2 Die P-P-Kette und der CNO-Zyklus Die Proton-Proton-Reaktion I Proton-Proton-Reaktion II und III Der CNO-Zyklus...

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Nukleosynthese Primordiale Nukleosynthese Interstellare Nukleosynthese Klassen der stellaren Nukleosynthese Kernprozesse Die P-P-Kette und der CNO-Zyklus Die Proton-Proton-Reaktion I Proton-Proton-Reaktion II und III Der CNO-Zyklus Weitere Kernreaktionen Heliumbrennen Kohlenstoffbrennen Sauerstoffbrennen Siliziumbrennen oder Quasi-Gleichgewicht Gleichgewichtsreaktion bei der Bildung der Eisenspitze Neutroneneinfang Langsamer Elektroneneinfang s-prozess Schneller Elektroneneinfang r-prozess Quantenmechanische Grundlagen Das Schalenmodell Temperaturabhängigkeit und Gamow-Peak Potenzgesetz Aktuelle Forschungsergebnisse Solare Neutrinos Das LUNA-Experiment

2 1 Nukleosynthese Unter Nukleosynthese (auch Nukleogenese oder Elemententstehung) versteht man Prozesse durch welche die heute vorhandenen Elemente im Universum durch Kernreaktionen entstanden sind und weiterhin entstehen, beginnend beim einfachsten Atomkern, dem Wasserstoff. In der folge entstehen dabei immer schwerere Atomkerne. Die Theorie der Nukleosynthese wurde in einer Arbeit von E.M. Burbidge, G.R. Burbidge, W.A. Fuwler und F. Hyle aufgestellt. Diese Arbeit wurde so berühmt, dass sie eine eigene Abkürzung erhielt B 2 F H. 1.1 Primordiale Nukleosynthese Die Idee für die Theorie der primordialen Nukleosynthese geht auf Arbeiten des amerikanischen Physikers George Gamow im Jahre 1946 zurück beschrieb der Japaner Chushiro Hayashi die Neutron-Proton-Gleichgewichtsprozesse zur Erzeugung der leichten Elemente. Als das Universum expandierte und dabei abkühlte konnten sich etwa 3 Minuten nach dem Urknall bei einer Temperatur von K aus den Quarks Protonen und Neutronen bilden. Da Neutronen etwas schwerer sind als Protonen, konnten sich wesentlich mehr Protonen ( 87%) als Neutronen bilden ( 13% ). Nachdem die Temperatur weiter auf einen Bereich um 10 9 K gesunken war und sich genügend Protonen und Neutronen gebildet hatten konnten weitere Kerne entstehen. Zunächst das Deuteron 2 H, weiter das Helion 3 He, das α-teilchen 4 He, sogar 7 Li und 7 Be entstanden. Die Teilchen n (T 1/2 = 15min), 3 He(T 1/2 = 12, 3a), 7 Be(T 1/2 = 53, 4) sind β - instabil mit relativ geringen Halbwertzeiten. Ihr Anteil ist bis heute schon zerfallen. Hingegen sind die heute vorhandenen Elemente 1 H, 2 H, 3 He, 4 He und 7 Li fast ausschließlich im frühen Universum entstanden. Aus der primordialen Nukleosynthese lasse sich sogar Folgerungen über das Alter, die Ausdehnungsgeschwindigkeit und die Dichteschwankungen des Universums machen. 1.2 Interstellare Nukleosynthese Unter kosmischer Strahlung versteht man hochenergetische (> 1 GeV )Atomkerne, die sich im interstellaren Raum bewegen. Die Atomkerne der kosmischen Strahlung 2

3 treffen auf ihren Weg durch den Raum auf Atomkerne der interstellaren Materie, wobei durch Spalation, also Absplitterung von Atomkernen sekundäre kosmische Strahlung aus leichteren Atomkernen entsteht. Auf diese Weise entstehen Atomkerne wie Lithium, Beryllium und Bor, dies ist Auffallend bei Vergleich der Häufigkeitsverteilung der kosmischen Strahlung mit der üblichen Häufigkeitsverteilung im Universum. Daher nimmt man an, dass diese leichten Elemente weder primordial noch stellar erzeugt wurden. 1.3 Klassen der stellaren Nukleosynthese Man kann vier - im Wesen nach -verschiedene Klassen der stellaren Nukleosynthese unterscheiden. Sie sind Ursprung aller Elemente aus denen die Materie der Welt gebildet wurde und gebildet wird. Prozesse, die an die stellare Entwicklung gebunden sind, Fusionsreaktionen, welche im Sterninneren ablaufen 1. Fusion von Wasserstoff zu Helium, die den Hauptanteil aller in Sternen erzeugte Energie stellt; 2. Fusion von Helium zu Kohlenstoff und Sauerstoff 3. fortgeschrittene Fusionsprozesse 4. Gleichgewichtsprozesse Explosive Nukleosynthese in Supernovae Reaktionen der Neutronen-Absorption 1. s-prozess(engl. slow), der mit langsamer Neutronen -Erzeugung oder Absorption verknüpft ist. 2. r-prozess(engl. rapid), der mit schneller Neutronen -Erzeugung oder Absorption verknüpft ist. Hochenergetische Reaktionen 1.4 Kernprozesse Um den Prozess der Nukleosynthese zu verstehen, muss man die Energiegewinnung aus Kernprozessen betrachten. Wegen der anziehenden Kräfte zwischen den Nukleonen muss man Energie aufwenden, um einen stabilen Kern in seine einzelnen Nukleonen zu zerlegen. Man nennt diese Energie die Bindungsenergie E B des Kerns. 3

4 Teilt man E B durch die Gesamtzahl A der Nukleonen im Kern, so erhält man die mittlere Bindungsenergie pro Nukleon E b = E B /A. Gemäß der Einstein schen Relation E = mc 2 entspricht diese Bindungsenergie E B dem Massendefekt M = E B /c 2 des Kerns gegenüber der Summe der Massen seiner Nukleonen. M K = m p + m n M Die Kernmasse M K ist deshalb um M kleiner als die Gesamtmasse seiner freien Nukleonen. Man sieht, dass die mittlere Bindungsenergie pro Nukleon im mittleren Massenbereich beim Eisenkern mit A = 56 ein Maximum hat. Man kann deshalb Energie gewinnen, wenn man entweder leichtere Kerne zu schwereren verschmilzt (Fusion) oder schwere Kerne (A > 56) in leichtere zerlegt (Kernspaltung). Allerdings wird der Energiegewinn mit größer werdenden Massen immer geringer. 2 Die P-P-Kette und der CNO-Zyklus Nachdem Jean Perrin erstmals behauptete, dass die Sonne ihre Energie durch Kernfusion gewinnt, begann man mit der Suche nach möglichen Reaktion. Wegen der besonders niedrigen Bindungsenergie von Wasserstoff war bald klar, dass eine Reaktion von Wasserstoff nach Helium die Wahrscheinlichste ist. Auch hat Wasserstoff die geringste Kernladungszahl und daher die niedrigste Coulomb-Barriere, die ja einer Annäherung der Reaktionspartner im Wege steht. Um die Höhe der Barriere abzuschätzen, berechnet man den Kernradius mit der Formel R A = 1, 4 A 1 3 (2.1) 4

5 die erstmals von Rutherford aufgestellt wurde. Damit kann man zumindest die Größenordnung abschätzen, indem man die Kerne als zwei sich berührende Kugeln betrachtet: Z 1 Z 2 E C MeV (2.2) A 1/3 1 + A 1/3 2 Bei der Wasserstofffusion wäre E C 1 MeV, dies entspricht einer Temperatur von O(10 10 ) K, also viel mehr als im Inneren der Sonne. Dort beträgt die mittlere kinetische Energie der Teilchen nur O(10) kev entsprechend einer Temperatur von O(10 8 ) K. Es stehen also nicht genügend schnelle Teilchen für die Reaktionen zur Verfügung. Hinzu kommt, dass die einfachsten Reaktionen der Art 2 1 zu instabilen Produkten führen: p + p 2 2He p + 4 2He 5 3Li 4 2He + 4 2He 8 4Be. Trotzdem hielten Perrin und Eddington an der Kernfusion fest und Hans Bethe fand schließlich nach Entdeckung der Quantenmechanik eine Lösung dieses Problems. In der Quantenmechanik gibt es ja den Tunnelprozess, also das Überwinden einer energetischen Barriere durch ein Teilchen, das klassisch dazu nicht in der Lage wäre. Die genaue Funktionsweise des Tunnelns wird später erläutert, hier benötigen wir nur, dass bei genügend hoher Temperatur tatsächlich eine Überwindung der Coulomb- Barriere möglich ist. 2.1 Die Proton-Proton-Reaktion I Hans Bethe fand im Jahre 1939 schließlich eine Möglichkeit für die Energieproduktion in Sternen durch Kernfusion. Die erste Reaktion war demnach: p + p 2 1D + e + + ν e (2.3) Dieser Prozess ist zwar exotherm, es werden inklusive der e + + e - Annihilation 1,422 MeV freigesetzt, dennoch ist der Prozess sehr langsam. Die mittlere Lebensdauer eines Protons im Kern der Sonne beträgt 7, a, da dies eine Reaktion der schwachen Wechselwirkung ist. Trotzdem ist die Reaktionsrate von (2.3) noch um Größenordnungen geriner als die vergleichbarer schwacher Zerfälle. Dies liegt daran, dass allgemein für die Reaktionsrate λ eines Prozesses gilt: 2 λ Ψ f Ψ i dv (2.4) 5

6 wobei Ψ i die Wellenfunktion vor und Ψ f die Wellenfunktion nach der Reaktion bezeichnet. Da es sich bei (2.3) ja um eine Steuung mit Reaktion handelt, ist Ψ i die Wellenfunktion zweier Protonen, die im Plasma der Sonne verteilt sind und Ψ f die Funktion eines lokalisierten Deuteriums. Das Überlappungsintegral ist also sehr klein im Gegensatz zum Fall eines radioaktiven Zerfalls. Dies entspricht der Tatsache, dass, lapidar gesagt, die (unwahrscheinliche) Durchtunnelung der Coulomb-Barriere zusammenfallen muss mit dem (ebenfalls unwahrscheinlichen) β + -Zerfall. Es zeigt sich aber, das es gerade die geringe Reaktionsrate von (2.3) einen Stern wie unsere Sonne überhaupt erst möglich macht. Die Folgereaktionen des ersten Teils der Proton-Proton-Fusion sind nämlich wesentlich schneller. Hier eine Übersicht: 2 1D + p 3 2He + γ 3 2He + 3 2He 4 2He + 2p Diese Reaktionen laufen in Sternen ab, deren Temperatur nicht zu hoch ist und die Konzentration an 4 2He anfangs nicht zu groß ist. Falls nämlich ausreichende Mengen an Helium zur Verfügung stehen, treten weitere Reaktionen auf, die als Proton- Proton-Reaktion II und III bekannt sind. Vorher sei allerdings noch auf die große Bedeutung der geringen Reaktionsrate von (2.3) hingewiesen. Diese ist bei weitem die langsamste unter allen Kernreaktionen im Inneren von Sternen und gibt daher die Gesamtreaktionsgeschwindigkeit vor. Es ist tatsächlich so, dass nahezu alle anderen Reaktionen ein nukleares Gleichgewicht erreichen, dass also Hin- und Rückreaktion gleich schnell sind, bevor sich die Protonendichte im Stern signifikant ändert. Dies resultiert in einer sehr langen Periode (O(10 10 ) a im Fall der Sonne) des Wasserstoffbrennens für Sterne und einer hohen Stabilität in dem Zeitraum. Dies hat Leben auf der Erde erst möglich gemacht. 2.2 Proton-Proton-Reaktion II und III Die P-P-Reaktion I benötigt, wie oben gezeigt, nur Wasserstoff als Ausgangsprodukt und keinen Katalysator. Sie wird also die allererste Reaktion sein, die in einem Stern nach dem Urknall abläuft. Wenn allerdings genügend Helium vorhanden ist und die Kerntemperatur hoch genug ist, besteht eine andere Möglichkeit für die weitere Reaktion von 3 2He: 3 2He + 4 2He 7 4Be + γ Das nun entstandene 7 4Be kann nun entweder ein Elektron einfangen: 7 4Be + e 7 3Li + ν e 7 3Li + p 2 42He + γ 6

7 oder mit einem Proton reagieren: 7 4Be + p 8 5B + γ 8 5B 8 4Be + e + + ν e 8 4Be 2 42He Der erste Reaktionszweig heißt P-P II, der zweite P-P III. Diese Reaktionen sind schneller als die P-P I und erzeugen in Sternen mit genügend großer Masse mehr Energie als die erste Fusionskette. Das Verhältnis der Reaktionswege ist in Abb. 2.1 dargestellt. Abbildung 2.1: Hier ist die relative Stärke der einzelnen Proton-Proton- Fusionsketten als Funktion der Temperatur aufgetragen. T 6 bedeutet hier T in Einheiten von 10 6 K. Bild entnommen aus [1]. Interessant an diesen Reaktionen sind insbesondere die beiden Neutrinos, die bei den Reaktionen entstehen. Diese haben eine deutlich größere Energie als das Neutrino der P-P I Reaktionskette. Die meisten Reaktionen zur Neutrinodetektion sind endotherm und deshalb wahrscheinlicher für Neutrinos mit hoher Energie. Selbst wenn die Neutrinos nicht durch Kernreaktionen nachgewiesen werden sondern z.b. durch Tscherenkow-Strahlung, sind events für hochenergetische Neutrinos trotzdem wahrscheinlicher. Dies wird im letzten Abschnitt genauer behandelt. Zum Abschluss noch eine Tabelle aller P-P-Reaktionen mit Massendefekt Q in MeV, Neutrinoenergie E ν ebenfalls in MeV und mittlerer Lebensdauer τ in Jahren sowie eine Übersichtsgraphik. 7

8 Abbildung 2.2: Hier ist eine Übersicht über alle Proton-Proton-Reaktionen angegeben, die mehr Zweige enthält, als im Text behandelt. Die Wahrscheinlichkeiten sind jeweils für die Sonne berechnet. Bild entnommen aus [5]. Reaktion Q E ν τ p + p 2 1D + e + + ν e 1,442 0,263 7, D + p 3 2He + γ 5,493-4, He + 3 2He 4 2He + 2p 12,859-2, He + 4 2He 7 4Be + γ 1,586-9, Be + e 7 3Li + ν e 0,861 0,80 3, Li + p 2 42He + γ 17,342-1, Be + p 8 5B + γ 0,135-6, B 8 4Be + e + + ν e 8 4 Be 2 42He 18,074 7, Der CNO-Zyklus Die oben ausgeführte Proton-Proton-Reaktion benötigt als Ausgangskerne nur Protonen, da das 4 2He im Laufe des Prozesses selbst produziert wird. Diese Kette muss also in frühen Sternen so abgelaufen sein, da keine anderen Teilchen vorhanden waren. Heute besteht das Gas, aus dem sich Sterne bilden, aber nicht nur aus Wasserstoff und Helium, es enthält auch Kohlenstoff, Stickstoff und andere schwerere Elemente, die in weiteren Kernreaktionen ( Heliumbrennen ) entstehen. Wie das genau abläuft, wird später diskutiert, die Anwesenheit dieser Kerne hat aber einen katalytischen Effekt auf die Proton-Proton-Fusion. Dieser Effekt wurde von Hans Bethe und Carl Friedrich von Weizsäcker zwischen 1937 und 1939 entdeckt und heißt deshalb auch Bethe-Weizsäcker-Zyklus. Dabei werden im Endeffekt zwar auch 4 Pro- 8

9 Reaktion Q E ν τ 12 6 C + p 13 7 N + γ 1,944-1, N 13 6 C + e + + ν e 2,221 0,710 1, C + p 14 7 N + γ 7,55-2, N + p 15 8 O + γ 7,293-3, O 15 7 N + e + + ν e 2,761 1,00 2, N + p 12 6 C He 4,965-1, tonen zu einem α-teilchen fusioniert, aber durch Zwischenstadien mit Kohlenstoff (C), Stickstoff (N) und Sauerstoff (O). Die Reaktionszweige sehen folgendermaßen aus: 12 6 C + p 13 7 N + γ 13 7 N 13 6 C + e + + ν e 13 6 C + p 14 7 N + γ 14 7 N + p 15 8 O + γ 15 8 O 15 7 N + e + + ν e 15 7 N + p 12 6 C He Die letzte Reaktion läuft nicht immer so ab, mit einer Rate von 0,04% (in der Sonne) entsteht hingegen Sauerstoff: 15 7 N + p 16 8 O + γ 16 8 O + p 17 9 F + γ 17 9 F 17 8 O + e + + ν e 17 8 O + p 14 7 O He Da die zweite Kette deutlich unwahrscheinlicher ist als die erste, dauert es viel länger, bis 16 8 O ein nukleares Gleichgewicht erreicht, was für die anderen Katalysatoren recht schnell geht. Die Kernreaktionen verändern die Anfangskonzentrationen der Isotope von C und N. Diese werden durch Konvektion an die Oberfläche gebracht und können dort durch Spektroskopie gemessen werden. Dieses Verhältnis ist bei Roten Riesen anders als bei Hauptreihensternen und man kann daher Rückschlüsse auf die Kernprozesse im Inneren ziehen. Die Effektivität des CNO-Zykluses ist stark von der Temperatur abhängig und dominiert erst ab 30 Millionen Kelvin über den P-P- Zyklus, wie in Abb. 2.3 gezeigt. Zum Abschluss noch eine Tabelle der wichtigsten Daten zum wahrscheinlicheren Teil des CNO-Zykluses. 9

10 Abbildung 2.3: Hier ist die relative Stärke der einfachen P-P-Reaktion gegenüber dem CNO-Zyklus als Funktion der Temperatur aufgetragen. Die Abszisse ist in Einheiten von T [10 6 K]. Bild entnommen aus [1]. 3 Weitere Kernreaktionen 3.1 Heliumbrennen Die Vermutung liegt nahe, dass zumindest 12 C aus 3 4 He - Kernen entsteht. Erst nach einiger Zeit konnte Salpeter( ) nach genauen Durchrechnen nachweisen, dass der Aufbau von 12 C in zwei Etappen vor sich geht. Geht man von einer Temperatur von 10 8 K und einer Dichte von 10 5 aus erfolgt die erste Reaktion (Zweierstoß), mit der Umkehrung der letzen Reaktion der pp-iii-kette. Diese Reaktion ist endotherm. 4 He + 4 He 8 Be Es entsteht ein 8 2Be - Kern. Dieser ist zwar instabil, er zerfällt (nach 2, s) wieder in seine Stoßpartner, ein wichtiger Bruchteil aber überlebt. Auf He - Kerne kommt ein 8 Be - Kern. Somit kann sich zwischen Erzeugung und Vernichtung von 8 Be ein gewisser Gleichgewichtszustand einstellen. 4 He + 4 He 8 Be g cm 3 Wenn nun während der kurzen Lebensdauer, 8 Be mit einem weiteren 4 He zusammenstößt (=Dreierstoß), so kann dies zur Bildung von 12 C führen. 8 Be + 4 He 12 C + γ 10

11 Da seit der Entdeckung der Radioaktivität, Heliumkerne zumeist als Alpha-Teilchen bezeichnet werden, wir die Bindung von 12 C aus 3 Heliumkernen oft auch 3-α- Reaktion genannt. Abbildung 3.1: 3-α-Prozess Diese Erklärung hat aber noch einen gewissen Nachteil: Solche Dreierstöße sind außerordentlich selten. Der Zweierschritt verlief zu langsam, die gemessene Häufigkeit von 12 C ließ sich nur durch ein plötzlich steiles Anwachsen des Reaktionsgrades, das heißt mit einer Resonanz erklären. Abbildung 3.2: Energieniveaus von Kohlenstoff Hoyle wies 1954 nach, dass der 12 C - Kern tatsächlich ein angeregtes Energieniveau besitzt das höher lag als die Summe der (Ruhe-)Massen von 4 He und 8 Be. Die Existenz dieses angeregten 12 C - Kerns gleicht gewissermaßen die Instabilitäten des 8 B -Kerns aus. Er fällt zwar in kurzer Zeit auf seinen Grundzustand zurück, aber eine Anreicherung von 12 C ist auf dies weise gesichert. 11

12 Damit währe die Brücke zwischen Helium und Kohlenstoff geschlagen. Die Resonanz ist aber mit einem steilen Anstieg des Reaktionsgrades verknüpft und mit einer außerordentlichen Temperaturabhängigkeit. Bei 10 8 K und einer Dichte von steigt der Wirkungsquerschnitt einer Reaktion mit der vierten Potenz der Temperatur. Ein geringer Anstieg führt zu extremen Anwachsen des Reaktionsgrades und somit der Energie-Abgabe. Thermodynamisch erlaubt natürlich eine geringe Temperaturerhöhung eine kleine Variation des Druckes, diese kann aber die extrem anwachsende Energieabgabe nicht mehr aufnehmen. Die rasche Expansion führt zum so genannten Helium-Flash g cm 3 Betrachtet man das bisher gesagte sind zwei Tatsachen entscheidend: Die Instabilität von 8 Be ist der Grund dafür, dass nicht alle Roten Riesen beim Einsetzen des He-Brennens in ihrem Zentralbereich(Helium-Flash) sofort zu explodierenden Sternen werden. Die geringfügige Differenz in der Massensumme der Partner 4 H und 8 Be gegenüber dem Energieniveau des höher angeregten 12 C ist der Grund dafür, dass sich die häufigsten Elemente des ganzen Weltalls C, N, O (außer H, He) und damit alle folgende, bilden konnte. Das Gesamtproblem der 3α-Reaktion wurde 1957 experimentell bestätigt. Durch weiteren α-einfang können noch weitere Kerne gebildet werden 12 C + 4 He 16 O + γ 16 O + 4 He 20 N + γ Eine weitere Reaktion als wichtige Neutronenquelle kann stattfinden, wenn durch Konvektion noch Wasserstoff vorhanden ist. 16 O + 1 H 13 C + e + + ν 13 C + 4 He 16 O + n + γ 3.2 Kohlenstoffbrennen Aus dem Helium-Brennen lässt sich schließen, dass zunächst die 3α-Reaktion dominiert. Da jedoch der Reaktionsgrad zu der dritten Potenz der He-Dichte proportional ist, wird bei abnehmender 4 He-Häufigkeit der 4 He-Einfang durch 12 C und 16 O überwiegen. Schließlich geht das He-Brennen im Sterninneren - im Core - zu Ende. Die gravitative Kontraktion kann erneut zur Wirkung kommen. Die weitere Entwicklung eines Sterns hängt nun von seiner Anfangsmasse ab. Ist diese kleiner als etwa

13 Sonnenmassen, dann können die freien Elektronen im Sterninnern völlig degenerieren und der durch sie aufgebaute Gasdruck stoppt eine weitere Kontraktion. Der Stern wird zu einem weißen Zwerg mit einer Kerntemperatur von ca K. Ist die Anfangsmasse des Stern größer als 0.7 Sonnenmassen verläuft sein weiteres Leben völlig anders ab, sofern die Zentraltemperatur im Bereich von (5 8) 10 8 K liegt und die Dichte die Größenordnung von 10 5 erreicht, beginnen die 12 C-Kerne mit sich selbst zu reagieren. Von allen bisher entstandenen Elementen ist bei ihnen die Coulomb-Sperre am kleinsten, daher sollte als erstes folgende Reaktionen ablaufen: g cm 3 12 C + 12 C 24 Mg + γ 12 C + 12 C 23 Na + 1 H 56% 12 C + 12 C 20 Ne + 4 He 44% 12 C + 12 C 20 O + 4 He 12 C + 12 C 23 Mg + n Die letzte Reaktion ist zwar endotherm, aber eine gute Neutronenquelle, sofern die Temperatur hoch genug ist. Die erste Reaktion ist gegenüber der Bildung von 20 Ne und 23 Na nur geringfügig beteiligt. Sind im Verlauf genügend Partikel 1 H und 4 He erzeugt, laufen weitere Reaktionen ab: 22 Ne + 4 He 24 Mg + γ 23 Ne + 1 H 24 Mg + γ Da 24 Mg am stabilsten ist von allen am Zyklus beteiligten Kernen, ist seine Häufigkeit nach Ablauf des Zyklus am größten. In dieser Zwischenphase wird eine wachsende Anzahl von Neutronen freigesetzt, die infolge ihrer praktisch nicht vorhandenen Wechselwirkung den Stern verlassen und dabei von der im Stern inneren erzeugten Energie bis zu 30 Prozent davontragen. Daher verläuft der Anstieg der Zentraltemperatur durch diesen Energie-Abtransport auch flacher. Nach Anreicherung von genügend 12 C - Kernen im Sternzentrum laufen dann folgende Reaktionen ab: 12 C + 4 He 16 O + γ 14 N + 4 He 18 F + γ 16 O + e + γ 16 O + 4 He 20 Ne + γ Diese Reaktionen sind im Wesentlichen nicht resonant, ihr Wirkungsquerschnitt hängt aber stark vom Anregungszustand der Kerne 16 O, 18 F und 20 Ne ab. Nach 13

14 Beendigung der Heliumverbrennung ergibt sich durch Berücksichtigung der Wirkungsquerschnitte, dass 49% 12 C 49% 14 O 2% 16 O produziert worden sind. Die Reaktionskette, ausgehend von 14 N endet nicht unbedingt mit 16 O. Diese Kette bildet nämlich einen ausgezeichneten Neutronenlieferanten durch die Abläufe 18 O + 4 He 21 Ne + n 18 O + 4 He 22 Ne + γ 20 Ne + 4 He 23 Mg + n 22 Ne + 4 He 26 M + γ 25 Mg + 4 He 28 Si + n 26 Mg + 4 He 29 Si + n Die Wichtigkeit dieser Reaktionen wird allerdings erst bei r- /s-prozesse klar. Eine einfache Reaktionsfolge wie pp-kette und CNO-Zyklus existiert nicht. Der Ablauf der Reaktion zum Aufbau schwerer Elemente hängt stark von den lokalen Bedingungen ab. 3.3 Sauerstoffbrennen Nachdem die Zentraltemperatur durch das Kohlenstoffbrennen auf 10 9 K angestiegen ist, beginnt Sauerstoff mit sich selbst zu fusionieren. 16 O + 16 O 32 S + γ 16 O + 16 O 31 P + 1 H 16 O + 16 O 28 Si + 4 He 16 O + 16 O 24 Mg He 16 O + 16 O 31 S + n Am Ende des Sauerstoffbrennens treten die stabilen Kerne, 28 Si am häufigsten auf, dann 24 Mg und 32 S. Jetzt könnte man annehmen, das Spielchen könnte man fortsetzen und so könnten alle weiteren Elemente durch ähnliche Prozesse entstehen. Dies 14

15 ist nicht der Fall. Fusion dieser gedachten Art würde aufgrund der großen Coulomb sperre Temperaturen von K erfordern. Die Zahl der erzeugten Photonen wächst hier aber mit der vierten Potenz. Alle Kerne schwimmen jetzt in einem immer dichter werdenden Photonensee, jetzt läuft keine Fusionsreaktion mehr ab, sonder der umgekehrte Fall sog. Photodesintegration. Somit ist Sauerstoff praktisch das letzte Element das mit sich selbst reagieren kann. Auf den Prozess der Photodesintegration soll hier nicht weiter eingegangen werden. Formal findet folgende Reaktion statt mit. γ + C A + B Die Prozesse bilden keine einfachen Zyklen, sondern alle Mechanismen laufen in sehr verwickelter Weise gleichzeitig ab. Außerdem spielt die Vorgeschichte des Sterns eine Rolle. 3.4 Siliziumbrennen oder Quasi-Gleichgewicht Um diesen Prozess besser zu verstehen, nehmen wir die Zentraltemperatur von K und eine Dichte von 10 8 g (beide Größen seien während der Einstellung cm 3 des Quasi-Gleichgewichts konstant)an. Das Gas im Stern besteht nur aus Silizium. 24 Mg und 32 S sind nur in geringen Mengen vorhanden. Dann werden durch Photodesintegration γ + 28 Si 24 Mg + 4 He zunächst kleine Mengen von Helium frei. Dieser Vorgang läuft aber aufgrund der hohen Stabilität von Silizium nur sehr langsam ab. Sind nun genügend Heliumkerne freigeworden, lagern sie sich an den Si-Kernen an 21 Si + 4 He 32 S + γ und fusioniert zu Schwefel. 32 S ist weniger stabil als 28 Si, es wir sich daher ein gewisses Gleichgewichtszustand einstellen, der sich zugunsten von 32 S verschiebt, je größer die (relative) Anzahl der 4 He-Kerne wird. Ihre Anzahl wächst recht schnell mit der Photodesintegration der leichten Kerne. γ + 20 Ne 16 O + 4 He γ + 24 Mg 20 Ne + 4 He In ähnlicher Weise kann sich beim Anwachsen der Zahl der 32 S - Kerne die Fusion mit einem Heliumkern zu 36 A vollziehen 32 S + 4 He 36 Ar + γ 15

16 bis schließlich zu 56 Ni. Parallel dazu laufen die Photodesintegrationsprozesse der leichten Elemente ab. Die die erforderlichen Heliumkerne liefern. Bisher haben wir nur die Fusionsreaktion mit Helium betrachtet. Aber durch Photodesintegrationsprozesse der schematischen Art γ + A 1 H + B 1 H + C E + γ usw. werden Protonen freigesetzt, so können durch Fusionsreaktion mit Protonen andere Isotope zwischen Si und Nickel aufgebaut werden. Ein parallel dazu ablaufender β + - Zerfall kann ebenfalls Neutronen beisteuern. Der hier nur im Prinzip angedeutete Prozess eines Quasi-Gleichgewichts mit seiner Tendenz zur Verschiebung zu immer schwereren Elementen findet seinen Abschluss in 56 Ni das durch β-zerfall in das stabile Eisen 56 F e überführt wird. 3.5 Gleichgewichtsreaktion bei der Bildung der Eisenspitze Das sich verschiebende Gleichgewicht verschiebt sich naturgemäß im Endeffekt jeweils auf die stabilste Elementform. Der Temperaturbereich bleibt dabei stets in der Größenordnung von K. All diese Prozesse des Si-Brennens in diesem Quasi-Gleichgewichtsprozess nehmen nur eine sehr kurze Zeit in Anspruch. Das Siliziumbrennen eines Massereichen Stern dauert typischer Weise 2 Tage, bis der Stern als Supernova endet. Teilchen, also Protonen, Neutronen oder 4 He - Kerne werden aus Kernen hinausgeworfen, von anderen Kernen schnell wieder eingefangen um auch von diesen vielleicht wieder hinausgedrückt zu werden. Diese Ejektion und Wiedereinfang aller Teilchen strebt dabei stets einem Gleichgewichtszustand zu. Trotz der Schnelligkeit mit der diese Vorgänge ablaufen, werden viele ausgeworfene Partikel mehr und mehr von Kernen eingefangen, indem sie stärker gebunden sind als in Kernen in dem sie vorher herausgeschlagen wurden. Der gesamte Prozess kann als eine Neugruppierung der nur lose gebundenen Nukleonen im Kern aufgefasst werden in der die Bindungsenergie wesentlich stärker ist. Deshalb bezeichnet man diesen Prozess auch als photodesintegrative Umgruppierung der Atomkerne. 4 Neutroneneinfang Die Fusions- und anschließenden Gleichgewichts-Prozesse erlauben die Entstehung von Helium bis zur Eisenspitze. Die weitere Entstehung von schwereren Elementen durch den gleichen Mechanismus würde unrealistische Temperaturen erfordern. 16

17 Abbildung 3.3: Der Reaktionsnetzplan zeigt die komplexe Struktur dieses Prozesses. Dies ist ein Netzplan einer Modell-Durchrechnung, schematisch dargestellt. Schwere Elemente entstehen durch Neutronen-Absorptionsprozesse. Für Neutronen ist das überwinden der Coulomb-Sperre keine Schwierigkeit und zum anderen reagieren Neutronen schneller mit Atomkernen je schwerer sie sind. In der universellen Häufigkeitsverteilung ist die allgemeine Tendenz, ein langsames Abfallen der Häufigkeit mit wachsender Massenzahl zu erkennen. Auffällig ist jedoch das auftreten der Spitzen bei Brom Yttrium, Xenon, Lanthan, Platin und Wismut. In ähnlicher Weise wie im Schalenmodell der Elektronen führt man dies ausgehend von der Schalentheorie der Atomkerne auf Schalen zurück, die durch Protonen oder Neutronen aufgefüllt werden. Entspricht die Summe aus Neutronen und Protonen einer magischen Zahl - 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, sind sie verglichen mit ihren Nachbarisotopen besonders stabil. Der Neutroneneinfangprozess kann in zwei Gruppen aufgeteilt werden s-prozess - slow - langsamer Neutroneneinfang hier zerfallen die erzeugten Kerne zu einem stabilen Isotop bevor sie ein weiteres Neutron einfangen r-prozess - rapid - schneller Neutroneneinfang, hier ist der Neutronenfluss so groß, dass der Kern bevor er Zerfällt viele Neutronen anlagert 17

18 Abbildung 4.1: Wirkungsquerschnitt für Neutorneneinfang Nochmals die wichtigsten Reaktionen, welche Neutronen erzeugen: 2 He + 2 H 3 He + n 12 C + 12 C 23 Mg + n 10 n F e 32 Ne + 4 He 25 Mg + n 10 5 n F e 16 O + 16 O 31 S + n 200 n F e Dies geschieht während des Heliumbrennens. Der Fluss ist relativ langsam und es gibt reichlich Zeit für β-zerfall. Dies sind die Bedingungen die sich für s-prozesse anbieten. Die typische Zeitskala ist in Größenordnungen von Jahren. In Sternexplosionen ist die Zeitskala im Bereich von s, die Explosion erzeugt einen Neutronenfluss der für den r-prozess nötig ist. Es gibt keinen Zusammenhang zwischen dem Isotop und die Art des erzeugten Prozesses. Es gibt Isotope die durch beide Prozesse erzeugt werden können und manche die nur durch s-prozesse mit relativ wenigen Neutronen und einige, welche nur durch r-prozesse erzeugt werden können (alle Element schwerer als Bei oder Bismut und allgemein Isotope mit hoher Neutronenzahl). Es gibt noch rund 30 Isotope, die durch keines der beiden Prozesse erzeugt werden können. Mögliche Prozesse hierfür sind Protoneneinfang während explosiven Brennens das Auslösen von Neutronen bei Temperaturen über 10 9 K durch Photonen der umgekehrte β-zerfall bei hohen Temperaturen durch Einfang von e +, welche ein protonenreicheres Isotop erzeugt. 18

19 4.1 Langsamer Elektroneneinfang s-prozess Befindet sich ein Kern in einem Neutronenfluss, dann werden Isotope mit größerer Kernmassenzahl A durch Neutroneneinfang erzeugt (Z, A) + n (Z, A + 1) + γ Wird ein nicht stabiler Kern erzeugt dann wechselt der Weg zum nächsten Z-Wert durch einen β-zerfall (Z, A + 1) (Z + 1, A + 1) + β + ν und dann beginnt der Einfangprozess erneut. Betrachtet man Isotope die nur durch s-prozess erzeugt werden können erwartet wir einen Zusammenhang zwischen Neutroneneinfang und Wirkungsquerschnitt. Wo der Wirkungsquerschnitt groß ist erwarten wir einen Aufbau der zu großen Überschuss führt. Mit ausreichender Genauigkeit kann man sagen, dass der Neutroneneinfangwirkungsquerschnitt indirekt proportional zur Neutronengeschwindigkeit ist, somit ist für den relevanten Temperaturbereich das Produkt σv als konstant zu betrachten Mit einer Neutronendichte n von lässt sich die typische Zeit für einen Neutroneneinfangabschätzen. m 3 t = 1 n 1 σv m s 10 4 years Betrachtet man einen s-prozess mit konstanter Neutronendichte n so ergibt sich eine Produktionsrate von Kernen mit Massenzahl A. N A dt = n {(σ A 1v) N A 1 (σ A v) N A } Die beiden Terme auf der rechten Seite beschreiben den Einfang und dein Zerfall. Da σ v konstant ist ersetzen wir dies durch den Neutronenfluss τ mit dτ = v th ndt. So erhalten wir N A dτ = σ A 1 N A 1 σ A N A Der Prozess ist nun durch eine große Anzahl von Differentialgleichungen gegeben, die mit einander verknüpft sind. Zum Lösen der Differentialgleichungen sind Randbedingungen nötig. Die Ausgangsbedingung wird bei der Eisengruppe gemacht. Das Sonnenverhältnis ist N( 55 F e) N( 57 F e) 0.1 N( 56 F e). Eine weitere Bedingung ist noch durch 209 Bi, den schwersten stabilen Kern. Weiterer Neutroneneinfang von 209 Bi führt zu α-instabilen Kernen. Somit währe eine Folge von Gleichung 19

20 N 56 dτ N A dτ N 206 dτ = σ 56 N 56 = σ A 1 N A 1 σ A N A = σ 205 N 205 σ 206 N σ 209 N 209 Ist die Häufigkeit des Kerns A gering wird der Neutroneneinfang überwiegen und der Term σ A 1 N A 1 wird größer. Wird die Häufigkeit des Kerns A zu groß wird der Zerfallsprozess überwiegen und die Häufigkeit wird klein. Durch viele solcher simultan ablaufenden Reaktionen dieser Art wird der Gesamtzustand zu einem Gleichgewichtszustand tendieren, bei dem gilt. N A σ A N A 1 σ A 1 N A dτ = 0 Diese lokale Näherung gilt in der Nähe von magischen Zahlen mit (50, 82, 126 Neutronen) und damit äußerst kleinen Wirkungsquerschnitt nicht. Betrachtet man das Neutronen-Wirkungsquerschnitt-Diagramm, so erkennt man deutlich die magischen Zahlen. Die Gültigkeit der Approximation zwischen den magischen Zahlen zeigt deutlich das nachfolgende Diagramm. Abbildung 4.2: Produkt aus Neutronenwirkungsquerschnitt und Elementhäufigkeit 20

21 Es zeigt das Produkt der solaren Häufigkeit der Elemente mit dem Wirkungsquerschnitt. Die einzelnen Datenpunkte sind teilweise mit beträchtlichen Fehlern behaftet. Es zeigt aber deutlich den monotonen Verlauf zwischen den magischen Zahlen. 4.2 Schneller Elektroneneinfang r-prozess Das Hauptaugenmerk für das vorhanden sein dieses Vorgangs ist die Existenz von schwereren Elementen als 209 Bi für deren Entstehung keine andere Erklärung bekannt ist. Um den Anteil durch r-prozess entstandner Kerne abzuschätzen subtrahiert man von der beobachteten Verteilung den Anteil, der durch s-prozess entstanden ist. Ein Ausschnitt des Ergebnisses dieser Durchführung zeigt die Nachfolgende Abbildung. Hier gibt es starke Anzeichen von Peaks bei A=80, 130, 195, diese sind um rund 10 unter den magischen Zahlen von Neutronen(90, 150, 208). Abbildung 4.3: Differenz aus der theoretischen Verteilung der Elemente des s-prozess und der gemessenen Verteilung Die Verschiebung der Peaks nach niedrigeren Massenzahlen A kam man dadurch deuten, dass der r-prozess direkt keine stabilen Kerne bildet. Dies geschieht indirekt durch β-zerfall der neutronenreichen Kerne. Durch den β-zerfall wird ein Neutron in ein Proton umgewandelt, damit bleib die Massenzahl erhalten. Die unterschiedlichen Pfade des s- und r-prozesses sind nachfolgend dargestellt 21

22 Abbildung 4.4: Die gestrichelten Linien zeigen, wie weit entfernt vom β -stabilen Tal die r-prozess Kerne erzeugte werden. Im Gegensatz dazu folgt der s-prozess diesem Tal sehr nahe. 5 Quantenmechanische Grundlagen Wie bereits oben erwähnt, kann die Kernfusion nicht ohne die Quantenmechanik erklärt werden. Vorher werden allerdings noch einmal die Grundgleichungen für den Sternaufbau wiederholt. Unter der Annahme der sphärischen Symmetrie erhält man folgende Gleichung für die Masse: r M(r) = 4π Die Forderung nach hydrostatischem Gleichgewicht liefert: Die Leuchtkraft ist gegeben durch 0 dr r 2 ρ(r ) (5.1) dp (r) = GM(r)ρ(r) r 2 dr (5.2) dl(r) = 4πr 2 drρ(r)ɛ(r) (5.3) 22

23 Den Temperaturverlauf erhält man aus den Gleichungen des Energietransports durch Strahlung: dt (r) = 3 ρ(r)κ(r)l(r) (5.4) dr 64π σt 3 r 2 wobei σ die Stefan-Boltzmann-Konstante bezeichnet und die Opazität eine kompliziertere Funktion ist κ(r) = κ(ρ(r), T (r), X i (r)) (5.5) Hier ist X i die Häufigkeit eines bestimmten Elements. Zusätzlich benötigt man zur Lösung noch eine Zustandsgleichung P (r) = P (ρ(r), T (r), X i (r)) (5.6) All diese Größen sind makroskopischer Natur und Sternmodelle können berechnet werden, wenn man die Energieerzeugungsrate ɛ aus der Kernphysik gegeben hat. Dieses ɛ soll nun mit relativ einfachen Mitteln abgeschätzt werden. 5.1 Das Schalenmodell Bevor man allerdings eine quantenmechanische Rechnung anfangen kann, braucht man erst einmal ein Modell für den Atomkern. Da die genaue Form der Kernkraft, also der QCD, sehr kompliziert ist, wird deren Wirkung im Modell stark vereinfacht. Um die Bindung der Nukleonen aneinander zu erklären, muss man annehmen, das das Coulomb-Potential der Nukleonen, das auf große Entfernungen dominant ist, bei dem Kernradius R durch ein anderes, attraktives Zentralpotential überlagert wird: V (r) = { 1 Z 1 Z 2 e 2 4πɛ 0 r V K (r) r > R r < R (5.7) Wie dieses V K (r) genau aussieht, ist a priori unbekannt und dessen Wahl hängt von der gewünschten Genauigkeit des Modells ab. Denkbar ist zum Beispiel ein Kastenpotential { V 0 r > R V K = (5.8) r < R oder ein harmonisches Potential V K = V mω2 r 2 (5.9) Beide Potentiale ergeben eingesetzt in die Schrödingergleichung natürlich quantisierte Energieniveaus, die man als Schalen verstehen kann. Diese Niveaus sind, abhängig 23

24 Abbildung 5.1: Hier wurde ein abgerundetes Kastenpotential als effektives Kernpotential gewählt. Die einlaufende Welle von rechts symbolisiert ein Teilchen, das auf den Kern zufliegt und dabei Energie verliert, also langwelliger wird. Bild entnommen aus [1]. vom gewählten Potential, unterschiedlich stark entartet und können dadurch auf ihre Realitätsnähe überprüft werden. Ein Beispiel für ein Kernpotential ist in Abb. 5.1 aufgetragen. Wichtiger als die genaue Form des Potentials ist an dieser Stelle, ob die Annahme eines Zentralpotentials überhaupt gerechtfertigt ist, da es ja im Gegensatz zum Atom kein echtes Zentralteilchen gibt. Man macht im Kern eine Zentralfeldnäherung, beschreibt also die Bewegung eines Nukleons im statischen Feld aller anderen. Dies erscheint auf den ersten Blick etwas gewagt, aber es gibt dennoch Gründe für dieses Vorgehen. Warum sollten denn zum Beispiel die Nukleonen überhaupt auf ihren Schalen bleiben und nicht durch Stöße abgelenkt werden und letztlich chaotisch durch den Kern fliegen. Eine Begründing liefert folgende Überlegung: Die Nukleonen sind Fermionen, sie unterliegen also dem Pauliprinzip. Der Atomkern ist also ein Fermigas mit Potential bestehend aus Protonen und Neutronen. Entsprechend sind alle Energieniveaus des Kerns bis zur Fermikante gefüllt. Sollten also zwei Nukleonen zusammenprallen, wird ein Energie- und Impulsübertrag stattfinden. Ein Stoßpartner wird also auf ein höheres Niveau gehoben, der andere auf ein niedrigeres sinken. 24

25 Da allerdings im Fermigas alle Niveaus besetzt sind, können die Nukleonen gar keine andere Schale als die besetzten, in der sie sich gerade befinden. Folglich können die Nukleonen ihre Schalen nicht verlassen. Eine Erweiterung dieses Zentralpotentials muss man allerdings von Hand einfügen: die Nukleonen haben eine sehr starke l s-kopplung, die nicht mehr als Störung behandelt werden kann. Dies führt zu einer Aufspaltung der Niveaus, die nicht aus den Energieeigenwerten des Potentials ersichtlich ist. Die genauen Zahlen sind für uns hier allerdings sowieso nicht von Interesse, sondern nur die Tatsache, dass sich die Nukleonen auf diskreten Schalen bewegen. Sollte nun ein Teilchen durch die Coulomb-Barriere hindurchtunneln und in den Kern eindringen, ordnet es sich unter Beachtung der Erhaltungssätze und des Pauliprinzips in ein Niveau ein. Besonders interessant ist der Fall, wenn die Energie des einlaufenden Teilchens sehr nahe an einem freien Niveau im Kern ist. Dann kommt es zu sogenannten Resonanzen, also zu einer erhöhten Wahrscheinlichkeit für die Fusion. Dies ist von zentraler Bedeutung für das Temperaturverhalten der Reaktionsrate, wie im nächsten Abschnitt erläutert wird. All diese Effekte kann man durch Kernspektrokopie tatsächlich beobachten. Das Schalenmodell, für das deren Erfinder Eugene Paul Wigner, Maria Goeppert-Mayer und J. Hans D. Jensen 1949 sehr bekannt wurden, sagt weiterhin, analog zu den Edelgasschalen der Atomphysik, besonders stabile Kerne mit magischen Kernladungs- und Massenzahlen voraus, die auch experimentell bestätigt sind. 5.2 Temperaturabhängigkeit und Gamow-Peak Die Energieerzeugungsrate ist das Produkt aus Reaktionsrate ṅ und freiwerdender Energie pro Reaktion Q. Die Reaktionsrate ist wiederum gegeben durch das Produkt aus einfallendem Fluss Φ x = n x v und effektiver Targetfläche, also n y σ(v), wobei σ der Wirkunsquerschnitt der betrachteten Reaktion ist. Somit ergibt sich für ṅ: ṅ = n x n y vσ(v) (5.10) Da die Teilchen keine einheitliche Geschwindigkeit haben, setzt man für vσ(v) den Erwartungswert ein und erhält für ɛ: Der Bruch ist ein Korrekturfaktor, falls x = y. 1 ɛ = Qn x n y vσ (5.11) 1 + δ xy Wenn man nun für die Geschwindigkeit eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung annimmt, ( ) 3/2 ) m F (v) = 4πv 2 exp ( mv2 (5.12) 2πk B T 2k B T 25

26 erhält man ( ) 3/2 ) µ vσ = 4π v 3 σ(v) exp ( µv2 dv (5.13) 2πk B T 2k B T 0 mit µ als effektive Masse. Wechsel von v nach E als Integrationsvariable ergibt vσ = ( ) 3/2 ( 8 1 E σ(e) exp E ) de (5.14) πµ k B T k B T 0 Die Herausforderung besteht nun darin, σ(e) zu bestimmen. Wie oben bereits erwähnt, muss man den quantenmechanischen Tunneleffekt mit einbeziehen, um die Kernfusion zu beschreiben. Dies wurde erstmals von Gamow bemacht, allerdings nicht für die Fusion, sondern für den α-zerfall. Die sehr großen Unterschiede in den Halbwertszeiten der α-strahler sind klassisch nicht zu erklären. Das Modell, das Gamow verwendete, betrachtet das α-teilchen als frei beweglich im Kern, das immer wieder gegen die Coulomb-Barriere stößt und mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit irgendwann durchtunnelt. Die Berechnug der Tunnelwahrscheinlichkeit ist eine Standartaufgabe der Quantenmechanik und wird hier nur kurz umrissen [2]: Zuerst geht man von einer Rechteckbarriere aus, die höher als die Teilchenenergie ist. Dafür lässt sich die Tunnelwahrscheinlichkeit T noch recht einfach geschlossen angeben: 1 T = 1 + (1 + ɛ2 ) (5.15) 4 sinh2 (2κa) 2m(V0 E) wenn ɛ = κ/k k/κ mit k = 2mE und κ =. Hier ist V 0 die Potentialhöhe und a die Breite. Wenn man nun die Schwelle als sehr hoch und breit annimmt und eine kontinuierliche Potentialschwelle zwischen a und b durch einzelne Stufen beschreibt, kommt man auf b 2m T exp 2 dx V (x) E =: exp( 2G) (5.16) a Einsetzen des Coulomb-Potentials für V (x) und Integration liefert für den Gamow- Faktor G: ( ) 2mπe 2 Z2 Z2 R G = Z 1 4 (5.17) E 2πe Vernachlässigung des zweiten Summanden (keine Energieabhängigkeit) und Einsetzen der kinetischen Energie ergibt G = πα c v Z 1Z 2 =: 1 2 EG E (5.18) 26

27 mit der Gamow-Energie E G. Man geht nun weiter davon aus, dass der Streuquerschnitt proportional zu dieser Tunnelwahrscheinlichkeit ist. Damit ergibt sich eine exponentielle Abhängigkeit von der Energie bzw. der Temperatur! Eine mögliche weitere Energieabhängigkeit wird meist mit dem sog. astrophysikalischen S-Faktor S(E) parametrisiert: σ(e) = exp( 2G) 1 S(E) (5.19) E wobei das 1/E Konvention ist. Wenn man nun dieses Ergebnis in (5.14) einsetzt, erhält man ( ) 3/2 ( ) 8 1 EG vσ = S(E) exp πµ k B T E E de (5.20) k B T 0 Wie sieht nun dieser Faktor S(E) aus? Der Punkt bei dieser Definition des Streuquerschnitts ist, dass alle Energieabhängigkeiten, die nicht von der inneren Struktur des Kerns abhängen, bereits in der Tunnelwahrscheinlichkeit integriert sind und S(E) nur element- bzw. isotopenspezifische Abhängigkeiten enthält wie die oben erwähnten Resonanzen. Meist ist es aber eine gute Näherung, wenn man S(E) S 0 setzt, also konstant lässt. Dann findent man, dass der Integrand ein Maximum E 0 zwischen der Maxwell-Boltzmann-Verteilung und der Tunnelwahrscheinlichkeit hat: Dies ist in Abb. 5.2 illustriert. ( ) π 2 1/3 E 0 = 2 (k BT ) 2 α 2 c 2 µz1z (5.21) Damit haben wir nun die Temperatur gefunden, bei der Kernfusion am effizientesten abläuft. Eine konkrete Lösung für dieses Integral wird im nächsten Abschnitt angegeben. Hier soll nun noch mal auf die Näherung des konstanten S-Faktors eingegangen werden. S(E) kann wegen der Komplexität der QCD (in diesem Energiebereich keine perturbative Theorie!) nur sehr schwer rechnerisch bestimmt werden. Eine experimentelle Bestimmung war lange nur für höhere Energien im Bereich O(1) MeV möglich. Neuere Ergebnisse werden im letzten Abschnitt vorgestellt. Man kann zwar versuchen, S(E) in den Bereichen niedrigerer Energien zu extrapolieren, aber man muss dabei von einem gleichmäßigen Verhalten von S ausgehen. Dies ist nur gegeben, falls in dem extrapoliertem Bereich keine Resonanz auftritt. Die genaue Messung des Wirkungsquerschnitts in dem für Sterne relevanten Bereich ist aber sehr wichtig, weil die Reaktionsrate bei Resonanzen deutlich erhöht ist. Tatsächlich ist es so, dass das einfache Bild von Abb. 5.2 durch eine Resonanz ergänzt werden muss, 27

28 Abbildung 5.2: Dieser Graph zeigt das Maximum des Integrals (5.20) für konstantes S(E). Bild entnommen aus [1]. da die meisten Kernreaktionen auf der Flanke einer Resonanz stattfinden wie zum Beispiel die Reaktion 14 7 N + p 15 8 O (5.22) aus dem CNO-Zyklus. Dies ist in Abb. 5.3 dargestellt. Falls die Resonanz in die Nähe des Gamow-Peaks kommt, muss deren Beitrag zu (5.20) berücksichtigt werden und S(E) ist nicht mehr konstant. Für geringere Energien werden die Resonanzpeaks im Allgemeinen schmäler und kleiner. Wenn man nun all diese Ergebnisse mit experimentellen Beobachtungen im Plasmen vergleicht, stellt man fest, dass man die Reaktionsrate, unabhängig von den Details des Prozesses, immer unterschätzt. Dieser Fehler kommt daher, weil bisher davon ausgegangen wurde, dass in einem Sternplasma nur Atomkerne vorhanden sind. Tatsächlich sind aber noch die Elektronen der Atomhüllen da, weil ein Stern ja in etwa elektrisch neutral ist. Die negative Ladung der Elektronen bewirkt eine Abschirmung des positiven Potentials der Kerne und verringert so die Coulomb- Barriere. Dies führt dann zu einer höheren Reaktionsrate. Auch wenn der Effekt dieses sog. Debye-Shielding nicht allzu stark ist, sei er der Vollständigkeit halber hier erwähnt. 28

29 Abbildung 5.3: Hier wurde zu den beiden Termen Maxwell-Boltzmann-Verteilung und Tunnelwahrscheinlichkeit noch eine Resonanz hinzugefügt. Bild entnommen aus [1]. 5.3 Potenzgesetz Im Mittelwert des Produkts von Wirkungsquerschnitt und Geschwindigkeit haben wir bereits den astrophysikalischen Faktor aufgrund seiner geringen Temperaturabhängigkeit parametrisiert. Der Integrand kann nun umgeschrieben werden zu mit wobei µ = m 1 m 2 m 1 +m 2 f(e) = e E k B T + B E B = 2µπZ 1 Z 2 e 2 1 h die Reduzierte Masse ist f(e) hat ein Maximum bei ( BkB T E 0 = 2 Die Größe E 0 ist die mittlere effektive Energie für eine bestimmte Temperatur T. Zum Beispiel ist für die Sonne bei einer Temperatur von T = 1, K für verschiedene Reaktionen die mittlere Energie und die dimensionslose Parameter τ in der Tabelle angegeben. Mit ) 2 3 ( ) 2/3 B τ 3 2k B T 29

30 Reaktion E 0 [kev ] τ p + p 5,9 13,7 α + 12 C ,2 p + 14 N O + 16 O ,1 Tabelle 5.1: E 0 und τ für verschiedene Reaktionen ist der Wert des Integranden an der Stelle des Maximums f(e 0 ) = e (B2 /k B T ) 1/3 (2 1/3 +2 2/3) = e E 0 k B T = e τ Die Reaktion bezieht sich auf diesen mehr oder weniger engen Energiebereich um E 0, welcher zwar viel größer ist als k B T aber viel kleiner im Vergleich zu den Energien, welche im Labor gemessen werden können. Um das Integral zu berechnen zu können, muss der Integrand durch eine Gaußkurve approximiert werden, welche die Gleiche Peak-Höhe und Halbwertsbreite besitzt. Damit erhalten wir für den Integranden 0 f(e) = f(e) 2πf(E 0 ) f (E 0 ) = 2 πτ kb T e τ 3 Jetzt müssen wir noch S < (E) > betrachten. Für nicht resonante Reaktionen ist der s-faktor nahezu konstant, daher können wir schreiben: < S(E) > S(E) S(E 0 ) Somit ergibt sich mit den beiden Näherungen < σv > = 8 81 πz 1 Z 2 e 2 µ τ 2 e τ S(E 0 ) τlässt sich mit τ = 3 E 0 k B T und E 0 = ( ) Bk B T 2/3 2 auch schreiben als τ = 3 B 2 2/3 1 T 1/3 Die Funktion < σv > kann nun durch eine Potenzfunktion T ν dargestellt werden. < σv >=< σv > 0 ( T T 0 ) ν 30

31 Somit lässt sich die Potenz berechnen ν = ln < σv > lnt ln < σv >= X 2 3 lnt τ < σv > lnt = 2 3 dτ dlnτ dlnτ dlnt = τ 2 3 Man erhält folgende Temperaturabhängigkeit < σ v > T τ 2 3 Reaktion p + p T 4 α + 12 C T 42 p + 14 N T O + 16 O T 182 Tabelle 5.2: Temperaturabhängigkeit für obige Beispielreaktionen Abbildung 5.4: Temperaturabhängigkeit der Energieerzeugnungsrate 31

32 6 Aktuelle Forschungsergebnisse Wie bereits weiter oben erwähnt, sind zwei Bereiche der solaren Kernfusion immer noch Gebiete aktueller Forschung: die solaren Neutrinos und die Wirkungsquerschnitte der Fusionsreaktionen bei niedrigen Energien. 6.1 Solare Neutrinos Wenn man die Kernreaktionen der Sonne experimentell erforschen will, hat man ein generelles Problem: man sieht den Kern der Sonne nicht. Die elektromagnetische Strahlung der Sonne kommt fast ausschließlich aus der Photosphäre, also von realtiv dicht unter der Oberfläche. Man kann also auch nur die Elemente dieser Schicht durch Spektroskopie nachweisen und hoffen, dass Material aus dem Kern durch Konvektion aufsteigt. Die einzige Information, die wir direkt aus dem Kern erhalten, sind die solaren Neutrinos. Wenn man sich z.b. die Kernreaktionen der Proton- Proton-Kette ansieht, findet man drei Reaktionen, die Neutrinos freisetzen: p + p 2 1D + e + + ν e 7 4Be + e 7 3Li + ν e 8 5B 8 4Be + e + + ν e Diese Neutrinos habe recht unterschiedliche Energien: 0,263 MeV, 0,8 MeV bzw. 7,2 MeV. Um nun z.b. zu entscheiden, welcher Energieerzeugungsprozess in der Sonne dominiert, kann man versuchen, den Neutrinofluss zu messen und mit der Theorie zu vergleichen. Dabei werden zwei prizipielle Möglichkeiten zur Neutrinodetektion verwendet: Einmal radiochemische Detektoren wie das Chlorexperiment in Homestake oder der GALLEX-Detektor im Gran-Sasso-Massiv. Diese Detektoren beruhen auf Reaktionen wie ν e Cl 37 18Ar + e (6.1) die alle endotherm sind. Also haben diese Detektoren eine unter Schranke für mögliche Neutrinoenergien. Diese liegt zum Beispiel für Homestake bei 814 kev also über der Energie für Neutrinos aus der Deuteriumerzeugung. Die zweite Möglichkeit zur Neutrinodetektion besteht in der Ausnutzung des Tscherenkow- Efffekts, also der elastischen Streuung der Neutrinos z.b. an Elektronen. Aber auch solche Detektoren wie zum Beispiel Kamiokande haben eine untere energetische Detektionsgrenze. Trotz dieser Probleme hat man den Neutrinofluss der Sonne vermessen und festgestellt, dass zu wenig ν e auf der Erde ankommen. Also ist entweder neue 32

33 Physik im Spiel oder die Modelle der solaren Kernfusion sind fehlerhaft. Um letzteres auszuschließen, war eine Messung der Wirkungsquerschnitte der relevanten Kernreaktionen bei niedrigen Energien notwendig. Dies geschah im LUNA-Experiment (Laboratory for Underground Nuclear Astrophysics). 6.2 Das LUNA-Experiment Die Bestimmung des Wirkungsquerschnitts bei niedrigen Energien ist keine leichte Aufgabe. Der theoretischen Vorhersage stellt sich die QCD in den Weg, da, wie oben bereits diskutiert, eine Resonanz eine Exrapolaristion von S(E) sehr erschwert. Experimentell ist das stellare Energieregime aber auch schwer zugänglich, da bei so niedrigen Energien das Signal-Rausch-Verhältnis zu schlecht wird. Erst ein sehr abgeschirmtes Experiment im Gran-Sasso-Massiv konnte dem Abhilfe schaffen. Von besonderem Interesse waren hierbei drei Reaktionen: Die erste ist Teil der P-P I Kette 3 2He + 3 2He 4 2He + 2p (6.2) Sollte nämlich diese Reaktion in der Sonne eine Resonanz aufweisen, wären die anderen beiden P-P-Ketten unterdrückt und das solare Neutrinoproblem wäre gelöst, weil die P-P I keine hochenergetischen Neutrinos erzeugt [3]. Die zweite interessante Reaktion ist 2 1D + p 3 2He + γ (6.3) da sie entscheidend ist für Proto-Sterne, also für Sternentstehungsgebiete [3]. Schließlich ist für die Besimmung der Stärke des CNO-Zykluses von Interesse: 14 7 N + p 15 8 O (6.4) Dies ist der langsamste Prozess des Bethe-Weizsäcker-Zyklus und bestimmt daher dessen Geschwindigkeit und Energieerzeugungsrate [4]. Das Ergebis dieser Experimente ist eine Bestätigung für die Extrapolarisation, es existert nämlich keine Resonanz im relevanten Energiebereich. Der CNO-Zyklus wird dominiert von der (bereits bekannten) Resonanz bei 259 kev. Die neu vermessene Reaktion (6.2) zeigt auch keine Resonanz im Bereich solarer Energien, folglich kann das Neutrinoproblem nicht auf die Kernphysik zurückgeführt werden. Die heute anerkannte Lösung ist die Neutrinooszillation, also die Umwandlung einer Neutrinoart in eine andere, z.b. ν e ν µ. Weitere Ausführungen hierzu finden sich in folgenden Vorträgen. 33