KAP III. DISTRIBUTIONEN AUF ú

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1 -29- KAP III. DISTRIBUTIONEN AUF ú Wiederholen wir: eine - wertige Distribution (oder: verallgemeinerte Funktion) auf ú ist ein stetiges lineares Funktional T : D(ú) 6. Für den Wert T(n), den T in einem n 0 D(ú) annimmt, schreibt man bevorzugt auch +T, n,. Beispiele sind T ' [f], die von einer lokal integrierbaren Funktion f : A (d ú) 6 erzeugte Distribution, und T ' *, die Diracsche Deltafunktion, die wir im Folgenden meistens kurz als die * - Funktion bezeichnen werden. Sie sind definiert durch und +*, n, :' n(0) für alle n 0 D(ú). Zwei Distributionen T 1 und T 2 sind definitionsgemäß gleich, wenn +T 1, n, ' +T 2, n, für alle n 0 D(ú). 1. Rechnen mit Distributionen Es werden einige für Distributionen mögliche Rechenoperationen definiert und deren Eigenschaften untersucht. Die sog. regulären Distributionen spielen dabei eine wichtige Rolle. (1.1) Reguläre Distributionen. Unsere Darstellung vereinfacht sich, wenn wir das folgende Symbol benutzen. (1.1.1) Definition: L 1 loc(ú) :' Menge aller lokal integrierbaren (und auf ú stetigen oder stückweise stetigen) Funktionen f : A (d ú) 6. Damit wird nun definiert: (1.1.2) Definition: Eine Distribution T : D(ú) 6 heißt - regulär, wenn T ' [f] mit einem f 0 L 1 loc(ú), - singulär, sonst. Das bisher einzige Beispiel für eine singuläre Distribution ist die * - Funktion. Der folgende Satz beschreibt die Gleichheit von zwei regulären Distributionen [f] und [g] durch eine Eigenschaft der Funktionen f und g. (1.1.3) Satz: Zwei reguläre Distributionen [f] und [g], wobei f, g 0 L 1 loc(ú), sind genau dann gleich, wenn es eine diskrete Menge S d ú gibt, so dass f(t) ' g(t) für alle t 0 ú\s. Das bedeutet auch: ändert man eine Funktion f 0 L 1 loc(ú) nur auf einer diskreten Menge S d ú ab, so bleibt die von f erzeugte reguläre Distribution [f] davon unberührt. Beispiel: Sei s : ú 6 die Heavisidesche Sprungfunktion (s. I, (2.2.1)). Weiter seien s a : ú 6, wobei a 0 ú beliebig, und s i : ú 6 die wie folgt definierten Sprungfunktionen:

2 -30- und Im Unterschied zu s a ist s i an der Stelle t ' 0 nicht definiert. Die Funktionen s, s a und s i stimmen für alle t 0 ú außerhalb der diskreten Menge {0} überein, so dass die von ihnen erzeugten Distributionen nach (1.1.3) alle gleich sind, also [s] ' [s a ] ' [s i ] gilt. Man kann das auch so ausdrücken: begreift man die Heavisidesche Sprungfunktion als Distribution, so ist es egal, welchen Funktionswert man ihr an der Stelle t ' 0 zuweist. Man kann sie dort auch undefiniert lassen. (1.2) Der Raum DN(ú). Die Bedeutung des in der Überschrift stehenden Symbols ist die folgende: (1.2.1) Definition: DN(ú) :' Menge aller Distributionen T : D(ú) 6. Die Menge DN(ú) wird zu einem Vektorraum über, wenn man die zwei Vektorraumoperationen, die wir der Deutlichkeit halber zunächst mit r und. symbolisieren, auf die folgende nur naheliegende Art und Weise einführt: (1.2.2) Definition: Für alle T 1, T 2, T 0 DN(ú) und alle " 0 sind T 1 r T 2 und ".T definiert durch (T 1 r T 2 ) (n) :' +T 1, n, % +T 2, n, und (".T) (n) :' " +T, n, für alle n 0 D(ú). Zunächst sind T 1 r T 2 und ".T nur Funktionale auf D(ú). Man kann sich aber leicht davon überzeugen, dass sie linear und stetig und deshalb Distributionen auf ú, also Elemente von DN(ú) sind. Sehr schnell sieht man auch ein, dass die Operationen r und. die Vektorraumaxiome (A 1) - (A 4) und (M 1) - (M 4) von II, (1.1.1) erfüllen, so dass die Menge DN(ú) durch sie zu einem Vektorraum über wird. Für die Distributionen T 1 r T 2 und ".T schreiben wir jetzt wieder einfacher T 1 % T 2 und " T, und weil sie lineare Funktionale auf D(ú) sind, bezeichnen wir die Werte, die sie in einem n 0 D(ú) annehmen, wieder mit dem Symbol +.,.,. Die sie definierenden Gleichungen unter (1.2.2) sehen dann so aus: +T 1 % T 2, n, :' +T 1, n, % +T 2, n, und +" T, n, :' " +T, n,. Der Nullvektor des Raums DN(ú) ist das Nullfunktional, das wir - genauso wie die Nullfunktion - mit 0 bezeichnen. Es ist definiert durch +0, n, :' 0 für alle n 0 D(ú). Das folgende Beispiel zeigt einen der Vorzüge des Symbols +.,., auf. Beispiel: Seien T i 0 DN(ú), n i 0 D(ú) und " i, $ i 0, wobei i ' 1, 2. Dann gilt z. B.:

3 -31- d. h., der Ausdruck +.,., kann genauso berechnet werden wie etwa das Skalarprodukt (. (. ) von zwei Linearkombinationen von Vektoren. (Kommentare: (1): Definition von " 1 T 1 % " 2 T 2 ; (2): Linearität von T 1 und T 2 ). (1.3) Einfache Rechenoperationen für Distributionen. Im Folgenden bezeichnen wir eine Distribution T 0 DN(ú) oft auch mit T(t). Das darf keinesfalls so verstanden werden, als wäre T eine auf ú definierte Funktion, in die man Zahlen t 0 ú ein-setzt. Damit soll nur zum Ausdruck gebracht werden, dass man die (reelle) unabhängige Variable der Testfunktionen n 0 D(ú), auf die man T anwendet, mit t bezeichnen will. Für +T, n,, den Wert, den T für ein n 0 D(ú) annimmt, wird dann auch +T(t), n(t), geschrieben. Anstelle von t kann natürlich auch ein anderer Buchstabe verwendet werden. Für eine reguläre Distribution [f] schreiben wir ausführlich [f(t)] (oder [f(u)],...). Rechenoperationen für Distributionen werden nach dem so genannten Permanenzprinzip definiert. Dabei betrachtet man eine für gewöhnliche Funktionen definierte Operation O, die jede Funktion f 0 L 1 loc(ú) in eine Funktion Of, die wieder in L 1 loc(ú) liegt, überführt, überlegt sich, wie die von f und Of erzeugten regulären Distributionen [f] und [Of] zusammenhängen und übernimmt dann diesen Zusammenhang als Definition der Operation O für beliebige Distributionen T 0 DN(ú). Die Distribution T(at % b) Seien a, b 0 ú mit a 0. Wir betrachten die Operation O, die jede lokal integrierbare Funktion t 6 f(t) in die - ebenfalls lokal integrierbare - Funktion t 6 Of(t) :' f(at % b) überführt. Für die von f und Of erzeugten regulären Distributionen [f(t)] und [Of(t)] ' [f(at % b)] gilt dann, wie man mit Hilfe der Substitution (S) erkennt: œ n 0 D(ú). Hierzu beachte man noch, dass mit n auch eine Testfunktion ist. Bei der Substitution (S) muss man die Fälle a > 0 und a < 0 unterscheiden. Dem Permanenzprinzip folgend wird nun definiert: (1.3.1) Definition: Seien a, b 0 ú mit a 0. Dann versteht man für jedes T 0 DN(ú) unter der durch die Substitution t 6 at % b aus T entstehenden Distribution die durch

4 -32- œ n 0 D(ú) definierte Distribution T(at % b) 0 DN(ú). Die Definition ist korrekt, weil das Funktional wie man zeigen kann, linear und stetig auf D(ú) und somit ein Distribution aus DN(ú) ist. Der Nachweis der Linearität ist einfach, der Beweis der Stetigkeit etwas anspruchsvoller. Wichtige Spezialfälle sind die Distributionen T(t & t 0 ), T(a t) und T(&t), die man für die Parameterpaare (a, b) ' (1, &t 0 ), (a, 0) und (&1, 0) erhält. Dabei t 0, a 0 ú und a 0. Nach (1.3.1) gilt für sie: - œ n 0 D(ú), - œ n 0 D(ú), - œ n 0 D(ú). Beispiel: Für T ' *, die * - Funktion, ergibt sich: - œ n 0 D(ú). - œ n 0 D(ú), was nichts anderes bedeutet, als dass die Distributionen und gleich sind, also: woraus insbesondere folgt (a ' &1): Fassen wir zusammen: (1.3.2) Formeln für die * - Funktion: a) œ n 0 D(ú), wobei t 0 0 ú. b) wobei a 0. c) Die Distribution *(t & t 0 ) nennt man auch die um t 0 verschobene * - Funktion. Wendet man sie auf eine Testfunktion n an, so wird deren Funktionswert an der Stelle t 0 ausgeblendet. Die Formeln b) und c) sind Gleichungen für Distributionen. Sie dürfen nicht so verstanden werden, als wäre zum Beispiel für alle t 0 ú. Ihre wahre Bedeutung ist in der obigen Herleitung dieser Formeln enthalten. Formeln, welche die * - Funktion betreffen, formuliert man in der ingenieurwissenschaftlichen

5 -33- Literatur meistens in der sog. symbolischen Schreibweise. Dabei tut man so, als wäre *(t) eine gewöhnliche (lokal integrierbare) Funktion und ersetzt das +.,., - Zeichen durch ein uneigentliches Integral mit den Grenzen &4 und %4. So schreibt man zum Beispiel oder anstelle von bzw. Die Distributionen *(t) und *(t & t 0 ), allgemeiner a *(t) und a *(t & t 0 ), wobei a 0 ú mit a 0, werden zeichnerisch durch einen Pfeil der Länge *a* bei t ' 0 bzw. t ' t 0 dargestellt; für a > 0 ist er nach oben, für a < 0 nach unten gerichtet. Die Distribution D(t) T(t) Eine weitere für Distributionen mögliche Rechenoperation ist die Multiplikation mit einer be-liebig oft differenzierbaren Funktion D : ú 6. Die Definition des Produkts D(t) T(t), kürzer D T, wobei T 0 DN(ú), erfolgt wieder nach dem Permanenzprinzip. Sei f 0 L 1 loc(ú). Dann ist auch Df 0 L 1 loc(ú), und es gilt: œ n 0 D(ú), wobei noch anzumerken ist, dass mit n 0 D(ú) auch D n 0 D(ú). Daher: (1.3.3) Definition: Sei D : ú 6 beliebig oft differenzierbar. Dann versteht man für jedes T 0 DN(ú) unter dem Produkt von D und T die durch œ n 0 D(ú) definierte Distribution DT 0 DN(ú). Beispiel: Sei t 0 0 ú. Dann gilt:

6 -34- œ n 0 D(ú) Y (1.3.4) Formel für die * - Funktion: wobei D : ú 6 beliebig oft differenzierbar und t 0 0 ú. (1.4) Differentiation von Distributionen. Sei f : ú 6 eine auf ú stetig differenzierbare - und damit automatisch auch lokal integrierbare - Funktion. Weil zu jedem n 0 D(ú) ein a > 0 mit Tr(n) d [&a, a] existiert, gilt für die von f und f N erzeugten regulären Distributionen [f] und [f N]: œ n 0 D(ú). (Kommentare: (1): partielle Integration; (2): n(&a) ' n(a) ' 0, weil Tr(n) d [&a, a]; (3): Tr(nN) d [&a, a] wieder wegen Tr(n) d [&a, a]). Nach dem Permanenzprinzip wird deshalb definiert: (1.4.1) Definition: Für jedes T 0 DN(ú) versteht man unter der (ersten) Ableitung von T die durch +T N, n, :' & +T, nn, œ n 0 D(ú) definierte Distribution T N 0 DN(ú). Aufgrund dieser Definition besitzt jede Distribution T eine Ableitung T N und ist in diesem Sinne differenzierbar. Weil T N selbst wieder eine Distribution ist, folgt, dass jede Distribution T sogar beliebig oft differenziert werden kann, wobei für die höheren Ableitungen von T, die wie in der klassischen Analysis definiert sind durch T O :' (T N)N, T :' (T O)N,..., T (n) :' (T (n&1) )N,..., gilt:... Y (1.4.2) Formel für die n - te Ableitung: Für jedes T 0 DN(ú) gilt: œ n 0 D(ú). Für T ' *, die * - Funktion, folgt daraus:

7 -35- und daraus weiter mit (1.3.1): was wir festhalten wollen: (1.4.3) Formeln für die * - Funktion: a) œ n 0 D(ú), wobei n 0 ù. b) œ n 0 D(ú), wobei n 0 ù und t 0 0 ú. In symbolischer Schreibweise: a) b) (1.4.4) Beispiele: 1. Für die Heavisidesche Sprungfunktion, definiert durch gilt: œ n 0 D(ú) Y [s(t)]n ' *(t). (((): weil Tr(n) d [&a, a] mit einem passenden a > 0). 2. Für die um t 0 0 ú verschobene Heavisidesche Sprungfunktion, gegeben durch erhält man: [s(t & t 0 )]N ' *(t & t 0 ). œ n 0 D(ú) Y (((): Kommentar wie oben). Für eine lokal integrierbare Funktion f nennt man die Ableitung der von ihr erzeugten regulären Distribution [f] auch die distributive Ableitung von f. Der weiter unten folgende Satz (1.4.6) stellt einen Zusammenhang zwischen der gewöhnlichen Ableitung f N und der distributiven Ableitung [f]n her. Die Funktion f wird dabei als auf ú stückweise stetig differenzierbar vorausgesetzt. Dazu: (1.4.5) Definition: Eine Funktion f : A (d ú) 6 heißt stückweise stetig differenzierbar auf ú, wenn die Menge

8 -36- NN :' {t 0 ú * f ist in t nicht definiert oder nicht differenzierbar} diskret und die (auf AN :' ú\nn definierte) Ableitung fn : AN 6 stückweise stetig auf ú ist. (1.4.6) Satz: Sei f : A (d ú) 6 stückweise stetig differenzierbar auf ú und sei f Nlokal integrierbar. Dann ist auch f lokal integrierbar, und es gilt: wobei S ' {t k } die Menge der singulären Stellen von f bedeutet und F f (t k ) für jedes t k 0 S die Sprunghöhe von f an der Stelle t k bezeichnet, d. h.: mit den gewohnten Vereinbarungen, dass und Die Bezeichnung S ' {t k } ist eine Abkürzung für ausführlich S ' {t k * k 0 I} mit einer Menge I d, die zur Indizierung der singulären Stellen von f gebraucht wird. Wichtige Beispiele sind I ' {1, 2,..., n}, I ' ù und I '. Singuläre Stellen t k, in denen der zweiseitige Grenzwert eigentlich existiert, können in der Summe mit den * - Anteilen weggelassen werden, weil dann f(t k %) ' f(t k &) und folglich F f (t k ) ' 0 ist. Der Satz gilt auch, wenn f stetig differenzierbar auf ganz ú ist. In diesem Fall ist S leer, die Summe mit den * - Anteilen fällt daher weg, und es ist dann einfach [f(t)]n ' [f N(t)]. In diesem Bild: singuläre Stellen von f: t 1, t 2 ; Sprunghöhen: F f (t 1 ) < 0, F f (t 2 ) > 0; singuläre Stellen von f N: t 0, t 1, t 2. Zum Beweis der Formel von (1.4.6), aber auch noch an anderen Stellen im weiteren Verlauf der Vorlesung wird eine Version der Regel für eine partielle Integration benötigt, die etwas allgemeiner ist als die von der Grundvorlesung Mathematik her vertraute. Diese lautet bekanntlich: wobei aber vorausgesetzt werden muss, dass f und g auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b]

9 -37- stetig differenzierbar sind. Allgemeiner ist daher: (1.4.7) Satz (Regel für partielle Integration): Seien f und g stückweise stetig differenzierbar auf ú und seien a, b 0 ú mit a < b. Sind dann f und g auf dem offenen Intervall +a, b, stetig differenzierbar und existieren die einseitigen Grenzwerte von f und g für t 6 a% und t 6 b& eigentlich, so gilt: Bevor wir uns einige Beispiele zu (1.4.6) ansehen, wenden wir uns noch einmal dem sehr wichtigen Satz (1.1.3) über die Gleichheit zweier regulärer Distributionen zu. Man kann ihn etwas einfacher und auch einprägsamer formulieren, wenn man sich dabei der folgenden Sprechweise bedient: Man sagt, zwei (auf ú stetige oder stückweise stetige) Funktionen f und g seien fast überall auf ú gleich, in Zeichen: f ' g f.ü. oder, etwas ausführlicher: f(t) ' g(t) f.ü., wenn sie außerhalb einer diskreten Teilmenge von ú übereinstimmen, wenn also eine diskrete Menge S d ú existiert, so dass f(t) ' g(t) für alle t 0 ú\s. Der Satz (1.1.3) lässt sich damit nun auch so ausdrücken: (1.1.3) Satz: Für zwei reguläre Distributionen [f] und [g], wobei f, g 0 L 1 loc(ú), gilt: [f] ' [g] ] f(t) ' g(t) f.ü. (1.4.8) Beispiele zu (1.4.6): Mit s ist immer die Heavisidesche Sprungfunktion gemeint, d. h., s(t) ' 1 für t $ 0 und s(t) ' 0 für t < Sei f(t) ' s(t & t 0 ) für alle t 0 ú\{t 0 }, wobei t 0 0 ú fest vorgegeben. Für t ' t 0 lassen wir f(t) undefiniert. Es gilt: Y d. h.: œ t 0 ú\{t 0 } Y f.ü. Y Nulldistribution. Die Funktion f hat nur t 0 als singuläre Stelle und für ihre Sprunghöhe an dieser Stelle gilt: F f (t 0 ) ' 1. Für die distributive Ableitung von f erhält man daher gemäß (1.4.6): Weil f(t) ' s(t & t 0 ) f.ü., ist [f(t)] ' [s(t & t 0 )] und folglich [s(t & t 0 )]N ' *(t & t 0 ) in Übereinstimmung mit dem Ergebnis von Beispiel (1.4.4, 2).

10 2. Sei für alle t 0 ú\{0}. Weil t /*t* ' 1 für t > 0 und t /*t* ' &1 für t < 0, ist f(t) ' max {2, 2t & 1} für t > 0 und f(t) ' max {&2, 2t & 1} für t < 0, woraus folgt: -38- Y f O(t) ' 0 f.ü. (Einzige) sing. Stelle von f: t 0 ' 0; Sprunghöhe von f in t 0 : F f (t 0 ) ' 3 Differenziert man noch einmal (im distributiven Sinne), erhält man die zweite distributive Ableitung von f, nämlich: (() Zur Berechnung von [f N(t)]N, der distributiven Ableitung der gewöhnlichen Ableitung f N von f, braucht man zuerst die singulären Stellen von f N und die Sprunghöhen von f N an diesen Stellen. Wie aus der obigen Darstellung von f N ersichtlich, gilt: Sing. Stellen von f N: t 1 ' &1/2, t 2 ' 0, t 3 ' 3/2; Sprunghöhen: F f N (t 1 ) ' 2, F f N (t 2 ) ' &2, F f N (t 3 ) ' 2. Mit (1.4.6) bekommt man deshalb: da [f O(t)] ' [0] aufgrund von f O(t) ' 0 fast überall auf ú. Dies in (() eingesetzt, ergibt dann schließlich: Mit unserer bisherigen Schreibweise konnten wir deutlich zwischen einer (lokal integrierbaren) Funktion und der von ihr erzeugten regulären Distribution unterscheiden. Bezeichneten wir jene etwa mit f, so diese mit [f] oder ausführlicher [f(t)]. Die eckigen Klammern signalisierten, dass die

11 -39- Funktion f als Distribution aufgefasst werden soll. Auf die Dauer ist diese Schreibweise aber zu schwerfällig, und wir wollen sie daher vereinfachen. Dazu lassen wir einfach die eckigen Klammern weg und bezeichnen somit die Distribution ebenfalls mit f oder mit f(t). Damit schleichen sich natürlich Zweideutigkeiten ein, kann doch f auch die Funktion und f(t) den Wert der Funktion an einer Stelle t 0 ú bedeuten. In aller Regel wird aber aus dem Zusammenhang erkennbar sein, was gemeint ist. Weiter wollen wir die bisher mit [f]n oder [f(t)]n symbolisierte distributive Ableitung von f ein-fach nur mit oder bezeichnen, die gewöhnliche Ableitung von f dagegen mit Wäh-rend immer eine Distribution ist, ist zunächst einmal eine Funktion. Ist sie lokal integrier-bar, kann man sie wieder als Distribution auffassen, die wir nun nach der obigen Vereinbarung zu unserer vereinfachten Schreibweise konsequenterweise mit oder bezeichnen müssen. Daraus sich ergebende Zweideutigkeiten werden meistens wieder durch den Kontext aufgelöst. Ein Beispiel dafür ist etwa die Formel von Satz (1.4.6). In unserer neuen Schreibweise sieht sie so aus: Weil auf beiden Seiten der Gleichung Distributionen vorkommen, links und rechts die Summe mit den Deltafunktionen, und weil eine Gleichung immer nur gleichartige Objekte enthalten darf, muss hier eindeutig als Distribution verstanden werden. Weniger eindeutige Situationen können immer mit einem geeigneten Kommentar geklärt werden, wie etwa an einer bestimmten Stelle des folgenden Beispiels, das wir mit unserer neuen, vereinfachten Schreib-weise behandeln wollen. (1.4.9) Beispiele zu (1.4.6): 1. Sei x : ú 6 eine auf ganz ú stetig differenzierbare Funktion, sei t 0 0 ú und sei f : ú\{t 0 } 6 die durch f(t) :' x(t) s(t & t 0 ) œ t t 0 definierte Funktion, wobei s wieder die Heavisidesche Sprungfunktion bezeichne. Für t ' t 0 blei-be f(t) undefiniert. Die Funktion f entsteht aus der Funktion x, indem man diese über dem Inter-vall t < t 0 abschneidet und gleich 0 setzt. Weil x auf ganz ú stetig differenzierbar ist, hat die Funktion f nur die singuläre Stelle t 0, an der sie

12 -40- einen Sprung der Höhe F f (t 0 ) ' x(t 0 ) macht. Da f(t) ' 0 ' 0 œ t < t 0 und f(t) ' 1 ' x(t) œ t > t 0, gilt für die gewöhnliche Ableitung von f: œ t < t 0 und œ t > t 0, kurz: œ t t 0. Hierzu beachte man, dass in t 0 nicht definiert ist, die Funktion jedoch schon. Es folgt: f.ü. Y (DN). Die linke Gleichung ist eine zwischen Funktionen, die rechte dagegen eine zwischen Distributionen. Um das deutlich zu machen, wird ihr das Symbol (DN) angehängt, was ausdrücken soll, dass beide Seiten der Gleichung als Elemente des Raums DN(ú), also als Distributionen aufzufassen sind. Mit der Formel von (1.4.6) erhält man nun für die distributive Ableitung von f: oder, wenn man die definierende Formel für f einsetzt: (1) 2. Ist x : ú 6 zweimal stetig differenzierbar auf ú, so kann mit der Formel (1) bequem auch die zweite distributive Ableitung von f berechnet werden. Zunächst folgt aus (1) durch Diffe-renzieren (im distributiven Sinne), dass Weil nun stetig differenzierbar auf ú ist, gilt (1) auch, wenn man darin x durch ersetzt, d. h.: so dass: (2) 3. Ist x : ú 6 n - mal stetig differenzierbar auf ú, wobei n > 2, so kann man auf diese Weise fortfahren und leicht alle distributiven Ableitungen von f(t) ' x(t) s(t & t 0 ) bis hin zur Ordnung n bestimmen. Zur Bestimmung der dritten distributiven Ableitung, zum Beispiel, differenziert man zunächst (2), erhält dadurch:, (() berechnet anschließend mit (1), setzt das Ergebnis in (() ein und bekommt: So kann man sich bis zur n - ten distributiven Ableitung durcharbeiten und erhält dann:,

13 -41- oder, wenn man das Summenzeichen verwendet: Differentiationsregeln Einige der von der klassischen Analysis her bekannten Differentiationsregeln gelten auch für Distributionen. Dazu: (1.4.10) Satz: Seien S, T 0 DN(ú). Dann gilt: 1) 2) für jede Zahl " 0. 3) für jede Funktion D 0 C (4) (ú). 4) für je zwei Zahlen a, b 0 ú mit a 0. Bemerkungen: 1. Mit den Regel 1) und 2) bekommt man: für je zwei Zahlen ", $ 0, woraus speziell für " ' 1 und $ ' &1 folgt: 2. Hinsichtlich der Produktregel 3) sei daran erinnert, dass C (4) (ú) den Raum aller auf ú beliebig oft differenzierbaren Funktionen x : ú 6 bezeichnet. 3. Regel 4) ist ein Spezialfall der Kettenregel; Spezialfall insofern, als die Distribution T ' T(t) mit der speziellen Funktion t 6 at % b komponiert wird. Laut Regel 4) wird diese Komposition genauso differenziert wie die Komposition f(at % b) mit einer auf ú differenzierbaren Funktion f. Beispiel: Sei x : ú 6 eine auf ú beliebig oft differenzierbare Funktion, also: x 0 C (4) (ú), sei t 0 0 ú und bezeichne s wieder die Heavisidesche Sprungfunktion. Wendet man die Produktregel 3) auf den Fall D ' x und T(t) ' s(t & t 0 ) an, bekommt man zunächst und daraus weiter mit (1.3.4), wonach x(t) *(t & t 0 ) ' x(t 0 ) *(t & t 0 ):, (() was mit Formel (1) von (1.4.9) übereinstimmt. Weil mit x auch die gewöhnlichen Ableitungen... beliebig oft auf ú differenzierbar sind, gilt (() auch, wenn man darin x durch diese Ableitungen ersetzt, womit dann alle distributiven Ableitungen höherer Ordnung von x(t) leicht berechnet werden können, genauer:

14 -42- Y Y... Y wie schon in (1.4.9). (1.5) Unbestimmte Integrale von Distributionen. Unter einer Stammfunktion oder einem unbestimmten Integral (auf ú) einer Funktion x : ú 6 versteht man bekanntlich eine auf ú differenzierbare Funktion X : ú 6 mit der Eigenschaft, dass ' x(t) für alle t 0 ú. Ist x stetig auf ú, besitzt x immer eine Stammfunktion, und je zwei Stammfunktionen von x unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante. Dafür, dass X eine Stammfunktion von x ist, schreibt man (auf ú), und die Aussage, dass jede andere Stammfunktion von der Form X % c ist, wobei c 0, wird durch die Schreibweise (auf ú) zum Ausdruck gebracht. Völlig analoge Verhältnisse bestehen auch für - wertige Distributionen auf ú. Nur spricht man dann nicht von einer Stammfunktion, sondern nur von einem unbestimmten Integral. Die naheliegende Bezeichnung Stammdistribution ist nicht üblich. Im Folgenden wird der Ausdruck Stammfunktion ausschließlich für Funktionen verwendet. (1.5.1) Definition: Sei T 0 DN(ú). Dann heißt jedes S 0 DN(ú) mit SN ' T ein unbestimmtes Integral von T, in Zeichen: S ' IT oder S(t) ' IT(t) (ohne dt). Die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit von unbestimmten Integralen von Distributionen beantwortet der folgende zentrale (1.5.2) Satz: Für jedes T 0 DN(ú) gilt: 1) es existiert ein unbestimmtes Integral S von T; 2) jedes andere unbestimmte Integral von T ist von der Form S % c, wobei c 0, in Zeichen: IT ' S % c oder IT(t) ' S(t) % c. Beispiele: 1. Sei x : ú 6 eine auf ú stetige Funktion und sei X : ú 6 eine Stammfunktion von x. Weil dann X auf ú stetig differenzierbar sein muss, gilt für die distributive Ableitung XN nach (1.4.6):

15 -43- (DN). Da ' x(t) für alle t 0 ú, ist natürlich auch ' x(t) (DN), so dass XN(t) ' x(t) (DN), was aber nichts anderes heißt, als dass Ix(t) ' X(t), wobei X(t) ' I x(t) dt auf ú, in Worten: ein unbestimmtes Integral der Distribution x(t) ist gegeben durch eine Stammfunktion der Funktion x, diese Stammfunktion dabei als Distribution aufgefasst. (Zur Erinnerung: das Zeichen (DN) hinter einer Gleichung bedeutet, dass beide Seiten der Gleichung als Distributionen verstanden werden müssen). 2. Sei x : ú 6 wie soeben wieder stetig auf ú und sei f(t) :' x(t) s(t & t 0 ) mit einem festen t 0 0 ú und der Heavisideschen Sprungfunktion s. Wir suchen nach einem unbestimmten Integral F(t) von f(t) und machen dazu den Ansatz F(t) ' y(t) s(t & t 0 ) mit einer auf ú stetig differenzierbaren Funktion y : ú 6 distributive Ableitung von F(t):. Nach (1.4.9), (1) gilt dann für die, so dass FN(t) ' f(t), wenn œ t 0 ú und y(t 0 ) ' 0 ] y(t) ' X(t) & X(t 0 ) œ t 0 ú, wobei X irgendeine Stammfunktion von x bedeutet. Also: I x(t) s(t & t 0 ) ' (X(t) & X(t 0 )) s(t & t 0 ), wobei X(t) ' I x(t) dt auf ú. (1.5.3) Tabelle mit unbestimmtem Integralen: T(t) IT(t) Bemerkungen 1) * (n) (t & t 0 ) * (n&1) (t & t 0 ) t 0 0 ú, n 0 ù 2) *(t & t 0 ) s(t & t 0 ) s: Heavisidesche Sprungfkt. 3) s(t & t 0 ) (t & t 0 ) s(t & t 0 ) 4) x(t) X(t) X(t) ' Ix(t) dt 5) x(t) s(t & t 0 ) (X(t) & X(t 0 )) s(t & t 0 ) X(t) ' Ix(t) dt Voraussetzung in 4) und 5): x : ú 6 stetig auf ú. Beispiele: 1. Isin t ' X(t), wobei X(t) ' Isin t dt ' &cos t (s. (1.5.3, 4) Y Isin t ' &cos t (% c).

16 I(sin t) s(t) ' (X(t) & X(0)) s(t), wobei X(t) ' Isin t dt ' &cos t (s. (1.5.3, 5) Y X(0) ' &1 Y I(sin t) s(t) ' (1 & cos t) s(t) (% c). 3. I(2t % 1) s(t & 2) ' (X(t) & X(2)) s(t & 2), wobei X(t) ' I(2t % 1) dt ' t 2 % t (s. (1.5.3, 5) Y X(2) ' 6 Y I(2t % 1) s(t & 2) ' ( t 2 % t & 6) s(t & 2) (% c). Als weiteres Beispiel noch diese (1.5.4) Aufgabe: Man bestimme die allgemeinste Form einer (lokal integrierbaren) Funktion f : ú 6 ú mit der zweiten distributiven Ableitung. Lösung: Es wird zweimal im distributiven Sinne unbestimmt integriert. Die erste Integration führt in die zweite in (die Distribution) über. Weil die allgemeinste Form von f verlangt wird, muss nach jeder Integration eine Konstante addiert werden. Die benötigten unbestimmten Integrale werden der Tabelle (1.5.3) entnommen. Im Einzelnen: (s. (1.5.3, 1, 2, 3)) ' (s. (1.5.3, 2, 4, 5)) ' ' mit Konstanten c, d 0 ú. Die letzte Gleichung ist die allgemeinste Form der Distribution Für die allgemeinste Form der Funktion f folgt daraus: f.ü., wobei c, d 0 ú beliebig und g(t) :' (t 2 % 1) s(t) & (t 2 & 1) s(t & 1) für alle t 0 ú. Für die dadurch definierte Funktion g : ú 6 ú gilt: für t < 0, für 0 # t < 1 und für t $ 1, woraus insbesondere folgt, dass g auf ú\{0} stetig und in t ' 0 von rechts stetig ist, d. h. g(0) ' g(0%) gilt. Verlangt man, dass auch f diese Stetigkeitseigenschaften haben soll, ist für alle t 0 ú (und nicht nur für fast alle t 0 ú) die allgemeinste Form von f.