Du kannst den Bedarf hier direkt ablesen. Beispiel: Für den Obstkuchen braucht sie 100 Gramm Zucker.

Transkript

1 Bedarfsmatrizen Frau Weber backt hervorragende Kuchen und Torten. Heute will sie zwei verschiedene Kuchen (Obstkuchen (O), Mandelkuchen (M)) backen, dafür benötigt sie drei verschiedene Zutaten: Zucker, Mehl und Milch. In jeden der beiden Kuchen kommt eine andere Zutatenmenge. Ihren Bedarf an Zutaten kann man mit einem Verflechtungsgraphen oder einer Verflechtungsmatrix darstellen. Du kannst den Bedarf hier direkt ablesen. Beispiel: Für den Obstkuchen braucht sie 100 Gramm Zucker. Will man einen spezifischen Bedarf für eine bestimmte Anzahl an Kuchen verwendet, kann man die VektorMatrix-Multiplikation nutzen. Beispiel: Will Frau Weber zwei Obstkuchen und drei Mandelkuchen backen, lässt sich der Bedarf wie folgt berechnen: Also 800 Gramm Zucker, 2350 Gramm Mehl und 455 Milliliter Milch.

2 Blütenaufgabe Frau Weber hat drei Torten, die sie besonders gerne backt: Schokotorte, Erdbeertorte und Zitronentorte. Damit sie einfacher berechnen kann, wie viele Zutaten sie einkaufen muss, hat ihre Tochter ihr ein Rechenprogramm geschrieben. Hier muss sie nur die Anzahl der Torten eintragen und bekommt die benötigte Zutatenmenge errechnet. 1. Für eine große Familienfeier backt sie drei Schokotorten, zwei Erdbeertorten und eine Zitronentorte. Welche Menge jeder Zutat benötigt sie insgesamt dafür? Berechne die Menge mit einer passenden Verflechtungsmatrix. 2. Manche Zutaten lassen sich nicht direkt verwenden, sondern müssen erst weiter verarbeitet werden, bevor sie genutzt werden können. In ihrem Karamellkuchen (K) und der Sahne-Biskuitrolle (B) sind solche weiterverarbeiteten Zutaten enthalten. Diese weiterverarbeiteten Zutaten sind Karamell (W 1), Sahnecreme (W2) und geschlagener Eischnee (W3). Zu deren Herstellung werden vier verschiedene Zutaten benötigt: Zucker, Wasser, Sahne und Eiweiß. (Z1, Z2, Z3, Z4 ) a) Erläutere die Bedeutung der Matrizen A und B.

3 b) Für Frau Weber ist es hilfreich zu wissen, wie viel von den Zutaten Z 1-4 sie für jeden der beiden Kuchen benötigt. Dies soll in Matrix C eingetragen werden. Der erste Eintrag ist bereits vorhanden. Ermittle die restlichen Einträge. Wie gehst du dabei vor? c) Sie möchte heute zwei Karamellkuchen und vier Sahne-Biskuitrollen backen. Wie kann man mit Hilfe von C die benötigten Zutaten berechnen? 3. Manchmal muss Frau Weber auch für mehrere Veranstaltungen etwas backen. Nächste Woche braucht Sie Kuchen und Torten für die Geburtstagsfeier ihrer Tochter und für die goldene Hochzeit ihrer Tante. Da hier viele Personen anwesend sind, macht sie die Kuchen und Torten auf Blechen und rechnet mit der jeweiligen Anzahl der Personen auf den Feiern. Im Verflechtungsgraphen links stehen alle Angaben für die benötigten Zutaten pro Person. Im rechten Teil siehst du, für wie viele Personen pro Feier sie welchen Kuchen macht. Wie viel von den Zutaten benötigt sie jeweils insgesamt für die Kuchen der beiden Feiern? Wie gehst du bei der Berechnung vor? 4. Erstelle mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms eine Tabelle, die eine Verflechtungsmatrix mit von dir frei wählbaren Zutatenmengen abbildet. In der Tabelle soll mit Hilfe der Matrix die insgesamt benötigte Zutatenmenge berechnet werden. Lege Felder an, in denen man für jede Torte eine Anzahl angeben kann, so dass das Ergebnis automatisch berechnet und angezeigt wird. 5. Die Verflechtungsmatrix, die Frau Webers Tochter aufgestellt hat, ist wahrscheinlich ausführlicher, als die von dir in Aufgabe 1 erstellte. Woran könnte das liegen? Stelle mit Hilfe von drei verschiedenen Kuchen- oder Tortenrezepten eine vollständige Verflechtungsmatrix auf.

4 Angelehnt an Schmidt, Günter; Zachharias, Martin; Lergenmüller, Arno 2010: Mathematik Neue Wege Arbeitsbuch für Gymnasien, Lineare Algebra Analytische Geometrie, Braunschweig: Schroedel S. 148ff. Lösungen 1. Die Verflechtungsmatrix lautet: Dann ist der Bedarf für die Kuchen: Das bedeutet 1900 Gramm Zucker, 3000 Gramm Mehl, 450 Milliliter Milch und 15 Eier. 2. a) Lösung: In der Matrix A ist aufgeführt, wie viele der Grundzutaten Z 1-4 für die weiterverarbeiteten Zutaten W 1-3 benötigt werden. B zeigt, wie viel der weiterverarbeiteten Zutaten W1-3 für den Karamellkuchen (K) und die Sahne-Biskuitrolle (B) gebraucht werden. b) Lösung: Um Matrix C zu erhalten, multiplizieren wir A mit B, das Ergebnis ist: c) Sie möchte heute zwei Karamellkuchen und vier Sahne-Biskuitrollen backen. Wie kann man mit Hilfe von C die benötigten Zutaten berechnen? Lösung: Wie in der ersten Aufgabe kann man den Bedarf berechnen in dem man C mit einem Vektor multipliziert, in dem die Anzahl der Kuchen eingetragen ist. Der Bedarf ist:

5 3. Lösung: Man kann zwei Verflechtungsmatrizen aufstellen und durch deren Multiplikation den Bedarf berechnen. Die Goldene Hochzeit hat also einen Bedarf von 3750 Gramm Zucker, 5000 Gramm Mehl und 50 Eiern. Der Geburtstag hat einen Bedarf von 2950 Gramm Zucker, 7000 Gramm Mehl und 50 Eiern. Um den Bedarf für beide Feiern zusammen zu erhalten, kann man die Werte addieren. 4. Lösungshinweis: Du kannst die Tabelle so aufbauen, wie die hier dargestellten Matrizen und entsprechend beschriften. 5. Lösung: Die meisten Rezepte haben sehr viel mehr Zutaten als die Kuchen in den hier dargestellten Verflechtungsgraphen.

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