Überblick. Zellularautomaten. Geschichte. The Game of Life. The Game of Life Regeln LIFE32.EXE

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1 Einführung in die Medizinische Informatik und Bioinformatik Zellularautomaten Frank Meineke SS 2006 Überblick Geschichte The Game of Life Definition Zellularautomaten Epidemiemodelle Einordung 2 Geschichte The Game of Life Stanislaw Ulam ( ) Idee 1940 John von Neumann ( ) Ist eine selbst reproduzierende Maschine möglich? John Horton Conway (1937) Game of Life (1968) Zellularautomat = Zellularer Automat = Cellular Automaton (CA) Stephen Wolfram (1959) 1 dimensionaler Wolfram Automat (1983) unbegrenztes Spielfeld (Schachbrett) jede Zelle hat 8 Nachbarn jede Zelle ist entweder besetzt (lebt) oder unbesetzt (tot) durch parallele Anwendung von Regeln wird für jede Zelle ein Folgezustand berechnet 3 4 The Game of Life Regeln LIFE32.EXE eine besetzte Zelle mit 0,1,4,5,6,7,8 besetzten Nachbarn wird unbesetzt (Tod durch Vereinsamung oder Überbevölkerung) eine besetzte Zelle mit 2 oder 3 besetzten Nachbarn bleibt besetzt (Überleben) eine unbesetzte Zelle mit 3 besetzten Nachbarn wird besetzt (Geburt)

2 The Game of Life Strukturen Stabile Figuren Oszillierende Figuren Glider The Game of Life Beobachtungen für eine gegebene Anfangskonfiguration kann im Allgemeinen das zukünftige Verhalten nicht ohne Simulation vorhergesagt werden. einige Startzustände können nicht im Laufe der Simulation entstehen. Diese Zustände heißen Garten-Eden Konfigurationen. das Spiel ist (berechnungs-)universell. Der Beweis wird über die Konstruktion und Interaktion logischer Gatter geführt. 7 8 Zellularautomat Definition Ein Zellularautomat ist ein 4-er Tupel (G,E,U,f) : regulärem Gitter G endliche Menge von Elementarzuständen E endliche Menge von Umgebungsindizes U für die gilt: c U, r G : r + c G lokale Übergangsfunktion f : E n E für n := U Gitter Topologie 1 dimensional als lineare Kette 2 dimensional mit den möglichen regulären Formen Dreieck, Quadrat, oder Hexagon 3 dimensional, z.b. Würfelanordnung > 3 dimensional Alias: Raum, Zustandsmenge, Nachbarschaft, Überführungsfunktion 9 10 Gitter Topologie 2D Gitter Randbedingungen keine (unendliches Gitter) periodisch, z.b. Torus-Topologie in 2 Dimensionen oder ein Ring in 1 Dimension; reflektiv, d.h. die Randzelle hat den Zustand des inneren Nachbarn fester Zustand

3 Zustände Umgebung jede Zelle in G befindet sich in einem definierten Zustand, der Element der endlichen Menge von Elementarzuständen ist, z.b. E={ein,aus} Typisch für 2 Dimensionen von Neumann- Umgebung Moore-Umgebung 13 Aber auch möglich: asymmetrisch langreichweitig 14 Lokale Funktion / Regeln Regelanwendung definiert für jede Zelle und alle möglichen Umgebungen den nächsten Zustand, z.b. als Regel Regeln heißen totalistisch, falls sie nur summarisch von den Nachbarzuständen abhängen Regeln sind im Allgemeinen nicht reversibel -eine Konfiguration kann z.b. verschiedene Vorgänger haben probabilistische Regeln erlauben, im Gegensatz zu deterministischen Regeln eine stochastische Auswahl mehrerer Folgezustände für die gleiche Umgebung synchrone Automaten wenden f zu jedem Zeitschritt auf alle Zellen gleichzeitig an asynchrone Automaten wenden f sequentiell auf alle Zellen an: in fester, deterministischer Folge in stochastischer Folge in dynamisch gesteuerter, deterministischer Folge Implementation Grenzfälle Wie realisiert man einen synchronen Automaten? Wie bildet man ein hexagonales Gitter auf eine rechteckige Matrix ab? (Mapping) Wie realisiert man ein unbegrenztes, unendliches Gitter? die Zustandsmenge ist sehr groß, z.b. eine Fließkommazahl in 32 bit Darstellung die lokale Funktion ist eher global das Gitter ist nicht regulär... Zellularautomaten gitterbasierte Modelle

4 Epidemie Terminologie Epidemiemodelle Epidemie: stark gehäuftes, örtlich und zeitlich begrenztes Vorkommen einer Erkrankung Explosivepidemie: schnelles Ansteigen und Abfallen der Zahl der Erkrankten Tardivepidemien: langsames Ansteigen und Abfallen der Zahl der Erkrankten Endemie: regelmäßiges, ständiges Vorkommen einer Erkrankung in einem begrenzten Gebiet (nicht zeitlich begrenzt) Pandemie: Ausbreitung einer Infektionskrankheit über Länder und Kontinente Kermack und McKendrick 1927: kontinuierliches Modell auf Basis von Differentialgleichungssystemen (DGL) Birgit Schönfisch 1993: Diskretes Modell auf Basis von Zellularautomaten (CA) (nicht örtlich beschränkt) Epidemiemodell Epidemiemodell (DGL) Population wird auf drei Gruppen aufgeteilt: S (suceptible) = suszeptibel/empfänglich I (infected) = infiziert/krank R (revovered) = erholt/immun/unempfänglich S I R drei Kompartimente drei Differentialgleichungen, die die Übergänge in Abhängigkeit der Größe der Gruppen und bestimmten Rahmenparametern mit entsprechenden Raten regulieren Immunisierung-/Gesundungsrate: I R Infektions-/Kontaktrate S I Immunitätsverlust-/ Resensibilisierungsrate R S drei Zustände drei parametrisierte Regeln 1. ein suszeptibles Individuum wird infiziert, wenn eine gewisse Infektionsbedingung erfüllt ist 2. ein infiziertes Individuum bleibt a Zeitschritte infektiös (ansteckend) und wird dann immun 3. ein immunes Individuum bleibt g Zeitschritte immun und wird dann wieder suszeptibel 23 Infektionsbedingungen deterministische Infektion: infiziert wird gdw. eine Mindestanzahl von s Nachbarn infiziert ist stochastische Infektion: infiziert wird mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, falls eine Mindestanzahl von Nachbarn infiziert ist Kontaktdistribution: infiziert wird mit einer zur Anzahl von infizierten Nachbarn proportionalen Wahrscheinlichkeit 24 4

5 SIRLIFE.EXE Beobachtungen Aussterben: nach endlichen Zeitschritten sind nur noch suszeptible Zellen vorhanden Persistenz: nach beliebig langer Zeit sind noch infektiöse Zellen zu finden Ausbreitung: werden zu Beginn Infektiöse nur in einem Teilgebiet des Gitters gesetzt, so breiten sie sich über das gesamte Gebiet aus Verhaltensklassen CCA (Cyclic CA) hier: Greenberg-Hastings Modell Aussterben: nur noch suszeptible, Hauptgründe liegen in der Parameterwahl oder der (zu dünnen) Startbesetzung mit Infektiösen Ausbreitung mit Persistenz: wellenförmige, zum Teil spiralige oder kreisförmige Ausbreitungsfronten, quasistationäre Trajektorien Ausbreitung ohne Persistenz: Hexenring, Aussterben der Infizierten Persistenz ohne Ausbreitung: periodisch wiederholende, ortsfeste Strukturen und, auf Torustopologien, auch Glider-ähnliche Strukturen 27 (Herz-)Muskel Waldbrand Epidemie Phase 1 Ruhe gesund susceptible Phase 2 Erregung brennt infected auf letzte Phase folgt jeweils erste Phase modellspezifische Phasenwechsel (CCA: Umgebungsabhängig, G-H Modell: automatisch) und Phasendauer Phase 3 Erholung wächst recovered 28 System-Einordnung Disziplin-Einordnung spezielles diskretes dynamisches System Abbildungsfunktion auf lokale Umgebung beschränkt spezieller Parallelrechner Zellen als Recheneinheiten Eingabe sind die Zustände der Nachbarn berechnet wird jeweils der Folgezustand spezielle formale Sprache Zustände als Alphabet lokale Funktion als spezielle Ableitungsregeln Biologie Domäne: Kohlenstoff Leben Artificial Intelligence (AI bzw. KI) Fokus: Ursache, Problemlösung Artificial Life (AL bzw. KL) Domäne: Leben allgemein, auch synthetisches Leben Fokus: Auswirkung / Verhalten Zustand ist das Gitter, statt des Strings

6 Zellularautomaten Eigenschaften gute mathematische Formalisierbarkeit gute technische Simulierbarkeit gute Visualisierbarkeit gute Anschaulichkeit der Regeln aber Artefakte durch Diskretisierung weniger gut für quantitative Analysen Raum-Zeit Lösungstyp Domäne Abgrenzung Zellularautomat DGL-System Diskret Qualitativ Strukturbildung in Raum und Zeit Kontinuierlich Quantitativ Analyse