Statistik und Ausgleichungsrechnung Kurzskriptum. Markus Penzkofer

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1 Statistik und Ausgleichungsrechnung Kurzskriptum Markus Penzkofer Oktober 2016

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Statistik Matrizenrechnung Ausgleichungsrechnung Grundlagen aus der Statistik Beschreibende Statistik Häufigkeitsverteilungen Lageparameter Streuungsmaße Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisalgebra Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeitsverteilungen Rechnen mit Erwartungswerten und Varianzen Schließende Statistik Punktschätzungen Intervallschätzungen Hypothesentests Grundlagen aus der Matrizenrechnung Vektoren und Matrizen Ordnung einer Matrix Transponierte einer Matrix Vektor als Sonderfall einer Matrix Matrizenalgebra Das Skalarprodukt Addition und Subtraktion von Matrizen Multiplikation von Matrizen Inverse von Matrizen Einheitsvektoren und -Matrizen Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Lösungsverfahren Lineare Regression

4 3.4.1 Minimierungsansatz Normalgleichungen Ausgleichungsrechnung Ausgleichungsmodelle Grundlegende Modelle Robuste Modelle Beobachtungsgleichungen im vermittelnden Modell Höhe (Nivellement) Lage (2D) Raum (2D+1D) Zusätzliche Analysen Fehlerellipsen Aufdeckung von groben Fehlern Anwendung der Ausgleichungsrechnung Praktische Anwendung in MensorGIS Ausgleichungsmodelle Benutzeroberfläche Rechenbeispiele Statistik Lageparameter Streuungsmaße Rechenbeispiele Matrizenrechnung Matrix-Inverse Lineares Gleichungssystem Rechenbeispiele Ausgleichungsrechnung Höhennetz Lagenetz Angeschlossener Polygonzug Raumnetz Programm-Module und Bedienung in MensorGIS Anhänge 169 Anhang A: Bibliographie Anhang B: Zuätzliche Formeln Anhang C: Konstanten Anhang D: Formelsymbole Anhang E: Geschichte Anhang F: Glossar Seitenindex

5 Kapitel 1 Einführung Die Ausgleichungsrechnung ist eine komplexe Wissenschaft, die auf vielen Grundlagen der Mathematik aufbaut. Dazu zählen vor allem deren Teilgebiete Statistik und Matrizenrechnung. 1.1 Statistik Die Statistik erlaubt zum einen die Beschreibung von Eigenschaften erfasster Daten, z.b. von Messdaten. Zum anderen macht sie Aussagen über Wahrscheinlichkeiten. Dies führt hin bis zu statistischen Tests, die Aussagen über eine bestimmte Hypothese machen können. Die wesentlichen Teilgebiete Deskripitive Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schließende Statistik werden damit abgedeckt. Die in der Ausgleichungsrechnung benötigten Grundlagen der Statistik werden kurz dargestellt. Dabei wird stets eine Auswahl des Gesamtthemas Statistik vorgenommen. 1.2 Matrizenrechnung Die Matrizenrechnung ist mittlerweile elementarer Bestandteil der Mathematik und vieler ihrer Anwendungen. Dabei werden mathematische Zusammenhänge, die sich aus mehreren Komponenten, z.b. mehreren Gleichungen, zusammensetzen, in Form von rechteckigen Tableaus dargestellt, die man Matrizen nennt. Für diese Matrizen sind grundlegende Rechenoperationen definiert wie man sie von einfachen Zahlen her kennt. Auch hier sollen nur die für die Ausgleichungsrechnung relevanten Formeln und Vorgehensweisen beschrieben werden. 1.3 Ausgleichungsrechnung Was sich im Vermessungswesen Ausgleichungsrechnung nennt, wird in der Mathematik meist mit dem Begriff Regression behandelt. Im Prinzip bestehen keine großen Unterschiede, nur wurde das Verfahren der Regression sozusagen auf die Spitze getrieben und mit zusätzlichen Werkzeugen ausgestattet. Im Zeitalter des Computers ist es zudem wesentlich einfacher als von Hand, eine Ausgleichung durchzuführen. Wesentliche Konzepte davon wurden in dem MensorGIS-Modul Vermittelnde Ausgleichung in C# umgesetzt. 129

6 5.5 Programm-Module und Bedienung in MensorGIS MensorGIS benutzt drei Programmbibliotheken (DLLs) für die Ausgleichungsrechnung: ClassUtilsCs.dll: Hilfsroutinen zu Vektoren und Matrizen ClassMatrixCs.dll: Matrixoperationen ClassVermausCs.dll: Vermittelnde Ausgleichung Dem Modul zur Vermittelnden Ausgleichung müssen alle erforderlichen Parameter übergeben werden. Es erzeugt daraus eine Ergebnis-Dokumentation in Form einer HTML-Datei und einer SVG-Graphik. Dabei werden folgende Schritte durchlaufen: Initialisierung und Steuerung des Ablaufs Ausgleichungs-Algorithmus (ggf. mit Iterationen) Erstellung der Matrizen/Vektoren für alle definierten Beobachtungsarten Berechnung des Ausgleichungs-Algorithmus inkl. Probe Erzeugung der ASCII-Ergebnisdateien und der HTML- und SVG-Datei Abbildung 5.1: Ausgleichung: Eingabe der Koordinaten Abbildung 5.2: Ausgleichung: Eingabe der Beobachtungen 164

7 Abbildung 5.3: Ausgleichung: Hauptfenster Das Hauptfenster erlaubt die Eingabe der Koordinaten, Beobachtungen und Orientierungen die Abspeicherung dieser Werte in Text-Dateien die Eingabe/Einstellung aller Ausgleichungs-Parameter den Start der Ausgleichungsberechnung die Übernahme der Neupunkte in den MensorGIS-Datenbestand 165

8 Abbildung 5.4: Ausgleichung: Netzskizze (2 Neupunkte) Die Netzskizze stellt alle Punkte und Beobachtungen graphisch dar. Die Fehlerellipsen der Neupunkte zeigen ihre Genauigkeiten an. Die folgenden Seiten zeigen das Ergebnis der Ausgleichung eines beidseitig angeschlossenen Polygonzugs. 166

9 Abbildung 5.5: Ausgleichung: Dokumentation in HTML 167

10 Abbildung 5.6: Ausgleichung: Dokumentation in HTML (Forts.) 168

11 Index Ableitung, 171, 177 Additionssatz für Ereignisse, 134 Alternativ-Hypothese, 138 Anteilssatz, 137 Arithmetisches Mittel, 132 Ausgleichungsmodelle, 143, 151, 179 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 134 Bedingte Ausgleichung, 143 Bedingungsgleichungen, 144 Benutzeroberfläche, 151 Beobachtungsgleichungen, 145, 146, 179 Beschreibende Statistik, 131 Binomial-Koeffizient, 172 Binomial-Verteilung, 172 Bogenmaß, 171, 177 Bogenschnitt, 178 Chi-Quadrat-Verteilung, 172 Data Snooping, 150 Determinante, 173 Differential, 177 Differentialrechnung, 171 disjunkte Ereignisse, 133 Einheitmatrix, 140 Einheitsvektor, 140 Empirische Standardabweichung, 133 Empirische Varianz, 133 Empirische Verteilungsfunktion, 131 Ereignis, 133 Ereignisalgebra, 133 Erwartungswert, 135 Fehleraufdeckung mit Kontrollberechnungen, 149 Fehleraufdeckung mit Residuen, 150 Fehlerellipse, 149 Fehlerfortpflanzung, 143 Fehlergleichungen, 145 Fisher-Verteilung, 172 Formelsymbole, 175 Freiheitsgrad, 143, 179 Funktionales Modell, 144, 145, 179 Gauß-Elimination, 140, 141, 152 Geodätische Koordinaten, 178 Geometrisches Mittel, 132 grobe Fehler, 149 Güte der Anpassung, 149 Häufigkeitsverteilungen, 131 Höhenfestpunkt, 146 Höhennetz, 154 Höhenunterschied, 147 Höhenwinkel, 173 Horizontalstrecke, 147 Horizontalwinkel, 147 Hypergeometrische Verteilung, 172 Hypothesentest, 136, 138, 150 Interpolation, 177 Intervallschätzung, 136, 137 Irrtumswahrscheinlichkeit, 138 Jacobi-Matrix, 145, 179 komplementäres Ereignis, 134 Konfidenzintervall, 137 Konstanten, 174 Koordinaten-Transformation, 178 Koordinatensystem, 178 Kovarianz, 133 L1-Norm, 146 L2-Norm, 145 Lagefestpunkt, 147 Lagenetz,

12 Lageparameter, 131, 132, 152 Lineare Regression, 142 Lineares Gleichungssystem, 141, 152 Linearisierung, 146, 179 Lösungsverfahren Lineares Gleichungssystem, 141 Matrix, 139 Matrix-Elemente, 139 Matrix-Inverse, 140, 152, 173 Matrix-Transponierte, 139 Matrizen-Produkt, 140 Matrizenalgebra, 140 Matrizenrechnung, 139 Median, 132 MensorGIS, 151, 164 Minimierungsansatz, 142 Modus, 132 Nivellement, 154, 178 Normalgleichungen, 142 Normalverteilung, 135 Normierte Verbesserung, 145, 179 Null-Hypothese, 138 Poisson-Verteilung, 172 Polar-Koordinatensystem, 178 Polygonzug, 159, 178 Punktschätzung, 136 Pythagoras, Satz des, 173 Quantil, 131 Quantilsabstand, 133 Raumfestpunkt, 148 Raumnetz, 161 Raumstrecke, 148 Rechenbeispiele, 152, 154 Rechtwinkliges Dreieck, 177 Redundanz, 179 Redundanzanteil, 146, 179 Redundanzanteil als Fehlerindikator, 150 Redundanzanteil als Güteindikator, 150 Regression, 142 Residuen, 142, 179 Richtung, 147 Richtungswinkel, 148, 173 Rückwärtsschnitt, 178 Satz von Laplace, 134 Schließende Statistik, 136 Simplex-Algorithmus, 146 Skalar, 140 Skalarprodukt, 140 Spannweite, 133 Standard-Normalverteilung, 135 Standardabweichung, 135 Statistik, 131, 172 Stichprobenmittel, 137 Stichprobenvarianz, 137 Stochastisches Modell, 144, 145, 179 Streuungsmaße, 131, 132, 152 Student-Verteilung, 172 Taylor-Entwicklung, 177 Taylor-Reihe, 171, 177 Testgröße, 138 Trigonometrische Funktionen, 171, 177 Trigonometrische Höhenbestimmung, 178 Überbestimmtes Gleichungssystem, 143, 177 unabhängige Ereignisse, 134 Varianz, 135 Vektor, 139 Vermittelnde Ausgleichung, 145, 146 Vertrauensniveau, 137 Vorwärtsschnitt, 178 Wahrscheinlichkeit, 133 Wahrscheinlichkeitsdichte, 135 Wahrscheinlichkeitsrechnung, 133 Wahrscheinlichkeitsverteilung, 133, 134, 172 Zenitdistanz, 148, 173 Zufallsereignis,