist auch in A vorhanden und ist der Wert in A atomar, so hat das Attribut denselben Wert in A ist der Wert in A komplex, so subsumiert er den Wert in A Koreferente Attribute/Pfade in M sind auch koreferent in A. Formale Methoden III,

69 Beispiel: NP kgr 1 numerus N dtr2 kgr 1 pl NP numerus kgr 1 genus kasus Det dtr1 kgr 1 N dtr2 kgr 1 Subsumtion und Ordnungen pl fem akk Formale Methoden III,

70 Beispiel: NP kgr 1 numerus N dtr2 kgr 1 pl NP numerus kgr 1 genus kasus Det dtr1 kgr 1 N dtr2 kgr 1 Subsumtion und Ordnungen pl fem akk Jedes Attribut in A ist auch in A vorhanden und Formale Methoden III,

71 Beispiel: NP kgr 1 numerus N dtr2 kgr 1 pl NP numerus kgr 1 genus kasus Det dtr1 kgr 1 N dtr2 kgr 1 Subsumtion und Ordnungen pl fem akk Jedes Attribut in A ist auch in A vorhanden und ist der Wert in A atomar, so hat das Attribut denselben Wert in A Formale Methoden III,

72 Beispiel: NP kgr 1 numerus N dtr2 kgr 1 pl NP numerus kgr 1 genus kasus Det dtr1 kgr 1 N dtr2 kgr 1 Subsumtion und Ordnungen pl fem akk Jedes Attribut in A ist auch in A vorhanden und ist der Wert in A atomar, so hat das Attribut denselben Wert in A ist der Wert in A komplex, so subsumiert er den Wert in A Formale Methoden III,

73 Beispiel: NP kgr 1 numerus N dtr2 kgr 1 pl NP numerus kgr 1 genus kasus Det dtr1 kgr 1 N dtr2 kgr 1 Subsumtion und Ordnungen pl fem akk Jedes Attribut in A ist auch in A vorhanden und ist der Wert in A atomar, so hat das Attribut denselben Wert in A ist der Wert in A komplex, so subsumiert er den Wert in A Formale Methoden III,

74 Beispiel: NP kgr 1 numerus N dtr2 kgr 1 pl NP numerus kgr 1 genus kasus Det dtr1 kgr 1 N dtr2 kgr 1 Subsumtion und Ordnungen pl fem akk Jedes Attribut in A ist auch in A vorhanden und ist der Wert in A atomar, so hat das Attribut denselben Wert in A ist der Wert in A komplex, so subsumiert er den Wert in A Koreferente Attribute/Pfade in A sind auch koreferent in A. Formale Methoden III,

75 Subsumtion und Ordnungen Weitere Beispiele: kgr genus N mask N E Jedes Attribut in A ist auch in A vorhanden genus mask genus fem E ist der Wert in A atomar, so hat das Attribut denselben Wert in A kgr genus mask kgr genus fem E ist der Wert in A komplex, so subsumiert er den Wert in A Formale Methoden III,

76 Subsumtion und Ordnungen Weitere Beispiele: NP dtr1 kgr 1 dtr2 kgr 1 genus mask NP dtr1 kgr dtr2 kgr genus genus mask mask E Koreferente Attribute/Pfade in A sind auch koreferent in A Aber: NP dtr1 kgr dtr2 kgr genus genus mask mask NP dtr1 kgr 1 dtr2 kgr 1 genus mask Formale Methoden III,

77 Subsumtion und Ordnungen Relationen und Ordnungen Eine Relation R über einer Menge D ist eine Menge von geordneten Paaren von Elementen aus D R D D Beispiel: Grundmenge Menge der natürlichen Zahlen (also D = N) Relation T Menge von Zahlenpaaren, z.b. { n, m n ist ein Teiler von m} = { 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 4, 2, 4,...} 8, 128 T oder in Infix-Notation: 8 T 128 (vgl. 8 teilt 128 ) Formale Methoden III,

78 Subsumtion und Ordnungen Relationen und Ordnungen Weitere Beispiele: gerichteter Graph V, E : Kantenmenge E ist Relation über V. die leere Relation die Allrelation D D (kein Paar) (alle Paare) die Identitätsrelation id D = { x, x x D} Formale Methoden III,

79 Subsumtion und Ordnungen Relationen und Ordnungen Eine Relation R heisst... reflexiv, falls für alle x D : xrx (alle x stehen zu sich selbst in Relation) irreflexiv, falls für kein x D : xrx (kein x steht zu sich selbst in Relation) Beispiel: Teilbarkeitsrelation T ist reflexiv (jede Zahl teilt sich selbst) 1 T 1, 2 T 2, 3 T 3, 4 T 4, 5 T 5, 6 T 6,... Damit enhält T die Identitätsrelation: id D T Formale Methoden III,

80 Subsumtion und Ordnungen Relationen und Ordnungen Eine Relation R heisst... symmetrisch, falls gilt: xry gdw. yrx (mit jedem Paar ist auch das umgekehrte Paar in der Relation) asymmetrisch, falls gilt: ist xry, dann ist nicht yrx (zu jedem Paar ist das umgekehrte Paar nicht in der Relation) antisymmetrisch, falls gilt: ist xr y und yr x so ist x = y (es gibt keine echt symmetrischen Paare) Beispiel: Teilbarkeitsrelation T ist antisymmetrisch: Nimm zwei Zahlen n, m N. Angenommen nt m (n teilt m) und mt n (m teilt n) dann muss n = m sein, d.h. man hat es mit derselben Zahl zu tun. Formale Methoden III,

81 Subsumtion und Ordnungen Relationen und Ordnungen Eine Relation R heisst... transitiv, falls gilt: ist xry und yr z so ist xrz (die Relation pflanzt sich fort ) Beispiel: Teilbarkeitsrelation T ist transitiv: Nimm drei Zahlen n, m, k N. Angenommen nt m (n teilt m) und mt k (m teilt k) dann teilt n auch k, d.h. nt k. z.b. 4 T 8 und 8 T 32 und wegen Transitivität auch 4 T 32. Formale Methoden III,

82 Subsumtion und Ordnungen Relationen und Ordnungen Eine Relation R heisst... total (konnex, linear), falls für x, y D gilt: xry oder yr x (es gibt kein Paar von Elementen, die nicht irgendwie zueinander in Relation stehen) sonst partiell. Beispiel: Teilbarkeitsrelation T ist partiell: Für 3 und 5 gilt beispielsweise weder 3 T 5 noch 5 T 3. Formale Methoden III,

83 Subsumtion und Ordnungen Relationen und Ordnungen Man unterscheidet folgende Spezialfälle: (schwache) Ordnungen sind die reflexiven, antisymmetrischen und transitiven Relationen starke/strikte Ordnungen sind die irreflexiven, asymmetrischen und transitiven Relationen Äquivalenzrelationen sind die reflexiven, symmetrischen und transitiven Relationen Ist eine Ordnung über D nennt man D, eine geordnete Menge Formale Methoden III,

84 Subsumtion und Ordnungen Beispiele: Relationen und Ordnungen Die Teilbarkeitsrelation T ist eine partielle schwache Ordnung kleiner-gleich Relation über N ist totale schwache Ordnung Reflexivität: n n z.b. 4 4, 42 42, etc. Antisymmetrie: n m und m n n = m Transitivität: n m und m k n k, Totalität: z.b und und damit 4 45 für n, m N gilt n m oder m n (oder beides) Entsprechend: größer-gleich über N ist totale schwache Ordnung Formale Methoden III,

85 Subsumtion und Ordnungen Relationen und Ordnungen Beispiele: Betrachte Potenzmenge (X) einer Menge X z.b. X = {a, b, c,..., z} Menge der deutschen Kleinbuchstaben Teilmengenrelation über (X) ist partielle schwache Ordnung Reflexivität: Antisymmetrie: S S z.b. {c, h, j, f, t} {c, h, j, f, t},, etc. S T und T S S = T Transitivität: S T und T U S U, Partialität: z.b. {e, x} {e, x, r} und {e, x, r} {e, x, r, d} und damit {e, x} {e, x, r, d} es gibt S, T für die weder S T noch T S gilt z.b. {k, l, y} {k, m, b} und {k, m, b} {k, l, y} Formale Methoden III,

86 Subsumtion und Ordnungen Beispiele: Relationen und Ordnungen Die kleiner Relation < über N ist eine totale strikte Ordnung Irreflexivität: Asymmetrie: für kein n N: n < n z.b. gilt nicht: 4 < 4, 42 < 42, etc. Wenn n < m dann nicht m < n z.b. 5 < 8 und damit nicht 8 < 5 Transitivität: n < m und m < k n < k, Totalität: z.b. 4 < 37 und 37 < 45 und damit 4 < 45 für n, m N gilt n < m oder m < n Entsprechend: größer > über N ist totale strikte Ordnung Formale Methoden III,

87 Subsumtion und Ordnungen Beispiele: Relationen und Ordnungen Die Relation hat dieselbe Schuhgröße über der Menge der Menschen ist eine Äquivalenzrelation Schreibe xsy für: x hat dieselbe Schuhgröße wie y Reflexivität: Symmetrie: Transitivität: Totalität: xsx Jeder Mensch hat dieselbe Schuhgröße wie er selbst xsy ysx Hat x dieselbe Schuhgröße wie y, so hat auch y dieselbe Schuhgröße wie x xsy und ysz xsz, Hat x dieselbe Schuhgröße wie y und hat y dieselbe Schuhgröße wie z, dann hat auch x dieselbe Schuhgröße wie z uninteressant bei symmetrischen Relationen: S total gdw. S ist Allrelation Formale Methoden III,

88 Subsumtion und Ordnungen Relationen und Ordnungen Ordnungen lassen sich mittels Hasse-Diagrammen grafisch darstellen Gilt xry, zeichne x unterhalb von y und verbinde beide mit einer Kante Lasse reflexive und transitive Kanten weg Beispiel: Teilbarkeitsrelation {1,..., 12}, T Formale Methoden III,

89 Subsumtion und Ordnungen Beispiel: Hasse-Diagramm für ({a, b, c}), {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} Formale Methoden III,

90 Subsumtion und Ordnungen Eigenschaften der Subsumtionsrelation Subsumtion ist eine Relation über der Menge A der AWMs Jede Merkmalsstruktur subsumiert sich selbst (A A) N N genus mask kgr genus kgr kasus nom kasus mask nom Subsumtion ist reflexiv Wenn A A und A A, dann A = A Subsumtion is antisymmetrisch Formale Methoden III,

91 Subsumtion und Ordnungen Eigenschaften der Subsumtionsrelation Wenn A A und A A, dann A A kasus nom Es gilt kasus nom genus fem kasus kasus nom und genus genus fem numerus und deshalb auch Subsumtion ist transitiv kasus nom nom fem sg kasus genus numerus nom fem sg Formale Methoden III,

92 Subsumtion und Ordnungen Eigenschaften der Subsumtionsrelation Vergleiche N und Det Es gilt weder N Det noch Det N Subsumtion ist partiell Subsumtionsrelations ist reflexiv, antisymmetrisch, transitiv, partiell Subsumtion ist eine partielle schwache Ordnung Konvention: man versteht im Sinne von größer-gleich im Hasse-Diagramm: A B gdw. A oberhalb von B Entsprechendes kleiner-gleich : B A gdw. A B Formale Methoden III,

93 Subsumtion und Ordnungen Ausschnitt aus Hasse-Diagramm von A, kgr genus mask N kgr kasus akk N kgr genus mask kgr genus kasus mask akk N kgr kasus akk kgr N genus kasus mask akk Formale Methoden III,

94 Unifiion und Verbände Unifiion und Verbände Wichtigste Operation auf AWMn: Kombination der Information A 1 = N beschreibt MSn von Nomen A 2 = kgr genus mask beschreibt MSn von maskulinen linguistischen Objekten Kombinierte Information: A 3 = N kgr genus mask beschreibt MSn von maskulinen Nomen Formale Methoden III,

95 Unifiion und Verbände Diese Operation der Informationskombination heißt Unifiion Im Beispiel oben: A 3 ist das Ergebnis der Unifiion von A 1 und A 2 Schreibweise: A 3 = A 1 A 2 Also: Unifiion ist eine zweistellige Operation auf AWMn Versuch einer Definition: Gegeben: zwei AWMs A und B. Gesucht: AWM C, die die Information von A und B enthält d.h. C ist mindestens so informativ wie A und gleichzeitig ist C mindestens so informativ wie B Formale Methoden III,

96 Unifiion und Verbände Anders gesagt: A subsumiert C ( A C bzw. C A ) und B subsumiert C ( B C bzw. C B ) Definitionsversuch: A B = die AWM, die von A und B subsumiert wird?? Problem hiermit: es gibt mehrere AWMn, die die Definition erfüllen. Formale Methoden III,

97 Unifiion und Verbände kgr genus mask N kgr kasus akk N kgr genus mask kgr genus kasus mask akk N kgr kasus akk kgr N genus kasus mask akk... Formale Methoden III,

98 Unifiion und Verbände Informelle Definition: A B = die informationsärmste AWM, die von A und B subsumiert wird Also: A subsumiert C B subsumiert C ( A C bzw. C A ) und ( B C bzw. C B ) und alle anderen AWMs die von A und B subsumiert werden, werden von C subsumiert Formaler: A B = die AWM C für die gilt 1. C A und C B, und 2. für alle D für die D A und D B, gilt D C Formale Methoden III,

99 Unifiion und Verbände Beispiele: kgr N genus kasus fem nom kgr N kasus numerus nom sg = kgr N genus kasus numerus fem nom sg Formale Methoden III,

100 Unifiion und Verbände Beispiele: NP dtr1 kgr 1 dtr2 kgr 1 genus fem dtr2 kgr N kasus numerus nom sg = dtr1 dtr2 NP kasus kgr 1 genus numerus N kgr 1 nom fem sg Formale Methoden III,

101 Unifiion und Verbände Beispiele: Betrachte N kgr N kasus genus nom fem N kgr N kasus genus nom = fem kgr N kasus genus nom fem Allgemein: wenn A B dann A B = B Formale Methoden III,

102 Unifiion und Verbände Unifiion klappt nicht bei inkompatibler Information gesucht: C = N Det Wegen Wegen N C Det C C muss AW-Paar, N enthalten C muss AW-Paar, Det enthalten } E Die Unifiion schlägt fehl Definiere eine unmögliche AWM Bei fehlschlagender Unifiion: N Det = Jetzt gibt es zu zwei AWMn A und B immer eine AWM C mit A B = C Formale Methoden III,

103 Unifiion und Verbände Untere Schranken in Ordnungen Gegeben eine geordnete Menge D, Definitionen: c ist eine untere Schranke von x und y, wenn c x und c y c ist die größte untere Schranke bzw. das Infimum von x und y wenn c eine untere Schranke von x und y ist, und für jede andere untere Schranke d gilt: d c Schreibe inf(x, y) für das Infimum von x und y Formale Methoden III,

104 Unifiion und Verbände Beispiele: ({a, b, c}), {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} Formale Methoden III,

105 Unifiion und Verbände Beispiele: ({a, b, c}), {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} inf({a, b}, {b, c}) = {b} Formale Methoden III,

106 Unifiion und Verbände Beispiele: ({a, b, c}), {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} inf({a, b}, {c}) = Formale Methoden III,

107 Unifiion und Verbände Beispiele: ({a, b, c}), {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} inf({a, b, c}, {b, c}) = {b, c} Für (X), : inf(a, B) = A B Formale Methoden III,

108 Unifiion und Verbände Beispiele: N, T Untere Schranken von 18 und 30 bzgl. der Teilbarkeitsrelation T über N: c ist untere Schranke von 18 und 30 wenn c T 18 und c T 30 (d.h. c teilt sowohl 18 als auch 30) untere Schranken von 18 und 30 sind 1, 2, 3 und 6. Infimum von 18 und 30 bzgl. der Teilbarkeitsrelation T über N: c ist Infimum von 18 und 30 wenn c eine untere Schranke ist und wenn für jede andere untere Schranke d gilt: d T c (d teilt c) inf(18, 30) = 6. Für N, T : inf(x, y) = größter gemeinsame Teiler von x und y Formale Methoden III,

109 Unifiion und Verbände Beispiele: A, N kgr kasus akk Det N kgr kasus Det akk kgr kasus akk Formale Methoden III,

110 Unifiion und Verbände Beispiele: A, N kgr kasus akk Det N kgr kasus Det akk kgr kasus akk Formale Methoden III,

111 Unifiion und Verbände Beispiele: A, N kgr kasus akk Det N kgr kasus Det akk kgr kasus akk Für A, : inf(a, B) = A B Unifiion Infimum bzgl. Formale Methoden III,

112 Unifiion und Verbände Obere Schranken in Ordnungen Gegeben eine geordnete Menge D, Definitionen: c ist eine obere Schranke von x und y, wenn x c und y c c ist die kleinste obere Schranke bzw. das Supremum von x und y wenn c eine obere Schranke von x und y ist, und für jede andere obere Schranke d gilt: c d Schreibe sup(x, y) für das Supremum von x und y Formale Methoden III,

113 Unifiion und Verbände Beispiele: ({a, b, c}), {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} Formale Methoden III,

114 Unifiion und Verbände Beispiele: ({a, b, c}), {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} sup({a, b}, {b, c}) = {a, b, c} Formale Methoden III,

115 Unifiion und Verbände Beispiele: ({a, b, c}), {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} sup({b}, {c}) = {b, c} Formale Methoden III,

116 Unifiion und Verbände Beispiele: ({a, b, c}), {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} sup({a}, ) = {a} Für (X), : sup(a, B) = A B Formale Methoden III,

117 Unifiion und Verbände Beispiele: N, T Obere Schranken von 6 und 15 bzgl. der Teilbarkeitsrelation T über N: c ist obere Schranke von 6 und 15 wenn 6 T c und 15 T c (d.h. sowohl 6 als auch 15 teilen c) obere Schranken von 6 und 15 sind 30, 60, 90, 120, 150, 180,.... Supremum von 6 und 15 bzgl. der Teilbarkeitsrelation T über N: c ist Sumpremum von 6 und 15 wenn c eine obere Schranke ist und wenn für jede andere obere Schranke d gilt: c T d (c teilt d) sup(6, 15) = 30. Für N, T : sup(x, y) = kleinstes gemeinsames Vielfaches von x und y Formale Methoden III,

118 Unifiion und Verbände Beispiele: A, Supremum bzgl. Generalisierung h i N kgr kasus akk Det N kgr kasus Det akk kgr kasus akk Formale Methoden III,

119 Unifiion und Verbände Beispiele: A, Supremum bzgl. Generalisierung h i N kgr kasus akk Det N kgr kasus Det akk kgr kasus akk Formale Methoden III,

120 Unifiion und Verbände Beispiele: A, Supremum bzgl. Generalisierung h i N kgr kasus akk Det N kgr kasus Det akk kgr kasus akk Definition der Generalisierung: A B = sup(a, B) Information, die beiden AWMn gemein ist Formale Methoden III,

121 Unifiion und Verbände Verbände (Lattices) sup und inf wurden mittels der Ordnungen (als spezielle Schranken) definiert allerdings gab es für sup und inf auch entsprechende Operationen: Menge Ordnung inf-operation sup-operation natürliche Zahlen N Teilbarkeit T ggt(x, y) kgv(x, y) Potenzmenge (X) Teilmenge A B A B AWMn A Subsumtion A B A B Andere Sichtweise: Vergiss zunächst die Ordnung und betrachte Menge mit Operationen alleine Formale Methoden III,

122 Unifiion und Verbände Ein Verband D,, ist eine Menge D mit zwei Operationen join und meet, die folgende Eigenschaften erfüllen: 1 (a) x y = y x (b) x y = y x 2 (a) x (y z) = (x y) z (b) x (y z) = (x y) z 3 (a) x x = x (b) x x = x 4 (a) x (x y) = x (b) x (x y) = x Kommutativgesetze Assoziativgesetze Idempotenzgesetze Absorptionsgesetze Formale Methoden III,

123 Unifiion und Verbände Beispiel: (X),, ist ein Verband (Mengenverband) Wenn A, B, C Mengen aus (X) sind, dann gilt immer: 1 (a) A B = B A (b) A B = B A 2 (a) A (B C) = (A B) C (b) A (B C) = (A B) C 3 (a) A A = A (b) A A = A 4 (a) A (A B) = A (b) A (A B) = A Kommutativgesetze Assoziativgesetze Idempotenzgesetze Absorptionsgesetze Formale Methoden III,

124 Unifiion und Verbände Beispiel: N, ggt, kgv ist ein Verband Wenn x, y, z N sind, dann gilt immer: 1 (a) ggt(x, y) = ggt(y, x) (b) kgv(x, y) = kgv(x, y) Kommutativgesetze 2 (a) ggt( x, ggt(y, z) ) = ggt( ggt(x, y), z) Assoziativgesetze Beispiel: ggt( 9, ggt(12, 18) ) = ggt( ggt(9, 12), 18) ggt( 9, 6 ) = ggt( 3, 18) 3 = 3 (b) kgv( x, kgv(y, z) ) = kgv( kgv(x, y), z) Beispiel: kgv( 9, kgv(12, 18) ) = kgv( kgv(9, 12), 18) kgv( 9, 36 ) = kgv( 36, 18) 36 = 36 Formale Methoden III,

125 Unifiion und Verbände Beispiel: N, ggt, kgv ist ein Verband Wenn x, y, z N sind, dann gilt immer: 3 (a) ggt(x, x) = x (b) kgv(x, x) = x Idempotenzgesetze 4 (a) ggt(x, kgv(x, y)) = x Absorptionsgesetze Beispiel: ggt( 9, kgv(9, 12) ) = ggt( 9, 36 ) = 9 (b) kgv(x, ggt(x, y)) = x Beispiel: kgv( 9, ggt(9, 12) ) = kgv( 9, 3 ) = 9 Formale Methoden III,

126 Unifiion und Verbände Zusammenhang zwischen Ordnungen und Verbänden Ordnung Verband Ist D, eine geordnete Menge und gibt es zu je zwei Elementen x, y immer sup(x, y) und inf(x, y) dann ist D, sup, inf ein Verband (d.h. x y := sup(x, y), x y := inf(x, y)) Beweis: Zeige Verbandseigenschaften von D, sup, inf ausgehend von Ordnungseigenschaften von D, Formale Methoden III,

127 Unifiion und Verbände Beweise: Gegeben geordnete Menge D, Kommutativgesetze: sup(x, y) = sup(y, x) nach Definition inf(x, y) = inf(y, x) nach Definition Idempotenzgesetze: sup(x, x) = x nach Definition inf(x, x) = x nach Definition Assoziativgesetze: (lassen wir aus) Absorptionsgesetze: Betrachte: sup(x, inf(x, y)) Es gilt nach der inf-definition: inf(x, y) x und damit sup(x, inf(x, y)) = x wegen der sup-definition. Formale Methoden III,

128 Unifiion und Verbände Zusammenhang zwischen Ordnungen und Verbänden Verband Ordnung Ist D,, ein Verband dann ist D, eine geordnete Menge, mit x y gdw. x = x y. Beweis: Zeige Ordnungseigenschaften von ausgehend von Verbandseigenschaften von D,, Ordnungen mit Suprema/Infima und Verbände sind verschiedene Sichtweisen auf dieselbe Sache Formale Methoden III,

129 Unifiion und Verbände Beweise: Gegeben Verband D,, und Definition: x y gdw. x = x y Reflexivität: Idempotenz: x = x x und deshalb x x. Antisymmetrie: Angenommen x y und y x (d.h. x = x y und y = y x) Kommutativität: x y = y x und deshalb x = y. Transitivität: Angenommen x y und y z (d.h. x = x y und y = y z) Dann: x = x y = x (y z) = (x y) z = x z Damit x z nach Definition von. (Assoziativität bei =) Formale Methoden III,

130 Unifiion und Verbände Zur Erinnerung: AWMn mit Subsumtion ist eine geordnete Menge A, Unifiion von A und B ist das Infimum: A B = inf(a, B) Generalisierung von A und B ist das Supremum: A B = sup(a, B) Wichtige Frage jetzt: Existieren beide immer?? Antwort: Ja! Wegen gibt es immer ein Unifiionsergebnis Wegen gibt es immer ein Generalisierungsergebnis AWMn mit Generalisierung und Unifiion A,, ist ein Verband Formale Methoden III,

131 Unifiion und Verbände Damit erfüllt A,, die Verbandseigenschaften Wenn A, B, C AWMn sind, dann gilt immer: 1 (a) A B = B A (b) A B = B A 2 (a) A (B C) = (A B) C (b) A (B C) = (A B) C 3 (a) A A = A (b) A A = A 4 (a) A (A B) = A (b) A (A B) = A Kommutativgesetze Assoziativgesetze Idempotenzgesetze Absorptionsgesetze Formale Methoden III,

132 Unifiion und Verbände Beispiel: Absorptionsgesetz A (A B) = A NP ( NP dtr1 ) Det = NP dtr1 NP Det = NP Formale Methoden III,

133 Unifiion und Verbände Beispiel: Absorptionsgesetz A (A B) = A NP ( NP dtr1 ) Det = NP = NP Formale Methoden III,

134 Erweiterungen von AWMn Erweiterungen Artikelform dem ist entweder im Dativ, singular, maskulin z.b. dem Hund, oder im Dativ, singular, neutrum z.b. dem Schwein Zur Beschreibung dieser Information, zwei AWMn notwendig: Det Det numerus sg numerus sg kgr genus mask kgr genus neut kasus dat kasus dat Formale Methoden III,

135 Erweiterungen von AWMn Vereinfachende Schreibweise mittels Disjunktion von Werten Schreibweise: wert1 wert2 bedeutet soviel wie: wert1 oder wert2 Damit nur noch eine AWM zur Beschreibung von dem notwendig: kgr Det numerus genus kasus sg mask neut dat AWMn mit disjunktiven Werten beschreibt gleichzeitig mehrere inkompatible Merkmalsstrukturen Formale Methoden III,

136 Erweiterungen von AWMn Weitere Beispiele: den ist entweder im Akkusativ, singular, maskulin, (z.b. den Hund) oder im Dativ, plural (alle Genera, z.b. den Hunden, den Katzen, den Schweinen) Disjunktive AWM zur Beschreibung von den: kgr Det numerus genus kasus sg mask akk numerus kasus pl dat Formale Methoden III,

137 Erweiterungen von AWMn Weitere Beispiele: die ist entweder im Nominativ oder Akkusativ, singular, feminin (z.b. die Katze) oder im Nominativ oder Akkusativ, plural (alle Genera, z.b. die Hunde, die Katzen, die Schweine) Disjunktive AWM zur Beschreibung von die: kgr Det numerus genus kasus sg fem nom akk numerus kasus pl nom akk Formale Methoden III,

138 Erweiterungen von AWMn Unifiion mit disjunktiven Werten genus kasus mask neut dat numerus genus sg pl mask =? Prozedur zur Unifiion bei disjunktiven Werten: 1. Löse alle Disjunktionen auf ( ausmultiplizieren ) 2. Unifiziere paarweise alle so entstanden AWMn 3. Bilde Disjunktion der Unifiionsergebnisse Formale Methoden III,

139 Erweiterungen von AWMn 1. Löse alle Disjunktionen auf: Unifiion mit disjunktiven Werten genus mask neut Auflösung von : kasus dat genus mask A 1 = A 2 = kasus dat genus kasus neut dat numerus sg pl Auflösung von genus mask : B 1 = numerus sg genus mask B 2 = numerus genus pl mask Formale Methoden III,

140 Erweiterungen von AWMn Unifiion mit disjunktiven Werten 2. Unifiziere paarweise alle so entstanden AWMn: genus mask numerus sg A 1 B 1 = = kasus dat genus mask A 1 B 2 = A 2 B 1 = A 2 B 2 = genus mask numerus pl = kasus dat genus mask genus neut numerus sg kasus dat genus mask genus neut numerus pl kasus dat genus mask numerus genus kasus numerus genus kasus = = sg mask dat pl mask dat Formale Methoden III,

141 Erweiterungen von AWMn Unifiion mit disjunktiven Werten 3. Bilde Disjunktion der Unifiionsergebnisse: genus kasus mask neut dat numerus genus sg pl mask = numerus genus kasus sg mask dat numerus genus kasus pl mask ( ) dat = numerus genus kasus sg pl mask dat Formale Methoden III,

142 Erweiterungen von AWMn Beispiel: Det numerus kgr genus kasus sg numerus mask kasus akk pl dat kgr genus fem =? 1. Löse alle Disjunktionen auf: A 1 = kgr Det numerus genus kasus sg mask akk A 2 = kgr Det numerus kasus pl dat Formale Methoden III,

143 Erweiterungen von AWMn 2. Unifiziere paarweise alle so entstanden AWMn: Det A 1 : numerus sg kgr genus mask kgr genus kasus akk A 2 : kgr Det numerus kasus pl kgr genus dat 3. Bilde Disjunktion der Unifiionsergebnisse: = kgr fem fem = Det numerus genus kasus pl fem dat Formale Methoden III,

144 Erweiterungen von AWMn Unifiion mit Disjunktion kann sehr komplex werden Abstraktes Beispiel: f a b f g x y g b c y z =? 1. Löse alle Disjunktionen auf: f A 1 = g a x f A 2 = g a y f A 3 = g b x f A 4 = g b y f B 1 = g b y f B 2 = g b z f B 3 = g c y f B 4 = g c z Formale Methoden III,

145 Erweiterungen von AWMn 2. Unifiziere paarweise alle so entstanden AWMn: " f a g x " f a g x " f b g x " f a g y " f b g y " f b g y # # # # # # " f b g y " f c g z " f c g y " f b g z " f b g y " f c g z # # # # # # = = = = " f a g x " f b g x " f b g x " f a g y " # " f b f b = g y g y = # # # # # " f b g z " f b g y " f c g z " f c g y " f b g z # # # # # = = = = = " f a g x " f b g x " f a g y " f a g y " f b g y 3. Bilde Disjunktion der " f b Unifiionsergebnisse: g # # # # # y # " f c g y " f b g z " f b g y " f c g z " f c g y # # # # # = = = = = Formale Methoden III,