Lösungen Grundgrößen Elektrotechnik UT

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Elektrische Ladung: Kapitel ohne Aufgaben Elektrischer Strom: Kapitel ohne Aufgaben Übungen Ladung Strom Mignon-Akku Handy-Akku Strom- und Spannungsmessung Eigenschaften von Strom- und Spannungsmessern Elektrische Spannung: Kapitel ohne Aufgaben Elektrische Energie und Leistung: Kapitel ohne Aufgaben Wirkungsgrad: Kapitel ohne Aufgaben Übungen Spannungen, Energie, Leistung, Wirkungsgrad Akku-Schrauber Energie Vergleich Glühlampe Energiesparlampe Standby-Schaltungen Faustformel: was kosten Standby-Schaltungen im Jahr? Vergleich Netzteil Akku Batterie Das Ohmsche Gesetz Teilkapitel ohne Aufgaben Aufgaben: Widerstandskennlinien zeichnen Berechnung des Widerstandswertes aus den Materialgrößen Aufgabe Elektrozuleitung Küchenherd Aufgabe Hochspannungsleitung Elektrischer Stromkreis Parallelschaltung von 3 Solarzellen (3 Spannungsquellen) Reihenschaltung von 3 Solarzellen (3 Spannungsquellen) Messung des Kurzschlussstroms Messung der Leerlaufspannung Reihenschaltung von 3 Verbrauchern Gesetze der Reihenschaltung Grafische Ermittlung der Größen in einer Reihenschaltung Verluste durch Verlängerungskabel Potenziometer als veränderbarer Widerstand Potenziometer als Spannungsteiler Elektrische Tankanzeige mit Potenziometer Stromkreisdenken Ersatzschaltbild Leitungswiderstand Spannungsquelle mit Innenwiderstand Ersatzschaltbild Auswirkungen des Innenwiderstandes Berechnung der Klemmenspannung bei bekanntem Innenwiderstand Ermittlung des Innenwiderstandes Innenwiderstand von elektrischen Geräten Aufgabe: Bestimmung des Innenwiderstandes einer Batterie Rollerbatterie Übungen Reihen- und Parallelschaltungen Hochspannungsleitung Stromkreisdenken Knoten- und Maschenregel Berechnung gemischter Schaltungen Übungen gemischte Schaltungen...28 Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 1

2 16.1 Aufgabe Gemischt 1 (Labor) Aufgabe Gemischt 2 (Labor) Aufgabe Gemischt Aufgabe Gemischt Aufgabe Gemischt Aufgabe Gemischt Weihnachtsbaumbeleuchtung mit parallel geschalteten Lampen Stromkreisdenken Autoakku mit Innenwiderstand Entladung des Autoakkus mit der Lichtanlage Dioden und LEDs Schaltzeichen und Kennzeichnung der Anschlüsse Kennlinien Beschreibung der Kennlinien Typische LED-Schaltung Aufgabe des Vorwiderstandes Berechnung des Vorwiderstandes Grafische Ermittlung des Vorwiderstandes Übung: LED Kennlinie und Arbeitsgerade Übung: Versuchsbeschreibung Kennlinienaufnahme Übung: E-Bike-Bremslicht Vergleich Glühlampe - Energiesparlampe - LED-Beleuchtung Diodenschaltungen: Kapitel ohne Aufgaben Übungen Diode und LED Einweggleichrichter Verpolungsschutz Fön Vergleich Widerstands-Schaltung LED-Schaltung LED-Schaltungen Zweiweggleichrichter (Brückengleichrichter) Solarleuchte Fahrrad-LED-Scheinwerfer LEDs: Eigenschaften, Versuche und Schaltungen Solarzellen: Kapitel ohne Aufgaben I(U)-Kennlinien von Solarzellen: Kapitel ohne Aufgaben Datenblatt-Beispiel eines Solarmoduls mit Aufgaben Kennlinie mit Kennwerten zeichnen Wirkungsgradberechnung Zusammenschaltung von Solarmodulen Der PN-Übergang von Dioden und Solarzellen Ersatzschaltbild von Solarzellen Laborübung Teil-Verschattung von Solarmodulen...50 Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 2

3 1 Elektrische Ladung: Kapitel ohne Aufgaben 2 Elektrischer Strom: Kapitel ohne Aufgaben 3 Übungen Ladung Strom 3.1 Mignon-Akku Auf einem Akku findet man folgende Angaben: Rechargeable / 2500mAh / AA / 1,2V / NiMH Was bedeuten diese Angaben? Rechargeable = wiederaufladbar Kapazität bzw. maximale Ladungsmenge Q=2500mAh AA Größe Mignon U=1,2V Nennspannung NiMH Technologie (Materialien aus dem der Akku besteht, hier Nickel-Metallhydrid ) Wie lange dauert das Aufladen des Akkus mit einem Strom von 750mA, wenn die gesamte zugeführte Energie gespeichert wird? Gegebene Größen: Ladung Q = 2500mAh, Stromstärke I = 750mA Gesuchte Größe: t Formel: I= Q t Rechenweg: t= Q I = 2500mAh 750mA =3, 33 h=3h 20min Die Aufladung mit 750mA dauert 3 Stunden und 20 min In der Praxis dauert die Aufladung bei I = 750mA genau 4 Stunden. Woran liegt das? Die Aufladung dauert länger, weil ein Teil der zugeführten Energie als Wärme verloren geht Wie lange kann der voll aufgeladene Akku eine ultrahelle (Taschenlampen-) LED mit einem Strom von 50mA versorgen? (Der Akku soll sich beim Entladen nicht erwärmen). Gegeben: Q = 2500mAh, I = 50mA. Gesucht: t Formel: I= Q t Rechenweg: t= Q I = 2500mAh =50h=2Tage 2h 50mA Im Idealfall würde die LED 2 Tage und 2 Stunden leuchten. In der Praxis sinkt auch die Spannung des Akkus, wodurch die LED früher erlischt. In den meißten Taschenlampen muss außerdem noch eine Elektronik versorgt werden, die den Strom durch die LED regelt und die Spannung von 1,2V oder 2,4V auf 4V herauf transformiert. Weiße LEDs benötigen Spannungen größer als 3,5V. Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 3

4 3.2 Handy-Akku Auf einem Akku findet man folgende Angaben: Rechargeable / 3.7V / Li-Ion / 900mAh Was bedeuten diese Angaben? Rechargeable = wiederaufladbar Kapazität bzw. maximale Ladungsmenge 900mAh 3,7V Nennspannung Li-Ion Technologie (Litium-Ionen ) Welcher Aufladestrom fließt, wenn das Aufladen ca. 3 Std. dauert? Gegeben: Q = 900mAh, t = 3h gesucht: I Formel: I= Q t Rechenweg: I= Q t = 900mAh =300mA 3h Der Akku wird mit einem Strom von 300mA aufgeladen Welchen Strom benötigt das Handy im Standby-Betrieb, wenn der Akku nach 6 Tagen entladen ist? Gegeben: Q = 900mAh, t = 6*24h = 144h gesucht: I Formel: I= Q t Rechenweg: I= Q t = 900mAh =6,25 ma 144h Das Handy benötigt im Durchschnitt 6,25mA im Standby-Betrieb. In der Praxis schwankt die Stromaufnahme der Handy-Elektronik stark. Immer, wenn sich das Handy beim Netzbetreiber meldet, ist eine erhöhter Strom notwendig. Die Energie verschwindet u.a. in den Funkwellen! Überlegen Sie: Woran kann es liegen, dass sich ein Handy-Akku entlädt, obwohl das Handy ausgeschaltet ist? Achtung: das Handy ist nicht wirklich ausgeschaltet. Die interne Uhr läuft z.b. weiter. Auch bemerkt man, dass man mit einem langen Tastendruck das Handy einschaltet. Dies funktioniert nur, wenn die Elektronik den Taster immer wieder abfragt. Im Handy läuft also ein Programm! Wenn man ein Handy längere Zeit (mehrere Monate) nicht benötigt, sollte man den Akku herausnehmen, sonst entlädt sich dieser bis zu seinem unwiederbringlichen Tod. (Das nennt man Tiefentladen.) Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 4

5 3.3 Strom- und Spannungsmessung Carl-Engler-Schule Karlsruhe 3.4 Eigenschaften von Strom- und Spannungsmessern Der Spannungsmesser ist parallel und daher richtig geschaltet Der Strommesser ist falsch geschaltet und schließt durch seinen geringen Widerstand die Spannungsquelle kurz. Entweder brennt die Sicherung des Strommessers sofort durch, dann zeigt dieser 0A an und der Spannungsmesser die Größe der Spannung G R A V oder der Strommesser zeigt den Kurzschlussstrom an, den das Netzgerät liefern kann und der Spannungsmesser zeigt 0V an. Der Strommesser ist parallel und daher falsch geschaltet. Entweder brennt die Sicherung des Strommessers sofort durch, dann zeigt dieser 0A an oder der Strommesser zeigt den Kurzschlussstrom an, den das Netzgerät liefern kann. G R A Der Spannungsmesser ist in Reihe und daher falsch geschaltet. Wegen seines sehr großen Widerstandes fließt praktisch kein Strom, daher fällt am Widerstand 0V ab und das Messgerät zeigt die Spannung des Netzgerätes an. Trotzdem ist die Schaltung falsch! Wenn man den Widerstand R sehr groß macht, teilen sich Spannungsmesser und die Widerstand die Spannung des Netzteils und dies ist nicht gewünscht! G V R Strom- und Spannungsmesser sind richtig geschaltet. Es wird der im Stromkreis fließende Strom und die am Widerstand anliegende Spannung gemessen. G A R V 4 Elektrische Spannung: Kapitel ohne Aufgaben 5 Elektrische Energie und Leistung: Kapitel ohne Aufgaben 6 Wirkungsgrad: Kapitel ohne Aufgaben Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 5

6 7 Übungen Spannungen, Energie, Leistung, Wirkungsgrad 7.1 Akku-Schrauber Auf dem Akku eines Akku-Schraubers findet man folgende Angaben: 12V / 1,4Ah / 16,8Wh Welche elektrischen Größen werden hier angegeben? (Name? Formelzeichen?) Spannung U=12V, Ladungsmenge (Kapazität) Q=1,4Ah, Energiemenge W=16,8Wh Geben Sie den Zusammenhang zwischen diesen Größen an! (Formel) Spannung= Energiemenge Ladungsmenge U= W Q 16,8 Wh 16,8 VAh =12V= = 1,4 Ah 1,4 Ah Erklären Sie: Was kann man sich unter der Größe mit der Einheit Ah vorstellen? Ein Strom von 1 A transport in einer Stunde die Ladungsmenge 1 Ah. Wenn die Ladungen gespeichert sind, nennt man dies Ladungsmenge, wenn die Ladungen fließen, nennt man dies Strom Erklären Sie: Was kann man sich unter der Größe mit der Einheit Wh vorstellen? Die gespeicherte Energiemenge 1 Wh kann 1 Stunde 1 W leisten. (Einheit der Leistung ist 1 W) Im Dauerbetrieb hält eine Akkuladung unter Belastung 30min. Wie groß ist der durch den Motor fließende Strom? Welche Leistung nimmt der 12V-Motor auf? Gegeben: Q=1,4Ah, W=16,8Wh, U=12V Gesucht: I, P Formeln: I= Q t P=U I I= Q t = 1,4Ah =2,8 A Es fließt ein Motorstrom von 2,8A. 0,5h P=U I=12V 2,8 A=33,6 W Aus wie viel in Reihe geschalteten Akkuzellen besteht der NiMH-Akku? Eine NiMH-Zelle besitzt eine Spannung von 1,2V. Daher müssen 12V/1,2V = 10 Stk NiMH-Zellen in Reihe geschaltet werden. Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 6

7 Wärme Carl-Engler-Schule Karlsruhe 7.2 Energie Die Fragen beziehen sich auf folgenden Akku: 3500mAh / 1,2V / NiMH / Auflade-Wirkungsgrad 80% Welche Energiemenge wird benötigt, um den Akku aufzuladen? Anleitung: Die nach der Aufladung im Akku zur Verfügung stehende Energiemenge kann mit den oben angegebenen (Nenn-) Daten berechnet werden. Beachten Sie, dass auf Grund von Wärmeverlusten mehr Energie zur Aufladung benötigt wird. Dem Akku zugeführte Energiemenge Akku η = 0,8 Im Akku zur Verfügung stehende Energiemenge W zu W ab W Verlust Gegeben: Q = 3500mAh, U = 1,2V, η = 0,8 (80%) gesucht: W zu Formeln: η= P ab P zu = W ab W zu U= W Q W ab =U Q=1,2 V 3,5 Ah=4,2 VAh=4,2Wh W zu = W ab = 4,2Wh 0,8 =5,25Wh Es wird eine Energiemenge von 5,25Wh benötigt, um den Akku aufzuladen Wie lange dauert die Aufladung, wenn das Ladegerät maximal 2 A liefern kann? Gegeben: Q = 3500mAh, U = 1,2V, η = 0,8 (80%) gesucht: t bei I = 2A Formel: I= Q t U= W Q Q= W U t= Q I =5,25 Wh 1,2 V VAh =5,25 =4,375 Ah > 3500mAh wegen Verlusten! 1,2 V 4,375 Ah = =2,1875h=2h11min 2A alternative Berechnung: Q= W U in t= Q I einsetzen: Die Aufladung des Akkus dauert 2 Stunden und 11 Minuten. t= W 5,25 Wh = U I 1,2 V 2A =2,19h Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 7

8 Wärme Wärme Carl-Engler-Schule Karlsruhe Das Ladegerät besitzt einen Wirkungsgrad von 70%. Welche Energiemenge muss dem Netz entnommen werden, um den Akku aufzuladen? Was kostet eine Akku-Ladung, wenn 1kWh elektrische Energie aus dem Stromnetz 19 Cent kostet? Dem Ladegerät zugeführte Energiemenge Ladegerät η = 0,7 Dem Akku zugeführte Energiemenge Akku η = 0,8 Im Akku zur Verfügung stehende Energiemenge W zu (bezogen auf das Ladegerät) W ab (bezogen auf das Ladegerät) W zu (bezogen auf den Akku) W ab (bezogen auf den Akku) W Verlust W Verlust gegeben: U, W ab = W zu(aufgabe1) Die Energie, die das Ladegerät abgibt, wird dem Akku zugeführt. gesucht: W zu, Kosten Formeln: η= P ab P zu = W ab W zu W zu = W ab =5,25 Wh =7,5 Wh Dem Netz müssen 7,5Wh entnommen werden. 0,7 1000Wh 19 Cent 1Wh 0,019 Cent 7,5Wh 7,5*0,019 Cent = 0,1425 Cent Eine Akkuladung kostet 0,14 Cent. 7.3 Vergleich Glühlampe Energiesparlampe Eine 60W Glühlampe leuchtet täglich 3 h. Nach einem Jahr ist sie defekt. Eine etwa gleich helle 11W-Energiesparlampe muss bei der gleichen Leuchtdauer dagegen erst nach 6-8 Jahren ausgewechselt werden. 1 kwh kostet 20 Cent. Anschaffungspreise: Glühlampe: 50 Cent, Energiesparlampe 4. Vergleichen Sie die entstehenden Kosten nach 1 Jahr und nach 6 Jahren Die 60W-Lampe benötigt in 1 Jahr die Energiemenge 60W*3h*365 = 65,7kWh. Die Betriebskosten betragen: 65,7kWh * 0,2 = 13,14. Die Gesamtkosten betragen: 13,14 + 0,50 = 13,64 pro Jahr und 81,84 in 6 Jahren. Die 11 W-Lampe benötigt nur 11W*3h*365 = 12,05kWh. Die Betriebskosten betragen: 12,05kWh * 0,2 = 2,41. Die Gesamtkosten betragen: 2, = 6,41 im ersten Jahr und je 2,41 in den weiteren Jahren. Nach 6 Jahren sind dies 18, Standby-Schaltungen DVD-Player und Fernseher benötigen im Standby-Betrieb zusammen 10W, im Betrieb 100W. Beide werden täglich 4 Std. genutzt. Vergleichen Sie die jährlichen Kosten wenn die Geräte bei Nichtbenutzung im Standby-Betrieb bleiben oder wenn Sie mit Hilfe einer Steckdosenleiste mit Schalter ausgeschaltet werden. Dann überlegen Sie sich mal, wie viel Standby-Schaltungen in Ihrem Haushalt Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 8

9 vorhanden sind: Telefone mit Steckernetzteil, Telefon-Anlage, DSL-Router, PCs, Bildschirme, PC-Router, DVD-Rekorder, Sat-Receiver, Fernseher, Hifi-Anlage; Kühlschrank, Gefrierschrank, Zirkulationspumpen (Heizung, Warmwasser), Heizungssteuerung... mit Standby: 1 Tag W = 100W*4h + 10W*20h = 400Wh + 200Wh = 600Wh 365 Tage: W = 365 * 600Wh = 219kWh Kosten: Carl-Engler-Schule Karlsruhe 219kWh * 0,2 = 43,80 pro Jahr ohne Standby: 1 Tag W = 100W*4h = 400Wh 365 Tage: W = 365 * 400Wh = 146kWh Kosten: 146kWh * 0,2 = 29,20 pro Jahr Ersparnis: 200Wh*365 =73kWh entspricht 14, Faustformel: was kosten Standby-Schaltungen im Jahr? Entwickeln Sie eine Faustformel: 1W Standby kostet im Jahr xx (1 kwh kostet 20 Cent.) 1W*24h*356=8,544kWh kosten 1,71. 1 Watt Standby kosten im Jahr 1, Watt Standby kosten im Jahr 17. Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 9

10 7.6 Vergleich Netzteil Akku Batterie Ein 12V-Schaltnetzteil besitzt einen Wirkungsgrad von 70%. Ein Akkuladegerät besitzt einen Wirkungsgrad von 70%. Die 1,2V-Akkus besitzen Wirkungsgrade von 80% und Kapazitäten von je 3500mAh. Die 1,5V-Batterien besitzen Kapazitäten von je 7800mAh und kosten 1,60 pro Stück. 1 kwh elektrische Energie aus dem Stromnetz kostet 20 Cent. Eine 12V / 20W-Lampe wird auf drei unterschiedliche Arten betrieben: a) mit dem Schaltnetzteil 230V Schaltnetzteil 12V Lampe mit den η = 70% Nenndaten 12V / 20W b) mit 10 in Reihe geschalteten 1,2V-Akkus Aufladen 230V Akkuladegerät η = 70% 10x Entladen 10x 1,2V 1,2V 12V Lampe mit den Nenndaten 12V / 20W η = 80% je 3500mAh c) mit 8 in Reihe geschalteten 1,5V-Batterien. 8x 1,5V 1,5V 12V Lampe mit den Nenndaten 12V / 20W je 7800mAh Welche Stromstärke fließt durch die Lampe, wenn man sie mit 12V betreibt? (Nennbetrieb) gesucht: I P=U I I= P U = 20W 12V =1,667 A Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 10

11 7.6.2 Berechnen Sie die Kosten für 1 Stunde Lampenbetrieb in den Fällen a) b) c). Die Anschaffungskosten für Schaltnetzteil, Akkus, Ladegerät bleiben hier unberücksichtigt. Sie werden später im Fach CT mit einer Kalkulationstabelle berechnet. gesucht: W für 1h Betrieb, Kosten Carl-Engler-Schule Karlsruhe P= W t W=P t=20w 1h=20Wh Die Lampe benötigt in 1 Stunde die Energiemenge W=20 Wh. a) Schaltnetzteilbetrieb η= P ab P zu = W ab W zu W zu = W ab η = 20Wh =28,57 Wh 0,7 Dem Schaltnetzteil müssen 28,57Wh zugeführt werden. 1kWh kostet 20Cent - > 1Wh kostet 0,02 Cent b) Betrieb an 10 Stück 1,2V-Akkus 28,57Wh kosten 0,571 Cent Gesamtwirkungsgrad: Akkuwirkungsgrad * Ladegerätwirkungsgrad = 0,8 * 0,7 = 0,56 W zu = W ab η = 20Wh =35,71 Wh 0,56 Den Akkus müssen 35,71Wh zugeführt werden. 1kWh kostet 20Cent 1Wh kostet 0,02 Cent c) Betrieb an 8 Stück 1,5V-Batterien Berechnung der Kosten für 1 Wh Batteriestrom ->35,71Wh kosten 0,714 Cent U= W Q Auf den 8 Batterien kann eine Energiemenge von W = U*Q = 12V*7,8Ah =93,6Wh gespeichert werden. (Auf einer Batterie nur 1,5V*7,8Ah). Diese Energiemenge kostet 8*1,60 =12,80. 1 Wh kostet 12,80 / 93,6 = 0,137 = 13,7 Cent Die für die Lampe benötigten 20Wh kosten 20*0,137 = 2,73!!! Wie lange leuchtet die Lampe in den Fällen b) (eine Aufladung) und c) unter der Annahme, dass Strom und Spannung über den gesamten Betriebszeitraum konstant bleiben? (Im Kapitel 11 lernen wir, warum die Spannung mit zunehmender Entladung leicht sinkt.) gesucht: t I= Q t Akkubetrieb: Batteriebetrieb: t= Q I = 3,5Ah =2,1h=2h 6min 1,667 A t= Q I = 7,8Ah =4,68 h=4h 41min 1,667 A Achtung: die Ladungen der einzelnen Zellen darf man nicht addieren. Jede der Zellen gibt in dieser Zeit ihre Ladungsmenge ab. Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 11

12 8 Das Ohmsche Gesetz 8.1 Teilkapitel ohne Aufgaben 8.2 Aufgaben: Widerstandskennlinien zeichnen Skizzieren Sie in ein Diagramm die Kennlinien folgender Widerstände: R = 1kΩ, R= 680Ω, R=470Ω I in ma Kennlinien 3er Widerstände 25,0 20,0 15,0 10,0 R1=1kΩ =680Ω R3=470Ω 5,0 0, U in V Im Labor wurden die Kennlinien zweier Widerstände und einer Lampe aufgenommen (siehe Lösung 8.2.6) Bestimmen Sie die Widerstandswerte der Widerstände. Aus Diagramm bei 8.2.6: Abgelesen: 7V, 152mA: R1= 7V 152mA =46 Abgelesen: 7V, 70mA: = 100Ω Ergänzen Sie (groß/klein): Steile Kennlinie kleiner Widerstand Flache Kennlinie großer Widerstand Extrapolieren Sie die Kennlinie des größeren Widerstandes Entnehmen Sie der Kennlinie: Welcher Strom fließt bei U = 10,5V? Berechnen Sie zur Kontrolle die Spannung mit dem ohm'schen Gesetz. Aus Diagramm bei Lösung 8.2.6:Abgelesen bei U=10,5V: I=105mA Bei 105mA wird mit U = R*I = 100Ω * 105mA = 10,5V, richtig Die Lampe hat eine nichtlineare Kennlinie. Erklären Sie: Bei kleinen Spannungen ist der Lampenwiderstand klein wegen steiler Kennlinie Bei großen Spannungen ist der Lampenwiderstand groß wegen flacher Kennlinie Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 12

13 8.2.6 Extrapolieren Sie die Kennlinie der Lampe. Sie besitzt die Nenndaten 12V / 0,1A. Entnehmen Sie der Kennlinie die fließenden Ströme bei U1=8V und U2 = 11V Abgelesen bei U1 Lampe = 8V: I1 Lampe = 87mA Abgelesen bei U2 Lampe = 11V: I2 Lampe = 97mA I in ma =100Ω Lampe U in V Berechnen Sie den Widerstand der Lampe bei 12V. Berechnen Sie die Ströme bei U1=8V und U2 = 11V unter der (falschen) Annahme, dass der Lampenwiderstand konstant bliebe. R Lampe = U Lampe I Lampe = 12V 0,1A =120Ω I1 Lampe = U1 Lampe = 8V R Lampe12V 120Ω =67mA I2 Lampe= U2 Lampe R Lampe12V = 11V 120Ω =92mA Vergleichen Sie die Abweichungen der Ströme bei U1=8V und U2 = 11V von Aufg gegenüber Aufg Unter welchen Bedingungen darf man hilfsweise annehmen (wenn man keine Kennlinie zur Verfügung hat), dass der Widerstand der Lampe bei Spannungsänderung ungefähr konstant bleibt? Große Abweichung bei U1 = 8V, kleine Abweichung bei U1 = 11V. Wenn sich die Spannung an der Lampe nur leicht ändert, darf man hilfsweise annehmen, dass der Widerstand ungefähr konstant bleibt. Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 13

14 8.3 Berechnung des Widerstandswertes aus den Materialgrößen 8.4 Aufgabe Elektrozuleitung Küchenherd Berechnen Sie den Widerstand von 50m langen Kupferkabeln mit den Querschnitten 2,5mm 2 und 1,5mm 2. R=ρ l mm2 =0,0178 A m 50m =0,5933 =593m 2 1,5mm Aluminium 0,028 R=ρ l mm2 =0,0178 A m 50m Gold 0,0244 2,5mm 2=0,356 =356m Kohle Berechnen Sie die maximal möglichen Spannungsabfälle an den Leitungen, wenn sie mit 16A-Sicherungen abgesichert sind. Welche Leistungen gehen dann jeweils an Hin- und Rückleitung verloren? Wie macht sich dieser Verlust bemerkbar? 1,5mm 2 Leitung: Material Spezifischer Widerstand in mm 2 U 1Leitung = R * I = 0,593Ω * 16A =9,49V P 1Leitung = U * I = 9,49V * 16A = 152W, insgesamt: P verlust = 304W (Hin+Rück) m Kupfer 0,0178 Stahl 0,13 2,5mm 2 Leitung: U 1Leitung = R * I = 0,356Ω * 16A =5,696V P 1Leitung = U * I = 5,696V * 16A = 91,1W, insgesamt: P verlust = 182W (Hin+Rück) Warum verwendet man für einen Elektroherd Kupferkabel mit einem Querschnitt von 2,5mm 2, für normale Steckdosen aber 1,5mm 2? Bei einem Elektroherd ist immer davon auszugehen, dass große Ströme fließen. Daher versucht man die Verlustleitung in den Zuleitungen möglichst gering zu halten. An normale Steckdosen schließt man nur selten Verbraucher mit hohen Strömen an, daher spart man hier beim Verlegen der teuren Kupferleitungen. Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 14

15 8.5 Aufgabe Hochspannungsleitung Eine 380kV- Hochspannungsleitung hat einen Widerstand von 0,0072 Ω / km (Ohm pro Kilometer Leitungslänge). Sie darf mit einem Strom von maximal 2460A belastet werden Wie groß ist der maximale Spannungsabfall pro km? (der durch den Gleichstromwiderstand hervorgerufen wird.) U 1km = R * I = 0,0072Ω * 2460A = 17,71V Welche Leistung geht dann pro Km verloren? P 1km = U*I = 17,71V * 2460A = 43,57kW Wenn man nicht mit 380kV sondern mit 380V arbeiten würde, müsste zur Übertragung der gleichen Leistung (P=U*I) der 1000 fache Strom, also A fließen. Erklären Sie, warum die Übertragung nicht funktionieren würde. Berechnen Sie dazu den bei I = A auftretenden Spannungabfall an 1km Leitung. (Natürlich dürfte auch die Leitung nicht mit diesem riesigen Strom belastet werden) U 1km = R * I = 0,0072Ω * A = 17710V Bei dieser Stromstärke hätte man einen theoretischen Spannungsabfall von 17,7kV, vielmehr als die Ausgangsspannung von 380V. 9 Elektrischer Stromkreis 10 Parallelschaltung von 3 Solarzellen (3 Spannungsquellen) 11 Reihenschaltung von 3 Solarzellen (3 Spannungsquellen) 11.1 Messung des Kurzschlussstroms 11.2 Messung der Leerlaufspannung 11.3 Reihenschaltung von 3 Verbrauchern 11.4 Gesetze der Reihenschaltung 11.5 Grafische Ermittlung der Größen in einer Reihenschaltung Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 15

16 11.6 Verluste durch Verlängerungskabel Ein elektrischer Grill mit einer Nennleistung von 3000W wird bei einem Grillfest an einem 100m- Verlängerungskabel betrieben. Die Kupferleitungen im Kabel haben eine Querschnittsfläche von A=1,5mm 2 und den spezifischen Widerstand von Cu =0,0178 mm2. m Skizziere die Schaltung und zeichne die Leitungen als Widerstände ein. Beschrifte die Schaltung mit R grill und R 1Leitung und zeichne alle Ströme und Spannungen ein. I U 1Leitung U ges = 230V R 1Leitung U Grill Grill R Grill R 1Leitung I U 1Leitung Vergleiche die fließenden Ströme, wenn man den Grill mit und ohne Verlängerungskabel betreibt. Ohne Verlängerung fließt der Nennstrom und am Grill liegen 230V an: P = U * I I= P U =3000W 230V =13,04 A Mit Verlängerungskabel ergibt sich eine Reihenschaltung aus 2x Leitungswiderstand (Hinund zurück) + Widerstand de Grills (siehe Skizze). Am Grill liegen keine 230V an. R 1Leitung = l A P Grill =U I= U2 R mm2 =0,0178 m 100m 1,5mm =1,19 2 R Grill = U 2 Nenn = 230V 2 P GrillNenn 3000W =17,63 Der Widerstand des Grills bleibt näherungsweise konstant, auch wenn sich die Spannung am Grill durch die lange Zuleitung ändert. R ges =2 R 1Leitung R Grill =2 1,19 17,63 =20,01 I Ges = U Ges R Ges = 230V 20,0 =11,5 A Welche Leistungen werden im Kabel und im Grill in Wärme umgesetzt? Berechne auch die Gesamtleistung. P 1Leitung = U 1Leitung * I = R 1Leitung * I 2 = 1,19Ω * (11,5A) 2 = 157W je Leitung P Grill = R Grill * I 2 = 17,63Ω * (11,5A) 2 = 2332W P ges = P grill + 2* P 1Leitung = 2646W andere Möglichkeit: P ges = U ges * I = 230V * 11,5A = 2645W Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 16

17 Berechne den Wirkungsgrad des Systems Verlängerungskabel P zu = 2645W, P ab = 2332W, = P ab = 2332W =0,882 η = 88,2% P zu 2645W 11.7 Potenziometer als veränderbarer Widerstand Man kann das Potenziometer R1 als veränderbaren Widerstand schalten. Dann verwendet man nur 2 Anschlüsse. Je nach Schleiferstellung verändert sich nun die Größe des Widerstandes R1. Beispiel: Man verwendet ein Potenziometer mit dem aufgedruckten Widerstandswert 100Ω. Stellt man den Schleifer nun in Mittelstellung, so besitzt das Poti zwischen dem oberen Anschluss und dem Schleiferanschluss einen Widerstandswert von 50Ω. Aufgabe: Uges = 10V, Poti R1 = 100Ω maximal, = 100Ω Auf welchen Wert muss man R1 einstellen, damit Rges = 130Ω wird? R1 = Rges = 30Ω Welcher Gesamtstrom fließt? Iges = Uges / Rges = 10V / 130Ω = 76,9mA Iges = I1 = I2 Carl-Engler-Schule Karlsruhe Berechnen Sie die Größe der Spannungen U1 und U2. U1 = R1 * I1 = 30Ω * 76,9mA = 2,3V U2 = Uges U1 = 7,7V oder U2 = * I Potenziometer als Spannungsteiler Uges I R1 R1 U1 U2 Uges U2 R1 Rges Uges U2 R1 Rges Uges U2 R1 Rges Uges = 10V, Rges = 100Ω Poti in Mittelstellung: Berechnen Sie U2. I = Uges / Rges = 0,1A U2 = * I = 50Ω * 0,1A = 5V Oder Antwort direkt mit Begründung: In der Mittelstellung ist R1=, daher sind auch beide Spannungen gleich groß Die Spannung teilt sich je zur Hälfte auf Poti in Stellung = 1/3 Rges: Berechnen Sie U2. U2 = 3,33V Poti in Stellung = 1/4 Rges: Berechnen Sie U2. U2 = 2,5V Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 17

18 11.9 Elektrische Tankanzeige mit Potenziometer Ein Auto hat einen 50-Liter-Tank mit I rechteckigem Querschnitt. Das Bild zeigt das Prinzip der elektrischen Füllstandsanzeige Erklären Sie die Funktionsweise. Der Schwimmer ist mit dem Autobatterie 12V Potenziometer-Abgriff mechanisch verbunden. Die Spannung U1 am Abgriff ist eine Teil der Gesamtspannung, das Poti ist ein Spannungsteiler. Je nach Höhe des Schwimmers ändert U Wo muss ein Spannungsmesser eingebaut werden, damit die angezeigte Spannung ein Maß für den Füllstand ist? Es muss U1 gemessen werden Skizzieren Sie die Kennlinie dieser Anordnung. Spannung = f (Kraftstoffmenge) Zeichnen Sie Zahlenwerte ein. Spannung = f (Kraftstoffmenge) Zeichnen Sie Zahlenwerte ein Geben Sie die Funktionsgleichung an. U1 = 12V / 50L * V Carl-Engler-Schule Karlsruhe Uges Rg 12V U1 Potenziometer mit Abriff am Schleifer U1 Kraftstofftank mit Schwimmer Stromkreisdenken G I Uges R1 100Ω 200Ω U1 U2 50L V Woher weiß der Strom, wie groß er zu werden hat? Die Generatorspannung Uges und der Gesamtwiderstand Rges bestimmen den Strom An welchem Widerstand fällt die größere Spannung ab? Da der Strom I durch beide Widerstände gleich groß ist gilt: Am größeren Widerstand fällt die größere Spannung ab. U=R I Woher weiß die Spannung am Widerstand, wie groß sie wird? Der Spannungsabfall am Widerstand wird bestimmt durch den Strom und den Widerstandswert Welcher Widerstand gibt mehr Wärme ab? I=I Ges = U Ges R Ges U=R I Man bestimmt die Leistung der Widerstände. Da W=P t gilt, gibt auch derjenige Widestand die größere Wärme ab, dessen elektrische Leistung P größer ist. Da I durch beide Widerstände gleich groß ist gilt:: Der größere Widerstand hat die größere Leistungsaufnahme. P=U I=I 2 R Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 18

19 11.11 Ersatzschaltbild Leitungswiderstand I U Leitung R Leitung G U Generator R Verbraucher U Verbraucher R Leitung U Leitung Die beiden Widerstände RL eitung symbolisieren die Widerstände der Leitungen zwischen Generator und Verbraucher Woher weiß der Strom, wie groß er zu werden hat? Die Generatorspannung Uges und der Gesamtwiderstand Rges bestimmen den Strom Vergleichen Sie die Größen vom U Generator und vom U Verbraucher. U verbraucher ist kleiner wie U generator, da auch an den Leitungswiderständen Spannungen abfallen Wie erreicht man es, dass die Spannungsabfälle an den Leitungen U Leitung möglichst klein werden? Der Widerstand der Leitungen muss klein sein Wie groß müssten R Leitung sein, damit U Verbraucher = U Generator wird? R leitung müssten im Idealfall 0Ω sein. R PT100 = U Mess I Mess 12 Spannungsquelle mit Innenwiderstand 12.1 Ersatzschaltbild 12.2 Auswirkungen des Innenwiderstandes 12.3 Berechnung der Klemmenspannung bei bekanntem Innenwiderstand 12.4 Ermittlung des Innenwiderstandes 12.5 Innenwiderstand von elektrischen Geräten I=I Ges = U Ges R Ges Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 19

20 12.6 Aufgabe: Bestimmung des Innenwiderstandes einer Batterie Beim Schülerversuch zur Bestimmung des Innenwiderstands einer Monozelle wurde die folgende Tabelle aufgenommen: U klemme in V 1,4 1,3 1,1 0,86 I in A 0,20 0,30 0,50 0,80 U klemme : Klemmenspannung der Batterie (Monozelle) Skizzieren Sie eine Schaltung mit dem Ersatzschaltbild der Batterie und den notwendigen Messgeräten. Erklären Sie stichpunktartig die U Ri Versuchsdurchführung. Ri Spannung U Klemme an den Klemmen der I A Batterie messen Strom I durch den angeschlossenen Belastungswiderstand messen. Belastungswiderstand ändern, U klemme und I messen Wertepaare in Tabelle eintragen U 0 Batterie U klemme V Ersatzschaltbild Batterie mit angeschlossenem veränderbarem Widerstand I R Zeichnen Sie eine maßstabsgetreue I U klemme Kennlinie. Entnehmen Sie dem Diagramm (durch Extrapolation) die Leerlaufspannung und den Kurzschlussstrom Berechnen Sie den Innenwiderstand der Monozelle Geben Sie die Werte in eine Calc-Tabelle ein und erstellen Sie daraus die Belastungskennlinie (Diagrammtyp XY mit Markierung der Messwerte durch Punkte) Fügen Sie eine lineare Trendlinie hinzu und lassen Sie die Gleichung darstellen. Formatieren Sie die Skalierung der Achsen so, dass die Schnittpunkte der Trendlinie mit den Achsen sichtbar sind. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit Teilaufgabe Aufgabe 3. Abgelesene Werte: I kurz = 1,75A bei (U = 0V) U leer = 1,55V (bei I = 0A) Innenwiderstand: R i = U Leer I Kurz = 1,55V 1,75A =886mΩ Alternative: R i = ΔU V) = (1,4V 0,86 ΔI (0,2 A 0,8A) R i = 0,9 Ω=0,9Ω U inv 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Belastungskennlinie U = f(i) 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 Uklemme in V Lineare Regression für Uklemme in V f(x) = -0,9x + 1,57 I in A Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 20

21 12.7 Rollerbatterie Auf einer Rollerbatterie sind folgende Kenngrößen angegeben: 12V, 8Ah, 80A Beim Betätigen des Anlassers wird das Licht deutlich dunkler. Erklären Sie die Ursache für dieses Verhalten mit elektrotechnischen Fachausdrücken. Bei Belastung der Batterie sinkt die Spannung an den Anschlussklemmen. Dieses Verhalten kann man mit dem Innenwiderstand der Batterie erklären, an dem der Spannungsabfall steigt, je größer die Belastung ist Zeichnen und erklären Sie ein geeignetes Ersatzschaltbild der Rollerbatterie mit Belastungswiderstand Rlast. Zeichnen Sie die Anschlussklemmen der Batterie und die Klemmenspannung U Klemme ein. Die Batterie kann man sich aufgebaut denken aus einer idealen Spannungsquelle U 0 und einem Innenwiderstand Ri. U Ri Ri I U 0 Batterie U klemme I R Last Ersatzschaltbild Batterie mit R Last Mit 2 Belastungswiderständen (1Ω, 2Ω) die abwechseln einzeln, in Reihe und parallel verwendet wurden, hat man folgende Belastungskennlinie der Rollerbatterie erstellt: (siehe nächste Seite) Skizzieren Sie die Messschaltung und zeichnen Sie die verwendeten Strom- und Spannungsmesser ein. U Ri Ri I A U 0 U klemme V I R Last Batterie Ersatzschaltbild Batterie mit ange-schlossenem Lastwiderstand Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 21

22 Markieren Sie in der Kennlinie die Messpunkte mit a) b) c): a) Belastung mit 1Ω, b) Belastung mit 2Ω, c) Leerlauf Geben Sie die Größe der Leerlaufspannung U0 an. In der Kennlinie werden die Ströme, die durch den Verbraucher fließen, bei den zugehörigen Klemmenspannungen dargestellt. Wenn man also die bei den Messpunkten anliegenden Klemmenspannungen durch die fließenden Ströme teilt, erhält man die angeschlossenen Lastwiderstände. Abgelesen: U=13V, I=0A Leerlauf c) U=12,1V, I=4,1A R=3Ω U=11,9V, I=5,9A R=2Ω b) U=10,8V, I=10,8A R=1Ω a) U in V 14 c) b) Belastungskennlinie Rollerbatterie a) I in A Berechnen Sie mithilfe der Kennlinie den Innenwiderstand Ri der Rollerbatterie R i = Δ U ΔI =(13V 10V) (0A 15A) =0,2Ω Rechnen Sie in den folgenden Aufgaben mit Ri = 0,2Ω Kann der auf der Batterie aufgedruckte Kurzschlussstrom von 80A erreicht werden? Der Kurzschlussstrom wird durch Ri begrenzt. I K = U 0 R i = 13V 0,2Ω =65A Der aufgedruckte Kurzschlussstrom kann nicht mehr erreicht werden Berechnen Sie die Größe des fließenden Stromes und die Größe der Klemmenspannung, wenn der Anlassermotor (Nenndaten 12V/650W) eingeschaltet ist. Anleitung: Berechnen Sie zunächst den Widerstand des Anlassermotors und nehmen Sie an, dass dieser konstant ist. P = U I = U2 R R Last = U2 P I = U 0 R ges = U Klemme = (12V)2 650W = 0,2215Ω U 0 (R i +R Last ) = 13V (0,2Ω+0,2215 Ω) = 30,84 A = R Last I=0,2215 Ω 30,84 A=6,83V Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 22

23 13 Übungen Reihen- und Parallelschaltungen Fertige bei allen Aufgaben eine Schaltungsskizze an und zeichne die gesuchten Größen ein! Aufg Gegeben Gesucht 13.1 Reihenschaltung R1 = 2 kω, = 5 kω, UR1 = 2V Schaltung skizzieren Alle gegebenen Größen einzeichnen (hier rot dargestellt). Jeder Widerstand oder Schaltungsteil hat 4 schaltungstechnisch interessante Größen: U, I, R, P Das Bauteil suchen, bei dem 2 Werte gegeben sind. Aus 2 gegebenen Werten (hier U und R) lassen sich die anderen beiden Werte berechnen (hier I = U/R und P = U*I) I R1 = U R1 R1 = 2V 2k =1mA I R1 = I = I ges wegen Reihenschaltung Neu berechnete Größen einzeichnen. Man setzt die Berechnung an dem Bauteil fort, an dem nun 2 Größen gegeben sind: An ist I und R gegeben U berechnen U = I =5k 1mA=5V einzeichnen! Da nun beide Einzelspannungen gegeben sind, lässt sich die Gesamtspannung der Reihenschaltung berechnen: U ges = U R1 + U = 7V I = Uges = Pges = U ges I ges =1mA U R1 2V U I ges =1mA ma V mw I R1 =1mA R1 2kΩ I =1mA 5kΩ Die Gesamtleistung ermittelt man entweder durch Berechnung der Einzelleistungen P 1 = U R1 * I R1 ; P 2 = U * I P ges = P 1 + P 2 oder mit P ges = U ges * I ges U ges Merke: Bei allen Formeln U = R * I, P = U * I usw. 7V immer die zusammen gehörenden Größen eintragen, z.b. U1 = R1 * I1 und Uges = Rges * Iges I ges =1mA U R1 2V U 5V I R1 =1mA R1 2kΩ I =1mA 5kΩ Ergebnisse: I = 1 ma Uges = 7 V Pges = 7 mw I ges =1mA 13.2 Parallelschaltung R1 = 2 kω, = 5 kω, IR1 = 2mA Uges = V I = µa Pges = mw Uges = 4 V I = 800 µa Pges = 11,2 mw Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 23

24 Reihenschaltung Parallelschaltung R1 = 2 kω, = 5 kω, R3 = 10kΩ, Uges = 10V R1 = 2 kω, = 5 kω, R3 = 10kΩ, Uges = 10V Parallelschaltung zweier Lampen mit den Nenndaten 6V / 2,4W und 6V / 0,1A Iges = U1 = Pges = ma V mw Iges = 0,588 ma = 588µA U1 = 1,18 V Pges = 5,88 mw Rges = Iges = Pges = kω ma mw Rges = 1,25 kω Iges = 8 ma Pges = 80 mw R1,, Rges, Iges I= U R einsetzen in P=U I ergibt P= U2 R R1= U2 P = 6V 2 2,4 W =15 = U I = 6V 0,1 A =60 Parallelschaltung von R1 und ergibt: Rges = 12 Ω Iges = 0,5A = 500mA Gesucht der der Wert des Vorwiderstandes, so das eine Lampe an einer 6V-Spannungsquelle mit ihren Nenndaten 4V / 1W betrieben werden kann. I lampe = 0,25A = I R U R = 6V-4V = 2V R= U R = 2V I R 0,25 A =8 Warum darf man die Lampen mit den Nenndaten 6V / 2,4W und 6V / 0,1A nicht in Reihe an 12 V anschließen? Anleitung: Berechne R1,, Iges, U1 und U2. ; aufgelöst nach R: R= U2 P R1= U2 P = 6V 2 2,4W =15 =U I = 6V =60 Rges = R1 + = 75Ω 0,1 A I ges =U ges oder R ges = 12V =0,16 A=160mA 75 R = Ω 13.8 U1 = R1 * I1 = 2,4V U2 = * I2 = 9,6V Lampe 2 wird überlastet! Spannung und Strom sind zu groß. P2=1,5W statt 0,6W! Reihenschaltung mit 2 Widerständen. U1 Es gilt: U2 =R1 und Uges U2 = Rges und allgemein: Die Spannungen verhalten sich wie die Widerstände. Zeige die Gültigkeit dieser Formeln. Hinweis: Je Formel für U1 und U2 angeben, dann U1 durch U2 teilen. Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 24

25 Wärme Carl-Engler-Schule Karlsruhe U1=R1 I1 U2= I2 In der Reihenschaltung gilt: I=I1=I2=Iges U1 U2 =R1 I I =R Uges=Rges Iges U2= I2 Uges U2 = Rges I = Rges I Eine Halogenlampe 12V/50W wird fälschlicherweise an eine 10m lange 2-adrige Kupfer-Leitung mit einem Querschnitt von 2x0,5mm 2 angeschlossen (ρ Cu =17, Ωmm 2 /m). Skizze!!! Erklären Sie mithilfe der rechts aufgeführten Größen, warum die Lampe nicht die gewünschte Helligkeit erreicht. (12V-Halogenbeleuchtungen mit werden mit 2x2,5mm 2 -Leitungen geliefert...) R lampe R 1Leitung R ges (Leitungen + Lampe) I ges U lampe P Lampe Gesamtleistung Zuleitungen Lampenleistung P zu P ab P Verlust Berechnen Sie den Wirkungsgrad dieses Systems! P= U2 R R Lampe =U2 P = 12V2 50W =2,88 R 1Leitung = l 17, mm2 A = m 10m =0,356 0,5mm 2 R ges =R Lampe 2 R 1Leitung =2,88 2 0,356 =3,592 I ges = U ges = 12V R ges 3,592 =3,341 A U Lampe =R Lampe I ges =9,62 V!! nicht 12V!! P Lampe =U Lampe I Lampe =32,1 W!! statt 50W!! Die Widerstände der Leitungen sind zu groß. An den Leitungswiderständen fällt eine zu große Spannung ab, so dass für die Lampe nur noch 9,62V zur Verfügung stehen! Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 25

26 13.10 Hochspannungsleitung Hochspannungsleitungen übertragen elektrische Energie über große Entfernungen. Folgende Anforderungen werden an die Leitung gestellt: Geringer Widerstand geringe Verluste Material mit geringem spezifischen Widerstand Zugfest und stabil Stahlkern Bezahlbar Aluminiummantel Eine 110kV-Leitung besteht z.b. aus einem 7-adrigen Stahlkern, dessen Gesamtquerschnittsfläche A stahl =60mm 2 beträgt. Dieser ist mit Aluminiumadern der Gesamtfläche A al = 257mm 2 ummantelt Wie groß ist der Widerstand und die Masse einer 1km langen Hochspannungsleitung vom angegebenen Typ? Leitfähigkeiten: ρ Stahl = 0,13 Ω mm 2 /m, ρ Alu = 0,028 Ω mm 2 /m Dichte: ρ Stahl = 7,8 g / cm³, ρ Alu = 2,7 g / cm³ Widerstand des Stahlkerns: R Stahl =ρ Stahl l =0,13Ω mm2 A Stahl m 1000m 60mm 2=2,167Ω Widerstand des Aluminiummantels R Alu =ρ Alu l A Alu =0,028 Ω mm2 m 1000m 257mm 2=0,109 Ω Gesamtwiderstand der Hochspannungsleitung = Parallelschaltung des Stahlkerns und Aluminiummantels 1 = = 1 R Ges R Stahl R Alu 2,167Ω + 1 0,109Ω R Ges =0,104 Ω Masse des Stahlkerns Achtung: das Formelzeichen ρ verwendet man für den spezifischen Widerstand und für die Dichte obwohl dies 2 verschiedene Dinge sind! m Stahl =ρ Stahl A Stahl l=7,8 m Stahl =7,8 g cm 3 60mm2 1000m g 10 3 mm 3 60mm mm= g=468kg Masse des Aluminiummantels: m Alu =ρ Alu A Alu l=2,7 g cm 3 257mm2 1000m m Alu =2,7 Gesamtmasse: g 10 3 mm 3 257mm mm= g=694kg m ges =m Stahl +m Alu =1162kg=1,16 t Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 26

27 Wie verteilt sich der Gesamtstrom von 550A auf den Stahlkern und den Aluminiummantel? Parallelschaltung des Stahlkerns und Aluminiummantels U Alu =U Stahl =U ges R Alu I Alu =R Stahl I Stahl =R Ges I Ges I Alu I Stahl = R Stahl R Alu und I Alu I Ges = R Ges R Alu I Alu =I ges R Ges R Alu =550A 0,104Ω 0,109Ω =524A I Stahl =I ges R Ges R Stahl =550A 0,104Ω 2,167Ω =26A Welche Leistung geht auf 1km Länge der Hochspannungsleitung verloren? 2 P 1km =U 1km I 1km =R 1km I 1km =0,104Ω (550A) 2 =31,46kW Welche Gesamtleistung überträgt eine 110kV-Leitung, wenn 550A fließen? übertragene Leistung P ges =110kV 550A=60,5 MW Wie groß ist der prozentuale Verlust pro km, wenn insgesamt 60,5MW übertragen werden? x 100 % = 31,46kW 60,5MW x = 0,052% Stromkreisdenken Iges Uges 10V I1 R1 100Ω I2 200Ω Woher wissen die Ströme, wie groß sie zu werden haben? I ges wird bestimmt von U ges und R ges. I Ges = U Ges R Ges Die Einzelströme werden durch die Spannung und die Größe der Einzelwiderstände. Uges = U1 = U2; I 1 = U R Durch welchen Widerstand fließt der größere Strom? Da beide Widerstände an der gleichen Spannung liegen gilt: Durch den kleineren Widerstand fließt der größere Strom Welcher Widerstand gibt mehr Wärme ab? Da beide Widerstände an der gleichen Spannung liegen gilt: P1 > P2 R1 gibt mehr Wärme ab Schätzen Sie den Gesamtwiderstand durch Überlegung ab: Liegt Rges in der Größenordnung 300Ω, 150Ω oder 70Ω? Durch die Parallelschaltung verringert sich der Widerstand. Der Gesamtwiderstand muss daher kleiner werden als R1, also wird Rges in der Größenordnung von 70Ω liegen. Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 27

28 14 Knoten- und Maschenregel 15 Berechnung gemischter Schaltungen 16 Übungen gemischte Schaltungen 16.1 Aufgabe Gemischt 1 (Labor) a) Berechne alle Ströme und Spannungen und messe diese nach! 1 3 = 1 1 Rges = R1 + 3 = 4,139kΩ 3 = 1,939kΩ Iges= Uges Rges =2,416mA=I1 U1 = R1 * I1 = 5,32V U2 = U3 = Uges U1 = 4,68V I2= U2 =0,996 ma I3= U3 =1,42mA oder I3 = I1 I2 = 1,42mA R3 b) Wie ändern sich I1 und U2, wenn zu R3 ein 1 kω-widerstand parallel geschaltet wird? Messung und Begründung (Wirkungskette). Uges 10V 1kΩ parallel zu 3 34 Rges I1 = Iges U1 U2 I1 R1 2,2kΩ I2 4,7kΩ U1 U2 I3 R3 3,3kΩ U3 In Worten: Durch die Parallelschaltung eines 1kΩ-Widerstandes zu 3 erniedrigt sich der sich daraus ergebende Widerstand 34. Daher sinkt auch Rges (R1+34). Der Gesamtstrom steigt (Iges = Uges / Rges) und der Spannungsabfall am Widerstand R1 steigt ebenfalls (UR1 = R1 * Iges). Da die Gesamtspannung konstant bleibt, muss U2 sinken (U2 = Uges U1). Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 28

29 16.2 Aufgabe Gemischt 2 (Labor) a) Berechne alle Ströme und Spannungen und messe diese nach! I3= U3 R3 =2,128mA 3 = R1 + = 5,5kΩ I1=I2=I23= U23 3 = 10V 5,5 k =1,818mA Uges 10V Iges I1 R1 3,3kΩ I2 2,2kΩ U1 U2 I3 R3 4,7kΩ U3 U1 = R1 * I1 = 6V U2 = Uges U2 = 4V b) Wie ändert sich I1 wenn man einen 1 kω-widerstand in Reihe zu R1 und schaltet? Messung und Begründung (Wirkungskette) 1kΩ in Reihe zu R12 R124 I1 (I3 bleibt unverändert) c) Wie ändert sich I1 wenn man einen 1 kω-widerstand parallel zu R3 schaltet? Messung und Begründung (Wirkungskette). 1kΩ parallel zu R3 I1 ändert sich nicht, da sich weder Uges noch R12 ändern Aufgabe Gemischt 3 Zwei Lampen mit den Nennwerten 12V / 160mA werden parallel geschaltet. In Reihe dazu schaltet man einen Vorwiderstand Rv. Die Gesamtschaltung wird an 15V angeschlossen. a) Skizziere die Schaltung b) Berechne Rv so, dass die Lampen mit ihren Nennwerten betrieben werden. Ist es ausreichend, wenn man einen 1/2W- Widerstand verwendet? IR = 2 * 166mA = 332mA UR = 15V UL = 3V Rv= UR IR =9,04 Pv = UR * IR = 0,996W ein 1/2W-Widerstand ist nicht ausreichend. c) Was passiert, wenn eine Lampe defekt ist? Gib eine Erklärung. Für eine Lampe braucht man einen Widerstand von Rv= 3V 160mA =18,75 Daher ist der vorhandene Widerstand zu klein, die Lampe erhält einen zu großen Strom, und an ihr liegt eine zu große Spannung an. 15 V IL1=160mA L1 IR Rv UR IL2=160mA L2 UL=12V Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 29

30 16.4 Aufgabe Gemischt 4 a) Welche 7 Gesamtwiderstandswerte lassen sich aus 1 bis 3 gleichen 1kΩ-Widerständen durch beliebige Reihen- und Parallelschaltung herstellen? Fertige 7 kleine Schaltungsskizzen an und berechne jeweils die Gesamtwiderstände. b) Zeichne bei allen Widerständen von a) die Größe der anliegenden Spannungen und die Größe der fließenden Ströme ein. Die Gesamtspannung beträgt in allen Fällen 10V. I1= U1 R1 = 10V 1k =10mA R1 Rges = R1 + = 2kΩ Iges= Uges Rges =10V 2k =5mA UR1 = U = 5V R1 Rges = R1 + + R3 = 3kΩ Iges= Uges Rges =10V 3k =3,33mA UR1 = U = UR3 = R3*Iges = 3,33V R1 R3 1 Rges = 1 R1 1 Rges = 500Ω I1 = I2 = 10mA Iges = I2 + I2 = 20mA U1 = U2 = 10V R1 1 Rges = 1 R1 1 1 R3 Rges = 333,3Ω I1 = I2 = I3 = 10mA Iges = I1 + I2 + I3 = 30mA U1 = U2 = U3 = 10V R1 R3 Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 30

31 R12 = R1 + = 2kΩ 1 Rges = 1 R12 1 R3 R1 Rges = 666,7Ω U1 = U2 = 5V U3 = 10V R3 I12 = 5mA I3 = 10mA Iges = I12 + I315mA 1 3 = 1 1 R3 3 = 500Ω R1 Rges = 3 + R1 = 1,5kΩ Iges= Uges Rges =6,667mA=I1 R3 UR1 = R1 * I1 = 6,67V U2 = U3 = 10V UR1 = 3,33V I2=I3= Iges U2 =3,33 ma oder I2= 2 = 3,33 V 1k =3,33mA 16.5 Aufgabe Gemischt 5 R1 = 1 kω = 2 kω R3 = 6 kω Uges = 10V R1 R3 3 = Rges = I1 = I2 = I3 = U1 = U2 = U3 = 1 3 = 1 1 R3 Rges = 3 + R1 = 2,5kΩ I1=Iges= Uges Rges =4mA 3 = 1,5kΩ U1 = R1 * I1 = 4V U2 = U3 = Uges U1 = 6V I2= U2 =3mA I3 = I1 I2 = 1mA Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 31

32 16.6 Aufgabe Gemischt 6 I1 = 2 ma I2 = 0,5 ma = 2 kω Uges = 2 V I1 R1 U1 Uges R3 = R1 = U2 R3 U3 I2 I3 U2 = * I2 = 1V = U3 U1 = Uges U2 = 1V R1 = U1 / I1 = 500Ω I3 = I1 I2 = 1,5mA R3 = U3 / I3 = 667Ω 16.7 Weihnachtsbaumbeleuchtung mit parallel geschalteten Lampen 400 parallel geschaltete Lampen sind in 30 m Enfernung vom Trafo an einem Weihnachtsbaum angebracht. Ein Hobby-Elektriker wundert sich, warum die Lampen so dunkel leuchten und geht der Sache meßtechnisch auf den Grund: Direkt am Trafo-Ausgang mißt er 12V, an den Lampen jedoch nur 8,6V. In der Zuleitung fließt ein Strom von 2,39A. Annahme: Die Lampen verhalten sich wie ohm sche Widerstände Welche Querschnittsfläche besitzt eine Ader der Kupferzuleitung? ρ Cu=0,0178 Ω mm²/m U ges = U leitung + U leitung + U lampen U ges = 2*U leitung + U lampen U leitung = (U ges U lampen ) / 2 = (12V 8,6V) /2 = 1,7V R Leitung = U Leitung I Leitung = 1,7 V 2,39 A =0,7113 R Leitung = Cu l A A= l Cu =0,0178 mm2 R Leitung m 30m =0,75 mm2 0, Welche Leistung gibt eine Lampe ab? (nicht 0,1W!) Welche Leistung geben alle Lampen zusammen ab? P 400Lampen = 2,39A * 8,6V = 20,554W Trafo 12V Zuleitungslänge: 30m R Leitung 8,6V P 1Lampe = P 400Lampen / 400 = 51,4mW (statt 100mW wenn die Lampen an 12V liegen) 12V R Leitung 2,39A 2,39A usw. 400 Lampen mit den Nennwerten 12V / 0,1W Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 32

33 Andere Berechnungsmöglichkeit: Mit den Nennwerten 12V / 0,1W den Widerstand der Lampen ausrechnen. I 1Lampe = 2,39A / 400. P 1Lampe = I 2 * R 1Lampe (nicht mit dem Nennwert- Strom rechnen!) Der Hobby-Elektriker ersetzt die 2-adrige Zuleitung durch eine andere mit einem Querschnitt von 2 x 3mm². (2 Adern mit je 3mm² Querschnittsfläche). Welche Leistungen geben jetzt die Lampen ab? (gesucht: P400Lampen und P1Lampe) Achtung: Nur Uges und RLampe bleiben konstant! R Leitung = Cu l A =0,0178 mm2 m 30m 3mm 2=0,178 P 1Lampe = U2 R R 1Lampe = U2 = 12V 2 1Lampe P 1Lampe 0,1 W = = = 400 R R 400Lampen R 1Lampe R 1Lampe R 400Lampen = R 1Lampe 1Lampe 400 =3,6 Rges = 2 * R leitung + R 400Lampen = 3,956Ω Iges = 12V / Rges = 3,033A P 400Lampen = I 2 * R 400Lampen = 33,1W Carl-Engler-Schule Karlsruhe P 1Lampe = P 400Lampen / 400 = 82,8mW (ideal 100mW wenn 12V an den Lampen anliegt) 16.8 Stromkreisdenken Iges G Uges 10V I1 R1 25Ω I2 75Ω U1 U Woher weiß der Strom, wie groß er zu werden hat? Der Strom wird bestimmt vom Gesamtwiderstand An welchem Widerstand fällt die größere Spannung ab? Am größeren Widerstand fällt die größere Spannung ab. U=R I Woher weiß die Spannung am Widerstand, wie groß sie wird? Die Größe der Spannung ist abhängig von der Größe des Stromes und des Widerstandes Welcher Widerstand gibt mehr Wärme ab? Der größere Widerstand hat die größere Leistung P = U*I, daher gibt dieser auch mehr Wärme ab. Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 33

34 Zu wird ein weiterer Widerstand R3 = 150Ω parallel geschaltet. Iges I1 R1 25Ω U1 G Uges 10V I2 I3 75Ω U2 R3 150Ω U Wie ändert sich der Gesamtwiderstand? 3 Rges Wie ändert sich der Gesamtstrom? 3 Rges Iges Wie ändert sich U1? 3 Rges Iges U Wie ändert sich U2? 3 Rges Iges U1 U Was kann man über die Größe der Ströme I1, I2, I3 sagen? I1 = I2 + I3 Iges = I1 U2 I2 I3 kommt neu dazu, daher kann es sein, dass I2 sinkt obwohl I1 steigt. Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 34

35 16.9 Autoakku mit Innenwiderstand Der Innenwiderstand eines üblichen 12V-Blei-Akkumulators liegt im mω-bereich. Er ist vom Ladezustand, der Temperatur und dem Alter des Akkus abhängig. Die Leerlaufspannung sei U 0 = 12V, der Innenwiderstand R i = 50mΩ Welcher Strom fließt, wenn ein Anlasser mit R a = 0,3Ω mit dem Akku betrieben wird? Wie groß ist in diesem Fall die Klemmenspannung am Akku? Fertigen Sie eine Schaltungsskizze an. R ges =R i +R a =0,05Ω+0,3Ω=0,35Ω I= U 0 R ges = 12V 0,35Ω =34,29 A U a =R a I=0,3Ω 34,29 A=10,29 V I Das Auto mit obiger Batterie wurde schon lange nicht mehr gefahren und es ist kalt. Ersatzschaltbild Akku Der Innenwiderstand ist auf 150 mω mit angeschlossenem Anlasser angestiegen. Der Fahrer hat beim Starten fälschlicherweise die Lichtanlage des Autos (Gesamtwiderstand 1,0Ω) eingeschaltet Kann damit der Anlasser noch ordnungsgemäß betätigt werden, wenn dieser eine Mindestspannung von 9,0 V benötigt? 1 = = 1 R alicht R a R Licht 0,3Ω + 1 1Ω R alicht =0,2308 Ω R Ges =R alicht +R i =0,15Ω+0,2308 Ω R Ges =0,3808 Ω I= U 0 = 12V R Ges 0,3808Ω =31,51 A U a =R alicht I=0,2308Ω 31,51 A=7,27V Die Spannung sinkt auf 7,27V. Der Anlasser wird nicht mehr ordnungsgemäß funktionieren. U 0 U 0 U Ri Ri U Ri Ri U a U a Ersatzschaltbild Akku mit Anlasser und Lichtanlage I I I Ra Ra R Licht Entladung des Autoakkus mit der Lichtanlage Die Autolichtanlage (120W/12V) ist an den Akku (12V; Innenwiderstand R i = 0,010Ω; Ladung 45Ah) des Autos angeschlossen Wie lange würde der Scheinwerfer leuchten, wenn vergessen worden wäre ihn auszuschalten. (Annahme: U 0=12V und R i bleiben während der Entladung konstant.) Grundgroessen-Elektrotechnik-UT_Loesungen.odt Seite 35