Ungleichungen in der Schulmathematik?

Transkript

1 Wer aufhört, besser werden zu wollen, hört auf, gut zu sein. Marie v. Ebner-Eschenbach ( ) Ungleichungen in der Schulmathematik? Ein Beispiel für den mathematischen Substanzverlust in den Schul-Curricula Prof. Dr. Heinz Schumann PH Weingarten Fak. II, Mathematik Forum für Begabungsförderung in Mathematik Universität Würzburg, Prolog! 1

2 Beweggrund These Unter dem Einfluss gesellschaftlicher Verhältnisse entwickeln sich die Curricula des Faches Mathematik an allgemeinbildenden Schulen von substanziellen elementarmathematischen Inhalten weg. Egalitarismus Konsumismus Populismus Hedonismus Werte-Relativismus Egozentrismus Inhalt 1. Ungleichungen lösen - Leistungen deutscher Schüler/Studierender 2. Ungleichungen in Bildungsplänen/ Lehrplänen etc. 3. Ungleichungen in der Elementarmathematik 4. Didaktik der Ungleichungslehre gestern und heute 5. Ungleichungen und Neue Medien 6. Curriculare Revisionsvorschläge 2

3 1. Ungleichungen lösen Leistungen deutscher Schüler/Studierender Litauen 0,96; Russland 0,86; Frankreich 0,85; Tschechien 0.84; Griechenland 0,83; Italien 0,

4 Die Leistungen deutscher Schüler und Schülerinnen beim Lösen von linearen Ungleichungen sind im internationalen Vergleich als schwach zu bewerten. Die Studierenden können nicht die Definitionsmenge von Wurzelfunktionen bestimmen. 4

5 2. Ungleichungen in Bildungsplänen/Lehrplänen etc. Mathematik mit ca. 1% des Seitenumfangs explizit vertreten! 2. Auflage

6 Ungleichungen : Fehlanzeige! Algebra : Fehlanzeige! Pisa lässt grüßen! 6

7 Die aktuellen mathematischen Curricula allgemeinbildender Schulen in Deutschland (B.-W.) enthalten keine bzw. nicht konsistente Inhalte über Ungleichungen im Gegensatz zu vielen anderen Ländern. Dieser Mangel benachteiligt u. a. deutsche Teilnehmer an internationalen Wettbewerben. 7

8 Internationale Mathematische Olympiaden und Deutsche Mathematik-Wettbewerbe: Aufgaben über Ungleichungen! 3. Ungleichungen in der Elementarmathematik 8

9 UNGLEICHUNGEN in der Elementarmathematik eine normative Vorgabe für den MU Aus dem Vorwort Cauchy-Schwarzsche Ungleichung n 2 n n 2 2 aib i ai bi i 1 i 1 i 1 Diskrete Ungleichungen! aib i ai bi i 1 i 1 i 1 2 b b b 2 2 a( x) b( x) dx a ( x) dx b ( x) dx a a a 9

10 Besondere Ungleichungen für 2 bzw. 3 positive reelle Variablen beweisen. 10

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12 Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen

13 Dreiecksungleichung (Euklid) Für jedes Dreieck ABC ist die Summe zweier Seiten stets größer als die dritte Seite: a + b > c, b + c > a, c + a > b. Ein Existenzsatz für Dreiecke Ein Dreieck ABC mit den Seiten a, b, c, für die 0 < a b c ist, existiert genau dann, wenn a + b > c. Notwendig und hinreichend für die Existenz eines Tetraeders ABCD ist die Erfüllung der Tetraederungleichung ABC + BCD + CAD > ABD, BCD + CAD + ABD > ABC, CAD + ABD + ABC > BCD, ABD + ABC + BCD > CAD, bzw. FA+ FB+ FC > FD, FB+ FC+ FD > FA, FC+ FD+ FA > FB, FD+ FA+ FB > FC. Ungleichungen am Dreieck (Beispiele) Euler 1765 Erdös-Mordell 2013 by H. Schumann: Ungleichungen in der Schulmathematik? 13

14 Analogisieren Generalisieren uabc uxyz Analogisierung 1. Art? Analogisierung 2. Art? OABCD OWXYZ kabcd > kwxyz 4 k kwxyz 3 ABCD 14

15 Isoperimetrische Ungleichung in der Ebene: = genau dann, wenn die Figur ein Kreis. im Raum: = genau dann, wenn die Figur eine Kugel. Yurii D. Burago, Viktor A. Zalgaller (1988): Geometric Inequalities 15

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17 Das Lösen, Beweisen und Anwenden von Ungleichungen ist ein essentieller Bestandteil der Elementarmathematik. 17

18 4. Didaktik der Ungleichungslehre gestern und heute Ein Beispiel Vom mählichen Verschwinden des Fachs aus der Mathematikdidaktik Thomas Jahnke in: GDM-Mitteilungen , Band 7, Gleichungsund Ungleichungslehre Lambacher-Schweizer Algebra 1, Ausgabe B

19 Auswahl und Anordnung von Inhalten der Algebra Gerüst des Lehrgangs Ungleichungen: Fehlanzeige! 2007/2009 Vollrath&Weigand, 2007, S

20 Vollrath 1994/1999: Algebra in der Sekundarstufe, S /1999 Aus dem Inhaltsverzeichnis

21 Vollrath 1974: Didaktik der Algebra, S. 114 Lineare Optimierung bereits 1960 im Handbuch der Schulmathematik Bd. 2 Vollrath & Weigand, 2007, S Vollrath 1974: Didaktik der Algebra, S. 113 Missbrauch der Rechenfehler-Kontrolle! 21

22 Fehlanzeige! Lineare Optimierung: Fehlanzeige! 2010 Die aktuelle mathematikdidaktische Standardliteratur spiegelt den Verlust bzw. Mangel an Ungleichungslehre wider. Folgerung: Angehende Lehrer und Lehrerinnen erfahren wenig oder nichts über die betreffende Didaktik. 22

23 Thematisierung von Lernprozessen beim Lösen von Ungleichungen: Fehlanzeige! Vielseitige Informationen darüber in Internationalen Zeitschriftenartikeln z. T. verfügbar im Internet 1993 Die mathematikdidaktische Erforschung des aspektreichen Unterrichtsgegenstandes Ungleichungen weist in Deutschland erhebliche Defizite auf. 23

24 5. Ungleichungen und Neue Medien Computeralgebraische Ungleichungslösung: webmathematicawidgets und WolframAlpha Smartphone-App 24

25 Online-Materialien für das interaktive Lösen von Ungleichungen Lösungsautomaten für Ungleichungen Leider nur eine Teillösung! 25

26 YouTube-Instruktionsvideos über das Lösen von Ungleichungen Ungleichungen mit Smartphones Links (12.12) Links (12.12) 26

27 2002 Es ist mathematikdidaktische Aufgabe, die Online-Materialien, hier für den Unterrichtsgegenstand Ungleichungen, zu sichten, auf ihre Eignung für den Mathematikunterricht hin zu bewerten, ihre Lernwirksamkeit zu untersuchen und Unterrichtskonzepte für ihre Nutzung zu entwickeln. 27

28 6. Curriculare Revisionsvorschläge Ungleichungen in der Sekundarstufe I lösen, beweisen, anwenden 28

29 Ungleichungslehre: Stoffplan Sekundarstufe I Ungleichungen lösen Beispiel: Bruch-Ungleichung 29

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31 Ungleichungen lösen: selbständiges Üben 1995, 2. Aufl Ungleichungen beweisen 31

32 Ungleichungen beweisen Ungleichungen geometrisch begründen 32

33 Ungleichungen geometrisch interpretieren a²+b²+c² > ab+bc+ca Geometrische Ungleichungen entdecken 33

34 Geometrische Ungleichungen beweisen Beh.: R 2r Beweis: A B C ABC mit k =2, A*B*C* A B C mit A*B*C* A B C, folglich R 2r. Ungleichungen anwenden Lineare Optimierung 34

35 Für die Arbeit in AGs und für Facharbeiten etc Aufl Zusammenfassung: Das Lösen, Beweisen und Anwenden von Ungleichungen ist ein wichtiger Gegenstand der Elementarmathematik (Arithmetik, Algebra, Geometrie, Analysis, Stochastik und Angewandte Mathematik). Die Inhalte der Elementarmathematik sind Bestandteil einer globalen (mathematischen) Kultur; als solche sind sie intersubjektiv und interkulturell vermittelbar; sie haben deswegen weltweit für den Mathematikunterricht normative Bedeutung. Folgerung: Der Unterrichtsgegenstand Ungleichungen ist in den Curricula sowohl allgemeinbildender Schulen als auch der Lehrerbildung in Deutschland angemessen zu berücksichtigen. Das bloße Lösen von Ungleichungen genügt nicht. 35

36 Epilog Frage: Wie kommt der Satz des Pythagoras in die Köpfe der Kinder? Margret Rasfeld: "Lehrplanwissen bekommen nicht alle Schüler zur gleichen Zeit eingetrichtert. Jeder kann für sich entscheiden, wann der Satz des Pythagoras dran ist, und wird dann im Lernbüro von einem Lehrer dabei begleitet. Aus einem Interview der Schwäbischen Zeitung vom mit Margret Rasfeld der Leiterin der evangelischen Gemeinschaftsschule zu Berlin, auch Kernexpertin im Zukunftsdialog der Bundeskanzlerin Wie wir lernen wollen!!! Was wird aus einer Gesellschaft, die aus Gründen ihrer Wohlbefindlichkeit nicht erkennt, wie man lernen muss, um im globalisierten Wettbewerb bestehen zu können? Danke für Ihre Aufmerksamkeit! 36