Anhang 9: 3. Szenario
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- Arthur Weber
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1 Anhang 9: 3. Szenario Monty Hall s Problem (Ziegenproblem) 268
2 3. Szenario Monty Hall s Problem oder das Ziegenproblem 269
3 Ziegenproblem nach Wikipedia, der freien Enzyklopädie Das Ziegenproblem (auch als Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty- Hall-Dilemma bekannt) dient zur Veranschaulichung eines Entscheidungsproblems unter Unsicherheit. Ablauf Bei einer Spielshow im Fernsehen soll ein Kandidat eine von drei aufgebauten geschlossenen Türen auswählen. Hinter einer verbirgt sich der Gewinn, ein Auto, hinter den beiden anderen jeweils eine Ziege, also Nieten. Der Spieler wählt eine Tür. Nun lässt der Moderator, der die Belegung der Türen kennt, eine der beiden anderen Türen öffnen. Es wird eine Tür mit einer Ziege dahinter gewählt. Der Moderator bietet dem Spieler darauf hin an, seine Entscheidung zu überdenken und möglicherweise das andere Tor zu wählen. Was sollte er tun? Soll er seine 1. Wahl ändern? 270
4 Schwerverständliche informelle Erklärung aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Auch wenn die allermeisten Menschen dazu neigen, davon auszugehen, dass es keinen Unterschied macht zu wechseln oder bei der getroffenen Entscheidung zu bleiben, ist diese Annahme falsch. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter dem zunächst gewählten Tor befindet, beträgt 1/3, dass es hinter einem der anderen beiden steht, 1/3 + 1/3 = 2/3. Wenn nun klar ist, hinter welchem Tor das Auto nicht steht, dieses also die Wahrscheinlichkeit 0 hat, das ausgewählte Tor aber immer noch eine 1/3-Chance hat - siehe weiter unten, liegt jetzt die 2/3-Wahrscheinlichkeit auf dem nichtgewählten Tor. Bei einem Wechsel verdoppelt der Kandidat also seine Chancen auf das Auto. Um das Problem zu verstehen, muss man bedenken, dass die Chance auf dem gewählten Tor von Anfang an nur 1/3 betrug, und sich beim Festhalten des Spielers an seiner Wahl auch nicht ändern kann - unabhängig ob der Showmaster ein Ziegentor öffnet oder nicht - andererseits die Wahrscheinlichkeitssumme aller Auswahlmöglichkeiten 1 beträgt. Oder anders: Wenn man nach der ersten Auswahl hinter das Tor schauen könnte, würde man in wahrscheinlich 2/3 aller Fälle eine Ziege finden. Die Ziege bleibt, egal ob der Showmaster das andere Ziegentor öffnet oder nicht. Im Gegenzug würde man hinter den anderen beiden Toren in rund 2/3 aller Fälle eine Ziege und ein Auto finden. Das Auto bleibt, die Ziege scheidet aus. 271
5 Schema aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Bei einer "Wechsel"-Strategie zeigen sich drei Fälle: A B C Ziege Ziege Auto \-----/ \-----/ \-----/ Kandidat Der Kandidat wählt vorerst A, die Ziege B wird ihm gezeigt, durch einen Wechsel von A auf C gewinnt er. A B C Ziege Ziege Auto \-----/ \-----/ \-----/ Kandidat Der Kandidat wählt vorerst B, die Ziege A wird ihm gezeigt, durch einen Wechsel von B auf C gewinnt er. A B C Ziege Ziege Auto \-----/ \-----/ \-----/ Kandidat Der Kandidat wählt vorerst C, die Ziege A (oder B) wird ihm gezeigt, durch einen Wechsel von C auf B (oder A) verliert er. Ergo: er gewinnt in zwei von drei Fällen durch einen Wechsel. 272
6 Formale Behandlung nach Wikipedia, der freien Enzyklopädie Das Ziegenproblem (auch als Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma bekannt) dient zur Veranschaulichung eines Problems aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und den Schwierigkeiten im Verständnis der bedingten Wahrscheinlichkeiten. Beim Schätzen und Berechnen von Wahrscheinlichkeiten ist es wichtig, keine Informationen, die zur Verfügung stehen, zu übersehen. Ein Entscheidungsbaum, der Satz von Bayes oder die Angabe in absoluten Häufigkeiten macht das leichter. 273
7 Formale Modellierung mit Einflussnetzen Die informelle Erklärung aus Wikipedia ist einigermaßen unverständlich Das illustrative Schema aus Wikipedia verdeutlicht den Sachverhalt besser und empfiehlt, die 1. Hypothese zu wechseln Kommen wir zu dem gleichen Schluss, wenn wir das Ziegenproblem mit Hilfe von SHAFT2 in einem Einflussnetz modellieren? Den Moderator können wir nicht kontrollieren; daher wird sein Verhalten mit Ereignisvariablen modelliert. Der Kandidat (dh. ich) kann sein Verhalten sehr wohl kontrollieren; daher wird sein Verhalten mit Entscheidungsvariablen modelliert 274
8 Szenario 3 Ziegenproblem 1. Modellvariante 275
9 1. Ereignisvariable: Moderator versteckt Preis 276
10 1. Entscheidungsvariable: 1. Hypothese 277
11 1. Informationskante 278
12 2. Ereignisknoten: Moderator öffnet Tür 279
13 1. Einflusskanten Es erhebt sich die Frage, ob die Türöffnung des Moderators nur von der 1. Hypothese oder auch vom Versteck abhängt. Da der Moderator aber nur die Tür öffnet, die nicht zum Preis führt (dh. nicht dem Versteck entspricht) und die nicht Gegenstand des 1. Rateversuchs ( 1. Hypothese ) ist, hängt die Türöffnung sowohl vom Versteck als auch von der 1. Hypothese ab: es fehlt als noch eine weitere Einflusskante 280
14 1. Einflusskanten Es erhebt sich die Frage, ob die Türöffnung des Moderators nur von der 1. Hypothese oder auch vom Versteck abhängt. Da der Moderator aber nur die Tür öffnet, die nicht zum Preis führt (dh. nicht dem Versteck entspricht) und die nicht Gegenstand des 1. Rateversuchs ( 1. Hypothese ) ist, hängt die Türöffnung sowohl vom Versteck als auch von der 1. Hypothese ab: daher wurde jetzt eine weitere Einflusskante gezogen 281
15 Eingabe von Evidenz Um den Entscheidungsbaum zu verkleinern geben wir Evidenz ein. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass der Moderator den Preis hinter der 1. Tür versteckt. Durch die Evidenz ergibt sich eine weitere Vereinfachung des Modells: vom Versteck muss keine Nutzenfunktionskante zum Nutzenknoten gezogen werden. 282
16 Eingabe von Wahrscheinlichkeiten P ModeratorÖffnet 1. Hypothese ModeratorVersteck Tür 1. Tür 1. Tür Tür Tür Tür 2. Tür Tür Tür Tür 3. Tür Tür Tür 283
17 2. Entscheidungsvariable 284
18 2. Informationskante 285
19 Nutzenknoten 286
20 1. Nutzenfunktionskante 287
21 1. Entscheidungsbaum 288
22 2. Nutzenfunktionskante 289
23 2. Entscheidungsbaum 290
24 3. Nutzenfunktionskante 291
25 3. Entscheidungsbaum 292
26 Nutzenfunktion Nutzen 2. Hypothese ModeratorÖffnet 1. Hypothese 0,00 ändern ,00 beibehalten 0,00 ändern ,00 beibehalten ,00 ändern 0,00 beibehalten ,00 ändern 0,00 beibehalten 2.Tür 3.Tür 3.Tür 2.Tür 1.Tür (richtig geraten) 2.Tür (falsch geraten) 3.Tür (falsch geraten) 293
27 Nutzenfunktion eingeben 294
28 Nutzenfunktion eingeben 295
29 Nutzenfunktion eingeben 296
30 Nutzenfunktion eingeben 297
31 Nutzenfunktion eingeben 298
32 Nutzenfunktion eingeben 299
33 Nutzenfunktion eingeben 300
34 Nutzenfunktion eingeben 301
35 4. Entscheidungsbaum: mit Nutzen- und Wahrscheinlichkeitswerten 302
36 Empfohlene Strategie (1/2) Netz#0 enthält die folgenden Evidenzen : ModeratorVersteck = 1.Tür. Der maximale Erwartungsnutzen bzgl. Ziel Nutzen beträgt /*1*/ * WENN ModeratorVersteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1. Hypothese = 3.Tür ( ) /*2*/ * WENN 1. Hypothese = 3.Tür UND ModeratorVersteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnet = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = ändern ( ) /*3*/ * WENN ModeratorVersteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1. Hypothese = 2.Tür ( ) /*4*/ * WENN 1. Hypothese = 2.Tür UND ModeratorVersteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnet = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = ändern ( ) 303
37 Empfohlene Strategie (2/2) /*5*/ * WENN ModeratorVersteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1. Hypothese = 1.Tür ( ) /*6*/ * WENN 1. Hypothese = 1.Tür UND ModeratorVersteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnet = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = beibehalten ( ) /*7*/ * WENN 1. Hypothese = 1.Tür UND ModeratorVersteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnet = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = beibehalten ( ) 304
38 Kommentar zur Strategie /*1*/ * WENN ModeratorVersteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1. Hypothese = 3.Tür ( ) Die Regel zeigt, dass unter der Annahme der Moderator habe den Preis hinter der 1.Tür versteckt, ein erster (falscher) Rateversuch (3. Tür) noch zu einem Gewinn in Höhe von ,00 führen kann. 305
39 Kommentar zur Strategie /*3*/ * WENN ModeratorVersteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1. Hypothese = 2.Tür ( ) Die Regel zeigt, dass unter der Annahme der Moderator habe den Preis hinter der 1.Tür versteckt, ein erster (falscher) Rateversuch (2. Tür) noch zu einem Gewinn in Höhe von ,00 führen kann. 306
40 Kommentar zur Strategie /*5*/ * WENN ModeratorVersteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1. Hypothese = 1.Tür ( ) Die Regel zeigt, dass unter der Annahme der Moderator habe den Preis hinter der 1.Tür versteckt, ein erster (richtiger) Rateversuch (1. Tür) zu einem Gewinn in Höhe von ,00 führen kann. 307
41 Kommentar zur Strategie /*2*/ * WENN 1. Hypothese = 3.Tür UND ModeratorVersteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnet = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = ändern ( ) Die Regel zeigt, dass unter der Annahme der Moderator habe den Preis hinter der 1.Tür versteckt, ein erster (falscher) Rateversuch (3. Tür) noch durch eine Änderung der Hypothese (zur 1.Tür) zu einem Gewinn in Höhe von ,00 führen kann. 308
42 Kommentar zur Strategie /*4*/ * WENN 1. Hypothese = 2.Tür UND ModeratorVersteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnet = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = ändern ( ) Die Regel zeigt, dass unter der Annahme der Moderator habe den Preis hinter der 1.Tür versteckt, ein erster (falscher) Rateversuch (2. Tür) noch durch eine Änderung der Hypothese (zur 1.Tür) zu einem Gewinn in Höhe von ,00 führen kann. 309
43 Kommentar zur Strategie /*6*/ * WENN 1. Hypothese = 1.Tür UND ModeratorVersteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnet = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = beibehalten ( ) Die Regel zeigt, dass unter der Annahme der Moderator habe den Preis hinter der 1.Tür versteckt, ein erster (richtiger) Rateversuch (1. Tür) durch eine Beibehaltung der Hypothese (1.Tür) zu einem Gewinn in Höhe von ,00 führen kann. 310
44 Kommentar zur Strategie /*7*/ * WENN 1. Hypothese = 1.Tür UND ModeratorVersteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnet = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = beibehalten ( ) Die Regel zeigt, dass unter der Annahme der Moderator habe den Preis hinter der 1.Tür versteckt, ein erster (richtiger) Rateversuch (1. Tür) durch eine Beibehaltung der Hypothese (1.Tür) zu einem Gewinn in Höhe von ,00 führen kann. 311
45 Generalisierung von Regeln Regel Text /*1*/ WENN ModeratorVersteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1. Hypothese = 3.Tür ( ) /*3*/ WENN ModeratorVersteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1. Hypothese = 2.Tür ( ) /*5*/ WENN ModeratorVersteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1. Hypothese = 1.Tür ( ) /*135*/ WENN ModeratorVersteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1. Hypothese = *egal* ( ) 312
46 Generalisierung von Regeln Regel Text /*2*/ WENN 1. Hypothese = 3.Tür UND ModeratorVersteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnet = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = ändern ( ) /*2 */ WENN 1. Hypothese = **falsch** UND ModeratorÖffnet = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = ändern ( ) 313
47 Generalisierung von Regeln Regel Text /*4*/ WENN 1. Hypothese = 2.Tür UND ModeratorVersteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnet = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = ändern ( ) /*4 */ WENN 1. Hypothese = **falsch** UND ModeratorÖffnet = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = ändern ( ) 314
48 Generalisierung von Regeln Regel Text /*6*/ WENN 1. Hypothese = 1.Tür UND ModeratorVersteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnet = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = beibehalten ( ) /*6 */ WENN 1. Hypothese = **richtig** UND ModeratorÖffnet = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = beibehalten ( ) 315
49 Generalisierung von Regeln Regel Text /*7*/ WENN 1. Hypothese = 1.Tür UND ModeratorVersteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnet = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = beibehalten ( ) /*7 */ WENN 1. Hypothese = **richtig** UND ModeratorÖffnet = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = beibehalten ( ) 316
50 Generalisierung von Regeln Regel Text /*2 */ WENN 1. Hypothese = **falsch** UND ModeratorÖffnet = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = ändern ( ) /*4 */ WENN 1. Hypothese = **falsch** UND ModeratorÖffnet = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = ändern ( ) /*2 4 */ WENN 1. Hypothese = **falsch** UND ModeratorÖffnet = **egal** DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = ändern ( ) 317
51 Generalisierung von Regeln Regel Text /*6 */ WENN 1. Hypothese = **richtig** UND ModeratorÖffnet = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = beibehalten ( ) /*7 */ WENN 1. Hypothese = **richtig** UND ModeratorÖffnet = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = beibehalten ( ) /*6 7 */ WENN 1. Hypothese = **richtig** UND ModeratorÖffnet = **egal** DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = beibehalten ( ) 318
52 Generalisierung von Regeln Regel P Text /*2 4 */ 2/3 WENN 1. Hypothese = **falsch** UND ModeratorÖffnet = **egal** DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = ändern ( ) /*6 7 */ 1/3 WENN 1. Hypothese = **richtig** UND ModeratorÖffnet = **egal** DANN ENTSCHEIDUNG 2. Hypothese = beibehalten ( ) Da die 1. Hypothese mit der Wahrscheinlichkeit P = 2/3 falsch ist, sollte nach dem Öffnen einer Tür durch den Moderator die 1. Hypothese geändert werden; also sollte die 2. Hypothese eine geänderte 1. Hypothese sein. 319
53 1. Modellrevision 320
54 Modellrevision Es hat sich gezeigt, dass die zwei generalisierten Regeln /*2 4 */ und /*6 7 */ reichen, eine Gewinnstrategie zu empfehlen, die auf einem Wechsel der Hypothese basiert. Uns gefällt an dem Modell nicht, dass wir zuviel Vorwissen in die Ausprägungen der 2. Hypothese gesteckt haben. Die Ausprägungen heißen Hypothese ändern bzw. Hypothese beibehalten. Würde man sich ein wenig naiver stellen, müssten die Ausprägungen der 2. Hypothese nur die Namen der Türen ( 1.Tür, 2.Tür, 3.Tür ) tragen. Ob die Strategie aus der Änderung oder Beibehaltung der Hypothese bestehen sollte, muss aus den Strategieregeln durch Abstraktion herauszulesen sein. Zum Dritten wollen wir prüfen, was die Auswirkungen einer 4. Nutzenfunktionskante vom Nutzenknoten zu Moderatorversteck sind. 321
55 1. Ereignisvariable 322
56 1. Entscheidungsknoten 323
57 1. Informationskante 324
58 2. Ereignisknoten 325
59 Kausalkanten Die Türöffnung durch den Moderator hängt ab vom Versteck und der geäußerten 1. Hypothese: der Moderator öffnet nur eine Tür, die weder der Hypothese noch dem Versteck entspricht. 326
60 Evidenz Die Türöffnung durch den Moderator hängt ab vom Versteck und der geäußerten 1. Hypothese: der Moderator öffnet nur eine Tür, die weder der Hypothese noch dem Versteck entspricht. Wir versuchen durch Eingabe von Evidenz ( Moderator wählt die 1.Tür als Versteck. ) das Problem ohne Einschränkung der Allgemeinheit zu vereinfachen. 327
61 Eingabe von Wahrscheinlichkeiten P ModeratorÖffnet 1. Hypothese ModeratorVersteck Tür 1. Tür 1. Tür Tür Tür Tür 2. Tür Tür Tür Tür 3. Tür Tür Tür 328
62 Eingabe der bedingten Wahrscheinlichkeiten Da wir uns mit Eingabe der Evidenz Moderatorversteck=1.Tür festgelegt haben, sollen alle bedingten Wahrscheinlichkeiten, die ein anderes Moderatorversteck in der Bedingung haben, gleich 0 sein. 329
63 2. Entscheidungsknoten Die zweite Entscheidung soll jetzt nicht mehr die Alternativen 2.Hypothese ändern vs 2.Hypothese beibehalten enthalten sondern die Ausprägungen 1.Tür, 2.Tür und 3.Tür. Dadurch stecken wir weniger Vorwissen in das Modell. Allerdings werden wir mehr Nutzenwerte eingeben müssen. 330
64 2. Informationskanten 331
65 Nutzenknoten 332
66 Nutzenfunktionskanten 333
67 Entscheidungsbaum zur Kontrolle 334
68 Entscheidungsbaum 335
69 1. Nutzenwert 336
70 2. Nutzenwert 337
71 3. Nutzenwert 338
72 4. Nutzenwert 339
73 5. Nutzenwert 340
74 6. Nutzenwert 341
75 7. Nutzenwert 342
76 8. Nutzenwert 343
77 9. Nutzenwert 344
78 10. Nutzenwert 345
79 11. Nutzenwert 346
80 12. Nutzenwert 347
81 Entscheidungsbaum zur Kontrolle 348
82 Entscheidungsbaum zur Kontrolle 349
83 Empfohlene Strategie (1/3) Netz#0: szenario03_01.net enthält die folgenden Evidenzen : Moderatorversteck = 1.Tür. Der maximale Erwartungsnutzen bzgl. Ziel Nutzen beträgt /*1*/ * WENN Moderatorversteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1.Hypothese = 3.Tür ( ) /*2*/ * WENN 1.Hypothese = 3.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) /*3*/ * WENN Moderatorversteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1.Hypothese = 2.Tür ( ) /*4*/ * WENN 1.Hypothese = 2.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) 350
84 Empfohlene Strategie (2/3) /*5*/ * WENN Moderatorversteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1.Hypothese = 1.Tür ( ) /*6*/ * WENN 1.Hypothese = 1.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) /*7*/ * WENN 1.Hypothese = 1.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) 351
85 Kommentar zur Regel Nr Regel /*1*/ WENN Moderatorversteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1. Hypothese = 3.Tür ( ) Die Regel besagt, dass man trotz falscher 1. Hypothese dennoch den Gewinn in Höhe von durch eine geeignete Folgestrategie erlangen kann 352
86 Kommentar zur Regel Nr Regel /*3*/ WENN Moderatorversteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1. Hypothese = 2.Tür ( ) Die Regel besagt, dass man trotz falscher 1. Hypothese dennoch den Gewinn in Höhe von durch eine geeignete Folgestrategie erlangen kann 353
87 Kommentar zur Regel Nr Regel /*5*/ WENN Moderatorversteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1.Hypothese = 1.Tür ( ) Die Regel besagt, dass man mit richtiger 1. Hypothese den Gewinn in Höhe von durch eine geeignete Folgestrategie erlangen kann. Das ist aber keine Garantie für den Gewinn. Man kann noch alles vermasseln! 354
88 Kommentar zur Regel Nr Regel /*2*/ WENN 1.Hypothese = 3.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) Die Regel besagt, dass man trotz falscher 1. Hypothese den Gewinn in Höhe von erlangen kann, wenn man als 2. Hypothese die Tür wählt, die nicht vom Moderator geöffnet wurde und die nicht Gegenstand der 1. Hypothese war. Das Problem für den Rater ist nur, dass er nicht weiß, ob die 1. Hypothese falsch ist. 355
89 Kommentar zur Regel Nr Regel /*4*/ WENN 1.Hypothese = 2.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) Die Regel besagt, dass man trotz falscher 1. Hypothese den Gewinn in Höhe von erlangen kann, wenn man als 2. Hypothese die Tür wählt, die nicht vom Moderator geöffnet wurde und die nicht Gegenstand der 1. Hypothese war. Das Problem für den Rater ist nur, dass er nicht weiß, ob die 1. Hypothese falsch ist. 356
90 Kommentar zur Regel Nr Regel /*6*/ WENN 1.Hypothese = 1.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) Die Regel besagt, dass man bei richtiger 1. Hypothese den Gewinn in Höhe von erlangen kann, wenn man als 2. Hypothese die Tür wählt, die nicht vom Moderator geöffnet wurde und die Gegenstand der 1. Hypothese war. Das Problem für den Rater ist nur, dass er nicht weiß, ob die 1. Hypothese richtig ist. 357
91 Kommentar zur Regel Nr Regel /*7*/ WENN 1.Hypothese = 1.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) Die Regel besagt, dass man bei richtiger 1. Hypothese den Gewinn in Höhe von erlangen kann, wenn man als 2. Hypothese die Tür wählt, die nicht vom Moderator geöffnet wurde und die Gegenstand der 1. Hypothese war. Das Problem für den Rater ist nur, dass er nicht weiß, ob die 1. Hypothese richtig ist. 358
92 Generalisierungen /*1*/ WENN Moderatorversteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1. Hypothese = 3.Tür ( ) /*3*/ WENN Moderatorversteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1. Hypothese = 2.Tür ( ) /*5*/ WENN Moderatorversteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1.Hypothese = 1.Tür ( ) /*135*/ WENN Moderatorversteck = 1.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 1.Hypothese = *egal* ( ) Die Regel besagt, dass der Wahrheitsgehalt der 1. Hypothese keine Rolle zur Erzielung des Gewinnes spielt. Man kann den Gewinn in Höhe von durch eine geeignete Folgestrategie erlangen. 359
93 Generalisierungen /*2*/ WENN 1.Hypothese = 3.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) /*4*/ WENN 1.Hypothese = 2.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) /*24*/ WENN 1.Hypothese = **falsche Tür** UND ModeratorÖffnung = **eine andere Tür** DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = **Tür** <> **falsche Tür** und **Tür** <> **eine andere Tür**( ) Die Regel besagt, dass wenn die 1. Hypothese falsch ist, man in der 2. Hypothese eine Tür wählt, die weder vom Moderator geöffnet wurde, noch Gegenstand der 1. Hypothese war. Das Problem für den Rater ist nur, dass er nicht weiß, ob die 1. Hypothese falsch ist. 360
94 Generalisierungen /*6*/ WENN 1.Hypothese = 1.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) /*7*/ WENN 1.Hypothese = 1.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) /*67*/ WENN 1.Hypothese = **richtige Tür** UND ModeratorÖffnung = **eine andere Tür** DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = **richtige Tür** ( ) Die Regel besagt, dass wenn die 1. Hypothese richtig ist, man in der 2. Hypothese eine Tür wählt, die nicht vom Moderator geöffnet wurde, und Gegenstand der 1. Hypothese war. Das Problem für den Rater ist nur, dass er nicht weiß, ob die 1. Hypothese richtig ist. 361
95 Strategie Nr P Generalisierte Regel /*24*/ 2/3 WENN 1.Hypothese = **falsche Tür** UND ModeratorÖffnung = **eine andere Tür** DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = **Tür** <> **falsche Tür** und **Tür** <> **eine andere Tür**( ) /*67*/ 1/3 WENN 1.Hypothese = **richtige Tür** UND ModeratorÖffnung = **eine andere Tür** DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = **richtige Tür** ( ) Da die Wahrscheinlichkeit mit 2/3 größer ist in der 1. Hypothese eine falsche Tür zu erraten, sollte in der 2. Hypothese eine Tür gewählt werden, die weder Gegenstand der 1. Hypothese noch vom Moderator geöffnet wurde. Hier lohnt es sich also strategisch flexibel zu sein! 362
96 2. Modellrevision Modell mit nur einer Entscheidungsvariablen 363
97 Modell mit nur einer Entscheidungsvariablen 364
98 Entscheidungsbaum unter Evidenzen ohne Nutzenwerte 365
99 Entscheidungsbaum unter Evidenzen ohne Nutzenwerte 366
100 Entscheidungsbaum unter Evidenzen mit Nutzenwerten 367
101 Entscheidungsbaum unter Evidenzen mit Nutzenwerten 368
102 Von SHAFT2 generierte Strategie Netz#0: szenario03_03.net enthält die folgenden Evidenzen : Moderatorversteck = 1.Tür. Der maximale Erwartungsnutzen bzgl. Ziel Nutzen beträgt /*1*/ WENN 1. Hypothese = 1.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) /*2*/ WENN 1. Hypothese = 1.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) 369
103 Von SHAFT2 generierte Strategie /*3*/ WENN 1. Hypothese = 2.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) /*4*/ WENN 1. Hypothese = 3.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) 370
104 Generalisierungen Nr Regel /*1*/ WENN 1. Hypothese = 1.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) /*2*/ WENN 1. Hypothese = 1.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) /*12*/ WENN 1. Hypothese = **richtigetür** UND ModeratorÖffnung = **TürMitZiege** DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = **1.HypotheseBeibehalten**( ) 371
105 Generalisierungen Nr Regel /*3*/ WENN 1. Hypothese = 2.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 3.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) /*4*/ WENN 1. Hypothese = 3.Tür UND Moderatorversteck = 1.Tür UND ModeratorÖffnung = 2.Tür DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = 1.Tür ( ) /*34*/ WENN 1. Hypothese = **falschetür** UND ModeratorÖffnung = **TürMitZiege** DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = **übriggebliebenetür** ( ) 372
106 Abstrahierte Strategie Nr Regel /*12*/ WENN 1. Hypothese = **richtigetür** UND ModeratorÖffnung = **TürMitZiege** DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = **1.HypotheseBeibehalten**( ) /*34*/ WENN 1. Hypothese = **falschetür** UND ModeratorÖffnung = **TürMitZiege** Kommentar: DANN ENTSCHEIDUNG 2.Hypothese = **übriggebliebenetür** ( ) Die erste Regel /*12*/ empfiehlt uns, die 1.Hypothese beizubehalten, wenn die 1.Hypothese richtig war. Die zweite Regel /*34*/ empfiehlt uns, in der 2. Hypothese von der 1. Hypothese abzuweichen und die Tür zu wählen, die weder Gegenstand der 1. Hypothese noch vom Moderator geöffnet wurde, wenn die 1. Hypothese falsch war. Es bleibt nur das Problem, dass man nicht weiß, ob die 1. Hypothese richtig oder falsch ist. Da aber man nur mit P=1/3 das Moderatorversteck richtig erraten kann und man mit P=2/3 daneben liegt, empfiehlt es sich, immer nach der Regel /*34*/ (dh. strategisch flexibel) zu verfahren (s.a. den Entscheidungsbaum auf der nächsten Folie). 373
107 1. Hypothese beibehalten! Entscheidungsbaum unter Evidenzen mit Nutzenwerten richtig! falsch! 1. Hypothese verwerfen! falsch! 1. Hypothese verwerfen! 374
108 Intuitive Lösung des Ziegenproblems (1/3) Zum Schluss wollen wir zeigen, wie man das Ziegenproblem intuitiv (dh. ohne mathematischen Apparat nur aufgrund qualitativer Überlegungen) lösen kann. Wir hoffen, dass die Lösung auch Ihnen sofort einleuchtet. 375
109 Intuitive Lösung des Ziegenproblems (2/3) Die Wahrscheinlichkeit, die falsche Tür zu erraten, ist größer als die Ratewahrscheinlichkeit der Gewinntür. 1. Hypothese: Nehmen wir an, unsere geratene Tür X verbirgt eine Ziege. Dann zeigt der Moderator von den beiden übrig gebliebenen die Tür mit der Ziege. Also muss die noch verschlossene Tür den Gewinn verbergen. Deswegen sollte man die 1. Hypothese ändern zu einer 2. Hypothese Gewinn ist hinter der noch verschlossenen Tür. Die Wahrscheinlichkeit, die richtige Tür zu erraten, ist kleiner als die Ratewahrscheinlichkeit der Nietentür. 1. Hypothese: Nehmen wir an, unsere geratene Tür X verbirgt das Auto. Dann zeigt der Moderator von den beiden übrig gebliebenen eine beliebige Tür mit der Ziege. Also muss die noch verschlossene Tür die Ziege verbergen. Deswegen sollte man die 1. Hypothese nicht ändern zu einer 2. Hypothese Gewinn ist hinter der noch verschlossenen Tür. 376
110 Intuitive Lösung des Ziegenproblems (3/3) Damit ist es richtig, die 1. Hypothese nur geändert gelten zu lassen in Form der 2. Hypothese: Die noch verschlossene Tür verbirgt das Auto. Deswegen sollte die 2. Hypothese lauten Gewinn ist nicht hinter der noch verschlossenen Tür. Damit ist es richtig, die 1. Hypothese unverändert gelten zu lassen: Die geratene Tür verbirgt das Auto. Da die Wahrscheinlichkeit, die falsche Tür zu erraten, größer ist als die Ratewahrscheinlichkeit der Gewinntür, ist es besser, die 1. Hypothese zu revidieren zur 2. Hypothese: Die noch verschlossene Tür verbirgt das Auto. 377
111 Ein modifiziertes Ziegenproblem Läßt sich eine Gewinnstrategie finden, wenn der Quizmaster nach dem Rateversuch eine beliebige Tür mit Ziege (also auch die geratene) öffnet? 378
112 Resümee Herzlichen Glückwunsch! Sie sind jetzt kompetenter Modellierer von Entscheidungssituationen unter Unsicherheit. Durch Ihre Modellierungskompetenz sind Sie jetzt in der Lage das Wesentliche einer Entscheidungssituation zu durchschauen und vom Unwesentlichen zu abstrahieren. Sie wissen jetzt, dass man viele Entscheidungssituation als Spiel gegen die launische Natur verstehen kann. Man kann nur seine eigenen Entscheidungen frei wählen. Der Rest ist mehr oder weniger kontrollierbar. Allerdings können wir versuchen, die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse abschätzen, um Entscheidungen so zu fällen, dass der erwartete Nutzen maximiert wird. Treten neue Situationen ein (gibt es neue Evidenz) müssen die optimalen Entscheidungen neu überdacht werden, dh. man muss flexibel bleiben. Alle diese sitautionsbedingten Entscheidungen machen dann eine Strategie aus. 379
113 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit 380
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