Aufgabe 1. Aufgabe 2. Eine Funktion y = f(x) soll durch ein Polynom zweiten Grades approximiert werden. Der Ansatz für das Polynom lautet:

Transkript

1 Semesterklausur Grundlagen der Ausgleichungsrechnung SS Juli 1996 Zeit: 2 Stunden Alle Hilfsmittel sind zugelassen Eine Funktion y = f(x) soll durch ein Polynom zweiten Grades approximiert werden. Der Ansatz für das Polynom lautet: In einem Dreieck sind zwei Winkel und deren gegenüerliegende Seiten gemessen worden. y = a x + x 2 γ Die folgenden Wertepaare der Funktion sind ekannt: x y = f(x) 1-0,5 3-0,7 5 0,1 7 1,4 a β Die x-werte sind fehlerfrei. Die y-werte wurden gleichgenau estimmt und sind voneinander unahängig. 1. Bestimmen Sie die ausgeglichenen Koeffizienten des Approximationspolynoms durch Ausgleichung nach vermittelnden Beoachtungen. 2. Wie groß ist der mittlere Fehler eines Funktionswertes y = f(x), der mit den ausgeglichenen Polynomkoeffizienten für den Wert x = 10 erechnet wird. Beoachtungen: a = 247,320 m m a = ± 1 cm = 211,210 m m = ± 1 cm = 55,0000 gon m = ± 2 mgon β = 45,0000 gon m β = ± 2 mgon 1. Berechnen Sie die ausgeglichenen Meßwerte durch einen Ansatz nach edingten Beoachtungen. 2. Berechnen Sie den mittleren Fehler des ausgeglichen Winkels γ.

2 Semesternachklausur Grundlagen der Ausgleichungsrechnung SS Oktoer 1996 Zeit: 2 Stunden Alle Hilfsmittel sind zugelassen Von einem Streckenmeßistrument soll die Additionskonstante estimmt werden. Zu diesem Zweck wurden vier Punkte auf einer Geraden vermarkt, zwischen diesen Punkten wurde eine Streckenmessung in allen Kominationen durchgeführt. Die Beoachtungen sind voneinander unahängig und gleichgenau. In einem Dreieck wurden die Seiten und c sowie die Richtungen r AC und r AB eoachtet. Aus einer vorangegangenen Berechnung ist die Fläche A des Dreiecks sowie deren mittlerer Fehler ekannt. Die Beoachtungen sind voneinander unahängig und gleichgenau. C s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 r AC A h c a s 6 A r AB c B Es wurden folgende Werte eoachtet: Es wurden folgende Werte eoachtet: s 1 = 11,963m s 2 = 50,654m s 3 = 97,477m s 4 = 38,648m s 5 = 85,466m s 6 = 46,787m = 59,960 m m = ± 3 mm c = 62,103 m m c = ± 3 mm r AC = 63,548 gon m rac = ± 1 mgon r AB = 103,924 gon m rab = ± 1 mgon A = 1103,1 m 2 m A = ± 0,1 m 2 a) Handelt es sich um ein lineares oder um ein nichtlineares Ausgleichungsprolem? Begründen Sie Ihre Aussage. (2) a) Berechnen Sie die ausgeglichenen Meßwerte durch einen Ansatz nach edingten Beoachtungen. (30) ) Berechnen Sie die ausgeglichene Additionskonstante a durch einen Ansatz nach vermittelnden Beoachtungen. c) Wie groß ist der mittlere Fehler einer mit dem gleichen Instrument gemessenen Strecke s 7 nachdem die Additionskonstante angeracht wurde? (18) (11) ) Wie groß ist der mittlere Fehler der ausgeglichenen Höhe h c? (16)

3 Semesterklausur Grundlagen der Ausgleichungsrechnung SS Juli 1997 Zeit: 2 Stunden Alle Hilfsmittel sind zugelassen In einem Viereck wurden die Seitenlängen und zwei gegenüerliegende Winkel gemessen. d c a β Der mittlere Fehler der Winkeleoachtungen eträgt m = m β = ± 4 mgon. Der mittlere Fehler einer Streckeneoachtung errechnet sich nach der Formel: ms = ± s 100 m. a) Bestimmen Sie die Redundanz dieses Ausgleichungsprolems. (2) a = = c = d = = β = 114,72 m 167,65 m 80,03 m 150,79 m 109,808 gon 85,937 gon Für ein elektronisches Tachymeter errechne sich der Betrag des mittleren Fehlers einer Streckenmessung nach der Formel: m = a + s s Hierin ist a der konstante und s der streckenahängige Fehleranteil. Um die Koeffizienten a und für ein estimmtes Instrument zu ermitteln, wurde mit diesem auf einer Prüfstrecke gemessen die als fehlerfrei etrachtet wird. Daei wurden die folgenden Werte erhalten: s (fehlerfrei) [m] s (gemessen) [m] s s s s s s s ) Berechnen Sie die ausgeglichenen Meßwerte durch Ausgleichung nach edingten Beoachtungen. (50) a) Berechnen Sie die Koeffizienten a und durch Ausgleichung nach vermittelnden Beoachtungen. (30) c) Berechnen Sie den mittleren Fehler der gemessenen Strecke. (15) d) Üerprüfen Sie das Ergenis der Ausgleichung nichtlinear. ) Wie groß ist der mittlere Fehler einer Strecke von 1000m die mit diesem Instrument eoachtet wird?

4 Nachklausur Grundlagen der Ausgleichungsrechnung SS Novemer 1997 Zeit: 2 Stunden Alle Hilfsmittel sind zugelassen Bei der Digitalisierung einer Flurkarte wurden die Koordinaten von drei Geäudeecken gleich genau eoachtet. Punkt x [m] y [m] Es ist ekannt, daß die Geäudeseiten 1-2 und 2-3 einen rechten Winkel einschließen, daher sollen die eoachteten Koordinaten durch Homogenisierung veressert werden. Für ein Auto soll der Kraftstoffverrauch pro 100km in Ahängigkeit von der Geschwindigkeit ermittelt werden. Hierfür wurde ei verschiedenen Geschwindigkeiten der Verrauch gemessen. Geschwindigkeit v[km/h] Verrauch k[liter/100km] Die Werte der Geschwindigkeit können als fehlerfrei etrachtet werden. Die Messungen des Verrauches sind gleich genau. Die funktionale Ahängigkeit läßt sich mit folgender Funktion eschreien: k = a + v +cv 2 a) Bestimmen Sie die Redundanz des Ausgleichungsprolems (2) ) Berechnen Sie die veresserten Koordinaten der Punkte 1 is 3 durch Ausgleichung nach edingten Beoachtungen. (26) c) Verproen Sie das Ergenis nichtlinear. d) Bestimmen Sie den mittleren Punktfehler des eoachteten Punktes 2. (6) a) Bestimmen Sie die ausgeglichenen Funktionsparameter. (15) ) Bei welcher Geschwindigkeit ist der Verrauch minimal? c) Welchen mittleren Fehler esitzt die unter ) ermittelte Geschwindigkeit? (19) e) Bestimmen Sie den mittleren Punktfehler des ausgeglichenen Punktes 2. (12) Hinweis: Als Ansatz eignet sich z.b. das Skalarprodukt.

5 Semesterklausur Grundlagen der Ausgleichungsrechnung SS Juli 1998 Zeit: 2 Stunden Alle Hilfsmittel sind zugelassen Die Strecken zwischen den, in einer Gerade liegenden, Punkten A, B, C und D sind in allen Kominationen gemessen worden. A B C D Alle Streckeneoachtungen sind gleich genau und unahängig voneinander. a) Ermitteln Sie die Redundanz des Ausgleichungsprolems. (2) ) Stellen Sie die Veresserungsgleichungen für eine Ausgleichung nach vermittelnden Beoachtungen auf. S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 Si [m] s1 111,133 s2 300,009 s3 704,040 s4 188,871 s5 592,920 s6 404,042 Für die Bestimmung der Koordinaten des Neupunktes 4 sind zwei Winkel und eine Strecke eoachtet worden (siehe Skizze). 1 β 2 4 S 34 3 Festpunkte Punkt X [m] Y [m] 1 255,642 90, , , , ,267 Neupunkt Näherungskoordinaten X 0 [m] Y 0 [m] 4 198,5 140,3 Beoachtungen gemessen Mittlerer fehler 62,9412 gon ± 1 mgon β 56,1300 gon ± 1 mgon S 34 86,0806 m ± 1 cm c) Stellen Sie die Bedingungsgleichungen für eine Ausgleichung nach edingten Beoachtungen auf. d) Berechnen Sie die ausgeglichenen Strecken durch eine Ausgleichung nach edingten Beoachtungen. e) Berechnen Sie den mittleren Fehler der ausgeglichenen Strecke AB. a) Ermitteln Sie die Redundanz des Ausgleichungsprolems. (20) ) Berechnen Sie die ausgeglichen Koordinaten des Neupunktes 4 durch Ausgleichung nach vermittelnden Beoachtungen in einem Iterationsschritt und üerprüfen Sie die Linearisierung. c) Berechnen Sie die mittleren Fehler der ausgeglichenen Koordinaten des Punktes 4 m x und m y. (44) d) Bestimmen Sie die ausgeglichene Fläche des Dreieckes 1,2,4 und deren mittleren Fehler. (20)

6 Nachklausur Grundlagen der Ausgleichungsrechnung SS Dezemer 1998 Zeit: 2 Stunden Alle Hilfsmittel sind zugelassen Für die Bestimmung der Koordinaten des Neupunktes N1 wurden die Richtungen von N1 zu den Festpunkten F1 is F4 eoachtet. Außerdem wurde im gleichen Richtungssatz die Richtung sowie die Strecke zum Punkt N2 eoachtet. Die Näherungskoordinaten des Punktes N1 sind ekannt. F4 N2 F1 N1 F3 F2 Beoachtungen und Koordinaten Pkt x [m] y [m] r [gon] s [m] N1 2461,3 3002,7 (Näherungskoordinaten) F1 3771, , ,9497 F2 1101, , ,7945 F3 1512, , ,1905 F4 3615, , ,9966 N2 79, ,214 a) Ermitteln Sie die Redundanz des Ausgleichungsprolems. (2) ) Berechnen Sie die Ausgeglichenen Koordinaten des Punktes N1. (50) c) Üerprüfen sie das Ergenis Ihrer Berechnung nichtlinear. (14) d) Berechnen Sie die mittleren Fehler der Koordinaten des Punktes N1. (4) e) Berechnen Sie den mittleren Fehler einer eoachteten Richtung. (4) f) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes N2. (2) g) Ermitteln Sie die mittleren Fehler der Koordinaten des Punktes N2 unter der Voraussetzung, daß der mittlere Fehler der Streckeneoachtung ±5mm eträgt. (24)

7 Semesterklausur Grundlagen der Ausgleichungsrechnung SS Juli 1999 Zeit: 2 Stunden Alle Hilfsmittel sind zugelassen Von einem Entfernungsmesser sollen Additionskonstante und Maßstaskonstante estimmt werden. Zu diesem Zweck wurde eine Vergleichsstrecke AD in drei Teilstrecken unterteilt. Nur die Strecke AD ist fehlerfrei ekannt. Die Teilstrecken wurden in allen Kominationen eoachtet. A B C D Alle Streckeneoachtungen sind gleich genau und unahängig voneinander. Hinweis zum Ansatz für die Maßstaskonstante: m = (1+ m) a) Ermitteln Sie die Redundanz des Ausgleichungsprolems. ) Stellen Sie die Veresserungsgleichungen für eine Ausgleichung nach vermittelnden Beoachtungen auf. c) Stellen Sie formal A-Matrix, l-vektor, P-Matrix und x-vektor auf. S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 Die Höhe des Neupunktes N soll durch trigonometrische Höhenestimmung mit horizontalem Hilfsdreieck ermittelt werden. Die Höhen der Standpunkte 1 und 2 sind fehlerfrei ekannt. Die folgenden Größen wurden eoachtet: Horizontalstrecke S 12 Horizontalwinkel und β Zenitwinkel ζ 1 und ζ 2 Die Standardaweichungen der Beoachtungen sind eenfalls ekannt. ζ 1 ζ 2 a) Ermitteln Sie die Redundanz des Ausgleichungsprolems. ) Stellen Sie die Bedingungsgleichung(en) für eine Ausgleichung nach edingten Beoachtungen auf. c) Stellen Sie formal B T -Matrix, w-vektor und P -1 -Matrix auf. 1 N S 12 β 2 d) Geen Sie den Rechenweg für die Berechnung der Unekannten und deren mittlerer Fehler an. d) Geen Sie die Formeln für die Berechnung der Elemente der B T -Matrix und des w-vektors an. e) Geen Sie den Rechenweg für die Berechnung des mittleren Fehlers einer Strecke an, die mit dem selen Instrument eoachtet wird. e) Geen Sie den Rechenweg für die Berechnung der ausgeglichenen Höhe des Punktes N und deren mittleren Fehler an.

8 Nachklausur Grundlagen der Ausgleichungsrechnung SS Novemer 1999 Zeit: 2 Stunden Alle Hilfsmittel sind zugelassen Für die Bestimmung des Höhenunterschiedes zwischen den Punkten 1 und 2 h 12 wurde das ageildete Nivellementsnetz gemessen. Beoachtet wurden die Höhenunterschiede h 1A, h 1B, h 2A und h 2B. Der Höhenunterschied h AB ist fehlerfrei ekannt. A B Es ist ekannt, daß die Standardaweichung einer Lattenalesung 1 2 eim Nivellement σ l = ± 1 mm eträgt. Die Strecke zwischen zwei Lattenstandpunkten etrug 50 m. In einem Kreissektor wurden folgende Elemente eoachtet: Radius Bogenlänge Sehnenlänge Zentriwinkel r s Gesucht ist die ausgeglichene Fläche F S des Kreissektors. s r h AB = 2,909 m (fehlerfrei) Beoachtungen: Beo. Strecke h 1A = -3,977 m 1,8 km h 1B = -1,068 m 2,5 km h 2A = -1,891 m 2,0 km h 2B = 1,018 m 1,3 km a) Ermitteln Sie die Redundanz des Ausgleichungsprolems. ) Berechnen Sie die Standardaweichung eines Höhenunterschiedes mit einem Nivellementsweg von 1 km. c) Berechnen Sie die ausgegelichenen Meßwerte mit einem Ansatz nach edingten Beoachtungen. d) Bestimmen Sie den ausgeglichenen Höhenunterschied h 12 und seinen mittleren Fehler. a) Wählen sie einen geeigneten Satz von Unekannten für eine Ausgleichung nach vermittelnden Beoachtungen aus. ) Stellen Sie die ursprünglichen Veresserungsgleichungen auf. c) Stellen Sie die linearisierten Veresserungsgleichungen auf. Geen Sie daei die partiellen Aleitungen nach den Unekannten an und vereinfachen Sie diese soweit als möglich. d) Stellen Sie ohne Zahlenwerte die A-Matrix, den l ~ -Vektor und den x-vektor auf. e) Geen Sie den Rechenweg für die Berechnung der Unekannten und deren mittleren Fehler an. f) Geen Sie den Rechenweg für die Berechnung des mittleren Fehlers der Fläche F S an.