Wissenschaftliche Nachrichten: Vol. 125/2004, 35-37

Transkript

1 Wissenschaftliche Nachrichten: Vol. 5/004, 5-7 Das Ziegenproblem in Excel NORBERT BRUNNER und MANFRED KÜHLEITNER Das folgende Problem stammt aus einer Fernsehshow: Hinter einem von drei Toren ist der Hauptpreis versteckt, hinter den anderen Ziegen als Symbol für die Niete. Der Kandidat wählt im ersten Schritt eines der Tore. Das Tor wird jedoch nicht geöffnet; stattdessen öffnet der Moderator (der weiß hinter welchem Tor sich der Hauptpreis versteckt) eines der beiden anderen Tore, mit einer Niete natürlich, und bietet dem Kandidaten an, seine ursprüngliche Auswahl zu überdenken, d.h. der Kandidat kann zum anderen noch verschlossenen Tor wechseln oder bei seiner ersten Wahl bleiben. Anschließend öffnet der Moderator das vom Kandidaten gewählte Tor und der Kandidat gewinnt den Inhalt. Die entscheidende Frage lautet: Soll der Kandidat bei seiner ersten Wahl bleiben oder zum anderen Tor wechseln? Da zwei unverschlossene Tore übrig bleiben vermutet der gesunde Menschenverstand, dass ein Wechsel auf keinen Fall etwas bringen kann. (Es scheint sich nur die Frage zu stellen, ob die Gewinnwahrscheinlichkeit bleibt oder nach dem Öffnen des Ziegentors bei jedem der beiden Tore ½ ist.) Die überraschende Antwort lautet aber: Der Wechsel verdoppelt die Gewinnchance auf den Hauptpreis! Bei dieser scheinbar simplen Aufgabe zeigt sich, wie schwierig das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten ist. Es ist daher besser, Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung mathematisch auf den Grund zu gehen, statt mit der Anschauung. Das ist aber oft schwierig: In seltenen Fällen lassen sich exakte Lösungen angeben. Und auch dann können geringfügige Modifikation dazu führen, dass eine neue Problemstellung unlösbar wird. Aus diesem Grund bieten sich Simulationen an. Sie lassen sich auch mit geringen Kenntnissen aufstellen und an neue Probleme anpassen. Entsprechend vielfältig sind die Einsatzgebiete dafür. Als Hindernis stellt sich meist das Erlernen einer Programmiersprache dar. Dies ist bei der Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms wie z.b. Microsoft Excel überflüssig.. Monte-Carlo Simulation. Wir stellen uns vor, die Show werde 000 Mal wiederholt und betrachten einen Kandidaten, der ein Tor stets nach dem Zufallsprinzip auswählt und das Angebot des Showmasters zu wechseln niemals wahrnimmt. Die Häufigkeit seines Erfolgs ist dann ein Schätzwert dafür, dass die Strategie S, niemals wechseln, zum Erfolg führt. Parallel dazu betrachten wir einen Kandidaten, der das Angebot jedes Mal annimmt, der also die Strategie S, immer wechseln, anwendet. Dazu fertigen wir folgendes Tabellenblatt an: In die Zeile kommt erklärender Text (siehe Tabelle ). Tabelle. Simulation des Ziegenproblems. A B C D E F G Nr. Gewinn Wahl Ziegen Wahl S S tor -Tor tor -Tor In Spalte A nummerieren wir die Anzahl der Spiele. Wir schreiben daher in die Zelle A die Zahl, in A die Funktion = +A und kopieren sie bis einschließlich A hat SAT. die Sendung Geh aufs Ganze! gestartet, die 999 von Kabel übernommen und zuletzt 00 ausgestrahlt worden ist. Ihr Konzept basiert auf dem Originalspiel Lets make a deal, das 96 bei NBC auf Sendung gegangen ist. Eine ausführliche Diskussion findet man bei Gero von Randow: Das Ziegenproblem, Denken in Wahrscheinlichkeiten. Rowolth TB-V,. Aufl., 004.

2 Im ersten Schritt werden der Gewinn platziert und der Kandidat wählt ein Tor. Dies erfolgt in Spalte B und C (Auswahl des Kandidaten) mit der Wahl je einer gleich wahrscheinlichen Zufallszahl aus der Menge {,, }. In Excel realisiert man dies mit Hilfe des Befehls ZUFALLSBEREICH(min; max). Er liefert eine ganze Zufallszahl aus dem über zwei Grenzen min und max festgelegten Bereich. Wir schreiben daher in die Zellen B und C den Befehl =ZUFALLSBEREICH(;) Bei jeder Neuberechnung (Funktionstaste F9) der Tabelle wird eine neue Zufallszahl ausgegeben. Ist diese Funktion nicht verfügbar, so muss man aus dem Menü Extras den Add- In-Manager aufrufen und die Analyse-Funktionen installieren. Für die Strategie S können wir (in Zelle D) bereits den Erfolg auswerten, weil es für den Kandidaten irrelevant ist, in welchem der beiden nicht gewählten Tore die Ziege ist: Wenn er Erfolg hat, geben wir ein, sonst 0. In Excel schreibt man solche Fallunterscheidungen mit der Funktion WENN(Bedingung; Dann; Sonst) an: Wenn die Bedingung erfüllt ist, also B = C, dann ist das Ergebnis, sonst (d.h. B C) 0. In D steht also die Funktion =WENN(B=C;;0) Wir kopieren den Bereich B:D bis in Zeile 00. Zur Auswertung der Erfolgshäufigkeiten berechnen wir in D00 den Mittelwert, also: =MITTELWERT(D:D00) Bei 000 Spielen wird man rund Mal auf Anhieb das erfolgreiche Tor erraten, weswegen dieser Mittelwert rund / sein wird. Für die Strategie S ist das Öffnen einer Ziegentür durch den Moderator von Interesse: Der Moderator präsentiert ein Tor mit einer Niete. Die Nummer dieses Tores schreiben wir in die Zelle E. Im Folgenden überlegen wir uns, wie wir zu dieser Tornummer kommen: Wenn B und C unterschiedlich sind, ist das einfach das Tor mit der Nummer 6 B C, weil für die Summe der Tore gilt: ++ = 6. Für B = C liefert diese Formel aber keine zulässige Auswahl. Ist B=C=, so kann der Moderator die Tore oder öffnen. Damit er keine Information über das Gewinntor preisgibt, wählt er bzw. zufällig. Dies geschieht mit Hilfe des Befehls ZUFALLSBEREICH(;). Ist B=C=, so kann der Moderator die Tore oder öffnen. Dies geschieht mit Hilfe des Befehls ZUFALLSBEREICH(;). Der schwierigste Fall ist B=C=. In diesem Fall erfolgt die Auswahl eines der beiden Tore oder mit Hilfe des Befehls *ZUFALLSBEREICH(0;)+. (Die beiden gleichwahrscheinlichen Zufallszahlen 0 und werden zu den Zufallszahlen und transformiert.) In Excel schreibt man diese Fallunterscheidungen mit der Funktion WENN an, die aber ineinander verschachtelt wird. (Wir arbeiten so in vier Ebenen, wobei in Excel bis zu sieben Ebenen zulässig sind.) In E steht somit (Achtung auf die Klammern) die Funktion: =WENN(B=C; WENN(B=;ZUFALLSBEREICH(;); WENN(B=;ZUFALLSBEREICH(;); *ZUFALLSBEREICH(0;)+)); 6-B-C) Nach der Strategie S wechselt der Kandidat auf das einzig noch verbleibende Tor mit der Nummer 6-C-E. Wir schreiben daher in die Zelle F die Formel =6-C-E In Zelle G werten wir die Strategie S aus: Wir tragen in diese Zelle die Formel =WENN(F=B;;0)

3 ein. Schließlich zählen wir, wie oft diese Strategie zum Erfolg führt. Dazu kopieren wir E:G bis in Zeile 00 und berechnen in G00 den Mittelwerte: =MITTELWERT(G:G00) Wie man beobachten kann, gewinnt man mit der Strategie S genau dann, wenn die Strategie S verliert, weswegen man einen Mittelwert von rund / erwarten kann.. Exakte Lösung. Die Berechnung der exakten Wahrscheinlichkeit kann auf verschiedene Arten erfolgen. Eine durch die Simulation nahe gelegte Möglichkeit ist es, alle Spielausgänge für die beiden Strategien immer wechseln bzw. nie wechseln zu bestimmen. Dies erfolgt in Tabelle. Angegeben ist, hinter welchem Tor sich das Auto befindet und wie die erste Wahl des Kandidaten ausfällt. Dies definiert neun gleich wahrscheinliche Szenarien, für die der weitere Spielverlauf in den nachfolgenden Spalten beschrieben ist: Welches Tor öffnet der Moderator, welche Wahl trifft der Kandidat anschließend, gewinnt er schließlich den Hauptpreis? Wir sehen, dass der Spieler mit der Strategie S in von 9 Fällen gewinnt und mit der Strategie S in den anderen 6 Fällen. Tabelle. Mögliche Ausgänge der Strategien nie wechseln bzw. immer wechseln. Gewinn hinter Tor Nr. Kandidat wählt Tor Nr. Moderator öffnet Tor Nr. Kandidat beharrt S gewinnt Kandidat wechselt S gewinnt oder X oder X X X oder X oder X X X oder X oder. Schlussbemerkungen. a) Wegen der geringen Zahl von Simulationen sind in unserem Tabellenblatt die Häufigkeiten nur ungenaue Näherungen der exakten Wahrscheinlichkeiten / und /. Wiederholt man die Rechnungen durch Drücken der Taste F9, so sieht man, dass die Mittelwerte in den Zellen D00 bzw. G00 ab der zweiten Dezimale variieren. Eine theoretische Begründung dafür liefert die Ungleichung von Tschebyscheff: Ist X eine Zufallsvariable mit Erwartungswert E(X) und Varianz V(X) und schätzt man den Erwartungswert mit Hilfe einer Stichprobe vom Umfang n, so lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass der Stichprobenmittelwert X vom Erwartungswert um mehr als ε abweicht, zu V( X) Pr ( X EX ( ) > ε ) <. n ε berechnen. Insbesondere konvergiert die Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung von mehr als ε > 0 mit n gegen 0 (Konvergenz nach der Wahrscheinlichkeit). Die Simulation führt zu einer Umformulierung der Aufgabe in Häufigkeiten, was die Lösung erleichtert; vgl. Krauss, S. und Wang, X.T. (00): The psychology of the Monty Hall problem: Discovering psychological mechanisms for solving a tenacious brain teaser. In: J. Experimental Psychology: General. Jg., S. -.

4 Zählt X die Erfolge der Strategie S, so gilt E(X) = / und V(X)= /*/ = /9. Für eine Stichprobe vom Umfang n =.000 ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Stichprobenmittelwert vom Erwartungswert um mehr als 0, abweicht (somit die erste Dezimalstelle variiert) kleiner als /90 0,0 (analog bei S). Somit ist nur in % der Neuberechnungen mit der Taste F9 eine Veränderung der ersten Dezimalstelle zu erwarten. Insbesondere wird die 50:50 Gewinn- Hypothese, welche der gesunde Menschenverstand propagiert, nicht unterstützt. b) Das Tabellenblatt kann auch leicht ergänzt werden, um andere Strategien auszuwerten. Eine solche Strategie S könnte z.b. sein, mit einem Münzwurf zu entscheiden, ob man auf der ersten Wahl beharrt oder wechselt. Bestimmt man in diesem Fall die Gewinnchance, so ist sie 50:50. c) Eine weitere Situation entsteht, wenn der Moderator das Spiel beenden kann, indem er gleich das vom Kandidaten in Schritt gewählte Tor öffnet, sofern es ein Ziegentor ist. Um keine Information preiszugeben, wird er das zufällig mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit p machen. (Der Fall p = 0 ist das ursprüngliche Spiel.) Bei gegebenem p lassen sich die Erfolgsaussichten der beiden Strategien S und S wieder mit einer Simulation berechnen: Wendet der Spieler die Strategie S an, so ist die Gewinnchance /. Verwendet er hingegen immer S, so beträgt die Erfolgsaussicht ( p), nämlich die Wahrscheinlichkeit, dass er zuerst ein falsches Tor erwischt, mal die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass es der Moderator nicht öffnet. d) Bei dieser Variante stehen sich somit die Strategien des Moderators (Wahl von p) und des Kandidaten (Wahl von S oder S) gegenüber. Um (langfristig) den Erfolg der Spieler zu minimieren (die Zielfunktion ist das Maximum der beiden oben berechneten Erfolgsaussichten), sollte der Moderator p ½ wählen. Dann wird für den Spieler beharren (S) zur besseren Strategie. e) Man kann am Beispiel c) auch das Thema bedingte Wahrscheinlichkeiten (Satz von Bayes) illustrieren: A i sei das Ereignis, dass sich der Gewinn hinter Tor i versteckt. Vor der ersten Auswahl ist die Wahrscheinlichkeit Pr( A i ) =. Nun wählt der Spieler ein Tor, etwa Nr.. Anschließend öffnet der Moderator ein Tor mit einer Niete. Dies erfolgt zufällig unter der Einschränkung, dass keinesfalls das Gewinntor aufgedeckt wird. Betrachten wir jetzt das Ereignis B, dass Tor geöffnet wird: Wenn man weiß, dass der Gewinn bei Tor i liegt (Annahme A i ), dann lässt sich die bedingte Wahrscheinlichkeit für B berechnen: Wenn der Gewinn hinter dem vom Spieler gewählten Tor liegt, wird der Moderator zufällig zwischen Tor und wählen, entscheidet sich also mit 50% Wahrscheinlichkeit für Tor : Pr ( BA ) =. Wenn der Gewinn bei Tor liegt, dann darf der Moderator dieses Tor gemäß der eben formulierten Einschränkung nicht öffnen, es ist also Pr ( BA ) = 0. Ist schließlich der Gewinn hinter Tor, dann hat der Moderator die Wahl zwischen Tor oder. Das vom Kandidaten gewählte Tor öffnet er mit der Wahrscheinlichkeit p und Tor daher mit der Pr BA = p. Wahrscheinlichkeit ( ) Daraus lässt sich umgekehrt die Wahrscheinlichkeit für B berechnen (die Ereignisse A i schließen sich gegenseitig aus, eines tritt aber ein): 4

5 ( B) = ( B A ) + ( B A ) + ( B A ) Pr Pr Pr Pr ( BA) ( A) ( BA) ( A) ( BA) ( A) = Pr Pr + Pr Pr + Pr Pr = p Von Interesse ist für den Spieler, der Tor gewählt hat, ob nach dem Eintreten des Ereignisses B (Tor mit einer Niete ist geöffnet worden) der Gewinn eher in Tor oder in Tor liegt. Dazu berechnet er die bedingten Wahrscheinlichkeiten für A bzw. A neu: Pr( A ( ) ( ) B) Pr BA Pr A Pr ( A B) = = = Pr( B) Pr B p ( A B) ( ) ( BA) Pr ( A) Pr( A B) Pr = = = Pr( B) Pr B p Pr ( ) Für p < ½ ist S die bessere Strategie (Wechsel zu Tor ) und für p > ½ ist es S. Für p = ½ haben beide Strategien die Gewinnchance von 50%; jeweils unter der Bedingung, dass der Moderator weitergespielt hat. (Ohne diese Bedingung ist sie /, nach Beispiel c.) Anschrift der Verfasser: a.o. Univ. Prof. Dr. Norbert Brunner und a.o. Univ. Prof. Dr. Manfred Kühleitner Univ. Bodenkultur, Dept. Integrative Biologie, Inst. Math., Peter-Jordan-Str. 8, 90 Wien norbert.brunner@boku.ac.at, manfred.kuehleitner@boku.ac.at 5