JKU Tag der Mathematik 2011

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1 Institut für Johannes Kepler Universität Linz, Österreich JKU Tag der Mathematik 2011

2 Rechnen n - Elemente von Z n als Restklassen Motivation: Verwendung in kryptographischen Protokollen (RSA). Definition von Z n Sei n N. Für jedes a Z definieren wir die Restklasse von a n durch [a] n := {a + t n t Z} = {b Z n teilt b a}.

3 Für a, b Z definieren wir [a] n n [b] n := [a + b] n [a] n n [b] n := [a b] n. Weiters: Z n := {[a] n a Z}. Z n ;, ist ein kommutativer Ring mit Eins.

4 Eine Rechnung in Z n - Elemente als Restklassen Eine Rechung in Z 15 Aufgabe: Berechne ([5] ) 15 [9] 15. Lösung I ([5] [8] 15 ) 15 [9] 15 = [40] [9] 15 = [10] [9] 15 = [19] 15 = [4] 15.

5 Eine Rechnung in Z n - Elemente als Restklassen Lösung II Wir rechnen in Z 15. Es gilt (5 8) + 9 = = 49 = 4.

6 Rechnen in Z n - Elemente als Restklassen Bemerkungen zu Lösung II Durch den Satz Wir rechnen in Z 15 bekommen manche Funktionssymbole und Konstanten eine neue Bedeutung: +,,. (Sie bedeuten dann 15, 15, 15.) 1, 2, 3,.... (Sie bedeuten dann [1] 15, [2] 15, [3] 15,....) Die Bedeutung von = bleibt gleich. 2 = 17, da ja [2] 15 = [17] 15. Kein Problem, außer: 3 20 = 18 20, aber

7 Rechnen n - Elemente bleiben Zahlen Definition vom Rechnen n Sei n N, a Z. Wir definieren (a mod n) als den Rest von a bei Division durch n, also a mod n := jenes r {0, 1,...,n 1}, sodass Nun definieren wir Z n := {0, 1,..., n 1} und a n b := (a + b) mod n, a n b := (a b) mod n. a r ein Vielfaches von n ist.

8 Eine Rechnung n - Elemente bleiben Zahlen = (5 8) mod 15 = 40 mod 15 = 10. Noch eine Rechnung 15 (5 15 8) 15 9 = = 4.

9 Rechnen n - Elemente bleiben Zahlen Definition Für a, b Z schreiben wir a n b : n (b a). Die gleiche Rechnung 15 nocheinmal (5 15 8) (5 15 8) = Folglich gilt (5 15 8) 15 9 = 4.

10 Aufgabe aus der Codierungstheorie Finde acht 0/1-Folgen der Länge 6, sodass sich zwei Folgen stets an mindestens 3 Stellen unterscheiden. Lösung aus der Codierungstheorie 1 x x x x x x 6 = 0 1 x x x x x x 6 = 0 0 x x x x x x 6 = 0. Wir rechnen in Z 2.

11 Lösung des Systems x 5 := s, x 6 := t, x 4 = s + t, x 3 := u, x 2 = u + s + t + s = u + t, x 1 = u + t + s + t = u + s.

12 L = u s t u, s, t Z 2.

13 ische, die offen auftreten Ringe: Z n (Kryptologie, Codierungstheorie) Endliche Körper: GF(p n ). Konstruktion als Z p [t]/(a(t)), a(t) irreduzibles Polynom über Z p. Anwendungen: Codierungstheorie, Compact Discs (GF(256)). Verbände: (N, ggt, kgv). Ein Beispiel eines distributiven Verbandes.

14 ische, die versteckt auftreten Mathematica-Output In [1]:= Solve [a * x == 1, x] Out [1]= {{ }} x 1 a R(a)... rationale Funktionen über R. Ein Bruch Stimmt in R(x, y). x 2 y 2 x y = x + y. In R: Für alle x, y R mit x y gilt x2 y 2 x y = x + y.

15 Weitere Einige Beispiele für das Auftreten von n Polynomringe Differentialkörper (symbolisches Integrieren und Summieren) Permutationsgruppen und Pólyasche Abzähltheorie Koordinatenbereiche Geometrien Z[i] in der Zahlentheorie

16 Definition Sei A Menge, n N 0. Eine n-stellige Operation auf A ist eine Funktion f : A n A. Definition Eine ist ein Paar A; f 1, f 2,..., wobei A eine nichtleere Menge ist, und alle f i endlichstellige Operationen auf A sind.

17 Beispiele für zweielementige Einige auf {0, 1} {0, 1};,, : die zweielementige Boolesche. BA {0, 1}; 2, 2 : der zweielementige Boolesche Ring. BR {0, 1}; 2 : die zyklische Gruppe mit 2 Elementen. G {0, 1}; m mit m(x, y, z) = 1, wenn in x, y, z ungerade viele 1 vorkommen, m(x, y, z) = 0 sonst. Mal cev. M

18 Zusammenhänge zwischen diesen Operationen Zusammenhänge x 2 y = (x (y)) ( (y) x), x 2 y = x y. Also BR BA. x y = x 2 y, x y = x 2 y 2 (x 2 y), (x) = 1 + x. Also BA BR. Wegen m(x, y, z) = x 2 y 2 z und x 2 y = m(x, 0, y) gilt M G und G M. Es gilt nicht BR G: 0, 1, x, y, 1 + x, 1 + y, x + y, 1 + x + y sind alle zweistelligen Polynomfunktionen von G.

19 Polynomäquivalente Äquivalenz Sei A eine Menge (z.b. {0, 1}). Für zwei A = A; f 1, f 2,... und B = A; g 1, g 2,... sagen wir A B, wenn sich jedes f i durch die g i und die Elemente aus A ausdrücken lässt; A B, wenn A B und B A. A und B heißen dann polynomäquivalent.

20 Klassifizierung von mit 2 Elementen Satz - 2-elementiger - Konsequenz aus Satz von E. Post, 1941 Jede {0, 1}; f 1, f 2,... ist polynomäquivalent zu einer der folgenden 7 : {0, 1};, {0, 1};, {0, 1};, {0, 1};,, {0, 1};,,, {0, 1};, {0, 1}; 2. Nachsatz Auch wenn die zwölf 37-stellige Operationen oder unendlich viele Operationen hat.

21 mit 3 Elementen Versuch der 3-elementiger Jede {0, 1, 2}; f 1, f 2,... ist polynomäquivalent zu einer der folgenden x : Satz [Ágoston et al., 1986] x = 2 ℵ 0 = R. Beleidigte Bemerkung Aber die meisten sind wahrscheinlich ohnedies hässlich.

22 Modifizierte Frage Frage (R. McKenzie (2002), P. Idziak (1999)) Sei A eine endliche Menge. paarweise polynom-inäquivalente A; f 1, f 2,... gibt es, für die sich aus den Operationen f 1, f 2,... zumindest eine zweistellige Operation bauen lässt, sodass A; eine Gruppe ist? Teilantworten Endlich viele, wenn A prim ist. Genau ℵ 0 = N viele, wenn A = p 2 mit p prim ist [Bulatov, 2002]. Endlich viele, wenn A = p q ist, und p q. ([ and Mayr, 2007]) Endlich viele, wenn A = p 1 p 2 p k mit lauter verschiedenen p i ist ([Mayr, 2008])

23 Eine Darstellung der Polynomfunktionen Beispiel: C = Pol( Z 2 ; + ) c(0) = 0 c(x + y) = c(x) + c(y). Welche 3-stelligen Funktionen lassen sich zusammenbauen? 000 {c(000) c C} = {0, 1} 001 {c(001) c C, c(000) = 0} = {0, 1} 010 {c(010) c C, c(000) = c(001) = 0} = {0, 1} 011 {c(011) c C, c(000) = c(001) = c(010) = 0} = {0} 100 {c(100) c C, c(000) = = c(011) = 0} = {0, 1} 101 {c(101) c C, c(000) = = c(100) = 0} = {0} 110 {c(110) c C, c(000) = = c(101) = 0} = {0} 111 {c(111) c C, c(000) = = c(110) = 0} = {0}

24 Ein kombinatorisches Werkzeug Definition 0110 e , hen e achievement, austria e australia. Satz [Higman, 1952] In jeder unendlichen Folge (w i ) i N von Wörtern über dem Alphabet {0, 1} gibt es i, j N mit i < j und w i e w j.

25 mit Gruppenoperation gibt es? Satz [, 2010] Sei A eine endlichen Menge, und sei : A 2 A so, dass A; Gruppe ist. Dann gibt es höchstens ℵ 0 = N viele polynom-inäquivalente A; F mit A; F A;. Bemerkung Jede dieser lässt sich endlich darstellen, auch wenn F unendlich ist.

26 Verallgemeinerungen A; Gruppe A; m mit Mal cev Term. Termäquivalenz. [ et al., 2010]

27 Ágoston, I., Demetrovics, J., and Hannák, L. (1986). On the number of clones containing all constants (a problem of R. McKenzie). In Lectures in universal algebra (Szeged, 1983), volume 43 of Colloq. Math. Soc. János Bolyai, pages North-Holland, Amsterdam., E. (2010). Constantive Mal cev clones on finite sets are finitely related. Proc. Amer. Math. Soc., 138(10): , E. and Mayr, P. (2007). Polynomial clones on groups of order pq. Acta Math. Hungar., 114(3): , E., Mayr, P., and McKenzie, R. (2010). On the number of finite algebraic structures.

28 submitted. Bulatov, A. A. (2002). Polynomial clones containing the Mal tsev operation of the groups Z p 2 and Z p Z p. Mult.-Valued Log., 8(2): Higman, G. (1952). Ordering by divisibility in abstract algebras. Proc. London Math. Soc. (3), 2: Mayr, P. (2008). Polynomial clones on squarefree groups. Internat. J. Comput., 18(4):

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