Kooperative Spiele mit Drohungen

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1 Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II Institut für Mathematik Kooperative Spiele mit Drohungen Hausarbeit Creative Commons Namensnennung-Nicht-kommerziell-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Unported Lizenz. Proseminar Fixpunkte und ihre Anwendung auf Spieltheorie und Optimierung, Semester WS Dozent Professor Dr. Bernd Kummer von Alessandro Masacci Berlin, den 7. Februar 010

2 1 Einleitung In seiner in den Fünfzigerjahren veröffentlichten Promotionsarbeit hat John Forbes Nash Jr. festgestellt, dass Nullsummenspiele kein ausreichendes Modell für reale Verhandlungssituationen sind und die Grundlagen für das Rechnen mit kooperativen Spielen geschaffen. Wir wollen uns in diesem Text ein wenig mit seinen Ideen befassen. Dieser Text behandelt die kooperativen -Personenspiele mit Drohungen. Im zweiten Kapitel betrachten wir kooperative Spiele ohne Drohungen. Wir führen die Axiome von Nash ein und zeigen, dass unter dieser Axiomatik zu jeder Verhandlungssituation immer eine eindeutige Verhandlungslösung existiert. Im dritten Kapitel betrachten wir kooperative -Personenspiele mit Drohungen. Wir erläutern diese anhand eines Beispiels und geben eine schematische Lösungsmethode an. Zum Abschluss berechnen wir noch ein Beispielproblem. -Personen-Spiele mit Kooperation Ein -Personen-Spiel mit Kooperation unterscheidet sich von einem Nullsummenspiel darin, dass der Vorteil des einen Spielers nicht unbedingt ein Nachteil für den anderen bedeutet. Wir können ein solches Spiel mit Hilfe einer m n-bimatrix M beschreiben, also einer Matrix deren Einträge jeweils Tupel (a ij,b ij ) sind. Wir bezeichnen die Spieler im Folgenden mit I und II. I kann sich also zwischen m Strategien entscheiden und II zwischen n, das Tupel (a i,j,b i,j ) beschreibt den Spielausgang von I beziehungsweise II, wenn sich I für seine i-te Strategie entscheidet und II für seine j-te. Das Anwenden einer gemischten Strategie entspricht dann der Multiplikation der Matrix mit zwei Zeilenvektoren x, y der Länge 1 mit nichtnegativen Einträgen, xmy..1 Definition EinPaar gemischter Strategien (x,y )fürdasbimatrixspiel (A,B) befindet sich im Gleichgewicht, falls für alle anderen Strategien (x, y) gilt: und xay x Ay x Ay x Ay. Jedes Bimatrixspiel besitzt mindestens einen Gleichgewichtspunkt, wir wollen dies aber unbewiesen lassen. 1

3 Ob Kooperation erlaubt ist oder nicht, wird durch die Regeln des Spiels bestimmt, wir wollen hier Spiele mit Kooperation betrachten.. Verhandlungslösung Kooperation bedeutet, dass verbindliche Absprachen getroffen werden können. Die Spieler können sich also gemeinsam für eine Strategie entscheiden und darauf einigen, einen möglichen Mehrgewinn untereinander aufzuteilen. Sei K die Menge der möglichen Versuchsausgänge. Nach Wahl zweier Nutzenfunktionen a 1,a für I und II können wir das Bild von K im R betrachten. Dies wird eine kompakte und konvexe Teilmenge S R wegen der Eigenschaften der Nutzenfunktion. Ist nun ein -Personen-Spiel Γ gegeben, können wir die Menge der möglichen Ergebnisse S(Γ) R betrachten, wobei { (u,v) R S(Γ) = } I und II können (u,v) durch Zusammenarbeit erreichen ist. Es ist nicht vorhersehbar, wieviel ein Spieler bereit ist, dem anderen von seinem Nutzen abzugeben, aber jeder der Spieler kann einen Minimalnutzen für sich beanspruchen, der durch den Mini-Max-Wert des Spiels für den jeweiligen Spieler gegeben ist. u = maxminxay x y und v = maxminxby, y x wobei A und B durch die a ij beziehungsweise b ij gegeben sind und x,y Elemente der Menge der gemischten Strategien sind. Der Punkt (u,v ) heißt Garantiepunkt oder Status Quo des Spiels..3 Definitionen Die Menge S := { (u,v ) R,S R S konvex, kompakt } nennen wir Menge der Verhandlungssituationen.

4 Eine Verhandlungslösung ist eine Abbildung ϕ : S R, die jeder Verhandlungssituation (x, S) den Nutzen für die Spieler (ū, v) zuordnet. ϕ sollte dabei einige Eigenschaften erfüllen, die erstmals von Nash formuliert wurden: 1) individuelle Rationalität: ) Durchführbarkeit: 3) Pareto-Optimalität: (ū, v) (u,v ) (ū, v) S Wenn für (u,v) S gilt (u,v) (ū, v), dann folgt (u,v) = (ū, v) 4) Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen: Wenn (ū, v) T S und (ū, v) = ϕ((u,v ),S) gilt, dann folgt (ū, v) = ϕ((u,v ),T) 5) Unabhängigkeit von linearen Transformationen: Sei T die Menge aller u = α 1 u + β 1,v = α v + β mit (u,v) S. Ist nun (ū, v) = ϕ((u,v ),S), dann folgt (α 1 ū+β 1,α v +β ) = ϕ((α 1 u +β 1,α v +β ),T) 6) Symmetrie: Wenn S symmetrisch ist, das heißt (u,v) S (v,u) S und der Garantiepunkt erfüllt u = v, dann ist mit (ū, v) = ϕ((u,v ),S) auch ū = v Bemerkung Die ersten drei Axiome sollten für jede sinnvolle Verhandlungslösung gelten, die anderen sind je nach Art des Problems sinnvoll oder auch nicht. Symmetrie macht beispielsweise nur dann Sinn, wenn beide Verhandlungsparteien gleichberechtigt sind. Falls die sechs Axiome passend zur Situation akzeptiert werden können, sind keine weiteren Axiome notwendig, denn es gilt folgender Satz..4 Satz Es existiert genau eine auf allen Verhandlungssituationen (x, S) definierte Verhandlungslösung ϕ, die die Axiome 1) bis 6) erfüllt. 3

5 Für den Beweis benötigen wir folgende Lemmata..5 Lemma Falls Punkte (u,v) S existieren, mit u > u und v > v, dann gibt es genau einen Punkt (ū, v), der die Funktion g(u,v) = (u u )(v v ) auf der Teilmenge {(u,v) S u u } S maximiert. Beweis Nach Voraussetzung ist S eine kompakte Menge. Da g stetig ist, muss in S ein Maximum existieren. Dieses Maximum M muss nach Voraussetzung positiv sein. Dann nehmen wir an, dass es zwei Punkte (u,v ) und (u,v ) gibt, welche g(u,v) maximieren. Da M > 0 ist, kann nicht u = u sein, dies würde implizieren, dass v = v ist. Wir nehmen an, dass u < u sei. Also ist v > v. Da S konvex ist, liegt der Punkt (û,ˆv) in S, wobei û = (u +u ),ˆv = (v +v ) ist. Nun folgt g(û,ˆv) = (u u )+(u u ) = (u u )(v v ) (v v )+(v v ) + (u u )(v v ) + (u u )(v v ). 4 Die ersten beiden Terme sind jeweils gleich M. Der dritte Term ist positiv. Das heißt aber, dass g(û,ˆv) > M ist. Dies ist ein Widerspruch zur Maximalität von M, daher ist der Punkt (ū, v), der g maximiert, eindeutig..6 Lemma Seien S, (u,v ) und (ū, v) wie im vorigen Lemma. Sei weiterhin h(u,v) = ( v v )u+(ū u )v. Wenn (u,v) S ist, gilt die Ungleichung h(u,v) h(ū, v). 4

6 Beweis Wir nehmen an, dass (u,v) S ist mit h(u,v) > h(ū, v). Sei 0 < ε < 1. Mit der Konvexität von S ist (u,v ) S, wobei u = ū + ε(u ū) und v = v + ε(v v). Mit der Linearität von h ist h(u ū,v v) > 0. Dann folgt g ( u,v ) = (ū, v)+εh(u ū,v v)+ε (u ū)(v v). Wenn wir ε gegen 0 laufen lassen, wird der letzte Term vernachlässigbar. Dies bedeutet, dass g(u,v ) > g(ū, v) ist. Dies ist aber ein Widerspruch zur Maximalität von g(ū, v). Bemerkung Dieses Lemma gibt eine Schranke für die Menge S an, genauer gilt, dass S vollständig unterhalb beziehungsweise auf derjenigen Geraden liegt, welche durch (ū, v) geht und die negative Steigung der Geraden durch (ū, v) und (u,v ) hat. Nun können wir den vorigen Satz beweisen.dabei zeigen wir, dass unter den Voraussetzungen des vorletzten Lemmas der Punkt (ū, v), welcher g(u, v) maximiert, die Lösung des Verhandlungsproblems sein muss. Beweis des Satzes Wir nehmen an, dass die Voraussetzungen des vorletzten Lemmas erfüllt sind. Dann ist der Punkt (ū, v), der g(u,v) maximiert, wohldefiniert. Wir zeigen, dass der Punkt die sechs Axiome von Nash erfüllt. Die Axiome 1) und ) sind nach Konstruktion von(ū, v) offensichtlich erfüllt. Axiom 3) gilt ebenfalls, denn falls (u,v) (ū, v) gilt, aber (u,v) (ū, v), dann ist auch g(u,v) > g(ū, v). (ū, v) erfüllt Axiom 4), denn falls der Punkt g(u,v) über S maximiert, dann auch über einer kleineren Menge T. 5

7 Axiom 5) ist ebenfalls erfüllt, denn betrachten wir u = α 1 u + β 1 und v = α v +β, dann gilt g ( u,v ) = [ u (α 1 u +β 1 ) ][ v (α v +β ) ] = α 1 α g(u,v) und wenn (ū, v) die Funktion g(u,v) maximiert, dann folgt hieraus, dass (ū, v ) die Funktion g (u,v ) maximiert. Schließlich erfüllt (ū, v) Axiom 6). Angenommen, S sei im Sinne von Axiom 6) symmetrisch und es gelte u = v. Dann ist ( v,ū) S. Aber es ist klar, dass g(ū, v) = g( v,ū). Da (ū, v) der eindeutige Punkt ist, welcher g(u,v) maximiert, folgt, dass (ū, v) = ( v,ū) ist, das heißt ū = v. Wir haben gezeigt, dass (ū, v) S die Axiome 1) bis 6) erfüllt. Es bleibt zu zeigen, dass die Zuordnung ((u,v ),S) (ū, v) die einzige ist, die diese Axiome erfüllt. Wir definieren (ū, v) wie oben und betrachten die Menge U = {(u,v) h(u,v) h(ū, v)}. v U S U u Abbildung 1: Eigene Skizze gemäß [1], 010 Nach dem zweiten Lemma ist S U. Wir erhalten die Menge T aus U via Lineartransformation. u = u u ū u, v = v v v v. 6

8 Es ist offensichtlich, dass T die Menge {(u,v ) u +v } ist und es gilt u = v = 0. Wegen der Symmetrie von T muss dann die Lösung auf der Geraden u = v liegen. Nach Axiom 3) muss die Lösung (1,1) sein. Das Invertieren der Transformation aus dem ersten Lemma führt zu der Einsicht, dass (ū, v) die Lösung von (U,u,v ). Andererseits ist (ū, v) in S, muss daher also auch Lösung von (S,u,v ) sein. Falls die Voraussetzungen des ersten Lemmas nicht erfüllt sind, wird das Verhandlungsproblem sehr viel einfacher, da dann in der Menge S keine Punkte (u,v) mit u > u, v > v liegen. Wegen der Konvexität von S gilt im Falle der Existenz von (u,v) S mit u > u und v = v, dass keine (u,v) S existieren, für welche v > v gilt. Dann können wir für (ū, v) denjenigen Punkt wählen, der u maximiert, mit der Bedingung v = v. Im Falle v > v wählen wir analog den Punkt, der v maximiert mit der Bedingung u = u. Diese beiden Lösungen erfüllen die sechs Axiome und für die Eindeutigkeit genügen bereits die ersten drei Axiome. Bemerkung Der letzte Satz zeigt also, dass Nashs Axiome erfüllt werden könen und gibt Nashs Lösung sogar explizit an. Hat die Menge S einen glatten Rand, dann ist die Gerade, die durch h(u, v) =konstant entsteht tangential am Rand von S. Die Steigung in einem Punkt des Randes von S gibt immer die Rate an, mit der Nutzen von einem Spieler zum anderen übertragen werden kann. Nashs Modell zeigt uns, dass zusätzlicher Nutzen, der durch Kooperation entstanden ist, zwischen den Spielern aufgeteilt werden muss und zwar passend zu der Rate, in welcher der Nutzen transferiert werden kann. Im allgemeinen ist der Nutzen nicht linear übertragbar und es kann nur einen Punkt geben, in dem eine Übertragung überhaupt möglich ist (siehe Abbildung 1). Ist der Nutzen jedoch linear übertragbar, vereinfacht sich das Problem massiv. Wir können in diesem Fall durch Reskalierung annehmen, das Nutzen mit der Rate 1:1 übertragbar ist. Für S folgt dann, dass alle (u,v) S auf der durch u + v = k definierten Geraden oder darunter liegen, wobei k der maximale Nutzen ist, den beide Spieler durch Kooperation erreichen können. 7

9 v S u Abbildung : Eigene Skizze gemäß [1], 010 Die zugehörige Nash-Lösung ist dann (ū, v) mit ū = u v +k und v = v u +k und es gilt offensichtlich ū + v = k und ū v = u v. Die relative Position der Spieler zueinander bleibt also erhalten, während sich der Nutzen für beide soweit wie möglich verbessert hat. 3 Kooperative Spiele mit Drohungen Nash s Verhandlungsmodell kann dahingehend kritisiert werden, dass es keine möglichen Drohungen der Spieler in Betracht zieht. Dieses Problem wird durch folgendes Beispiel illustriert. 3.1 Beispiel Ein Arbeitnehmer hat die Wahl zu arbeiten, wobei er für einen geringeren Lohn arbeiten muss, während der Konzern einen Gewinn von 10 erwirtschaftet. Die Alternative ist zu verhungern, was mit einem Nutzen von -500 bewertet wird und für den Arbeitgeber einen Gewinn von 0 bedeutet. Wir erhalten also beim ersten Ereignis die Nutzen (0, 10) und beim zweiten die Nutzen ( 500, 0). Der Arbeitgeber kann andererseits entscheiden, einen Anteil seiner 10 Gewinn an den Arbeitnehmer abzugeben, die Menge S hat also die Form S = { (u,v) R : u+v = 10 } und die Mini-Max-Lösung wäre u = v = 0, daher würde die Nash-Lösung das Ergebnis ū = v = 5 liefern. 8

10 Dieses Ergebnis lässt vollkommen außer acht, dass der Arbeitgeber in einer viel stärkeren Position ist. Der Arbeitnehmer kann nur dadurch verhindern, dass der Arbeitgeber 10 Gewinn macht, indem er mit Arbeitsniederlegung droht. Diese Drohung ist wegen der negativen Folgen für ihn aber unglaubwürdig, der Arbeiter wird eher den geringeren Lohn akzeptieren. 3. Lösungsschema Für ein kooperatives -Personen-Spiel mit Drohungen schlägt Nash folgendes Schema vor: 1) I verkündet seine (Drohungs-)Strategie x, ) II verkündet seine (Drohungs-)Strategie y, wobei er die Strategie von I ignoriert und 3) die Spieler verhandeln. Kommen sie zu einer Einigung, wird diese gespielt, andernfalls sind die Spieler gezwungen, ihre Drohstrategien zu spielen, ein Spieler kann seine Drohung also nicht zurückziehen. Die weitere Vorgehensweise unterscheidet sich nun vom Spiel ohne Drohungen darin, dass der Mini-Max-Wert (u,v ) nun durch einen Droh-Wert (xay,xby ) ersetzt wird, wobei A und B die gleichen Matrizen wie bei der Berechnung der Mini-Max-Werte sind. Die Axiome 1) bis 5) werden weiterhin angewendet und man erhält eine Lösung (ū, v), nämlich das Tupel, welches die Funktion g(u,v) = (u xay )(v xby ) maximiert (da für Lösungen ja u xay gelten sollte). Wir wollen die Funktionsweise dieses Schemas anhand einer Skizze verdeutlichen. SeiS einekompaktekonvexemengeundbeschreibes 0 denpareto-optimalen Rand von S, also die Punkte in S, die die Pareto-Optimalität erfüllen. Von jedem Punkt in S 0, der eine Tangente besitzt, geht eine Gerade aus, nämlich diejenige, welche genau die negative Steigung der Tangente besitzt. Von Punkten ohne eindeutige Tangente (zum Beispiel Punkt C in der Zeichnung) gehen zwei Geraden aus, diejenige, deren Steigung der negative linksseitige Grenzwert der Tangentensteigungen ist und diejenige deren Steigung der negative rechtsseitige Grenzwert der Tangentensteigungen ist. Die so konstruierten Geraden schneiden sich wegen Konvexität der Menge S nur außerhalb der Menge. Liegt der Drohwert nun auf einer der Geraden (Punkt P), dann ist die zugehörige Nash-Lösung der Schnittpunkt dieser Geraden mit S 0 (Punkt Q). Liegt der Punkt hingegen nicht auf einer Geraden (Punkt R), dann muss er jedoch zwischen zwei Geraden liegen, die vom gleichen Punkt auf S 0 ausgehen (Punkt C). Die Verhandlungslösung ist dann genau dieser Punkt auf S 0. 9

11 v A C Q S 0 R S P B 0 u Abbildung 3: Eigene Skizze gemäß [1], 010 I hat dann das Ziel, durch Wahl seiner Drohstrategie einen Punkt auf der niedrigst-möglichen Geraden zu erreichen, während II einen Punkt auf der höchst-möglichen Gerade zum Ziel hat. Für Spiele mit Drohungen können wir Gleichgewichtspaare von Drohstrategien definieren analog zu den bisher bekannten Gleichgewichtspaaren. 3.3 Satz Jedes Bimatrixspiel hat ein Gleichgewichtspaar von Drohstrategien (x, y). Die Ziele beider Spieler stehen zueinander in direktem Gegensatz. Daher gilt auch der folgende Satz. 3.4 Satz Sind (x,y ) und (x,y ) jeweils Gleichgewichtspaare von Drohstrategien, dann auch (x,y ) und (x,y ). Weiterhin ist die Auszahlung nach Nash für (x,y ) und (x,y ) die gleiche. Da alle Gleichgewichtspunkte die gleiche Auszahlung haben, sprechen wir nicht über Gleichgewichtspunkte, sondern über optimale Drohungsstrategien. 10

12 Die Berechnung optimaler Drohstrategien kann im allgemeinen sehr kompliziert werden, da die Verhandlungslösung nach Nash nicht nur vom Droh- Wert (u xay,v xby ) abhängt, sondern auch von der Form der Menge aller Pareto-optimalen Punkte. Da die Menge S nur die Bedingung hat, konvex zu sein, lässt sich keine allgemeine Methode erkennen. In einigen Spezialfällen wird das Problem jedoch einfacher. Betrachten wir den Fall, in dem Nutzen nur linear übertragbar ist, das heißt, I kann II n Gewinneinheiten übertragen, indem er selbst auf k n Gewinneinheiten verzichtet (Übertragungsrate 1:k). Man kann dann die Nutzen so skalieren, dass der Nutzen mit einer Rate von 1:1 übertragen werden kann. Bezeichnen (x, y) die Drohstrategie, dann wird der Wert der Verhandlungslösung nach Nash und ū = xay xby +k v = xby xay +k, wobei k der maximale Nutzen ist, den beide Spieler durch Zusammenarbeit erreichen können. I möchte dann also den Wert x(a B)y maximieren, während II diesen Wert minimieren möchte. Die optimale Strategie ist dann also die gleiche, wie die für das Nullsummenspiel mit der Matrix (A B). 3.5 Beispiel Wir betrachten das Bimatrixspiel ( (1,4) ( 4 3, 4) ). ( 3, 1) (4, 1) Die Menge S ist dann die konvexe Hülle der vier Punkte in der Matrix. Der Mini-Max-Wert liegt für beide Spieler bei 0 und kann durch die gemischten Strategien ( 3 4, 1 ( 4) und 1 (, 1 ) erreicht werden. Die Lösungnach Nash ist dann 5, 5 ) (die Rechnung wird dadurch erleichtert, dass S fast symmetrisch ist). Bei dieser Lösung wird allerdings nicht beachtet, dass II in der besseren Drohungspositon ist. Betrachten wir also das Problem mit Drohungen. Wir sehen, dass auf dem Pareto-Rand von S der Nutzen linear mit Rate 1:1 übertragen werden kann, wir können also das Nullsummenspiel mit Matrix (A B) betrachten: ( ) 3 8 A B =

13 Dieses Spiel hat einen Sattelpunkt bei und der maximale totale Nutzen für beide Spieler ist 5. Als Lösung des Problems mit Drohung erhalten wir dann ( 3, 7 ), die bessere Position von II spiegelt sich in dieser Lösung also wieder. v S 0 u Abbildung 4: Eigene Skizze gemäß [1], 010 1

14 Literatur [1] Guillermo Owen. Game Theory - Second Edition. ACADEMIC PRESS, New York, 198. [] John Forbes Nash Jr. The bargaining problem. Econometrica, The Econometric Society, 18:155 16, [3] Karl Heinz Borgwardt. Optimierung, Operations Research, Spieltheorie - Mathematische Grundlagen. Birkhäuser, Basel, Bonn, Berlin,