Lösungsvorschläge zur Gruppenaufgabe "Das eigene Auto"

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Eleonora Esser
vor 6 Jahren
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1 Lösungsvorschläge zur Gruppenaufgabe "Das eigene Auto" Aufgabe a) Kandidatenwahl Max überlegt sich, wenn er mit seiner Mutter im Publikum sitzt, einer von beiden mit Wahrscheinlichkeit von 0,87% als Kandidat berufen wird, wenn 230 Personen im Publikum sitzen. Hat Max recht? Begründen Sie Ihre Antwort. Max und seine Mutter sind 2 Personen. Wie groß ist also die einer der beiden mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,87% ausgewählt.. Also wird

2 Aufgabe b) Spielshow Max hat es tatsächlich geschafft, als Kandidat ausgewählt zu werden. Das Spiel in der Show läuft so ab, dass der Kandidat drei Tore zur Auswahl hat. Hinter einem Tor verbirgt sich das Auto, hinter den anderen beiden jeweils eine Niete. Der Kandidat darf zuerst ein Tor wählen, auf das er setzen möchte. Nach dieser Wahl wird ein Tor mit einer Niete geöffnet. Danach darf der Kandidat seine Wahl erneut überdenken und das gewählte Tor eventuell tauschen. Intuitiver Weg Wenn Max am Anfang ein Tor wählt, ist die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn 1/3. Diese Anfangswahrscheinlichkeit hängt nicht von der darauf folgenden Wahl ab. Nun kann man sich überlegen, was im nächsten Schritt passiert. Nehmen wir einmal an, dass der Kandidat Tor A gewählt hat. Welche Fälle sind nun möglich? Zu beachten ist: Tor A wird nicht geantwortet. Der Moderator öffnet das Tor zufällig. 1. Hinter Tor A ist ein Gewinn, der Moderator öffnet Tor B. Hier würde ein Wechsel nicht zum Erfolg führen. 2. Hinter Tor A ist ein Gewinn, der Moderator öffnet Tor C. Hier würde ein Wechsel nicht zum Erfolg führen. 3. Hinter Tor B ist ein Gewinn, der Moderator öffnet Tor C. Hier würde ein

3 Wechsel zum Erfolg führen. 4. Der vierte Fall entspricht dem 3. Fall. Nach dem Zufallsprinzip müsste der Moderator in diesem Schritt Tor B öffnen. Da sich dahinter allerdings der Gewinn befindet, muss er Tor C öffnen. Also würde auch hier ein Wechsel zum Erfolg führen. 5. Hinter Tor C ist ein Gewinn, der Moderator öffnet Tor B. Hier würde ein Wechsel zum Erfolg führen. 6. Der sechste Fall entspricht dem 3. Fall. Nach dem Zufallsprinzip müsste der Moderator in diesem Schritt Tor C öffnen. Da sich dahinter allerdings der Gewinn befindet, muss er Tor B öffnen. Also würde auch hier ein Wechsel zum Erfolg führen. In vier von 6 Fällen führt also ein Wechsel zum Gewinn. Da dies analog für die Fälle gilt, dass Max Tor B, bzw. Tor C wählt, ergibt sich daraus, dass es besser für Max ist, das Tor zu wechseln. Der formell-mathematische Weg Formell-mathematisch kann man das Problem mit bedingten Wahrscheinlichkeiten lösen. Wir wollen wissen, wie die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn hinter Tor x ist nachdem der Moderator ein Tor geöffnet hat. Mit einem Baumdiagramm Wir stellen das Baumdiagramm für den Fall auf, dass Max Tor 1 gewählt hat. In allen anderen Fällen ergibt sich ein analoges Diagramm und somit die gleichen Wahrscheinlichkeiten für einen Gewinn im Falle eines Wechsels.

4 Ausgangssituation Gewinn ist hinter Moderator öffnet Wechsel führt zu Erfolg? Nein (1/6) Nein (1/6) Kandidat wählt Tor 1 Ja (1/3) Ja (1/3) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wechsel zum Erfolg führt, liegt bei = 2 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wechsel nicht zum Erfolg führt, liegt demnach bei 1 3. Somit ist es sinnvoll, das Tor zu wechseln, nachdem der Moderatot eins geöffnet hat. Mit dem Satz von Bayes Es werden folgende Ereignisse definiert: : Der Gewinn ist hinter Tor i (i = 1, 2, 3) : Der Moderator hat das Tor j geöffnet (j = 1, 2, 3) Zu treffen sind Annahmen in folgender Situation: Der Kandidat wählt Tor 1 und der Moderator öffnet Tor 3. Um herauszufinden, ob es für den Kandidaten besser ist, das Tor zu wechseln, kann man sich überlegen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet. Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet, wenn Tor 3 vom Moderator geöffnet wurde und somit bekannt ist, dass sich

5 das Auto nicht hinter Tor 3 befindet. Um den Satz von Bayes anwenden zu können, müssen wir folgende Voraussetzungen berechnen: Der Satz von Bayes ergibt Folgendes: Der Kandidat sollte also wechseln, um seine Gewinnchancen von anfangs 1/3 auf nun 2/3 zu verdoppeln.

6 Aufgabe c) Düne Max hat das Auto tatsächlich gewonnen. Ein Freund von ihm hat im Internet über das neue Auto von Max recherchiert und behauptet, dass der Wagen von Max den Herstellerslogan nicht erfüllen könnte. Max möchte sein neues Auto natürlich verteidigen und will beweisen, dass der Slogan korrekt ist. Der Herstellerslogan: 100% Steigung überwinden und den schönsten Sonnenuntergang auf den Sanddünen Abu Dhabis genießen. Zeigen Sie, dass es Dünen geben kann, sodass der Werbeslogan stimmt. Wir nehmen an, dass das Auto wirklich 100% Steigung überwinden kann. Dies ist durauch möglich. 100 % Steigung in der Natur bedeutet für den Graphen einer Funktion f'(x)=1. Als Beispiel nehmen wir die Funktion. Man kann selbstverständlich auch eine andere Funktion wählen oder diese an anderer Stelle betrachten.

7 Mit zunehmender Länge des Fahrtweges nimmt auch die Steigung zu. In unserem Fall verläuft die Parabel dieser Form mit zunehmendem Weg ins Unendliche weiter. Dies ist in der Realität nicht so. Aus diesem Grund suchen wir den x- Wert, für den die Steigung=1 ist. 1 x=1 x= Setzen wir diesen Wert nun in die Funktion f ein, erhalten wir für die Höhe der Düne: f 250 = = =125. Entspricht die Einheit 1m, so könnte die Düne 125 Meter hoch sein. Es könnte also eine solche Düne existieren. Dennoch ist fraglich, ob der Herstellerslogan korrekt ist und das Auto mit dem Untergrund der Sanddünen zurecht kommt.

8 Aufgabe d) Tanken Der Geländewagen verbraucht sehr viel Sprit. Deswegen ist Max häufig an der Tankstelle. Wie viel Zeit verbringt Max an der Tankstelle? Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine sehr offene Aufgabe, bei der verschiedene Annahmen getroffen werden können. Somit können Ergebnisse sehr voneinander abweichen. Aus diesem Grund ist es sehr sinnvoll, die Ergebnisse in der Klasse zu vergleichen. Um die technischen Details eines Geländewagens annehmen zu können, benötigen wir ein Beispiel. Dazu wählen wir den Freelander 2 von Landrover. Die technischen Details kann man im Internet nachlesen ( In diesen Autotank gehen 68l. Um auf ein genaueres Ergebnis zu kommen, kann man nun bedenken, dass Max vermutlich tanken wird, bevor er in den roten Bereich seiner Tankanzeige kommt. Ist man im roten Bereich, so kann man annehmen, dass man noch ca. 100km weit kommt. Der Freelander 2 hat einen Verbrauch von 7,5l auf 100km. Somit hat Max noch mindesten 7,5 Liter im Tank, wenn er an die Tankstelle kommt. Er muss also 60,5l tanken, um den Tank ganz zu füllen. Der Sprit läuft mit einer Geschwindigkeit von 40 Litern pro Minute. Bis der Tank voll ist, vergehen also 90,75 s. Angenommen Max benötigt vom Anfahren auf das Grundstück der Tankstelle, bis zum Benzinfluss (ohne Anstehen an der Zapfsäule) 2 Minuten. Danach braucht er noch die Tankzeit und die Zeit zum Bezahlen und zum Verlassen der Tankstelle. Für Verlassen und Bezahlen rechnen wir noch mal 2 min. Also ist Max im Schnitt (wenn alles glatt läuft) 330,75 s an der Tankstelle, das sind 5min und 30,75 s.

9 Volumen Zeit 40L 60 s 1L 1,5 s 60,5 L 90, 75 s

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