Versuchsauswertung: P1-31, 40, 41: Geometrische Optik

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1 Praktikum Klassische Physik I Versuchsauswertung: P-3, 40, 4: Geometrische Optik Christian Buntin, Jingfan Ye Gruppe Mo- Karlsruhe, 09. Novemer 2009 Inhaltsverzeichnis Brennweiten-Bestimmungen 2. Einfache Bestimmung der Brennweite Brennweitenestimmung mittels des Besselschen Verfahrens Brennweitenestimmung mittels des Aéschen Verfahrens Messergenisse Diagramme Haupteenenastände Rückschluss auf die Einzellinsen Aufau optischer Instrumente 0 2. Das Keplersche und Galileische Fernrohr Der Diaprojektor Das Mikroskop

2 Brennweiten-Bestimmungen. Einfache Bestimmung der Brennweite Die Lichtquelle wurde so eingestellt, dass sie so gut wie möglich paralleles Licht lieferte. Deshal wurde die Linse auch in einem Astand von ca. m von der Lichtquelle aufgeaut. Da sich die Lichtstrahlen in einem Punkt treffen sollten, wurde dieser Punkt mittels eines verschiearen Schirmes gesucht. Für drei Einstellungen dieses Punktes wurden die Positionen ermittelt: Position Schirm Position Linse Astand 493 mm 672 mm 79 mm 40 mm 209 mm 69 mm 20 mm 383 mm 73 mm Mittelwert: 74 ± 3 mm Angegeene Brennweite: 50 mm Taelle : Groe Brennweitenestimmung Die Brennweite soll hier dem Astand zwischen Linse und Schirm entsprechen. Somit eignet sich dieses Verfahren nicht sehr gut zur genauen Bestimmung von Brennweiten, da die Messwerte alle üer dem eigentlichen Wert liegen. Es wurde auch versucht, den Astand Linse Schirm so einzustellen, dass er der Brennweite der Linse entsprach. Trotz verstellen der Kondensorlinse der Lichtquelle war es allerdings nicht möglich, einen möglichst kleinen Punkt zu erzeugen. Somit erzeugt diese Lichtquelle nicht ausreichend paralleles Licht, um damit üerhaupt genaue Brennweitenmessungen nach dieser Methode vornehmen zu können..2 Brennweitenestimmung mittels des Besselschen Verfahrens Die Brennweite der Linse wurde mittels des Besselschen Verfahrens in drei Messreihen gemessen: i) mit lauem Farfilter und Lochlende ii) mit rotem Farfilter und Lochlende iii) mit rotem Farfilter und Scheienlende Dazu wurden die Positionen des Schirmes, des Gegenstandes (hier zur esseren Beurteilung der Bildschärfe das Dia einer Radierung) und der möglichen Linsenpositionen (teils mehrfach eingestellt und gemessen) estimmt, an denen ein scharfes Bild zu sehen ist. Aus diesen Messwerten lässt sich dann, wie in der Vorereitung eschrieen, die Brennweite erechnen. Aufgrund der Verwendung eines Dias ist hier, anders als in der vorherigen Aufgae, paralleles Licht nicht nötig. 2

3 Schirm Dia Linse (a) Linse () Astand Schirm Dia Brennweite ( ) x S x D a d = ā e = x D x S f = 4 e d2 e , Mittelwert mit statistischem Fehler: 5 ± 0 Taelle 2: Messreihe i (mit lauem Farfilter und Lochlende): Positionen der Apparaturen, alle Angaen in mm Schirm Dia Linse (a) Linse () Astand Schirm Dia Brennweite ( ) x S x D a d = ā e = x D x S f = 4 e d2 e , Mittelwert mit statistischem Fehler: 53 ± Taelle 3: Messreihe ii (mit rotem Farfilter und Lochlende): Positionen der Apparaturen, alle Angaen in mm Schirm Dia Linse (a) Linse () Astand Schirm Dia Brennweite ( ) x S x D a d = ā e = x D x S f = 4 e d2 e , Mittelwert mit statistischem Fehler: 50 ± Taelle 4: Messreihe iii (mit rotem Farfilter und Scheienlende): Positionen der Apparaturen, alle Angaen in mm Messreihe Farfilter Blende Brennweite i lau Lochlende 5 ± 0 ii rot Lochlende 53 ± iii rot Scheienlende 50 ± Mittelwert mit statistischem Fehler: 5 ± Taelle 5: Zusammenfassung der Messreihen, alle Angaen in mm Somit eignet sich dieses Verfahren wesentlich esser zur Bestimmung der Brennweite, da die gemessenen Werte sehr nahe an der angegeenen Brennweite liegen. 3

4 Die auf Kleinwinkelnäherungen asierende sphärische Aerration lässt sich durch Vergleichen der Brennweiten ei Verwendung einer Lochlende zw. einer Scheienlende estimmen. Hier lassen sich dafür die Messreihen ii und iii vergleichen. Daraus wird ersichtlich, dass das Licht ei Verwendung einer Scheienlende, also im äußeren Linsenereich, stärker gerochen wird, als im inneren Bereich. Da Licht verschiedener Frequenzen im gleichen Medium verschiedene Geschwindigkeiten hat (Dispersion), ergit sich eine chromatische Aerration. Hier lässt sich diese durch Vergleich der Messreihen i und ii ermitteln. Daraus wird ersichtlich, dass laues Licht stärker als rotes Licht gerochen wird..3 Brennweitenestimmung mittels des Aéschen Verfahrens Der Versuch wurde wie in der Versuchsvorereitung eschrieen aufgeaut. Die Positionen der einzelnen Apparaturen sowie die Vergrößerung (üer Bild- und Gegenstandsweite) wurden gemessen, wenn ein scharfes Bild zu sehen war. Auf dem Dia efand sich ein cm langer Messstreifen, mit dessen Bild auf dem Schirm (mit Millimeterpapier) die Vergrößerung gemessen werden konnte. Als Marke wurden für die Astandmessungen die Befestigung des Linsensystemes gewählt. Es wurden Messreihen für zwei verschiedene Zweilinsensysteme, (a) und (), gemessen. Anders als in der Vorereitung eschrieen wurde hier die Apparatur zur Bestimmung von h 2 nicht gedreht. Stattdessen wurde der Astand Gegenstand Schirm = e gemessen. Daher gilt (ähnlich wie in der Vorereitung): a = a a = a a = e k h 2 (siehe Skizze in Vorereitung) f = a + a = + a a = ( ) a + ( ) a = f + = e k h 2 ( ) k = f + h 2 + e ) e k = ( + f + h 2 = k ( ) Somit wird zur Bestimmung von h 2 also + üer k = e k aufgetragen. Der y-achsenaschnitt entspricht dann der Position h 2 der zweiten Haupteene und die Steigung entspricht der Brennweite f. 4

5 .3. Messergenisse Schirm Marke Dia G.-W. B.-W. k + k = e k + x S x k x D = x S x k = x k x D , , , , , , ,2 0 40, , ,6 0 45, , , 0 50, , ,5 0 55, ,54 Taelle 6: Messreihe Linseneinstellung (a): Positionen der Apparaturen, alle Angaen in mm Schirm Marke Dia G.-W. B.-W. k + k = e k + x S x k x D = x S x k = x k x D , 60 25, , , , , , , , , , , , , , ,0 9 50, ,38 Taelle 7: Messreihe Linseneinstellung (): Positionen der Apparaturen, alle Angaen in mm Diagramme: siehe nächste Doppelseite. Somit hat das Linsensystem in Einstellung (a) eine ungefähre Brennweite von (33 ± 6) mm und die Haupteenenastände h und h 2 von der Marke von h = (55 ± 3) mm und h 2 = (30 ± 4) mm Das Linsensystem in Einstellung () hat eine Brennweite von (92,0 ±,2) mm und die Haupteenenastände h und h 2 von der Marke von h = (8,5 ±,3) mm und h 2 = (42,0 ± 3,6) mm Man sieht deutlich, dass in der Linseneinstellung () deutlich genauere Messwerte erzielt wurden. Warscheinlich liegt es daran, dass die Vergrößerung dort genauer estimmt wurde. Wie aus den Messreihen ersichtlich ist, wurde ei (a) gemessen, wieviele Millimeter des Dias einem zw. zwei Zentimetern auf dem Schirm entsprachen. In der Messreihe () wurde gemessen, wie lang ein Millimeter des Dias auf dem Schirm entspricht. Wenn dies nicht genau alesar war, wurden die Linien, die direkt üereinander lagen, genommen. Da sich größere Längen (ei konstantem Fehler) genauer messen lassen, wurden für () genauere Ergenisse erzielt. 5

6 .3.2 Diagramme k Messwerte lineare Regression Aildung : Messreihe für Aufau (a) Regressionsgerade: y = f x + h, mit f = (28 ± 8) mm und h = ( 55 ± 3) mm k Messwerte lineare Regression Aildung 2: Messreihe für Aufau (a) Regressionsgerade: y = f x + h 2, mit f = (37 ± 4) mm und h 2 = ( 30 ± 4) mm 6

7 k Messwerte lineare Regression Aildung 3: Messreihe für Aufau () Regressionsgerade: y = f x + h, mit f = (92 ± ) mm und h = (8,5 ±,3) mm k Messwerte lineare Regression Aildung 4: Messreihe für Aufau () Regressionsgerade: y = f x + h 2, mit f = (9,5 ± 0,7) mm und h 2 = ( 42,0 ± 3,6) mm 7

8 .3.3 Haupteenenastände Für den Haupteenenastand H der Linsen gilt: H = h h 2 Somit gilt für die Haupteenenastände der eiden Linseneinstellungen: H (a) = ( 55 ± 3) mm ( 30 ± 4) mm = (75 ± 43) mm H () = (8,5 ±,3) mm ( 42,0 ± 3,6) mm = (60,5 ± 3,9) mm.3.4 Rückschluss auf die Einzellinsen Mit der Gleichung f = + H f f 2 f f 2 lässt sich auf die Brennweiten der Einzellinsen schließen: f = f + f 2 } {{ } =A + H = A + BH f f }{{ 2 } =B f (a) = A + BH (a) A = f (a) BH (a) A = f (a) BH (a) = f () BH () B = f () f (a) f (a) f () ( H(a) H () ) = f (a) = A + BH (a) B = A = f ()H () f (a) H (a) f (a) f () ( H() H (a) ) = (75 60,5) f (a) A H (a) B = f (a) A H (a) = 92 60, (60,5 75) mm 2 = 2,3 0 4 mm 2 f () A H () mm = 2, mm B = f f 2 f 2 = Bf A = f + f 2 = f Bf Bf 2 + Af = 0 f,2 = A ± A 2 + 4B 2B Leider ist aer A 2 + 4B = 3, < 0, weshal das Ergenis imaginär mm 2 wird. Dies liegt höchstwahrscheinlich an der hohen Ungenauigkeit des Haupteenenastandes H (a). Wenn dieser zum Beispiel nur 0 cm kürzer wäre, was immer noch deutlich innerhal des Vertrauensintervalls läge, so würden f und f 2 reell werden: f [H (a)=65] = 29 mm und f [H (a)=65] = 46 mm Einen anderen möglichen Fehler erkennt man ei genauer Betrachtung von Alidung und 2: Der unterste linke zw. der oerste rechte Punkt, welche eide auf den selen Messwert asieren, weichen deutlich von den anderen a. Wenn man die Möglichkeit in Betracht zieht, dass dieser Wert von uns nur unzureichend estimmt wurde, lassen sich f (a), h und H (a) ohne diesen Wert neu erechnen (Diagramme auf der folgenden Seite). 8

9 k Messwerte lineare Regression Aildung 5: Messreihe für Aufau (a) Regressionsgerade (ohne linken Punkt): y = f x + h, mit f = (4 ± 2,) mm und h = ( 32 ± 4) mm k Messwerte lineare Regression Aildung 6: Messreihe für Aufau (a) Regressionsgerade (ohne rechten Punkt): y = f x + h 2, mit f = (06 ± 4) mm und h 2 = ( 45 ± ) mm Somit gilt nun: f (a) = 0 ± 4 mm und H (a) = h 2 h = 3 ± 2 mm. Daraus folgt für f und f 2 nach origer Gleichung: f = 85 mm und f 2 = 35 mm. Anderenseits zeigt diese Rechnung auch, das wir viel zu wenig Werte gemessen haen, um die Einzelrennweiten damit annähernd genau estimmen zu können. 9

10 2 Aufau optischer Instrumente 2. Das Keplersche und Galileische Fernrohr In diesem Versuch sollen ein Keplersches und ein Galileisches Fernrohr mit sechsfacher Vergrößerung Γ aufgeaut werden. Aus der Vorereitung ist ekannt, dass für die Vergrößerung Γ eider Fernrohre gilt: Γ f () woei f die Brennweite des Ojektivs und f 2 die des Okulars ist. Für die Fernrohre verwendeten wir folgende Linsen: f 2 Fernrohr f /mm f 2 /mm Γ Galilei ,4 Kepler Taelle 8: Linsen der Fernrohre Die Linsen wurden entsprechend den Skizzen aus der Vorereitung positioniert. Das Fernrohr stellten wir auf einen Tisch und etrachteten damit einen am anderen Ende des Raumes aufgehängten Metersta. Um die Vergrößerung azuschätzen, schauten wir durch das Fernrohr und maßen den Astand diverser Markierungen auf dem Metersta durch das Fernrohr, zwischen je zwei in der Realität jeweils 5 cm Astand sind. Darüer hinaus stellten wir einen Finger in das Sichtild und versuchten, den Astand der Markierungen durch das Fernrohr am Finger azutragen. Anschließend maßen wir diese Länge. Diese Methode stellte sich jedoch als schwierig und ungenau heraus, da das Auge zwischen Finger und Fernrohrild des Meterstas sehr unterschiedlich akkomodieren muss (ihre Astände zum Auge sind sehr verschieden), sodass immer mindestens ein Ojekt nur unscharf zu erkennen ist. Außerdem maßen wir die agetragene Länge auf dem Finger mit einem Geodreick nach. Wir nahmen also an, dass wir die Strichastände auf dem Metersta unahängig davon, wie weit wir von ihr entfernt sind, als gleich lang erkennen. Aus der alltäglichen Erfahrung ist aer ekannt, dass Gegenstände in größerer Entfernung kleiner erscheinen als welche, die näher sind. Unsere Messergenisse: Üerraschenderweise entsprechen die Messwerte für das Kepler-Fernrohr trotz den een genannten großen Messungenauigkeiten genau den erechneten. Die groe Messmethode macht sich aer eim Galilei-Fernrohr emerkar. Dort wurde eine 2,5-fache Vergrößerung gemessen, was mehr als das Doppelte des Berechneten entspricht. 0

11 Γ Messung d Fernrohr /mm d real /mm Γ exp exp Γ Galilei-Fernrohr , ,4 Kepler-Fernrohr ,5 2, ,5 2,08 Taelle 9: Messdaten für die Fernrohrvergrößerung d Fernrohr : Astand der Marken durch das Fernrohr etrachtet d real : Astand der Marken in der Realität 2.2 Der Diaprojektor Um eine 0-fache Vergrößerung in,5 m Entfernung vom Dia zu erreichen, hätten wir nach der Rechnung im Vorprotokoll ein Ojektiv mit der Brennweite 24 mm enötigt. So eine Linse stand uns nicht zur Verfügung. Um trotzdem eine 0-fache Vergrößerung zu erreichen, enutzen wir ein Ojektiv mit 00 mm Brennweite und passten die Astände an. Es gilt: f = β = 0 = y y = a a a = 0a aa a + a = 0a2 a a = 0 mm a = 00 mm e = a + a = 20 mm Wir stellten den Schirm auf die Position 30 mm der optischen Bank auf, und die Graphik 20 mm weiter an die Position 240 mm. Als Graphik wählten wir ein Dia, auf dem sich ein Messstreifen mit einer cm-skala efindet, und für den Schirm nahmen wir Millimeterpapier, sodass man die Breite des Diaildes gleich alesen kann. Leider konnten wir mit diesen erechnenten Werten nicht genau die 0-fache Vergrößerung erreichen. Erst nachdem wir die Linse auf die Position 3,7 cm verschoen haen, erschien auf dem Millimeterpapier ein genau 0 cm langer Strich. Dies könnte daran liegen, dass die Aildungsgleichung eine Näherung ist, und durch das große Bild von 0 cm Breite kleine Aweichungen vorliegen. 2.3 Das Mikroskop Wir auten hier ein Mikroskop mit einer 20-fachen Vergrößerung auf. Für diese gilt, wie aus der Vorereitung ekannt:! Γ Mikr = 20 t s 0 (2) f Oj f Ok Die Brennweiten sowohl von Ojektiv als auch Okular sollten also so klein wie möglich sein, um eine möglichst große Vergrößerung zu erreichen. Wir wählten dafür

12 die Linsen mit den Brennweiten f Oj = 90 mm und f Ok = 70 mm. s 0 ist ei jeder Person leicht anders, wir nahmen dafür den in der Versuchsmappe angegeenen Durchschnittswert von 25 cm an. Für die Tuuslänge folgt dann t = 504 mm. Der Astand von Dia und Ojektiv ist ei dieser Näherungsgleichung nicht erücksichtigt. Wir estimmten sie, indem wir durch die Lampe schauten und den Astand so veränderten, dass man ein scharfes Bild erkennen konnte. Dies geschah ei einem Astand von 0,6 cm. Da im Gegensatz zum Diaprojektor das Licht nicht auf einen Schirm fällt, sondern direkt in das Auge, verringerten wir die Lichtintensität, indem wir ein Blatt Papier vor das Dia klemmten. Zur Bestimmung der Vergrößerung haen wir hier dassele Prolem wie eim Keplerschen und Galileischen Fernrohr. Wir müssten durch das Okular schauen und gleichzeitig eine feste gesehene Länge auf dem Finger atragen. Wir ersetzten das Dia mit Millimeterpapier. Die Lampe ist stark genug, um durch das Papier durchzuleuchten, sodass man die einzelnen Kästchen des Millimeterpapiers deutlich erkennen konnte. Wir schauten durch das Mikroskop und trugen eine estimmte Anzahl an Kästchenlängen des Millimeterpapiers an einem Finger a. Anschließend eoachteten wir, wieviele Kästchenlängen des Millimeterpapiers die agetragene Fingerlänge ohne Mikroskop aus derselen Entfernung verdeckten. Der Quotient der Längen ildet die Vergrößerung. Mit dieser Methode veresserten wir die zur Bestimmung der Vergrößerung der Fernrohre, da wir hier vom gleichen Astand zum Untersuchungsojekt darauf schauten und die verschiedenen Längen vergleichen. Unsere Messergenisse: Messung Länge mit Mikroskop Länge ohne Mikroskop Γ exp Γ exp Γ 4 mm 0 mm 27,5, mm 45 mm 22,5,3 Taelle 0: Messdaten für die Mikroskopvergrößerung Die Messwerte sind also relativ gut für die groe Messmethode. Schwankungen zwischen den Messwerten können neen der ungenauen Messung auch an der Festlegung von s 0 = 25 cm liegen, welche individuell verschieden ist. 2