Abbildung durch Linsen

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1 Dr. Angela Fösel & Dipl. Phys. Tom Michler Revision: Die geometrische Optik oder Strahlenoptik ist eine Näherung der Optik, in der die Welleneigenschaften des Lichtes vernachlässigt werden, weil die mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen (Spiegel, Linsen, Blenden,...) und die abgebildeten Objektdetails groß im Verhältnis zur Wellenlänge des Lichtes sind. Sichtbares Licht hat eine Wellenlänge von ca. 400 bis 750 nm, was wesentlich kleiner ist als die Maße von Alltagsgegenständen und optischen Bauteilen. Man kann die geometrische Optik mathematisch aus der Wellenoptik als Grenzfall für verschwindende Wellenlänge herleiten. In diesem Versuch sollen die Aspekte der geometrischen Optik durch Abbildungen durch Linsen untersucht werden. 1

2 1 Vorbereitungen Zur Einarbeitung in diesen Versuch sollten Sie neben den allgemeinen Kenntnissen der Optik vor allem folgende Punkte vertiefen: ˆ Erläuterungen und Axiome der geometrischen Optik ˆ Erklärung und Darstellung des Strahlengangs am Prisma und Erläuterung Dispersion ˆ Erklärung und Darstellung von Reflexionsgesetz und Brechungsgesetz ˆ Erläuterung Linsenarten, Brennweite, Brechkraft ˆ Erklärung und Konstruktion von reellen und virtuellen Bilder (Konstruktion am Strahlengang mit 3 Hauptstrahlen) ˆ Erklärung verschiedener Linsenfehler (Farbfehler detaillierter weiter unten) ˆ Erläuterung und Aufbau von Linsensystemen ˆ Erklärung der unterschiedlichen Verfahren zur Brennweitenbestimmung (Erklärung anhand von Darstellungen) ˆ Kenntnisse von Aufbau, Funktionsweise und Strahlengang folgender optischer Geräte. Insbesondere Darstellung der Vergrößerung des Sehwinkels: Lupe Mikroskop Teleskop Diaprojektor ˆ Erläuterung des Aufbaus und der Funktionsweise von apochromatischen Linsen ˆ Farbfehler: Ausführliche Erläuterung der Entstehung von Farbfehlern (chromatische Aberationen) bei der Ausführliche Erläuterung der Korrektur von Farbfehlern bei apochromatischen Linsen Ausführliche Erklärung des Aufbaus eines apochromatischen Linsensystems (insbesondere auch auf Front- und Backfokus eingehen) ˆ Herleitungen: Herleitung der Gleichungen (1), (3) und (4) ausgehen vom Strahlengang zur Bildkonstruktion Herleitung der Bedingungen für die verschiedenen Abbildungen (reell vergrößerte/verkleinerte bzw. virtuelle Bilder) an konkaven und konvexen Linsen 2

3 In der schriftlichen Vorbereitung gehen Sie neben der allg. Beschreibung der Versuche auch auf die oben genannten Punkte ein. Achten Sie darauf, dass bestimmte Teilaufgaben in der Vorbereitung, also vor dem Versuchstag, durchzuführen sind. 2 Theorie 2.1 Abbildungsgleichung Mit einer dünnen Linse kann näherungsweise eine (Gegenstands-)Ebene punktweise in eine (Bild-)Ebene abgebildet werden. Für diese Abbildung gilt: Dabei ist: 1 f = 1 g + 1 b ˆ g die Gegenstandsweite, d.h. der Abstand der Gegenstandsebene von der Linse ˆ b die Bildweite, d.h. der Abstand der Bildebene von der Linse ˆ f die Brennweite der Linse, d.h. der Abstand der Bildebene von der Linse für einen unendlich weit entfernten Gegenstand 2.2 Linsensystem Optische Systeme (Mikroskope, Fernrohre) enthalten immer mehrere Linsen, meistens, um z.b. Abbildungsfehler (Aberration) zu verhindern oder um das Gesichtsfeld zu Vergrößern. Wird zur Abbildung ein Linsensystem aus zwei einander berührende (dünne) Linsen verwendet, die natürlich an den Berührflächen die gleiche Krümmung besitzen müssen, so lässt sich die Gesamtbrennweite f (auch Gaußsche Brennweite genannt), aus den Einzelbrennweiten f 1 und f 2 mittels (1) 1 f = d (2) f 1 f 2 f 1 f 2 bestimmen. Dabei ist d der Abstand zwischen den beiden Linsen, der vernachlässigt werden darf, wenn d 1 3

4 2.3 Bestimmung der Brennweite einer Linse Mit der Parallelstrahlmethode Dabei wird ein unendlich (d.h. g f) weit entfernter Gegenstand durch eine Linse auf einen Schirm abgebildet. Ist das Bild auf dem Schirm scharf zu sehen, so befindet sich der Schirm in der Brennebene. Der Abstand zwischen Schirm und Linse ist die gesuchte Brennweite Nach dem Abbildungsgesetz Ein Gegenstand im Abstand g zur Linse wird durch diese auf einem Schirm scharf abgebildet (siehe folgende Abb. 1). Der Abstand zwischen Linse und Schirm entspricht der Bildweite b. Daraus lässt sich nach (1) die gesuchte Brennweite f der Linse berechnen. Zur Durchführung der Messung empfiehlt es sich, eine bestimmte Entfernung s = b + g zwischen Objekt und Schirm einzustellen. Dann wird die Linse so lange verschoben, bis ein scharfes Bild auf dem Schirm zu erkennen ist. Abbildung 1: Einfaches Verfahren zur Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Durch Autokollimation Bei diesem Verfahren stellt man dicht hinter die zu untersuchende Linse einen ebenen Spiegel. Man verschiebt nun die Linse zusammen mit dem Spiegel gegen den selbst leuchtenden Gegenstand, bis dieser wieder scharf in der Gegenstandsebene abgebildet wird (siehe Abb. 2). Dies ist genau dann der Fall, wenn sich der Gegenstand in der Brennebene der Linse befindet. Zunächst werden Sie unerwartet bei mehreren Abständen zwischen Gegenstandsebene und Linse scharfe Bilder beobachten. Nur eines davon ist das gesuchte Autokollimationsbild, die anderen entstehen durch Reflexion an der Linsenoberfläche oder am Spiegel. 4

5 Abbildung 2: Verfahren zur Brennweitenbestimmung durch Autokollimation Das gesuchte Bild ist das hellste, das verschwindet, wenn man die Hand zwischen Linse und Spiegel hält Mit dem Besselverfahren Für jeden vorgegebenen Abstand s > 4 f zwischen Schirm und Gegenstand gibt es zwei symmetrische Linsenstellungen, in denen jeweils eine scharfe (vergrößerte bzw. verkleinerte) Abbildung erfolgt. Aus der Verschiebung e von einer scharfen Stellung der Linse zur anderen und der Entfernung s läßt sich f bestimmen (vgl. Abb. 3): f = s2 e 2 4s (3) Abbildung 3: Brennweitenbestimmung nach dem Besselverfahren 2.4 Abbildungsmaßstab Der Abbildungsmaßstab β ist definiert als das Verhältnis zwischen der Größe der optischen Abbildung B eines Gegenstandes und dessen realer Größe G: β = B G = b g (4) 5

6 Abbildung 4: Im Beispiel hier ist der Abbidlungsmaßstab β = 10/20 = Aufgaben Hinweise: ˆ Im Protokoll sind zunächst sämtliche abgelesene Orte zu notieren. Differenzen werden erst anschließend gebildet! D.h.: sind z O, z L, z S Position von Objekt, Linse und Schirm auf der optischen Bank, so folgt b = z S z L und g = z L z S. ˆ Die in diesem Versuch verwendeten Linsen sind apochromatisch korrigierte und in Fassungen gehaltene Linsen. Apochromatische Linsen haben zwei unterschiedliche Brennweiten (Backfokus und Frontfokus). In der Fassung ist auf einer Seite ein etwas größerer Abstand zur Linse als auf der gegenüberliegenden Seite. Dies wird im Text durch das Symbol () für die Seite mit dem größeren Abstand vom Rand der Fassung zur Linse und () für die Seite mit dem kleineren Abstand vom Rand der Fassung zur Linse gekennzeichnet. Achten Sie bei den entsprechenden Aufgaben darauf, dass bei Linsensystemen die Linsen stets in die gleiche Richtung zeigen, z.b. () (). Eine Linsenstellung der Form () () kann nicht mehr als System mit vernachlässigbarem Abstand genähert werden. 1. Brennweitenbestimmung von verschiedenen Linsen Hinweise zu Aufgabenteile a,b,d: Man beachte, dass das Lot vom Linsenmittelpunkt auf die optische Bank nicht mit der Ablesemarke am optischen Reiter übereinstimmt. Aus diesem Grund ist sowohl in der Linsenstellung () als auch in der Stellung () eine Messung auszuführen und f als Mittelwert der jeweils ermittelten Brennweiten zu bestimmen. Die Brennweite und die Brechkraft von 5 Linsen soll ermittelt werden. Diskutieren Sie anschließend jeweils die Genauigkeit Ihrer Messungen (Messungenauigkeit, statistischer Fehler): a) Nach der Parallelstrahlmethode für die Linsen b, c und d und die Linsenkombination a + b (je drei Messungungen für Front- und Backfokus). Notieren Sie die Ergebnisse nach Mustertabelle 1: Berechnen Sie aus den gewonnenen Daten die Brechkraft und die Brennweite der Linse a. b) Nach der Methode der Autokollimation für Linse c. c) Nach dem Besselverfahren für die Linse Mob (s = 12 cm), Linse d (s = 25 cm) und die Linsenkombination a+c (s = 33 cm). Bestimmen Sie daraus auch 6

7 Linse f in Pos. () [cm] f in Pos. () [cm] f in cm D = 1/f in dpt b c d a+b Tabelle 1: Brennweitenbestimmung nach der Parallelstrahlmethode die Brennweite und die Brechkraft der Linse a. Notieren Sie die Werte nach Mustertabelle 2. Warum ist das Besselverfahren gerade für Linsensysteme besonders gut geeignet? Linse z O in cm z 1L in cm z 2L in cm z S in cm s in cm e in cm f in cm Mob d a+c Tabelle 2: Brennweitenbestimmung nach dem Besselverfahren für die Linsen Mob, d und das Linsensystem a+c d) Unter Verwendung der Abbildungsgleichung für die Linse c: Der Abstand zwischen Gegenstand und Schirm soll dabei schrittweise zwischen 45 cm und 75 cm in Schritten von 5 cm variiert werden. Führen Sie hier die Auswertung auch mit Hilfe folgender grafischer Darstellungen durch: ˆ Man trage Punkte mit den Koordinaten (1/g; 1/b) in ein Koordinatensystem ein (siehe Abbildung 5). Aus Gründen der Symmetrie lassen sich die Wertepaare vertauschen, so dass die Punkte (1/b; 1/g) in das gleiche Koordinatensystem aufgetragen werden können. Anschließend lege man eine Gerade durch diese Punkte. Der Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen ergibt die Brechkraft. Zeigen Sie, dass sich nach der Linsenformel tatsächlich eine Gerade ergeben sollte. ˆ Eine weitere Nachprüfung der Linsenformel ist folgendermaßen möglich: 7

8 Abbildung 5: Bestimmung der Brennweite Die gemessenen Wertepaare (g; b) werden auf Ordinate und Abszisse eines rechtwinkligen Koordinatensystems aufgetragen und jeweils durch eine Gerade verbunden (siehe Abbildung 6). Alle Geraden schneiden sich im Punkt f. Beweis: Nach der Newton-Formel ist z z = (g f)(b f) = f 2 ; aus ähnlichen Dreiecken in der Abbildung liest man ab: z/f = f/z. Abbildung 6: Grafische Darstellung der Linsenformel 2. Lupe Um die Vergrößerung eienr Lupe abzuschätzen, wählt man die sog. deutliche Sehweite d = 250 mm als Bezugsgröße. Ein Gegenstand erscheint in dieser Entfernung unter einem Winkel ϕ 0. Betrachtet man den gleichen Gegenstand im Abstand d = f mit einer Lupe, erscheint dem Betrachter das virtuelle Bild unendlich entfernt und der Winkel ϕ vergrößert. Dies macht den vergrößernden Effekt der Lupe aus (vgl. dazu folgende Abb. 7). 8

9 Abbildung 7: Lupe Bestimmen Sie die Vergrößerung einer Lupe, indem Sie zwei Maßstäbe vergleichen, von denen Sie einen direkt durch die Lupe (Abstand Auge - Lupe entspricht der Brennweite f) und gleichzeitig mit dem anderen Auge in einer Entfernung von d = 25 cm betrachten. Stellen Sie fest, wie viele Skalenteile des einen Maßstabes einer bestimmten Anzahl des anderen entsprechen und berechnen Sie daraus die Vergrößerung. Nutzen Sie dabei möglichst das gesamte Gesichtsfeld aus! Bestimmen sie die Vergrößerung der Lupe experimentell und rechnerisch. 3. Mikroskop Mit der Linse Mob als Objektiv und der Linse d als Okular soll ein Mikroskop aufgebaut werden. Um überhaupt ein brauchbares Gesichtsfeld zu erhalten, müssen Sie die Anordnung durch eine Kollektivlinse vervollständigen. Welche Funktion hat diese und wie groß muss ihre Brennweite gewählt werden? Welche der vorhandenen Linsen ist demnach am besten für diesen Zweck geeignet? Stellen Sie das Mikroskop für drei verschiedene Tubuslängen auf das vorhandene Objekt (Insektenflügel) scharf ein und berechnen Sie die jeweilige Vergrößerung. Hinweise: ˆ Man bezeichnet allg. s 0 = 25 cm als die sog. natürliche Sehweite ˆ ACHTUNG: Da Sie bei diesem Versuch unter Umständen mit direktem Blick in die Lichtquelle schauen, muss die Lampenspannung deutlich abgesenkt werden 4. Diaprojektor Bauen Sie einen einfachen Projektionsapparat aus Lampe, Linse B und Schirm (zunächst ohne Kondensor). Welche Wirkung auf die Bildqualität hat eine Kondensorlinse, wie wird sie angeordnet und welche Brennweite für den Kondensor ist zweckmäßig? Diskutieren Sie die gemachten Beobachtungen in ihrer Ausarbeitung. 9

10 5. Fernrohr Mit der Linse B als Objektiv und (zunächst) Linse C als Okular soll ein Fernrohr aufgebaut werden. Man stelle es auf einen fernen Punkt scharf ein. a) Wie groß ist der Abstand Okular - Objektiv? Durch welche Eigenschaften der verwendeten Linsen wird er bestimmt? b) Bestimmen Sie die Vergrößerung des Fernrohrs sowohl experimentell als auch rechnerisch, vergleichen Sie Ihre Ergebnisse und diskutieren Sie ggf. die Abweichungen. Zur experimentellen Bestimmung der Vergrößerung richten Sie das Fernrohr auf einen Maßstab, der einige Meter entfernt aufgestellt wird. Verschieben Sie die Linsen so gegeneinander, bis ein scharfes Bild erscheint. Beobachten Sie den Maßstab mit dem einen Auge durch das Fernrohr und zugleich mit dem anderen direkt. Sie können dann den Gegenstand und sein vergrößertes Bild übereinander sehen und dabei grob die Vergrößerung bestimmen. c) Wiederholen Sie den vorigen Versuchsteil mit der Linse D als Okular! d) Es soll nun ein Teleskop aus einer herkömmlichen Sammellinse der Brennweite von 150mm als Objektiv und einer Sammellinse von 50mm als Okular aufgebaut werden. Vergleichen Sie Abbildungseigenschaften zur Abbildung mit den apochromatisch korrigierten Linsen und beschreiben Sie kurz Ihre Beobachtung. 10