Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten

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1 Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten Übung 2: Zweite Geodätische Hauptaufgabe und Vorwärtseinschneiden Milo Hirsch Hendrik Hellmers Florian Schill Institut für Geodäsie Fachbereich 13

2 1 Aufgabenbeschreibung Neben der Ersten Geodätischen Hauptaufgabe stellt die Zweite Geodätische Hauptaufgabe die zweite Grundaufgabe im Bereich der Vermessungskunde dar. Eine kombinierte Anwendung beider Hauptaufgaben ist das Verfahren des Vorwärtseinschneidens. 1.1 Zweite Geodätische Hauptaufgabe Mit der gegebenen Horizontalentfernung s und dem gegebenen Richtungswinkel t sind die kartesischen Koordinaten von P E zu berechnen (polares Anhängen). Gegeben: Punkt P A ( A, A ) Gesucht: Punkt P E ( E, E ) Gemessen: Richtungswinkel t A,E Strecke s A,E Δ E P E Δ s A,E t A,E A P A A E Lösung: E = A + s A,E E = A + s A,E sin t A,E cos t A,E Kontrolle: t A,E = arctan s A,E = A,E A,E 2 A,E + 2 A,E Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 1

3 1.2 Vorwärtseinschneiden Beim Vorwärtseinschneiden werden zwei einschneidende Strahlen von zwei bekannten Punkten P A und P E zum Neupunkt P Z messtechnisch bestimmt. Dieses Verfahren ermöglicht die Berechnung der Neupunktkoordinaten ( Z, Z ) ohne Streckenmessung zum Neupunkt. Gegeben: Punkt P A ( A, A ) Gesucht: Punkt P Z ( Z, Z ) Punkt P E ( E, E ) Gemessen: Richtungen r A,E, r A,Z, r E,A und r E,Z Δ P E β t E,A r E,A r E,Z Δ r A,E s A,E P A t A,E r A,Z P Z Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 2

4 Lösung: 1. Winkel und β: = r A,Z r A,E β = r E,A r E,Z 2. Richtungswinkel und Entfernung: t A,E = arctan A,E A,E s A,E = 2 A,E + 2 A,E 3. Strecke zum Neupunkt: s A,Z = s A,E s E,Z = s A,E sin β sin ( + β) sin sin ( + β) 4. Richtungswinkel zum Neupunkt: t A,Z = t A,E + t E,Z = t E,A β 5. Koordinatenbestimmung durch polares Anhängen (von A): Z = A + s A,Z Z = A + s A,Z sin t A,Z cos t A,Z 6. Kontrolle (von E): Z = E + s E,Z sin t E,Z Z = E + s E,Z cos t E,Z Z von A! = Z von E Z von A! = Z von E Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 3

5 2 Übungsaufgaben Vorüberlegungen zur erforderlichen Winkelgenauigkeit Die erste Geodätische Hauptaufgabe, siehe Übung 1, beschreibt wie aus Punktkoordinaten Strecken und Winkel berechnet werden können. Die zweite Geodätische Hauptaufgabe beschreibt wie mit Strecken und Winkel Punktkoordinaten berechnet werden können. Die Angabe der Koordinaten erfolgt in der Einheit [m] i.d.r. mit 3 Dezimalstellen, was Millimetergenauigkeit bedeutet. Sinnvollerweise werden deshalb auch alle Strecken in der Einheit [m] mit 3 Dezimalstellen angegeben. Es verbleibt die Frage, mit wie viel Dezimalstellen die in der Einheit [gon] definierten Winkel angegeben werden müssen, damit für Koordinaten immer 3 sichere Dezimalstellen (Millimetergenauigkeit, in der untenstehenden Skizze rot markierter Bereich) garantiert sind? Wie die folgende Skizze verdeutlicht, lässt sich die Frage nicht ganz eindeutig beantworten, da hier die Länge der Strecke s eine große Rolle spielt. Wir konzentrieren uns deshalb bei unseren Überlegungen auf den praxisrelevanten Entfernungsbereich von s = m: 1 mm 1 mm E s A Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 4

6 Übergang zum Bogenmaß (wobei die Strecke s durch den Radius R ersetzt wird): b R = ρ R R b = b R 200 π Beispielrechnung für Minimum und Maximum des praxisrelevanten Bereichs: s = R = 100 m: 100 = 1 mm mm 200 = 0, gon π s = R = 1000 m: 1000 = 1 mm mm 200 = 0, gon π Schlußfolgerung: Mit 4 angegebenen Dezimalstellen bei Winkelangaben können wir im betrachteten Entfernungsbereich immer sichere Koordinatenangaben mit 3 Dezimalstellen in unseren Berechnungen garantieren. Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 5

7 Aufgabe G2.1 Berechnen Sie die Gauß-Krüger-Koordinaten des Punktes E durch polares Anhängen. Führen Sie dabei sämtliche Kontrollrechnungen durch. Überprüfen Sie ihre Berechnungsergebnisse anschließend noch zeichnerisch, indem Sie eine maßstäbliche Skizze anfertigen. Punkt [m] [m] A , , 233 (a) Punkt [m] [m] A , , 982 (b) t A,E = 74, 5931 gon s A,E = 256, 458 m t A,E = 311, 1785 gon s A,E = 149, 256 m Aufgabe G2.2 Berechnen Sie in a) den Winkel und in b) den Winkel β. 1 1 r A,1 2 r A,1 2 r A,2 A r A,2 A β (a) (b) r A,1 = 34, 5441 gon r A,2 = 84, 9923 gon Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 6

8 Aufgabe G2.3 Berechnen Sie die Winkel, β und γ. 1 2 r A,1 r A,2 3 γ β A r A,3 r A,4 4 r A,1 = 329, 7891 gon r A,2 = 39, 1112 gon r A,3 = 64, 1445 gon r A,4 = 204, 1473 gon Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 7

9 Aufgabe G2.4 Berechnen Sie die Gauß-Krüger-Koordinaten des Neupunktes P Z mit Hilfe des Verfahrens des Vorwärtseinschneidens und kontrollieren Sie ihr Ergebnis. Überprüfen Sie die Berechnungsergebnisse wieder zeichnerisch, indem Sie eine maßstäbliche Skizze anfertigen. P Z r A,Z P A r A,E s A,E r E,A r E,Z β P E Punkt [m] [m] A , , 562 E , , 593 r A,E = 64, 0187 gon r A,Z = 20, 4321 gon r E,A = 311, 1669 gon r E,Z = 362, 5363 gon Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 8