1.2 Explizite Problembeschreibung

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1 Kapitel 1: Begriffsbildung Explizite Problembeschreibung Unter Algorithmen wollen wir Problemlöse Rezepte verstehen. Was aber ist ein Problem? Was ist eine Lösung eines Problems? In den Beispielen im vorange gangenen Abschnitt waren Probleme immer nach dem Muster gegeben gesucht aufgebaut. Ich will nun diesen am häufigsten auftretenden Problem typ der expliziten Problembeschreibung ein wenig genauer beleuchten. Definition 1 (Explizite Problembeschreibung) Eine mathematische Aussage P ist eine explizite Problembeschreibung, wenn P der Form wenn x1,,x m dann x1,,x m,y 1,,y n (1) ist. Dabei sind: x 1,,x m die Eingabevariablen von P, x1,,x m die Eingabebedingung von P (eine Formel, in der die Variablen x 1,,x m frei vorkommen), y 1,,y n die Ausgabevariablen von P und x1,,x m,y 1,,y n die Ausgabebedingung von P (eine Formel, in der die Variablen x 1,,x m,y 1,,y n frei vorkommen). Die Eingabe und Ausgabebedingung enthalten ausser den Eingabe und Ausgabevariablen nur Operationen aus dem zu Grunde liegenden Datentyp. Unter einem Datentyp stelle man sich am besten eine Kollektion von Objekten zusammen mit auf diese Objekte anwendbare Operationen vor, z.b. die natürli chen Zahlen mit Addition, Multiplikation und Vergleichsoperatoren oder Listen mit Operationen zum Einfügen und Löschen von Elementen. In der mathematischen Praxis wird der einer Problembeschreibung zu Grunde liegende Datentyp meist nicht explizit erwähnt sondern als im Zusammen hang klar angenommen. Uns ist aber klar, dass der zu Grunde liegende Datentyp eine Rolle spielt, und wenn wir darauf Bezug nehmen wollen, so sprechen wir oft von einer Problembeschreibung bezüglich des zu Grund liegenden Datentyps. Zur Schreibweise I: Ich verwende gotische Symbole x und y für die Eingabe und Ausgabevariablen, da es sich hier um Variable handelt, die selbst wieder für Variable stehen. Ich befinde mich auf einer anderen Sprachebene, der

2 Kapitel 1: Begriffsbildung 12 sogenannten Meta Ebene. In konkreten Beispielen werde ich Problembeschrei bungen mit konkreten Eingabe und Ausgabevariablen begegnen, für die ich dann lateinische Symbole x und y verwende, um sie von diesen meta sprachlichen Variablen zu unterscheiden. Zur Schreibweise II: Eine explizite Problembeschreibung P wird oft in der Form P : x 1,,x m x1,,x m. y 1,,y n x1,,x m,y 1,,y n. (2) geschrieben. Diese Schreibweise hat den Vorteil, dass daraus die Eingabe bzw. Ausgabevariablen und die Eingabe bzw. Ausgabebedingung eindeutig hervorgehen, wohingegen die Form (1) evtl. Mehrdeutigkeiten beinhalten kann. Wenn wir im Folgenden von einer Problembeschreibung P mit Eingabevari ablen x 1,,x m und Ausgabevariablen y 1,,y n sprechen, dann meinen wir damit immer eine explizite Problembeschreibung der Form (1) oder (2) mit eindeutig bestimmbarer Eingabebedingung bzw. Ausgabebedingung und wir schreiben dafür P x1,,x m, y 1,,y n (im Falle m 1 oder n 1 lassen wir die Tupelklammern auch oft weg). Wenn wir von x1,,x m und x1,,x m,y 1,,y n spre chen, dann meinen wir damit immer die Eingabe bzw. Ausgabebedingung einer Problembeschreibung P, wobei wir immer davon ausgehen, dass aus dem jeweiligen Zusammenhang eindeutig hervorgeht, auf welche Problembeschrei bung P wir die Eingabe bzw. Ausgabebedingung beziehen. Anstelle von Problembeschreibung verwende ich auch oft Problemstellung oder Prob lemspezifikation. Zur Schreibweise III: Wenn wir die einzelnen Komponenten eines Tupels nicht extra benötigen, werden wir oft Tupel (z.b. oben das Tupel der Eingabevari ablen x 1,,x m bzw. das Tupel der Ausgabevariablen y 1,,y n ) mit eigenen Namen abkürzen, z.b. x für x 1,,x m etc. Die Variablensubstitution in Tupelschreibweise ist dann komponentenweise zu verstehen, d.h. wenn x und e Tupel der Länge m (gleicher Länge!) sind und ein beliebiger Ausdruck, dann ist x e eine Abkürzung für x1 e 1,,x m e m bzw. x1,,x m e 1,,e m eine Abkürzung für x1 e 1,,x m e m. Zur Schreibweise IV: Ein Zusammenhang der Form wenn A dann B heißt Implikation und in der mathematischen Sprache ist dafür die Schreibweise A B gebräuchlich. Nicht zu verwechseln ist eine Implikation mit einer Äquivalenz wenn A dann B und umgekehrt bzw. A genau dann wenn B, die in der Mathematik als A B geschrieben wird.

3 Kapitel 1: Begriffsbildung 13 Definition 2 (Konkrete Lösung eines Problems) Sei P x,y eine Problemstellung mit Eingabevariablen x und Ausgabevariablen y und sei e ein Eingabewert oder ein Tupel von Eingabewerten so, dass gilt: x e. Dann nennen wir l ein konkretes Lösungstupel (oft auch einfach konkrete Lösung) des Problems P für die Eingabewerte e, wenn gilt: x e,y l. Konkrete Lösungen für konkrete Eingabewerte sind schön und gut. Was wir aber wollen, sind nicht nur konkrete Lösungen, sondern ist nach Möglichkeit ein Rezept, das uns für beliebige Eingabewerte die dazugehörigen konkreten Lösungen liefert. Die Lösung eines Problems besteht für uns demnach aus der Angabe von konkreten Operationen g 1,, g n, die aus den gegebenen x 1,,x m die jeweiligen y 1,,y n produzieren, und das für alle erlaubten Eingaben. Definition 3 (Lösungsalgorithmus, Korrektheit) Sei P x, y1,,y n eine Problembeschreibung (bezüglich des zu Grunde liegenden Datentyps ) mit Ausgabevariablen y 1,,y n. Dann nennen wir g 1,, g n Lösungsoperationen für P, wenn gilt: für allex : P x,y1 g 1 x,,y n g n x (3) Wir sprechen dann oft von einer Problembeschreibung für die Operationen g 1,, g n. Wir nennen g 1,, g n Lösungsalgorithmen für P (bezüglich des zu Grunde liegenden Datentyps ), wenn darüberhinaus, d.h. zusätzlich zu (3), die Operationen durch Algorithmen so definiert sind, dass in diesen Algorithmen für g 1,, g n ausschließlich Operationen aus vorkommen. Wir nennen eine Operation korrekt bzgl. einer Problembeschreibung, wenn sie eine Lösungsoper ation ist. Einen Beweis der Aussage (3) nennen wir einen Korrektheitsbeweis für die Operationen g 1,, g n. Oft geht wieder der zu Grunde liegende Datentyp aus dem Zusammenhang hervor und wird nicht explizit angegeben. Zur Schreibweise V: Ein Zusammenhang der Form für alle x : A heißt Allaus sage und in der mathematischen Sprache ist dafür etwa die Schreibweise x A gebräuchlich. Ein Zusammenhang der Form es existiert x : A heißt Existenzaus sage und in der mathematischen Sprache ist dafür etwa die Schreibweise x A gebräuchlich.

4 Kapitel 1: Begriffsbildung 14 Beispiel 4 (Problembeschreibung Nullstelle) : f f ist eine Funktion. z f z 0. Es handelt sich um eine explizite Problembeschreibung f,z für die Operation Nullstelle mit f : f ist eine Funktion f,z : f z 0 Wenn ich nun für eine konkret definierte Operation Nullstelle die Aussage für alle f : wenn f ist eine Funktion dann f Nullstelle f 0 beweisen kann, so ist diese Operation eine korrekte Lösung des hier gestellten Nullstellenproblems. Der zu Grunde liegende Datentyp muss die Konstante 0, die Gleichheit =, die Funktionsanwendung [ ] und den Funktionstest ist eine Funktion enthalten. Beispiel 5 (Problembeschreibung Lösen von Gleichungen) : f, X, Y, v f ist eine Funktion von X nach Y und v Y. s s X und f s v. Es handelt sich um eine explizite Problembeschreibung f,x,y,v,s mit f,x,y,v : f ist eine Funktion von X nach Y und v Y f,x,y,v,s : s X und f s v Der zu Grunde liegende Datentyp muss Gleichheit, Funktionsanwendung und Funktionstest enthalten. Der Korrektheitsbeweis eines konkret definierten Gleichungslösungsverfahrens L besteht aus einem Beweis der Aussage für alle f, X, Y, v : wenn f ist eine Funktion von X nach Y und v Y dann L f, X, Y, v X und f L f, X, Y, v v. Zur Schreibweise VI: Zusammenhänge der Form A und B bzw. A oder B heißen Konjunktion bzw. Disjunktion und in der mathematischen Sprache sind

5 Kapitel 1: Begriffsbildung 15 dafür etwa die Schreibweisen A B bzw. A B gebräuchlich. Ich kann die Korrektheitsaussage für L demnach schreiben als f ist eine Funktion von X nach Y v Y f,x,y,v L f, X, Y, v X f L f, X, Y, v v. In obigen Beispielen muss ich mir eine Frage sofort stellen: Was soll ein Lösung salgorithmus eines Problem P x,y als Resultat liefern, wenn für manche Eing aben x kein y existiert, das die Ausgabebedingung von P erfüllt? Ich denke dabei etwa in Beispiel 5 bei f an die Sinus Funktion mit X Y und v 2. Was immer ein Gleichungslöse Algorithmus bei diesem Input liefert selbst Fehlermeldungen wie error oder keine Lösung, ich kann sicher nie die Teilaussage sin L sin,,, 2 2 der Korrektheitsaussage für L beweisen, d.h. ich kann zu dieser Problemstellung keinen korrekten Lösungsalgorithmus angeben. Solche Problemstellungen nenne ich inkorrekt gestellte Probleme. Der Name verrät es schon: Wir wollen Problemspezifikationen immer so erstellen, dass sie nicht zu inkorrekt gestellten Problemen führen. Die Problems tellung in Beispiel 5 kann beispielsweise so modifiziert werden: : f, X, Y, v f ist eine Funktion von X nach Y v Y f x v. x X s s X f s v. oder : f, X, Y, v f ist eine Funktion von X nach Y v Y. s f x v s X f s v. x X In obigen Problemen und sagen die Spezifikationen nichts darüber aus, welches Resultat ein Lösungsalgorithmus im Falle einer unlösbaren Gleichung liefern soll. Für die Korrektheit eines Lösungsalgorithmus ist es demnach vollkommen egal, was der Algorithmus mit einer unlösbaren Gleichung macht. Ich entschließe mich nun zu fordern: Gesucht ist ein s, sodass s eine Lösung der Gleichung ist oder der Algorithmus "error" liefern soll. Ich spezifiziere das so:

6 Kapitel 1: Begriffsbildung 16 : f, X, Y, v f ist eine Funktion von X nach Y v Y. s s X f s v s error Aber Vorsicht! Die Korrektheitsaussage für einen Lösungsalgorithmus L lautet nun: f ist eine Funktion von X nach Y v Y f,x,y,v L f, X, Y, v X f L f, X, Y, v v L f, X, Y, v error und ich überzeuge mich rasch davon, dass diese Aussage für den Algorithmus L f, X, Y, v : error wahr ist! Das bedeutet, dass der Algorithmus, der bei jedem Input "error" liefert, eine korrekte Lösung des Problems ist. Beim Spezifizieren von Problemen ist also äußerste Vorsicht geboten. Die Problemspezifikation ist nicht falsch, jedoch uninteressant in dem Sinn, dass die Lösung des Problems trivial ist. Beispiel 6 (Problembeschreibung Quotient und Rest zweier ganzer Zahlen) Div : a, b a, b. q, r q, r a q b r Es handelt sich um eine explizite Problembeschreibung Div a,b, q,r für die Operationen Quotient und Rest a,b : a b a,b,q,r : q, r a q b r Der zu Grunde liegende Datentyp muss die arithmetischen Operationen + und und die Gleichheit = enthalten. Kann ich für konkret definierte Opera tionen Quotient und Rest die Aussage Quotient a, b Rest a, b a Quotient a, b b Rest a, b a,b beweisen, so liegen Operationen vor, die bzgl. obiger Problembeschreibung korrekt sind. Existenz von Lösungen ist hier nicht das Problem, beispielsweise erfüllen q 0 und r a immer die Ausgabebedingung, d.h.

7 Kapitel 1: Begriffsbildung 17 Quotient a, b : 0 Rest a, b : a sind korrekte Lösungsalgorithmen für Div. Allerdings existieren auch noch andere q, r, die die Ausgabebedingung erfüllen (z.b. q 1 und r a b), es besteht also kein eindeutiger Zusammenhang zwischen Input und Output. Auch in diesem Fall nennen wir das Problem inkorrekt gestellt. In der Praxis wird daher versucht, mathematische Probleme P x,y wenn möglich so zu formulieren, dass für alle zulässigen Eingabewerte genau eine Lösung existiert, d.h. x x y x,y. Beispiel 7 (Problembeschreibung Inverse einer Matrix) InvMat : A, K, n A K n n A ist eine quadratische Matrix über K der Dimension n. B B K n n A B E n E n ist dabei die Einheitsmatrix der Dimensio Es handelt sich um eine explizite Problembeschreibung InvMat A,K,n, B für die Operationen Inversmatrix A,K,n : A K n n A,K,n,B : B K n n A B E n Der zu Grunde liegende Datentyp muss die Matrixmultiplikation und die Einheitsmatrix E n enthalten. Zur Korrektheit einer Operation Inversmatrix muss ich die Aussage A K n n A,K,n Inversmatrix A, K, n K n n A Inversmatrix A, K, n E n beweisen können. In obiger Form ist das Problem noch inkorrekt gestellt, da nicht für jede Matrix A eine derart beschaffene Matrix B existiert, ich sollte also wieder wie in Beispiel 5 die Existenz eines solchen B in die Eingabe oder die Ausgabebedingung einbinden.

8 Kapitel 1: Begriffsbildung 18 Bemerkung Ein korrekt gestelltes Problem muss neben der eindeutigen Existenz einer Lösung noch eine weitere Bedingung erfüllen: es soll ein stetiger Zusammen hang zwischen Eingabe und Ausgabevariablen bestehen, d.h. kleine Änderungen im Input sollen nur kleine Änderungen im Output bewirken. Dieser Aspekt ist vor allem für die numerische Berechnung von Bedeutung, wir werden darauf nicht näher eingehen. Wir wollen aber Problemspezifikationen wenn möglich so formulieren, dass zumindest zu jeder Eingabe ein eindeutiges Resultat existiert.