Grundlagen zellulärer Erregbarkeit (ZEL)

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1 Grundlagen zellulärer Erregbarkeit (ZEL) Fakultät für Physik der Ludwig-Maximilians-Universität München Grundpraktika (6. NOVEMBER 2014) MOTIVATION UND VERSUCHSZIELE Im diesem Versuch lernen Sie die Begriffe Spannung, Strom und elektrischer Widerstand kennen. Desweiteren werden das Ohm sche Gesetz sowie die Kirchhoff schen Regeln behandelt. Diese Begriffe benötigen Sie für viele Gebiete der Neurophysiologie: Ionenströme innerhalb und zwischen Zellen können damit beschrieben und Ladungsveränderungen quantifiziert werden. Neben der Beschreibung der Erregungsausbreitung werden diese Begriffe auch für das Verständnis von EKG und EEG benötigt. Zunächst werden Sie die geometrischen Abhängigkeiten des Widerstands eines elektrischen Leiters als Modell für den Innenwiderstand einer langgezogenen zylindrischen Nervenzelle kennen lernen. Neben einem ohm schen Widerstand werden Sie die Leitfähigkeit spannungsabhängiger Ionenkanäle untersuchen. Im letzten Teilversuch werden Sie ein Modell für eine Nervenzelle aufbauen und die Abnahme der Depolarisation entlang der Membran bei elektrotonischer Erregungsausbreitung vermessen. In diesem Zusammenhang werden Sie zwei physiologisch wichtige Varianten unter physikalischen Aspekten diskutieren. Teilversuche/Stichwortliste 1. Elektrischer Widerstand von metallischen Leitern. Definition von Ladung, Spannung und Strom. Widerstand: Definition, Einheit. Ohm sches Gesetz. Messen mit einem Multimeter: Schaltung im Stromkreis. 2. Reihen- und Parallelschaltung. Kirchhoff sche Gesetze. Leitwert. Geometrische Abhängigkeiten des Widerstandes eines metallischen Leiters. Multimeter: Messprinzip, Verwendung zur Strom- und Widerstandsmessung. 3. U-I-Kennlinien. Messung und Auswertung der Kennlinie eines ohm schen Widerstandes. Spannungsabhängigkeit bei Ionenkanälen. Kennlinie eines Membranabschnittes. 4. Elektrotonische Erregungsausbreitung. Modell für eine Nervenzelle. Schaltbild mit Membran- und Innenwiderstand. Signalabnahme bei passiver Erregungsausbreitung. Eigenschaften eines sehr dicken bzw. eines myelinisierten Axons. I.1. I. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Mikroskopisches Bild geladener Teilchen Die elektrische Ladung Q ist eine physikalische Eigenschaft von Körpern 1 und hat als Einheit das Coulomb 1 Elektrische Ladungen können nicht frei auftreten, sondern benötigen einen massebehafteten Träger. Man spricht von Ladungen und meint eigentlich oft den Träger mit seiner Ladung. [Q] = C. Diese Ladung kann positive oder negative Werte annehmen und ist Null bei ungeladenen Körpern. Die kleinste frei vorkommende Ladungsmenge wird als Elementarladunge = 1, C bezeichnet. Daher ist die Ladung eines Teilchens immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung: Q = N e mit N =..., 2, 1,0,1,2,... Die bekanntesten Ladungsträger sind: Das Elektron besitzt die Ladung Q e = e und wird deshalb als einfach negativ bezeichnet. Seine Masse beträgt m e = 9, kg. Das Proton ist einfach positiv geladen und etwa 2000-mal so schwer wie das Elektron. Die Ionen: Normalerweise besitzt ein Atom genauso viele positive Ladungen im Kern wie Elektronen in seiner Hülle. Somit ist es insgesamt elektrisch neutral die positiven und negativen Ladungen addieren sich zur Gesamtladung Null. Ändert sich die Anzahl der Elektronen, so ist das Atom nach außen hin elektrisch geladen. Ein Natriumatom, dem ein Elektron fehlt, ist ein einfach positiv geladenes Na + -Ion. Ein Elektronenüberschuss erzeugt ein negatives Ion (z.b. Cl ). Die Ladung eines Ions kann auch mehrfach positiv oder negativ sein (z.b. Ca 2+ ). Ferner gilt das Gesetz der Ladungserhaltung: In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller Ladungen konstant. Ladungen können zwar auf andere Körper übertragen werden, aber niemals werden einzelne Ladungen erzeugt oder vernichtet. Zwischen geladenen Körpern wirkt die Coulomb-Kraft F C = γ E Q1 Q 2 r 2 mit einer Proportionalitätskonstanten γ E, den Ladungen Q 1 und Q 2 und dem Abstand r der Körper von-

2 2 Abbildung 1: Die Coulomb-Kraft zwischen zwei geladenen Teilchen nimmt bei kleinerem Abstand zu. einander. Aufgrund dieser Kraft stoßen sich Körper mit gleichem Vorzeichen ab und ziehen sich bei ungleichem Vorzeichen an. I.2. Spannung und potentielle Energie von Ladungen Die abstoßende Kraft F C zwischen zwei gleichnamig geladenen Körpern (Abb. 1) ist dafür verantwortlich, dass man Arbeit verrichten muss, wenn diese einander angenähert werden. Da die Kraft zwischen den Körpern proportional zu den Ladungen ist, ist auch die aufzubringende Arbeit proportional zu den Ladungen. Diese Arbeit steckt als potentielle Energie E pot im System (Abb. 1b). Lässt man die beiden Ladungen wieder los, so wird die gespeicherte Energie als Bewegungsenergie wieder frei. 2 Die Proportionalitätskonstante zwischen verrichteter Arbeit W und Ladung Q bezeichnet man als elektrische Spannung U, d.h. W = U Q. Die Spannung ist damit ein Maß für die verrichtete Arbeit pro Ladung und beschreibt deshalb die Zunahme der potentiellen Energie pro Ladung in dem oben geschilderten Fall. U = W Q mit [U] = 1 J/C = 1 V (Volt). (1) Der Wert einer Spannungsquelle gibt also an, wie viel Energie pro Ladung gespeichert ist. Am Ort A (Abb. 2 links) liegt eine hohe Anzahl negativer Ladungen vor. Da sich diese abstoßen ist die potentielle Energie einer einzelnen Ladung hier groß (etwa die Elektronen am Minuspol der Batterie). Am Ort B (Abb. 2 rechts) ist die Anzahl der negativen Ladungen und deshalb auch deren potentielle Energie sehr viel kleiner (Pluspol der Batterie). Dieser Unterschied in der potentiellen Energie pro Ladung zwischen den beiden Polen/Orten wird physikalisch als Spannung oder Potentialdifferenz bezeichnet. Im Intra- und Extrazellulärraum einer Nervenzelle liegen 2 Für zwei positive Ladungen können diese Überlegungen identisch formuliert werden. Für ungleichnamige Ladungen wird aus der abstoßenden eine anziehende Kraft, d.h. die Bewegungsrichtung ändert sich. Abbildung 2: Orte mit unterschiedlich hoher potentieller Energie. Ionen in unterschiedlicher Konzentration vor. Dieser Unterschied macht sich als Spannung von U 70 mv bemerkbar und kann mittels der Nernst-Gleichung berechnet werden. Die Bezeichnung Membranpotential ist dabei physikalisch nicht korrekt, da es sich um eine Potentialdifferenz handelt. Man beachte, dass in der medizinischen Literatur statt des Buchstabens U häufig ein V für das Membranpotential, und z.b. E K für das Gleichgewichtspotential (Equilibrium) von Kalium-Ionen verwendet wird. I.3. Elektrischer Strom und Leitungsmechanismen Unter dem elektrischen Strom versteht man einen Ladungstransport von A nach B. Dafür wird ein Medium benötigt, in dem sich bewegliche Ladungsträger befinden. Dies sind z.b. Elektronen in metallischen Leitern, oder Ionen im menschlichen Körper. Die Stromstärke I gibt an, wie viele Ladungen Q sich pro Zeitabschnitt t durch einen Abschnitt des Leiters bewegen. Analog zum Volumenstrom bei Flüssigkeiten spricht man auch von fließenden Ladungen: I = Q t mit [I] = 1 C/s = 1 A (Ampere). (2) Es ist ein Grundprinzip der Physik, dass von einem Ort höherer potentieller Energie immer eine Kraft in Richtung des Ortes niedrigerer potentieller Energie wirkt. Deshalb rollt eine Kugel vom Berg (Höhenenergie E pot groß) ins Tal (E pot klein). Die Spannung U ist die Ursache des elektrischen Stroms. Dies wird durch Abb. 3 verdeutlicht: Verbindet man die Orte A und B mit einem Leiter, so wirkt auf die Elektronen eine Kraft von links nach rechts - ein Strom entsteht. In Abb. 3 bedeutet dies, dass alle Ladungen, die sich im Leiter befinden, gleichzeitig mit einer Bewegung nach rechts beginnen. Die Elektronen am Ort A besitzen zunächst eine hohe potentielle Energie. Während sich diese durch den Leiter zum Ort B bewegen, geben sie ihre Energie in Form

3 3 Abbildung 3: Ladungen fließen vom Ort hoher potentieller Energie zum Ort niedriger potentieller Energie. von Wärme (oder bei anderen Bauteilen in Form von mechanischer Arbeit) ab. Diese Änderung der potentiellen Energie der fließenden Elektronen bezeichnet man als Spannungsabfall. Wie schnell dies geschieht und wie dieser Verlauf aussieht, hängt von der Beschaffenheit des Leiters oder der verwendeten Bauteile ab. In obigem Bild würde sich nach einiger Zeit ein Gleichgewicht einstellen. In der Praxis verwendet man eine Spannungsquelle, die eine konstante Spannung oder Potentialdifferenz erzeugt. In diesem Versuch wird eine solche Gleichspannungquelle verwendet. Im Gegensatz dazu ist die Netzspannung aus der Steckdose eine Wechselspannung, bei der sich der Spannungswert periodisch mit der Zeit ändert. Wenn sich Ionenkanäle in einer Zellmembran öffnen, führt dies zu einem Ionenaustausch zwischen Intra- und Extrazellulärraum. Physikalisch bezeichnet man dies als elektrischen Strom. Aufgrund dieses Stroms ändert sich die Spannung, die an der Membran gemessen werden kann. Diese Änderung des Membranpotentials wird in der Physiologie je nach Änderungsrichtung als Depolarisation, Repolarisation oder Hyperpolarisation bezeichnet. Bei der elektrotonischen Erregungsausbreitung breitet sich eine Depolarisation entlang der Membran einer Nervenzelle aus (mehr dazu im Versuch SIG). I.4. Elektrischer Widerstand Der elektrische Widerstand ist eine physikalische Eigenschaft von Objekten, in denen frei bewegliche Ladungen vorhanden sind. Er beschreibt das Verhältnis zwischen angelegter Spannung U und fließendem Strom I und ist definiert als Spannung pro Strom: erzeugen? Um einen Strom von z.b. I = 1A zu erzeugen, benötigt man bei einem großen Widerstand mehr Energie pro Ladung, also eine höhere Spannung, als bei einem kleinen Widerstand. Umgekehrt bedeutet dies: Fließt bei einer konstanten Spannung U ein großer Strom, so ist der Widerstand klein, während bei einem kleinen Strom ein großer Widerstand vorliegt. Wenn eine Ladung die Spannungsquelle verlässt, wird die pro Ladung freiwerdende potentielle Energie zunächst in Bewegungsenergie, und durch Stoßprozesse im Leiter in Wärme, oder z.b. in einem Elektromotor in mechanische Arbeit umgewandelt. In elektrischen Schaltkreisen ist der Widerstand der Leiter in der Regel sehr klein (siehe Teilversuch 1, Seite 10), entscheidend ist meist nur der Widerstand der Bauteile, z.b. von Lämpchen, Schichtwiderständen etc. Wenn der Quotient U/I konstant ist, gilt U = R I mit R als Proportionalitätskonstante. Dies ist das Ohm sche Gesetz und gilt insbesondere für die im Versuch verwendeten Widerstände. Diese nennt man ohm sche Widerstände. Anhand der sogenannten Kennlinie eines Widerstands lässt sich diese Abhängigkeit gut sichtbar machen. Für eine Kennlinie werden Wertepaare, bestehend aus angelegter Spannung U und gemessenem Strom I gegeneinander aufgetragen. Ein Graph, wie er in Abb. 4 zu sehen ist, bestätigt aufgrund des linearen Verlaufs, dass der vermessene Widerstand ohm sch ist. Abbildung 4: U-I-Kennlinie eines ohm schen Widerstands. Im menschlichen Körper befinden sich als Ladungsträger primär Ionen. Der elektrische Widerstand eines Ionenkanals gibt an, welcher Ionenstrom I bei anliegender Spannung U durch die Membran fließt. Ionenkanäle verhalten sich jedoch nur bedingt wie ein ohm scher Widerstand (vgl. Abschnitt I.7). R = U I mit [R] = V = Ω (Ohm). (3) A I.5. Aufbau eines Stromkreises, Messung von Spannung, Strom und Widerstand Mit dem Begriff des elektrischen Widerstands kann man folgende anschauliche Frage verbinden: Welche Energie ist nötig, um einen bestimmten elektrischen Strom zu Elektrische Schaltungen werden üblicherweise durch Schaltbilder beschrieben. Dabei werden die verschiede-

4 4 nen Bauteile durch Symbole und die Verbindungskabel oder Leitungen durch Linien dargestellt. Eine kleine Auswahl solcher Symbole findet sich in Abb. 5, Beispiele für Schaltbilder folgen in den nächsten Abschnitten. d.h. parallel. Indem quasi die potentiellen Energien an zwei verschiedenen Orten verglichen werden (Berg-Tal- Vorstellung), wird der Spannungsabfall am Widerstand bestimmt. Um das Messergebnis nicht zu verfälschen, muss der Innenwiderstand des Gerätes sehr groß sein, so dass nur ein sehr kleiner Strom durch das Voltmeter fließt (vgl. Kap. I.6). Abbildung 5: Symbole für Bauelemente eines Stromkreises. Mit einem modernen Multimeter kann die Spannung, der Strom oder auch der Widerstand gemessen werden. Da bei jedem Messvorgang stets ein Teilstrom durch das Multimeter fließt, muss das Gerät je nach Verwendungszweck unterschiedlich eingestellt und angeschlossen werden. Wichtig ist, dass der eigentliche Stromkreis durch das Anschließen des Messgeräts möglichst wenig beeinflusst wird. 1. Strommessung mit dem Amperemeter Um den Strom an einer Stelle des Stromkreises zu messen, müssen alle Elektronen auch durch das als Amperemeter verwendete Multimeter fließen. Deshalb wird das Gerät in Reihe eingebaut (Abb. 6), indem der Stromkreis an der zu vermessenden Stelle durch einen Umweg durch das Amperemeter verlängert wird. Um den Gesamtstrom möglichst wenig zu verändern, muss der Innenwiderstand des Geräts sehr klein sein. Abbildung 7: Messung des Spannungsabfalls U an einem Widerstand. 3. Widerstandsmessung mit dem Multimeter Auch der Widerstand eines Bauteils kann mit dem Multimeter bestimmt werden. Das Multimeter erzeugt einen bekannten Strom I M, misst die am Widerstand abfallende Spannung U und berechnet über R = U/I M den Wert des Widerstands. Das Bauteil darf sich dabei nicht in einer elektrischen Schaltung befinden, denn der Strom I M könnte in andere Bauteile abfließen oder durch einen weiteren Stromfluss innerhalb der Schaltung verfälscht werden. Abbildung 8: Messung des Widerstands R mit einem Multimeter. Abbildung 6: Messung der Stromstärke I in einem einfachen Stromkreis. 2. Spannungsmessung mit dem Voltmeter Wenn durch ein Bauteil, das einen elektrischen Widerstand beinhaltet, ein Strom fließt, so ändert sich die potentielle Energie der Ladungen zwischen den Anschlüssen des Bauteils. Deshalb wird das als Voltmeter verwendete Multimeter gemäß Abb. 7 eingebaut, I.6. Die Kirchhoff schen Gesetze Das erste kirchhoff sche Gesetz (Knotenregel) besagt, dass in einem Verzweigungspunkt (Knoten) die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme sein muss. Das zweite kirchhoff sche Gesetz (Maschenregel) besagt, dass in einem geschlossenen Teilkreis (Masche) eines Widerstandnetzwerkes die Summe der Spannungen gleich Null ist. In den nächsten Abschnitten werden zwei Anwendungen dieser Regeln vorgestellt und Gesetzmäßigkeiten

5 5 für Spannung, Strom und Widerstand für eine einfache Reihen- oder Parallelschaltung, sowie für den Widerstand eines elektrischen Leiters erarbeitet. 1. Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung In Abb. 9 sind zwei Widerstände R 1 und R 2 in Reihe, also hintereinander geschaltet. Die Spannungsquelle liefert eine Spannung U ges. Um zu klären, wie sich die Spannung an den beiden Widerständen aufteilt, hilft folgende Überlegung: Der Strom, der durch R 1 und R 2 fließt muss gleich groß sein, da die Geschwindigkeit der Elektronen überall gleich ist. Für einen großen Widerstand bedeutet dies, dass mehr Arbeit pro Ladung verrichtet werden muss, um diesen Strom I zu erzeugen, als bei einem kleinen Widerstand. Deshalb fällt am großen Widerstand die große, und am kleinen Widerstand die kleine Spannung ab. 2. Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung In Abb. 10 sind zwei Widerstände parallel geschaltet. Die Spannungsquelle liefert eine bestimmte Spannung U, also ist die Spannung, die an den Widerständen abfällt, jeweils gleich groß, da Eingang und Ausgang der beiden jeweils energetisch auf demselben Niveau liegen (Berg-Tal-Vorstellung). Hier stellt sich die Frage, in welchem Verhältnis die Teilströme durch die beiden Äste zueinander stehen. Dafür hilft folgende Überlegung: Ein großer Widerstand bedeutet, dass bei gleicher Energie pro Ladung (Spannung) ein kleiner Strom I erzeugt wird. Deshalb fließt durch den Zweig mit großem elektrischem Widerstand ein kleiner Strom, durch den Zweig mit kleinem Widerstand ein großer Strom. Abbildung 10: Parallelschaltung mit zwei Widerständen. Abbildung 9: Reihenschaltung mit zwei Widerständen. Formal lässt sich dies wie folgt berechnen: Im Stromkreis von Abb. 9 ist der Strom I konstant. Deshalb gilt für die durch die Widerstände R 1 und R 2 fließenden Ströme I ges = I 1 = I 2. Für die Spannungen U 1 und U 2 gilt (Maschenregel) Außerdem gilt U ges = U 1 +U 2. (4) U 1 = R 1 I und U 2 = R 2 I (4) U ges = R 1 I +R 2 I = (R 1 +R 2 ) I Daraus ergibt sich R ges = R 1 +R 2, (5) oder allgemein in Worten: In Reihenschaltungen addieren sich die Einzelwiderstände zum Gesamtwiderstand. Formal lässt sich dies wie folgt berechnen: Die in Abb. 10 an den beiden Widerständen abfallenden Spannungen sind gleich groß: U ges = U 1 = U 2. Für die Ströme I 1 und I 2 gilt im Knoten (Knotenregel) Außerdem gilt I ges = I 1 +I 2. (6) I 1 = U/R 1 und I 2 = U/R 2 (6) I ges = U/R 1 +U/R 2 = U (1/R 1 +1/R 2 ) Daraus ergibt sich 1 R ges = 1 R R 2, (7) oder allgemein in Worten: In Parallelschaltungen addieren sich die Kehrwerte der Einzelwiderstände zum Kehrwert des Gesamtwiderstands. In diesem Zusammenhang bietet sich der Begriff des Leitwertes G an. Dieser ist definiert als G = 1 mit [G] = S (Siemens). (8) R

6 6 Diese Größe vereinfacht die Berechnung bei Parallelschaltungen: anstelle der Kehrwerte in Gl. (7) erhält man den Gesamtleitwert durch Addition der einzelnen Leitwerte: G ges = G 1 +G Widerstand eines elektrischen Leiters Der Widerstand eines elektrischen Leiters (z.b. eines dünnen Drahts) kommt durch die Wechselwirkung der fließenden Ladungen mit den Atomen des Metalls zustande und hängt von der Geometrie des Leiters ab. Diese Abhängigkeiten lassen sich anhand der kirchhoff schen Regeln leicht begründen: Wir betrachten zunächst einen metallischen Leiter 1 mit einem bestimmten Widerstandswert R. Dieser hat die Länge l und die Querschnittsfläche A. Ein zweiter Leiter 2 aus demselben Material habe dieselbe Länge, aber die doppelte Querschnittsfläche. Dies entspricht physikalisch einer Parallelschaltung von zwei Leitern vom Typ 1. Nach Gl. (7) ist der Widerstand von Leiter 2 damit nur halb so groß wie der von Leiter 1, und nach Gl. (3) fließt ein doppelt so großer Strom. Allgemein gilt: Je größer die Querschnittsfläche, desto kleiner der Widerstand, oder R 1/A. Ein dritter Leiter 3 aus demselben Material habe dieselbe Querschnittsfläche wie Leiter 1, aber die doppelte Länge. Dies entspricht einer Reihenschaltung, bestehend aus zwei Leitern vom Typ 1 und ergibt nach Gl. (5) den doppelten Widerstand und einen halb so großen Strom. Allgemein gilt: Je länger der Leiter, desto größer der Widerstand, oder R l. Allgemein lässt sich der Widerstand eines solchen Leiters durch folgende Gleichung beschreiben: R = ρ l A mit [ρ] = Ωm. (9) ρ = spezifischer Widerstand des Materials, l = Länge des Leiters, A = Querschnittsfläche des Leiters. Eine Folgerung aus der kirchhoff schen Maschenregel finden Sie an den Ranvierschen Schnürringen. Dort ist die Anzahl der Ionenkanäle stark erhöht, was zu einer Erhöhung der Leitfähigkeit bzw. einer Senkung des Membranwiderstands führt. Das Innere einer langgezogenen zylindrischen Nervenzelle (z.b. Dendrit oder Axon) ist mit einem elektrischen Leiter vergleichbar. Daher haben solche Nervenbahnen mit einem sehr kleinen Durchmesser einen sehr großen Innenwiderstand, während dieser z.b. beim Riesenaxon eines Tintenfischs sehr klein ist. Der Extrazellulärraum ist hingegen weit ausgedehnt, so dass dessen elektrischer Widerstand sehr klein ist. I.7. Spannungsabhängigkeit von Ionenkanälen Die Membran einer Nervenzelle trennt die Ionen, welche sich im Intra- und Extrazellulärraum befinden. Ein Ladungsaustausch ist nur durch die in der Membran eingelagerten Ionenkanäle möglich. Im Ruhezustand befindet sich zwischen Innen- und Außenseite der Membran einer Nervenzelle eine Potentialdifferenz von U 70 mv. Bei dieser Spannung, die in der Physiologie auch als Membranpotential bezeichnet wird, fließt netto kein Strom durch die Membran, da sich die Ladungs- und Konzentrationsunterschiede der verschiedenen Ionenarten gegenseitig kompensieren. Wenn sich diese Spannung hin zu positiveren Werten verändert (z.b. U = 30 mv), spricht man von einer Depolarisation, im umgekehrten Fall von einer Repolarisation bzw. Hyperpolarisation. Ein offener Ionenkanal verhält sich dabei wie ein ohm scher Widerstand: Solange nur die Ruhespannung von ca. U 70 mv an der Membran anliegt, fließt auch kein Strom (vgl. Abb. 11). Wie in Abschnitt I.4. beschrieben, kann der Widerstand eines Ionenkanals durch R = U/I berechnet werden. Korrekterweise müsste in der Formel U stehen, da der Unterschied zum Ruhemembranpotential entscheidend ist. Zur Vereinfachung wird dieses aber meist gleich Null gesetzt, so dass eine Depolarisation einer positiven Spannungsänderung entspricht und das entfällt. Abbildung 11: U-I-Kennlinie eines einzelnen, geöffneten Ionenkanals (Simulation). Allerdings zeigen Ionenkanäle ein solches Verhalten nur solange sie geöffnet sind. Wie lange ein solcher Kanal geöffnet bleibt, hängt im Allgemeinen von der anliegenden Spannung ab. Bei diesen spannungsabhängigen Ionenkanälen wird der Zeitanteil, für den der Kanal geöffnet ist, durch die Offenwahrscheinlichkeit beschrieben. Abb. 12 zeigt diesen Zusammenhang qualitativ für einen Natriumkanal. Man sieht, dass für eine sehr kleine Spannungsänderung der Kanal fast immer geschlossen ist. Erst bei einer Depolarisation, bei der das Membranpotential einen Wert von U 30 mv erreicht, nimmt der Zeitanteil im offenen Zustand stark zu. Dies ent-

7 7 Abbildung 12: Offenwahrscheinlichkeit P eines Ionenkanals in Abhängigkeit vom Membranpotential U. spricht dem Bereich, in dem eine Nervenzelle ein neues Aktionspotential auslöst, da hier die Leitfähigkeit explosionsartig ansteigt. Für noch größere Depolarisationen geht der Graph in eine Sättigung über, da die Öffnungsdauer des Kanals ihr Maximum bereits erreicht hat. Solch ein Kanal kann sich höchstens 75% der Zeit im offenen Zustand befinden, da er sich stets nach einer gewissen Zeit wieder schließen muss. Um das elektrische Verhalten einer Zellmembran korrekt zu beschreiben, müssen mehrere Ionenkanäle gleichzeitig betrachtet werden. Die Offenwahrscheinlichkeit P gibt in diesem Fall an, welcher Prozentsatz einer großen Zahl von Kanälen gerade geöffnet ist. Abb. 13 zeigt, wie das Verhalten spannungsabhängiger Ionenkanäle experimentell simuliert werden kann. Der betrachtete Membranabschnitt enthält fünf Ionenkanäle, deren Offenwahrscheinlichkeit von der Stärke der Depolarisation abhängt. Dies wird durch eine Parallelschaltung aus verschieden vielen, identischen Widerständen simuliert. Jeder dieser Widerstände repräsentiert einen der offenen Ionenkanäle (Abb. 13 Mitte). Bei einer hohen Spannung, wie bei einer überschwelligen Depolarisation, sind alle Kanäle geöffnet, so dass die Membran ihre maximale Leitfähigkeit erreicht (Abb. 13 Mitte). Bei einer kleinen Änderung, z.b. durch eine unterschwellige Depolarisation, sind nur zwei Ionenkanäle geöffnet, weshalb die Membran eine geringe Leitfähigkeit aufweist (Abb. 13 unten). Im Experiment wird die Depolarisation durch Anlegen einer regelbaren Spannung, und die einzelnen offenen Ionenkanäle durch parallel geschaltete Widerstände simuliert. Um eine U-I-Kennlinie für diese Schaltung aufzunehmen, wird die Anzahl der geschalteten Widerstände der Parallelschaltung, abhängig von der anliegenden Spannung U, variiert und die entsprechenden Wertepaare aufgenommen (Abb. 14). Diese Beschreibung stellt eine starke Vereinfachung dar, da nur eine Ionenart berücksichtigt wird, während im menschlichen Körper mehrere Ionenarten und Ionenkanäle eine Rolle spielen. Mit dem von A. Hodgkin und A. Huxley entwickel- Abbildung 13: Oben: Ein Abschnitt einer Membran mit mehreren spannungsabhängigen Ionenkanälen. Mitte: Überschwellige Depolarisation - alle Kanäle sind geöffnet. Unten: Unterschwellige Depolarisation - nur zwei Kanäle sind geöffnet. ten Modell zur Funktionsweise von Neuronen können die oben geschilderten Vorgänge für alle Ionenarten beschrieben werden. Allerdings ist dies nur numerisch berechenbar. I.8. Modell für die elektrotonische Erregungsausbreitung In diesem Abschnitt wird neben dem Membranwiderstand auch der Innenwiderstand einer langen, dünnen Nervenzelle (vgl. Axon oder Dendrit) betrachtet. Allerdings kann im Gegensatz zum vorherigen Kapitel die Spannungsabhängigkeit der Ionenkanäle hier nicht berücksichtigt werden, sondern der Membranwiderstand wird als konstant angenommen. Dies ist für eine Membran, welche nur passive Kanäle enthält, das Internodium eines myelinisierten Axons oder allgemein für eine unterschwellige Depolarisation an einem Axon legitim. Abb. 15 (oben) zeigt einen Schnitt durch eine langgezogene, zylinderförmige Nervenzelle. Diese wird physikalisch durch die eingezeichnete elektrische Schaltung beschrieben. Der Intrazellulärraum einer solchen Nervenzelle kann aufgrund seiner Geometrie mit einem langen, dünnen Leiter verglichen werden. Dieser wird quantitativ durch den Innenwiderstand R i beschrieben. Wie jeder elek-

8 8 Abbildung 14: U-I-Kennlinie eines Membranabschnitts (Simulation). trische Widerstand ist dieser proportional zur Länge und indirekt proportional zur Querschnittsfläche. Im Gegensatz zum Inneren der Zelle besitzt der Extrazellulärraum keine direkten Begrenzungen, so dass sich die Ionen dort relativ frei bewegen können und der Widerstand dort vernachlässigbar klein ist. Die Stromstärke durch die Membran variiert, je nach Zustand (aktiv, inaktiv, passiv) und Anzahl der Kanäle. Dies wird durch den Membranwiderstand R M beschrieben. Die Membran hat zusätzlich Eigenschaften eines Kondensators, welche in einem anderen Versuch behandelt werden. Im Ruhezustand ist das Membranpotential entlang der Membran zunächst überall gleich. Eine Depolarisation, wie sie z.b. bei Reizung sensorischer Nervenzellen erfolgt, breitet sich infolge der frei beweglichen Ionen entlang der Nervenzelle aus. Solange keine aktive Verstärkung des Signals erfolgt, spricht man von passiver oder elektrotonischer Erregungsausbreitung. Die elektrotonische Erregungsausbreitung wird durch zwei Größen charakterisiert: Wie schnell breitet sich die Erregung aus? Dies gibt die sog. Membranzeitkonstante τ an. Wie weit kann sich die Erregung entlang der Nervenzelle ausbreiten? Dies wird mit Hilfe der Längskonstante λ ausgedrückt. Anhand der Schaltung in Abb. 15 (oben) lässt sich die Abhängigkeit zwischen der an der Membran abfallenden Spannung U und dem Abstand x zum Ursprung der Depolarisation untersuchen. Die verwendete Spannungsquelle erzeugt einen Strom und verschiebt das Membranpotential. Dies entspricht der Depolarisation. Durch die im Experiment verwendete Gleichspannungsquelle wird eine zeitliche Veränderung der Depolarisation vernachlässigt und der Vorgang eingefroren. Für den verschwindend geringen Widerstand des Extrazellulärraums werden einfache Leitungen, für Innen- und Membranwiderstand die Bauteile R i und R M verwendet. Jeder Abschnitt (oder Glied) des Schaltbildes besteht aus einem Innen- und einem Membranwiderstand. Dies entspricht in der Physiologie einem kurzen Abschnitt einer Zellmembran. Die Depolarisation führt zu einem Strom im Inneren der Nervenzelle, im Bild von links nach rechts. Wie groß dieser Strom ist, hängt u.a. vom Innenwiderstand R i ab. Ein Teil des Stroms fließt durch die Ionenkanäle der Membran und über den Extrazellulärraum zurück. Die Stärke dieser Leckströme hängt dabei vom MembranwiderstandR M ab. Aufgrund der Leckströme durch die Membran nimmt der Strom im Intrazellulärraum ab. Deshalb nehmen auch die Verlustströme durch die Membran mit der Länge der Nervenfaser, und damit die an den einzelnen Membranwiderständen R M messbare Spannung ab. Die Abnahme der Depolarisation lässt sich mathematisch wie folgt beschreiben (vgl. Abb. 15 unten): U(x) = U 0 e x/λ (10) Die Spannung U 0 entspricht dabei der maximalen Depolarisation, die an der Membran am Ort x = 0 abfällt. Nach der Strecke x = λ ist die Spannung auf 1/e = 37% ihres Ausgangswertes abgesunken. λ ist also ein Maß dafür, wie stark die Depolarisation U mit der Länge x abklingt und wird als Längskonstante bezeichnet. Die Bauteile und Messpositionen sind in Abb. 15 so gewählt, dass zwei Glieder der Schaltung - jeweils bestehend aus einem Membranwiderstand und einem Innenwiderstand - genau einem Membranabschnitt der Länge x = λ entsprechen. Diese Wahl ist prinzipiell willkürlich, aber für den Versuch praktisch. I.9. Weitere physiologische Anwendungen Eine dicke Nervenfaser hat aufgrund der großen Querschnittsfläche einen kleinen Innenwiderstand. Dadurch fließt im Inneren der Nervenzelle ein größerer Strom, der - verglichen mit dünneren Nervenfasern - langsamer mit der Länge abklingt, und daher die Depolarisation für eine größere Strecke überschwellig bleibt. Für eine solche Zelle ist der Wert für λ größer und die Erregung kann sich weiter ausbreiten. Im Zusammenhang mit Saltatorischer Erregungsleitung wird häufig davon gesprochen, dass das Signal von Schnürring zu Schnürring springt. Diese Begrifflichkeit ist aber irreführend, da Ladungen nicht springen können. Bei kontinuierlicher Erregungsfortleitung am unmyelinisierten Axon werden in sehr kurzen Abständen neue Aktionspotentiale erzeugt, da die Depolarisa-

9 9 Abbildung 15: Elektrotonische Erregungsausbreitung an einer langen dünnen Nervenzelle: Oben: Schnitt durch eine zylinderförmige Zelle mit physikalischem Ersatzschaltbild. Unten: Abhängigkeit der Depolarisation U vom Abstand x zur Stromelektrode. Die Messpositionen liegen bei x = 0, λ, 2λ,... tion ansonsten sehr schnell abklingen und unterschwellig würde. Das Myelin in den Internodien verhindert dies: Nachdem am Ranvierschen Schnürring ein Aktionspotential erzeugt wurde, breitet sich dieses in den Internodien eines myelinisierten Axons elektrotonisch aus. Das Myelin erhöht den Membranwiderstand sehr stark und senkt dadurch die Verlustströme durch die Membran. Deshalb sinkt die Depolarisation entlang des Internodiums nur sehr wenig ab - ein sehr großer Wert für λ ist die Folge - und erreicht überschwellig den nächsten Ranvierschen Schnürring, an dem ein neues Aktionspotential ausgelöst wird. Daher muss das Aktionspotential sehr viel seltener erneuert werden als bei kontinuierlicher Erregungsausbreitung. Dieser vergrößerte Abstand zwischen den Orten am Axon, an denen ein Aktionspotential gebildet wird, wird unglücklicherweise als springendes Signal beschrieben. Bei Multipler Sklerose wird das Myelin zerstört, so dass die Depolarisation schneller als gewöhnlich abklingt. Dies kann dazu führen, dass das Signal unterschwellig wird, bevor es den nächsten Schnürring erreicht und deshalb kein neues Aktionspotential mehr ausgelöst wird - die Erregungsleitung kommt zum Erliegen. II. TECHNISCHE GRUNDLAGEN II.1. Das digitale Multimeter Das Digital-Vielfachmessgerät (Multimeter) wird zur Messung von Spannungen, Strömen und Widerständen verwendet. Im eigentlichen Sinne misst es allerdings immer nur eine Spannung (Voltmeter) und führt eine Strom- oder Widerstandsmessung nur indirekt durch. Abb. 16 zeigt eines der im Praktikum verwendeten Messgeräte. Die Messung eines unbekannten Stromes I erfolgt (als Amperemeter), indem die an einem bekannten internen Messwiderstand abfallende Spannung U = RI gemessen wird. Bei der Widerstandsmessung wird (als Ohmmeter) vom batteriebetriebenen Gerät ein definierter Spannungswert angelegt und der resultierende Strom gemessen die Werte für Spannung und Strom ergeben dann den Widerstand. Je nach Verwendung unterscheiden sich Einstellung und Anschlüsse des Gerätes. Um das Gerät richtig anzuschließen, wird stets ein Kabel mit der COM-Buchse verbunden. Das andere Kabel stecken Sie zur Spannungs- oder Widerstandsmessung in die mit V gekennzeichnete Buchse. Zur Strommessung wird immer zuerst die linke, mit 10 A beschriftete Buchse verwendet falls sich der gemessene Strom als zu klein herausstellt, steckt man um auf 400mA. Die Auswahl der Messgröße erfolgt über den Drehregler in der Mitte. Hierbei ist zu unterscheiden, ob Gleich- oder Wechselspannung bzw. Strom gemessen werden soll. Das Display des abgebildeten Geräts zeigt VDC an. Dies steht für 9, 752 Volt (V) Gleichspannung (DC). Bei der Strommessung kann anhand des Drehreglers nicht direkt zwischen Gleich- und Wechselströmen unterschieden werden. Diese Auswahl erfolgt über das Menü des Geräts (einmal F1, dann F2 drücken).

10 10 Abbildung 18: Das im Versuch verwendete Netzteil, mit freundlicher Genehmigung von Abbildung 16: Multimeter zur Messung von Spannung, Strom und Widerstand, mit freundlicher Genehmigung von timeter gemessen werden. Im heutigen Versuch werden Rastersteckplatten wie in Abb. 19 verwendet. Diese bestehen aus einzelnen quadratischen Kupferplatten (in der Abbildung grau hinterlegt). Alle Buchsen einer solchen Platte sind miteinander leitend verbunden. Um zwei solcher Platten zu verbinden, werden kleine schwarze Kurzschlussstecker (KS, R 0Ω) oder Widerstände (R) verwendet. Das Anschließen der Spannungsquelle (SQ) bzw. des Multimeters erfolgt mit den roten und schwarzen Messkabeln. An ihrem Arbeitsplatz befinden sich auch zwei Messspitzen. Diese dienen zur Verlängerung der Kabel, um das Messen zu erleichtern. II.2. Weitere Geräte Im ersten Versuchsteil untersuchen Sie die geometrischen Abhängigkeiten des elektrischen Widerstands metallischer Leiter. In der in Abb. 17 dargestellten Box sind vier Drähte mit unterschiedlichen Längen und Durchmessern eingebaut. Über die angelöteten Buchsen kann der Widerstandswert der Drähte mit dem Multimeter bestimmt werden. In den weiteren Teilversuchen wird das in Abb. 18 dargestellte Gerät als Spannungsquelle verwendet. Im mittleren Bereich des Geräts finden sich neben den beiden Anschlüssen + und zwei Drehregler für Strom und Spannung. Üblicherweise wird der rechte Regler zur Strombegrenzung verwendet und die Spannung mit dem linken Regler eingestellt. Da das Gerät maximal 2A liefert, sollte der Stromregler bis zum rechten Anschlag gedreht werden. Das Display (links im Bild) hilft beim Einstellen der Spannung (zur Anzeige der Stromstärke muss der Anzeigemodus mittels des Druckknopfs geändert werden). Diese Anzeige dient jedoch nur zur Orientierung, der exakte Wert sollte stets mit dem Mul- Abbildung 17: Metallische Drähte mit unterschiedlichen Längen und Durchmessern. Abbildung 19: Ein Abschnitt der im Versuch verwendeten Rastersteckplatte mit einer einfachen Schaltung. III.1. III. VERSUCHSDURCHFÜHRUNG Elektrischer Widerstand von metallischen Leitern Teilversuch Handhabung eines Multimeters. Überprüfung der Abhängigkeiten des elektrischen Widerstands eines metallischen Leiters von seinen geometrischen Eigenschaften. Messung mehrerer Körperwiderstände. Messgrößen Widerstände R 1, R 2, R 3 und R 4 der vier Drähte, sowie der Messkabel R Kabel Körperwiderstände aller Personen Ihres Teams.

11 11 Durchführung Dieser Teilversuch ist eher qualitativ, sodass hier ausnahmsweise keine Messunsicherheiten nötig sind. Zur Messung verbinden Sie das Multimeter jeweils mit den beiden Buchsen eines Metalldrahts. Die Drähte haben die Längen l kurz = 25 cm bzw. l lang = 50 cm und bestehen alle aus demselben Material. Messen Sie abschließend den Widerstand der verwendeten Messkabel. Zur Messung eines Körperwiderstandes nehmen Sie die freien Bananenstecker Ihrer Messkabel fest zwischen Daumen und Zeigefinger Ihrer Hände, wobei angefeuchtete Finger den Kontakt optimieren. Notieren Sie einen ungefähren Widerstandswert Sie sollen nur eine Vorstellung von der Größenordnung bekommen. Der Wert schwankt sowohl je nach Fingerdruck, wie von Person zu Person erheblich. Der Mensch ist kein homogener Leiter, weder räumlich noch zeitlich. III.2. Ohm scher Widerstand Teilversuch Aufnahme einer U-I-Kennlinie und Überprüfung des Ohm schen Gesetzes an einem gegebenen Widerstand. Messgrößen Messreihe: 10 Messwertpaare U und I R des verwendeten Widerstands Messunsicherheit des Multimeters Durchführung Anmerkung: Die Bauteile müssen nicht bis zum Anschlag in die Rastersteckplatte gesteckt werden! Bauen Sie zunächst auf der Rastersteckplatte einen einfachen Stromkreis, bestehend aus einer Spannungsquelle und einem Widerstand R M = 390Ω, auf (Abb. 19). Schließen Sie eines der Multimeter parallel am Widerstand an, um die dort abfallende Spannung zu bestimmen. Zur Strommessung schließen Sie das andere Multimeter in Reihe an, indem Sie z.b. eines der Kabel, welches Spannungsquelle und Rastersteckplatte verbindet, durch einen Umweg durchs Amperemeter verlängern. Achten Sie jeweils auf die Verwendung der richtigen Anschlüsse (erst 10 A-, dann 400 ma-buchse) und die Einstellungen der beiden Multimeter (vgl. S. 10, Technische Grundlagen). Nehmen Sie eine U-I-Kennlinie auf, indem Sie die Spannung an der Spannungsquelle von U = 0 V bis U = 10 V in zehn Schritten erhöhen, und messen Sie jeweils Spannung und Strom am Widerstand. Messen Sie zusätzlich den Widerstand R mit dem Multimeter. III.3. Spannungsabhängigkeit von Ionenkanälen Teilversuch Untersuchung der Spannungsabhängigkeit der Ionenkanäle einer Membran mittels einer Parallelschaltung aus identischen Widerständen. Aufnahme der U-I-Kennlinie eines solchen Membranabschnitts. Messgrößen Messreihe: 15 Wertepaare U und I Durchführung Verbinden Sie alle Kupferplatten der oberen Hälfte der langgezogenen Rastersteckplatte mit den kleinen schwarzen Kurzschlusssteckern, und wiederholen Sie dies mit den Kupferplatten der unteren Hälfte (vgl. Abb. 19). Ein Stromfluss zwischen Intra- und Extrazellulärraum einer Nervenzelle entspricht im Experiment einem Stromfluss zwischen der oberen und der unteren Hälfte der Rastersteckplatte. Jeder geöffnete Ionenkanal wird nun durch einen der Widerstände R M = 390Ω simuliert. Ein geschlossener Kanal hingegen besitzt einen unendlich hohen Widerstand, daher wird für einen solchen Kanal kein Bauteil verwendet (vgl. Abb. 13). Die Anzahl der geöffneten Kanäle entspricht also der Anzahl n der parallel geschalteten Widerstände. Um das spannungabhängige Verhalten der Kanäle zu simulieren, muss die Anzahl der parallel geschalteten Widerstände gezielt variiert werden. Bauen Sie jeweils eine Parallelschaltung aus n identischen Widerständen R M auf und legen Sie die Spannung U(n) gemäß der Vorgaben aus Tabelle I an. n U(n)/V 0,5 1,5 2,0 2,5 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,5 4,0 5,0 Tabelle I: Anzahl n der parallel geschalteten Widerstände in Abhängigkeit von der anliegenden Spannung U(n). Messen Sie zusätzlich zur Spannung auch die Stromstärke I. Dies erfolgt wie im vorherigen Teilversuch, verwenden Sie jedoch unbedingt die 10 A-Buchse. Die Spannung kann, da es sich um eine Parallelschaltung handelt, an einem beliebigen Widerstand abgegriffen werden. Für Spannungswerte U 5 V sind bereits alle 12 Kanäle geöffnet. Messen Sie aus dem Bereich5 V U 10 V drei weitere Messwertpaare. III.4. Elektrotonische Erregungsausbreitung - Dünne Nervenzelle Teilversuch Vermessung eines einfachen Modells für die elektrotonische Erregungsausbreitung entlang einer Membran. Bestimmung der Größe λ als Maß für die Ausbreitungsweite. Messgrößen Tabelle: Nummer n und zugehörige Spannung U n. Durchführung Bauen Sie auf der langgezogenen Rastersteckplatte eine

12 12 Schaltung wie in Abb. 15 mit insgesamtn = 11 Gliedern auf. Verwenden Sie die Widerstände R M = 390Ω und R i = 100Ω. Simulieren Sie eine Depolarisation, indem Sie eine beliebige Spannung 10 V U 0 15 V anlegen. Mit Hilfe der beiden Messspitzen als Verlängerung für die Messkabel messen Sie jeweils die an den einzelnen Membranwiderständen abfallende Spannung U n. III.5. Elektrotonische Erregungsausbreitung - Dicke Nervenfaser Teilversuch Simulation der Erregungsausbreitung längs einer dicken Nervenfaser durch Senken des Innenwiderstandes. Messgrößen Tabelle: Nummer n und zugehörige Spannung U n. Durchführung Verändern Sie Ihren Aufbau, indem Sie neue Innenwiderstände R i = 51Ω wählen. Wiederholen Sie die Messung mit dem selben Spannungswert U 0 wie im vorigen Teilversuch. III.6. Elektrotonische Erregungsausbreitung - Myelinisierung Teilversuch In den Internodien an einem myelinisierten Axon breitet sich eine Erregung elektrotonisch aus. Simulation der Wirkung des Isolators Myelin durch Erhöhung des Membranwiderstandes. Messgrößen Tabelle: Nummer n und zugehörige Spannung U n. Durchführung Verändern Sie Ihren Aufbau entsprechend (R M = 10 kω, R i = 100Ω), und wiederholen Sie die Messung mit unverändertem Spannungswert U 0. verwendeten Messkabel berücksichtigen? Es genügen Proportionalitätsüberlegungen. IV.2. Ohm scher Widerstand Ermitteln Sie graphisch aus der U-I-Kennlinie über die Steigung a = I/ U den Widerstand. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Multimetermessung im Rahmen der jeweiligen Messunsicherheiten. IV.3. Spannungsabhängigkeit von Ionenkanälen Zeichnen Sie die U-I-Kennlinie, und markieren Sie den Bereich, in dem sich die Membran wie ein ohm scher Widerstand verhält. Warum tut sie dies nur dort? IV.4. Elektrotonische Erregungsausbreitung - Dünne Nervenzelle Tragen Sie die am n-ten Glied abfallende Spannung U n gegen die Zahl n graphisch auf. Jedes Glied der Schaltung entspricht einem Abschnitt einer Nervenzellmembran der Länge x = 0,5mm. Bestimmen Sie anhand des Graphen die Längskonstante λ, und schätzen Sie die Unsicherheit λ. IV.5. Elektrotonische Erregungsausbreitung - Dicke Nervenfaser Welche geometrische Bedeutung hat die Veränderung des Innenwiderstands? Tragen Sie Ihre Messwerte zusätzlich in den Graph von Teilversuch 4 ein. Bestimmen Sie λ graphisch mitsamt Unsicherheit. Welche physiologische Bedeutung hat die neue Längskonstante? IV. AUSWERTUNG IV.6. Elektrotonische Erregungsausbreitung - Myelinisierung IV.1. Elektrischer Widerstand von metallischen Leitern Die Querschnittsfläche des mit X gekennzeichneten Drahts dient im Folgenden als Vergleichswert und wird mit A 1 bezeichnet. Schätzen Sie anhand Ihrer Messwerte ab, in welchem Verhältnis die Querschnittsflächen A 2, A 3 und A 4 der Drähte zu A 1 stehen. Müssen Sie für diese Überlegungen den Widerstand der Tragen Sie Ihre Messwerte zusätzlich in den Graph von Teilversuch 4 ein. Um wieviel Prozent ist die Depolarisation am elften Glied abgesunken? Welche physiologische Bedeutung hat die neue Längskonstante? Vergleichen Sie die Erregungsausbreitung an der dicken Faser und bei Myelinisierung: Welche Messwerte liefern einen größeren Wert für λ?