Hilfestellungen zu Relationen, Automatenübergänge und Hüllen

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1 Hilfestellungen zu Relationen, Automatenübergänge und Hüllen Erik Fäßler December 18, Relationen Die gültigen Übergänge eines endlichen Automaten - oder Finite State Automaton, FSA - werden formal über Relationen dargestellt. Deshalb werden zunächst die Grundbegriffe von Relationen erläutert. Mit Relation ist im Allgemeinen eine Beziehung zwischen den Elementen einer Menge gemeint. Das heißt, um eine Relation zu erhalten wird stets benötigt: 1. eine Menge, über die die Relation definiert ist, 2. die Definition der Relation selbst. Wir beschränken uns hier auf binäre Relationen. Das heißt, dass immer genau zwei Elemente der Grundmenge miteinander in Relation gesetzt werden. Ein Beispiel dafür ist die Verwandschaftsrelation. Wir gehen erstmal nur von der direkten Verwandtschaft aus. Es sei folgende Menge von Personen P gegeben: P = {Maria, P eter, Harald, Matthias, Kerstin, Diego, Sarah} Die Relation V bezeichne nun die direkte V erwandtschaftsrelation zwischen Elementen der Menge P (oder in Prosa : V bezeiche, welche oben genannten Personen ohne eine Zwischenperson miteinander verwandt sind - also Eltern und Kinder). Formal ist die Relation V eine Menge von Paaren über P : V P P P P bezeichnet hierbei das kartesische Produkt von P und P. Das sind gerade alle Paare über P : (Maria, Maria) (Maria, P eter) (M aria, Harald)... (P eter, Maria) (P eter, P eter) 1

2 (P eter, Harald) (P eter, M atthias)... Wir geben nun eine konkrete Verwandtsschaftsrelation explizit an: V = {(P eter, P eter), (Matthias, Matthias), (Maria, Maria), (Diego, Diego), } (Kerstin, Kerstin), (Harald, Harald), (Sarah, Sarah), (P eter, M atthias), (M aria, Diego), (M atthias, Kerstin), (Diego, Kerstin), (Kerstin, Harald), (M atthias, P eter), (Diego, M aria), (Kerstin, M atthias), (Kerstin, Diego), (Harald, Kerstin) (Farbkodierung: Reflexive Paare, Normale Paare, Paare, die sich aus der Symmetrie ergeben). Die Menge V ist offensichtlich eine Menge von Paaren, wie beispielsweise (P eter, Matthias). Ein solches Paar drückt aus, dass die erste Person - hier P eter - mit der zweiten Person - Matthias - in Relation steht. In unserem Beispiel ist nun also P eter mit M atthias verwandt (P eter könnte etwa M atthias Vater sein). Formal ergibt sich nun aber in keinster Weise, dass auch Matthias mit P eter verwandt ist! Um das auszudrücken, muss zusätzlich das Paar (M atthias, P eter) in die Relation aufgenommen werden. Genau das wurde oben auch getan. Außerdem ist jede Person mit sich selbt verwandt. Um das auszudrücken, wurden die sogenannten reflexiven Paare in die Relation hinzugefügt, z.b. (P eter, P eter). Die Relation V hat die Eigenschaften der Reflexivität und der Symmetrie. Das bedeutet, dass jeder Mensch auch mit sich selbst verwandt ist (reflexiv) und dass die Verwandtschaft immer in beide Richtungen gilt (symmetrisch). Formal werden diese Eigenschaften so ausgedrückt: 1. Reflexivität: x P : (x, x) V 2. Symmetrie: x, y P : (x, y) V (y, x) V Dabei ist (x, y) V zu lesen als x und y stehen in der Relation V. Es gibt eine alternative, kürzere Schreibweise, die genau das gleiche bedeutet (d.h. auch die Reihenfolge von x und y ist wichtig): xv y. So könnte man den obigen Punkt 2 - die Symmetrie - auch so ausdrücken: x, y P : xv y yv x ( Für alle Personen x und y gilt: Ist x mit y verwandt, dann auch y mit x ). Sehen wir uns einmal graphisch an, wie diese Relation aussieht: 2

3 Peter Matthias Kerstin Harald Maria Diego Sarah Man beachte, dass nur diejenigen Personen verwandt sind, zwischen denen explizit eine Kante in obiger Grafik gezogen wurde. Das heißt, P eter und Kerstin sind nicht direkt verwandt. Mit Sarah ist außerdem niemand verwandt (außer sie mit sich selbst). Wir wollen die direkte Verwandtschaftsrelation als Grundlage für eine allgemeine Verwandtschaftsrelation verwenden. Diese Relation soll auch indirekte Verwandtschaftsbeziehungen beinhalten, so dass beispielsweise P eter und Kerstin als verwandt anerkannt würden. Das Ziehen von Verbindungen über Zwischenetappen nennt man Transitivität. Formal: x, y, z P : xv y yv z xv z ( Für alle Personen x, y und z gilt: Ist x mit y verwandt und y mit z, dann ist auch x mit z verwandt ). Um die allgemeine Verwandtschaftsrelation auf Grundlage der direkten Verwandtschaftsrelation zu erhalten, bilden wir die die transitive Hülle. Das bedeutet, dass nach obiger Vorschrift neue Paare gebildet werden, die man erhält, wenn man über eine Zwischenperson geht. Beispiel: P eter ist mit M atthias verwandt, der wiederrum mit Kerstin verwandt ist (siehe obige Grafik). Nun wird auf Grund der Transitivität das Paar (P eter, Kerstin) gebildet. Genau so wird mit allen anderen Personen verfahren. Zuletzt fügen wir alle neuen Paare der Relation V hinzu: V = {(P eter, P eter), (Matthias, Matthias), (Maria, Maria), (Diego, Diego), } (Kerstin, Kerstin), (Harald, Harald), (Sarah, Sarah), (P eter, M atthias), (M aria, Diego), (M atthias, Kerstin), (Diego, Kerstin), (Kerstin, Harald), (M atthias, P eter), (Diego, M aria), (Kerstin, M atthias), (Kerstin, Diego), (Harald, Kerstin) (P eter, Kerstin), (M aria, Kerstin), (M atthias, Harald), (Diego, Harald) (Kerstin, P eter), (Kerstin, M aria), (Harald, M atthias), (Harald, Diego) (Neue transitive Paare, durch Symmetrie hinzugefügte Paare). Dabei wurde die Symmetrie nicht verletzt, weil obiges Prinzip natürlich auch anders herum funktioniert - Kerstin ist ja auch mit M atthias verwandt, der seinerseits mit P eter verwandt ist. Die transitive Hülle zu bilden bedeutet nun, diesen Schritt so oft zu wiederholen, bis keine neuen Paar hinzu kommen. Durch die neuen Paare ergeben sich nun aber auch noch neue transitive Verbindungen. P eter ist nun mit Kerstin 3

4 verwandt, die wiederrum mit Harald verwand ist. Es folgt durch die Transitivität, dass auch P eter und Harald verwandt sind. Mit Maria und Harald verhält es sich analog (genauso). Auch diese Paare werden anschließend der Relation V hinzugefügt. Die transitive Hülle sieht also so aus: V = {(P eter, P eter), (Matthias, Matthias), (Maria, Maria), (Diego, Diego), (Kerstin, Kerstin), (Harald, Harald), (Sarah, Sarah), (P eter, M atthias), (M aria, Diego), (M atthias, Kerstin), (Diego, Kerstin), (Kerstin, Harald), (M atthias, P eter), (Diego, M aria), (Kerstin, M atthias), (Kerstin, Diego), (Harald, Kerstin) (P eter, Kerstin), (M aria, Kerstin), (M atthias, Harald), (Diego, Harald) (Kerstin, P eter), (Kerstin, M aria), (Harald, M atthias), (Harald, Diego) (P eter, Harald), (M aria, Harald) (Harald, P eter), (Harald, Maria)} Konsequenterweise müssen im Relationsgraphen nun alle transitiven Kanten hinzugefügt werden. In der Praxis wird das oft ausgelassen, weil es unübersichtlich ist und für Menschen zumeist überflüssig (ähnlich übrigens wie die Kanten von jeder Person auf sich selbst, die gar nicht erst eingezeichnet wurden - da aber jede Person mit sich selbst verwandt ist, müsste das eigtl. geschehen). Das sähe so aus: Peter Matthias Kerstin Harald Maria Diego Sarah 2 Übergänge in endlichen Automaten In endlichen Automaten gibt es auch eine Art Verwandtschaftsrelation. Nämlich die Verwandtschaft zweier Konfigurationen. Eine Konfiguration ist ein Paar aus einem Zustand des Automaten und dem (Rest-)Wort, das noch abzuarbeiten ist. Es sei folgender Beispielautomat gegeben: 4

5 a 2 a-z 3 1 r a-z a-z a-z Dieser Automat akzeptiert alle Wörter, die mit a beginnen und zwei Buchstaben lang sind und außerdem alle Wörter, die mit r beginnen und vier Buchstaben lang sind. Als Beispielwort diene raus. Dann ist die Anfangskonfiguration (1, raus). Der einzige mögliche Folgezustand ist 4, weil das Wort mit r anfängt. Das heißt, die nächste Konfiguration ist (4, aus). Der erste Buchstabe wurde durch Traversieren ( abgehen ) Kante zwischen den Zuständen 1 und 4 vom Band gelesen. Wir gehen nun in Zustand 5 und landen in der Konfiguration (5, us). Dann (6, s) und schließlich (7, ɛ). Da Zustand 7 ein akzeptierender Zustand ist, ist diese letzte Konfiguration eine akzeptierende Endkonfiguration. Folgende Konfigurationen sind bei der Abarbeitung des Wortes raus aufgetaucht: (1, raus) (4, aus) (5, us) (6, s) (7, ɛ) Je zwei aufeinanderfolgende dieser Konfigurationen stehen zueinander in der Relation F SA. Man stellt sich dabei vor, dass ein Lesekopf des Automaten Zeichen für Zeichen einliest und sich dabei der Automatenzustand ändert. Deshalb wird die Relation F SA Bewegungsrelation oder kurz Bewegung genannt. Für oben gilt also (1, raus) F SA (4, aus), (4, aus) F SA (5, us) etc. Die Notation ist genau die von oben, nur statt Peter V Matthias haben wir Konfigurationen und die Bewegungsrelation. Man könnte so wie oben einen Grafen aufzeichnen, indem je zwei Konfigurationen durch eine Kante verbunden werden, wenn sie miteinander in Relation stehen: (1, raus) (4, aus) (5, us) (6, s) (7, ) Die Zustände (1, raus) und (4, aus) stehen in der Relation F SA, weil bei Lesen des Buchstaben r in den Zustand 4 gegangen werden kann. In der Vorlesung sind diese Definitionen und Verfahrensweisen formaler ausgedrückt, siehe Folien 21 und 22. 5

6 3 Hüllen bezüglich der Übergangsrelation Was nun noch fehlt ist ausdrücken zu können, wie Wörter von einem FSA akzeptiert werden. Ein Wort α Σ, wobei Σ das Alphabet des Automaten bezeichne, wird akzeptiert, wenn es eine Reihe von Konfigurationen c 1, c 2... c n gibt, so dass alle Zustände c i, c i+1 miteinander in Relation stehen: c i F SA c i+1. Außerdem muss die letzte Konfiguration, also c n eine akzeptierende Endkonfiguration sein (akzeptierender Zustand und leeres Band). Also muss es eine Reihe von Konfigurationen wie oben im raus-beispiel geben, bei der man im Automaten von Konfiguration zu Konfiguration gehen kann und anschließend mit leerem Band an einem akzeptierenden Zustand angelangt. Es ist natürlich viel zu umständlich, all diese Dinge (und die hier gelieferte Beschreibung ist noch verhältnismäßig ungenau) jedes Mal wieder aufzuschreiben, wenn man von der Akzeptanz eines Wortes sprechen möchte. Deshalb bildet man die transitive Hülle der F SA Relation. Diese wird mit einem zusätzlichen Stern notiert: F SA Wie bei der Verwandtschaft sind dann nicht mehr nur direkte Verwandte in der Relation enthalten, sondern auch direkt entferntere Verwandte bzw. Konfigurationen, die nur über Zwischenschritte erreicht werden können. Der resultierende Graph sieht dann so aus: (1, raus) (4, aus) (5, us) (6, s) (7, ) Die ganz große, oberste Kante ist dabei die, die wir erreichen wollen: Wir können nun direkt, in einem einzelnen Schritt erkennen, dass wir bei Eingabe des Wortes raus irgendwann in der akzeptierenden Endkonfiguration (7, ɛ) landen werden. Haben wir diese transitive Hülle also erst einmal berechnet, müssen wir den Automaten gar nicht mehr Schritt für Schritt ablaufen, sondern können sofort erkennen, ob ein Wort akzeptiert wird oder nicht. Ab nun können wir uns einfach fragen, ob für ein bestimmtes Wort - z.b. rein - die Anfangskonfiguration (1, rein) mit einer akzeptierenden Endkonfiguration - z.b. (7, ɛ) - in der Relation F SA (transitive Hülle von F SA) steht. Falls ja, wird das Wort rein akzeptiert - sonst nicht. 6