Dreifach logarithmischen Platzbedarf gibt es nicht

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1 Dreifach logarithmischen Platzbedarf gibt es nicht Sommerakademie Rot an der Rot AG 1 Wieviel Platz brauchen Algorithmen wirklich? Tobias Zech Physikalisches Institut Uni Freiburg 10. August 2010 Tobias Zech: dreifachlog 1/ 19

2 Ausblick 1 Beispiele 2 Werkzeuge Turingmaschinen für L Pumpen Endlichkeit Periodizität 3 GAP-Theorem Einweg-DTM log n Zweiwege-DTM log log n Tobias Zech: dreifachlog 2/ 19

3 Beispiele Akzeptiert in L L=DSPACE[log n] Zähler DSPACE[log log n] kein Zähler Waren genausoviel Romanistinnen wie Physiker auf der Physiker-Romanisten-Party? {0 n 1 n n 1} Hat jemand gezählt, ob mehr Physiker als Romanistinnen da waren? {bin(1);bin(2);... ;bin(n) n 1} Tobias Zech: dreifachlog 3/ 19

4 Werkzeuge Turingmaschinen für L Turingmaschinen für L=DSPACE[log n] Eingabeband a b a b a b b b a a $ interner Zustand Lesekopf Arbeitsband Schreib-/Lesekopf } {{ } λ Bänder Eingabe: Read-only Verarbeitung: unbeschrieben...,weil... 1 Band DSPACE[n] Tobias Zech: dreifachlog 4/ 19

5 Werkzeuge Pumpen Wiederholung: REG = SPACE(0) REG DFA reguläre Grammatik Finite Automata NFA reguläre Sprachen Zweiwege- NFA λ-nfa Tobias Zech: dreifachlog 5/ 19

6 Werkzeuge Pumpen Pumping Zurück zu endlichen Automaten DFA Länge des Arbeitsbands = konstant/null Pumping-Lemma L=L(DFA) ab Wortlänge n = w existiert Zerlegung: w = x y z für alle Worte sodass aufgepumptes Wort: x y i z L für alle i folgt aus: endlich vielen internen Zustände Tobias Zech: dreifachlog 6/ 19

7 Werkzeuge Pumpen Aufpumpen/Abpumpen Auf der Suche nach dem Abfluss: Dem kürzestem Wort a m m e l p u - p m u p Tobias Zech: dreifachlog 7/ 19

8 Werkzeuge Pumpen Aufpumpen/Abpumpen Auf der Suche nach dem Abfluss: Dem kürzestem Wort Ausnutzen der Pump-Eigenschaft: Verlängern a m m e l p u - p m u p Tobias Zech: dreifachlog 7/ 19

9 Werkzeuge Pumpen Aufpumpen/Abpumpen Auf der Suche nach dem Abfluss: Dem kürzestem Wort Ausnutzen der Pump-Eigenschaft: Verlängern a m m e l p u - p u - p m u p Tobias Zech: dreifachlog 7/ 19

10 Werkzeuge Pumpen Aufpumpen/Abpumpen Auf der Suche nach dem Abfluss: Dem kürzestem Wort a m m e l p u - p m u p Abpumpen: Verkürzen Tobias Zech: dreifachlog 7/ 19

11 Werkzeuge Pumpen Aufpumpen/Abpumpen Auf der Suche nach dem Abfluss: Dem kürzestem Wort a m m e l p u - p m u p Abpumpen: Verkürzen Tobias Zech: dreifachlog 7/ 19

12 Werkzeuge Endlichkeit Periodizität Endlichkeit Periodizität Kernspin Mühle Zelluläre Automaten Spin up /down Ecke / /+ endliches Grid endlich viele System-Zuständen deterministischer Zustandsübergang Periodizität Tobias Zech: dreifachlog 8/ 19

13 Werkzeuge Endlichkeit Periodizität Periodendauer q U start 1 q U 2 q 3 Tobias Zech: dreifachlog 9/ 19

14 Werkzeuge Endlichkeit Periodizität Periodendauer q U start 1 q U 2 q 3 U Tobias Zech: dreifachlog 9/ 19

15 Werkzeuge Endlichkeit Periodizität Periodendauer q U start 1 q U 2 q 3 U Anzahl der System-Zustände beschränkt die maximale Periode Tobias Zech: dreifachlog 9/ 19

16 Einweg-DTM log n DTM mit Einweg-Eingabeband Eingabeband a b a b a b b b a a $ interner Zustand Lesekopf Arbeitsband Schreib-/Lesekopf }{{} λ Lesekopf des Eingabebandes = Einbahnband: Nach rechts (/ Warten) Lesereihnfolge = Zeichenfolge Kein Symbol wird doppelt gelesen Tobias Zech: dreifachlog 10/ 19

17 Einweg-DTM log n Speicher-Konfigurationen Eingabeband a b a b a b b b a a $ interner Zustand Lesekopf Arbeitsband Schreib-/Lesekopf } {{ } λ Speicher-Konfiguration := (interner Zustand, String auf Arbeitsband, Position Schreib-/Lesekopf) Tobias Zech: dreifachlog 11/ 19

18 Einweg-DTM log n Speicher-Konfigurationen Eingabeband a b a b a b b b a a $ interner Zustand Lesekopf Arbeitsband Schreib-/Lesekopf } {{ } λ Speicher-Konfiguration := (interner Zustand, String auf Arbeitsband, Position Schreib-/Lesekopf) System-Zustand := Speicher-Konfiguration + Zeichen auf Eingabeband Tobias Zech: dreifachlog 11/ 19

19 Einweg-DTM log n Platzbedarf Sei L := nicht-reguläre Sprache, erkannt von Einweg-DTM M Gesucht: maximaler Platzbedarf bei gegebener Eingabelänge; λ(n) λ Equivalent: minimale Wortlänge bei gegebenem Platzbedarf; n n(λ) Vorteil: Fester Platz endlich viele System-Zustände minimale Wortlänge = maximale Periodendauer Menge aller System-Zustände Tobias Zech: dreifachlog 12/ 19

20 Einweg-DTM log n Das kürzeste Wort Wähle w, kürzestes Wort mit Platzbedarf genau λ, Länge w w = x 1...x r...x s...x w L Abpumpen x r = x s Speicher bei x r =: c xr = c xs := Speicher bei x s w = x 1...x r x s+1...x w L w < w λ(w ) < λ Tobias Zech: dreifachlog 13/ 19

21 Einweg-DTM log n w = x 1...x r x s+1...x w L λ(w ) < λ Übergang x r w x s+1 mit c xr = c xs x r = x s x r w x s+1 x s w x s+1 System-Zustände von w System-Zustände von w Haltekonfiguration gleich für w und w w hält nicht für Platz < λ gleiches Eingabezeichen bedeutet unterschiedliche Speicher-Konfiguration Tobias Zech: dreifachlog 14/ 19

22 Einweg-DTM log n Zustände zählen x r = x s c xr c xs w =: n Eingabealphabet Speicher-Konfig. mit Platz λ Speicher-Konfiguration mit Platzbedarf genau i := ( interner Zustand, String auf Arbeitsband, Position Schreib-/Lesekopf) q }{{} i k i Speicher-Konfigurationen mit Platzbedarf weniger/gleich λ = λ i=1 q ki i p λ Platzbedarf von Einweg-DTM n p λ λ log n Tobias Zech: dreifachlog 15/ 19

23 Zweiwege-DTM log log n Zweiwege-DTM Eingabeband a b a b a X b b a a $ interner Zustand Lesekopf Arbeitsband Schreib-/Lesekopf Lesekopf des Eingabebands = Rechts/Warten/Links Man sieht sich immer zweimal. Tobias Zech: dreifachlog 16/ 19

24 Zweiwege-DTM log log n Zweiwege-DTM Eingabeband a b a b a X b b a a $ interner Zustand Lesekopf Speicher bei X ( ) Arbeitsband Schreib-/Lesekopf Lesekopf des Eingabebands = Rechts/Warten/Links Man sieht sich immer zweimal. Tobias Zech: dreifachlog 16/ 19

25 Zweiwege-DTM log log n Zweiwege-DTM Eingabeband a b a b a X b b a a $ interner Zustand Lesekopf Speicher bei X ( ) Arbeitsband Schreib-/Lesekopf Lesekopf des Eingabebands = Rechts/Warten/Links Man sieht sich immer zweimal. Tobias Zech: dreifachlog 16/ 19

26 Zweiwege-DTM log log n Zweiwege-DTM Eingabeband a b a b a X b b a a $ Arbeitsband interner Zustand Lesekopf Schreib-/Lesekopf Speicher bei X ( ) ( )... Lesekopf des Eingabebands = Rechts/Warten/Links Man sieht sich immer zweimal. System-Zustand Speicher-Konfig. + Eingabe Tobias Zech: dreifachlog 16/ 19

27 Zweiwege-DTM log log n c := Speicher-Konfiguration Eingabeband p a g c 1 c 4 c 7 c 2 c 5 c 8 c 3 c 6 c 9 c 10 Teilmenge der Menge aller Speicher-Konfigurationen Tobias Zech: dreifachlog 17/ 19

28 Zweiwege-DTM log log n c := Speicher-Konfiguration Eingabeband p a g c 1 c 4 c 7 c 2 c 5 c 8 c 3 c 6 c 9 c 10 Teilmenge der Menge aller Speicher-Konfigurationen Tobias Zech: dreifachlog 17/ 19

29 Zweiwege-DTM log log n c := Speicher-Konfiguration Eingabeband p a g c 1 c 4 c 7 c 2 c 5 c 8 c 3 c 6 c 9 c 10 Teilmenge der Menge aller Speicher-Konfigurationen Tobias Zech: dreifachlog 17/ 19

30 Zweiwege-DTM log log n c := Speicher-Konfiguration Eingabeband p m r e p a g c 1 c 4 c 7 c 1 c 4 c 7 c 2 c 5 c 9 c 10 c 8 c 3 c 6 Teilmenge der Menge aller Speicher-Konfigurationen Tobias Zech: dreifachlog 17/ 19

31 Zweiwege-DTM log log n c := Speicher-Konfiguration Eingabeband p m r e p a g c 1 c 4 c 7 c 1 c 4 c 7 c 2 c 5 c 9 c 10 c 8 c 3 c 6 Teilmenge der Menge aller Speicher-Konfigurationen Tobias Zech: dreifachlog 17/ 19

32 Zweiwege-DTM log log n c := Speicher-Konfiguration Eingabeband p m r e p a g c 1 c 4 c 7 c 1 c 4 c 7 c 2 c 5 c 9 c 10 c 8 c 3 c 6 Teilmenge der Menge aller Speicher-Konfigurationen Tobias Zech: dreifachlog 17/ 19

33 Zweiwege-DTM log log n Gleiches Spiel wie für Einweg-DTM System-Zustände = Mengen von Speicher-Konfig. + Eingabe Wie bisher: Suche kürzestes Wort mit Platzbedarf λ Zeige, dass gleiche System-Zustände nicht auftreten können Finde obere Schranke: n Eingabealphabet Potenzmenge aller Speicher-Konfig. Eingabealphabet 2 pλ λ log log n Tobias Zech: dreifachlog 18/ 19

34 Zweiwege-DTM log log n Rigoros Was bisher geschah... endlich viele System-Zustände Periodizität Einweg-DTM: Speicher-Konfigurationen λ log n Zweiwege-DTM: Mehrere Speicher-Konfig. λ log log n Tobias Zech: dreifachlog 19/ 19

35 Zweiwege-DTM log log n Rigoros Was bisher geschah... endlich viele System-Zustände Periodizität Einweg-DTM: Speicher-Konfigurationen λ log n Zweiwege-DTM: Mehrere Speicher-Konfig. λ log log n...zum Weiterlesen Formaler Zugang über Äquivalenzrelation/klassen: Original, sehr anschaulich: Andrzej Szepietowski, Turing Machines with Sublogarithmic Space, LNCS Band 843, Springer, Kapitel 5.1, (Google Books) R.E. Stearns et al., Hierarchies of Memory Limited Computations, FOCS 65: Proceedings of the 6th Annual Symposium on Switching Circuit Theory and Logical Design (SWCT 1965) Tobias Zech: dreifachlog 19/ 19