Konvexe Funktionen und wichtige Ungleichungen

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1 Konvexe Funktionen und wichtige Ungleichungen Seminar Analysis (SoSe 013) Martin Strickmann 06. Mai 013 Inhaltsverzeichnis 1 Zusammenfassung/Abstract Konvexe Funktionen 3 Wichtige Ungleichungen 5 4 The Fat Elephant Inequality 10 Literatur 1 1

2 1 Zusammenfassung/Abstract In dieser Seminararbeit werden wichtige Ungleichungen der Analysis vorgestellt. Besonders wichtig sind dabei vor allem die Hölder-Ungleichung, die Minkowski-Ungleichung und die ensensche-ungleichung, die zu den fundamentalen Ungleichungen der Analysis gehören. Die Beweisführung dieser Ungleichungen stützt sich dabei auf die besonderen Eigenschaften konvexer beziehungsweise konkaver Funktionen. Daher werden in dieser Seminararbeit zunächst konvexe Funktionen deniert, sowie einige Eigenschaften und Folgerungen aus der Konvexität einer Funktion aufgeführt. Darauf basierend werden im Zentralen Kapitel dieser Seminararbeit wichtige Ungleichungen der Analysis vorgestellt. Abschlieÿend zeigt ein Beispiel, wie sich diese Ungleichungen auf andere Bereiche der Analysis anwenden lassen. This seminar saper deals with important inequalities of analysis. The main focus will be put on the Hölder-inequality, the Minkowski-inequality and the ensen-inequality, which belong to the most important inequalities of analysis.the proof of these inequalities is based on the special features of convex and concarve functions. For that reason convex functions will be dened at the beginning of this seminar paper. Additionally some features and consequences of the convexity of a function will be mentioned. Based on that important inequalities of analysis will be presented in the main part of this seminar paper. Finally an example will show how these inequalities can be applied to other areas of analysis. Konvexe Funktionen Denition.1. Eine Funktion f : I R heiÿt konvex auf einem Intervall I, wenn für alle Punkte P 1 = (x 1, f(x 1 )) und P = (x, f(x )), mit x 1, x I, die Sekante durch P 1 und P immer oberhalb des Graphen von f verläuft, das heiÿt, wenn die Ungleichung f (λx 1 + (1 λ)x ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x ) (1) für alle x 1, x I und ein λ (0, 1) erfüllt ist. Eine Funtion f : I R heiÿt konkav auf einem Intervall I, wenn f auf I konvex ist, also wenn f (λx 1 + (1 λ)x ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x ) ()

3 für alle x 1, x I und ein λ (0, 1) erfüllt ist. Gelten in (1) und () nicht und sondern < und >, so heiÿt f streng konvex beziehungsweise streng konkav. Satz.. Eine Funktion f : I R ist genau dann konvex auf I, wenn für alle x 1, x, x I mit x 1 < x < x gilt: f(x) f(x 1 ) x x 1 f(x ) f(x). (3) x x Diese Aussage bedeutet, dass die Dierenzenquotienten von f monoton wachsen. Etwas ausführlicher gilt für konvexe Funktionen dann: f(x) f(x 1 ) x x 1 f(x ) f(x 1 ) x x 1 f(x ) f(x). (4) x x Proof. edes x (x 1, x ) lässt sich schreiben als x = λx 1 + (1 λ)x mit λ (0, 1). Setzen wir dies in (3) ein erhalten wir: f (λx 1 + (1 λ)x ) f(x 1 ) f(x ) f (λx 1 + (1 λ)x ) λx 1 + (1 λ)x x 1 x (λx 1 + (1 λ)x ) f (λx 1 + (1 λ)x ) f(x 1 ) (1 λ)(x x 1 ) f(x ) f (λx 1 + (1 λ)x ). λ(x x 1 ) Multipliziere mit x x 1 > 0 sowie mit λ(1 λ) > 0: λ (f (λx 1 + (1 λ)x ) f(x 1 )) (1 λ) (f(x ) f (λx 1 + (1 λ)x )) f (λx 1 + (1 λ)x ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x ). Satz.3. Sei f : I R eine dierenzierbare Funktion, so ist sie genau dann konvex auf I, falls die erste Ableitung f auf I monoton wachsend ist. Proof. Sei f konvex, dann gilt mit (3) für alle x 1 < x : f f(x) f(x 1 ) f(x ) f(x) (x 1 ) = lim lim = f (x ) x x1 x x 1 x x x x 3

4 f ist monoton steigend. Sei nun f monoton steigend. Wir betrachten x 1 < x < x. Mit der Monotonie von f sowie dem Mittelwertsatz und passenden Werten x 1 (x 1, x) und x (x, x ) gilt: f(x) f(x 1 ) x x 1 = f ( x 1 ) f ( x ) = f(x ) f(x). x x Bemerkung.4. Direkt aus Satz.3 folgt, dass eine zweimal dierenzierbare Funktion f genau dann konvex ist, falls ihre zweite Ableitung f 0 ist. Beispiel.5. Die Funktion e x ist streng konvex auf R, die Funktion log(x) streng konkav auf R +. Denition.6. Sei f : I = (a, b) R stetig und es existiere ein x 0 I, sodass f auf (a, x 0 ) konvex und auf (x 0, b) konkav ist, oder auf (a, x o ) konkav und auf (x 0, b) konvex. Dann hat f an der Stelle x 0 einen Wendepunkt. Beispiel.7. Die Funktion f(x) = x 3 ist streng konkav auf R und streng konvex auf R +. Nach Denition.6 hat f in x 0 = 0 einen Wendepunkt. Satz.8. Sei I R ein oenes Intervall und f : I R eine konvexe Funktion, dann gilt: 1. Die einseitigen Ableitungen f (a) f(a) f(x) = lim x a a x und f +(a) = existieren. lim x a f(x) f(a) x a. f ist stetig. 3. f ist dierenzierbar auf I\M, wobei M I eine höchstens abzählbare Ausnahmemenge ist. Proof. 1. Für alle x 1 < x < x I wissen wir, dass f(x) f(x 1) f(x ) f(x) x x x x 1 < gilt. Betrachten wir nun eine beliebige Stelle a I, sowie die Dierenzenquotienten (x) = f(a) f(x) a x für x (x 1, a) und ( x) = f( x) f(a) x a für x (a, x ). Nun ist (x) monoton steigend und durch ( x) nach oben beschränkt, dementsprechend existiert lim x a (x) = f (a). Analog ist ( x) monoton steigend und durch (x) nach unten beschränkt, dementsprechend existiert lim x a ( x) = f +(a). 4

5 . Da f (a) existiert, folgt: Für alle ɛ > 0 existiert ein δ > 0, sodass f(a) f(a δ) δ f (a) < ɛ ist. Multiplizieren wir diese Ungleichung mit δ erhalten wir f(a) f(a δ) δf (a) < δɛ. Mit der Dreiecksungleichung folgt nun, dass f(a) f(a δ) f(a) f(a δ) δf (a) + δf (a) ( ) δɛ + δ f (a) = δ ɛ + f (a) < ɛ, für alle ɛ > 0 und einem ausreichend kleinem δ. Somit ist f linksseitig stetig für alle a I. Analog lässt sich mit f(a+δ) f(a) δ f +(a) < ɛ die rechtsseitige Stetigkeit von f für alle a I zeigen. 3. Für monotone Funktionen auf einem Intervall I ist die Menge der Unstetigkeitsstellen höchstens abzählbar (vergleiche Kaballo, Einführung in die Analysis I, 8.0). Da f monoton wachsend ist, ist f nun auf allen, bis auf höchstens abzählbar vielen Stellen stetig. Nun existiert f an jeder Stetigkeitsstelle von f, also auch an allen, bis auf höchstens abzählbar vielen Stellen. Daraus folgt, dass f bis auf höchstens abzählbar viele Ausnahmestellen dierenzierbar ist. 3 Wichtige Ungleichungen Durch die Eigenschaften konvexer Funktionen lassen sich verschiedene Ungleichungen beweisen, die in der Analysis sehr wichtig sind. Lemma 3.1. Seien p, q > 1 mit 1 p + 1 q = 1, sowie a, b 0, dann gilt: a b 1 p ap + 1 q bq. (5) Proof. Im Falle a b = 0 ist die Aussage korrekt. Betrachte den Fall a b > 0. Sei x = log(a) und y = log(b), dann gilt: a b = e x e y = e x+y = e ( 1 p px+ 1 q qy) 1 p e(px) + 1 q e(py) = 1 p ap + 1 q aq. 5

6 Bemerkung 3.. Zusätzlich sei an dieser Stelle die bekannte Dreiecksungleichung aufgeführt, da sie in kommenden Beweisführungen benutzt wird. Seien a, b C, so gilt: a + b a + b. (6) Satz 3.3 (Höldersche Ungleichung). Seien p, q > 1 mit 1 p + 1 q seien f, g R() zwei Regelfunktionen auf einem Intervall, dann gilt: f(x)g(x) dx = 1. Weiter dx g(x) q q dx. (7) Proof. Da die Betragsfunktion und alle Potenzfunktionen Regelfunktionen sind, sind auch f p und g q Regelfunktionen. Sei nun A ɛ = sowie a = f(x) A ɛ f(x)g(x) A ɛ B ɛ dx + ɛ, Bɛ = g(x) q q dx + ɛ, und b = g(x) B ɛ, dann gilt mit Lemma 3.1: = a b 1 p ap + 1 q bq = 1 f(x) p p A p + 1 ɛ q g(x) q. Integration der Ungleichung auf beiden Seiten liefert: 1 f(x)g(x) dx 1 A ɛ B ɛ pa p f(x) p dx + 1 ɛ qbɛ q g(x) q dx. Da nun 1 A p ɛ f(x) p 1 dx, Bɛ q g(x) q dx < 1 ist, erhalten wir 1 f(x)g(x) dx 1 A ɛ B ɛ p + 1 q = 1, und durch Multiplikation mit (A ɛ B ɛ ) f(x)g(x) dx A ɛ B ɛ. Für ɛ 0 folgt dann die Aussage: f(x)g(x) dx B q ɛ dx g(x) q q dx. 6

7 Beispiel 3.4 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung). Betrachte für die Höldersche Ungleichung 3.3 den Speziallfall mit p = q =, dann gilt: f(x)g(x) dx f(x) dx g(x) dx. (8) Diese Ungleichung heiÿt Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Satz 3.5 (Minkowskische Ungleichung). Sei p 1 sowie f, g R() zwei Regelfunktionen auf einem Intervall, dann gilt: f(x) + g(x) p p dx dx + g(x) p p dx. (9) Diese Ungleichung heiÿt Minkowskische Ungleichung. Betrachten wir f p = f(x) p dx p, so bemerken wir, dass die Minkowskische Ungleichung einfach eine Dreiecksungleichung für die L p -Norm von Funktionen ist. Proof. Für p = 1 ist der Beweis klar, die Ungleichung folgt dann direkt durch Integration der Dreiecksungleichung. Betrachte nun A = f(x) + g(x) p dx. Für A = 0 ist (8) ebenfalls erfüllt, somit kann im Folgenden A > 0 angenommen werden. Nun wird die Dreiecksungleichung aus 3. sowie die Höldersche Ungleichung aus Satz 3.3 angewendet. Es gilt: A = f(x) + g(x) f(x) + g(x) p 1 dx f(x) f(x) + g(x) p 1 dx + g(x) f(x) + g(x) p 1 dx + ( = = ( dx g(x) p p dx dx + f(x) + g(x) (p 1)q dx q f(x) + g(x) (p 1)q q dx g(x) p dx dx + g(x) p dx ) p ) p f(x) + g(x) (p 1)q q dx f(x) + g(x) p q dx 7

8 = ( ) dx + g(x) p p dx A 1 q. Dabei nutzen wir im Vorletzten Rechenschritt aus, dass (p 1)q = p gilt, denn 1 p + 1 q = 1 p+q pq = 1 p = pq q. Nun dividieren wir die erhaltene Ungleichung noch durch A 1 q > 0, dann folgt unsere Aussage: A 1 p = f(x) + g(x) p p dx dx + g(x) p p dx. Lemma 3.6. Seien x k, y k R für alle k = 1,,..., n, sowie p, q > 1 mit 1 p + 1 q = 1, dann gilt: ( x k y k ( p x k p y k q q. (10) Proof. Der Beweis folgt direkt aus Satz 3.3 mit den Treppenfunktionen f = n x k χ (k 1,k) und g = n y k χ (k 1,k), sowie der charakteristischen Funktion χ. Lemma 3.6 ist also ein Spezialfall der Hölderschen Ungleichung. Mit der selben Beweisführung erhalten wir ebenfalls einen Spezialfall der Minkowski Ungleichung. Lemma 3.7. Seien x k, y k R für alle k = 1,,..., n, sowie p 1, dann gilt: ( x k + y k p p ( ( p p x k p + y k p. (11) Denition 3.8. Seien λ 1, λ,..., λ n x 1, x,..., x n R heiÿt die Zahl 0 mit n λ k = 1. Für Zahlen x = λ k x k (1) das gewichtete Mittel. 8

9 Satz 3.9 (ensensche Ungleichung). Seien x 1, x,..., x n I, dann ist auch jedes zugehörige gewichtete Mittel x I. Des weiteren gilt für alle gewichteten Mittel x, sowie für eine konvexe Funktion φ : I R: Proof. Sei I = (a, b) dann gilt: a = φ(x) λ k a λ k φ(x k ). (13) λ k x k λ k b = b. Also ist x I. Bleibt die ensensche Ungleichung zu zeigen,wobei der Fall n = 1 trivial ist und der Fall n = direkt aus der Konvexität von φ folgt. Mit der Induktionsannahme, dass die Ungleichung für n 1 Zahlen bereits erfüllt ist, zeigen wir dies nun für n Zahlen x 1, x,..., x n I. Sei dazu λ = n 1 λ k, dann gilt n 1 λ k λ = 1. Weiter sei y = n 1 λ k λ x k, wobei y I ist. Daraus ergibt sich, dass x = λy + λ n x n und λ + λ n = 1 ist und somit auch x I ist.. Nun gilt wegen der Konvexität von φ und der Induktionsannahme: φ(x) = φ (λy + λ n x n ) λφ(y) + λ n φ(x n ) ( n 1 ) λ k = λφ λ x k + λ n φ(x n ) n 1 λ k λ λ φ(x k) + λ n φ(x n ) = λ k φ(x k ). Lemma Seien x 1, x,..., x n > 0 und λ 1, λ,..., λ n 0 mit n λ k = 1, dann gilt n λ x k k λ k x k. (14) 9

10 Proof. Betrachte n λ kx k und wende die konkave Logarithmus-Funktion an, dann gilt: ( ) log λ k x k λ k log(x k ). Anwenden der Exponentialfunktion auf die Ungleichung liefert dann ( ) λ k x k exp λ k log(x k ) = = = n exp (λ k log(x k )) n (exp(log(x k ))) λ n λ x k k. Bemerkung Betrachten wir die Ungleichung aus Lemma 3.10 für den Spezialfall mit λ k = 1 n für alle k = 1,,..., n,dann erhalten wir folgende Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel: ( n x k n 1 n x k. (15) 4 The Fat Elephant Inequality Betrachten wir im Folgenden eine Menge S R 3 aus N verschiedenen Punkten im R 3, also hat S die Mächtigkeit N. Genauer betrachten wir die Projektionen von S auf jede der Koordinatenebenen, also auf die xy-ebene, die xz-ebene und die yz-ebene. Es soll nun gezeigt werden, dass mindestens eine dieser Projektionen eine Mächtigkeit von mindestens N 3 haben muss. Daher auch der Name Fat elephant theory: Ein dicker Elefant kann nicht aus allen drei Richtungen dünn aussehen, aus mindestens einer Richtung muss man erkennen, dass er dick ist. 10

11 Wir führen an dieser Stelle die Charakteristische Funktion χ S : R 3 {0, 1} ein, mit χ(x, y, z) = 1, falls (x, y, z) S und χ s (x, y, z) = 0, falls (x, y, z) / R 3. Analog dazu denieren wir mit χ xy (x, y), χ xz (x, z) und χ yz (y, z) die charakteristischen Funktionen der Projektionen von S. Hier sei erwähnt, dass jede dieser charakteristischen Funktionen gleich ihrem Quadrat ist, also χ = χ und so weiter. Dies wird an späterer Stelle noch benötigt. Bemerkung 4.1. Seien S, N sowie χ, χ xy, χ xz und χ yz wie oben gegeben, dann gilt: χ(x, y, z) χ xy (x, y) χ xz (x, z) χ yz (y, z), (16) das heiÿt, dass χ(x, y, z) = 1 nur gilt, falls alle charakteristischen Funktionen der Projektionen auch gleich 1 sind. Die Umkehrung dieser Aussage gilt jedoch nicht. Beispiel 4.. Sei S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, dann ist χ(0, 0, 0) = 0, aber χ xy (0, 0) = χ xz (0, 0) = χ yz (0, 0) = 1. Bemerkung 4.3. Seien S, N sowie χ wie oben gegeben, dann gilt: χ(x, y, z) = N (17),z Wenden wir nun die Bemerkungen 4.1 und 4.3, sowie Satz 3.6 mit p = auf N an, dann folgt N =,z χ(x, y, z),z χ xy (x, y) χ xz (x, z) χ yz (y, z) = ( ) χ xy (x, y) χ xz (x, z)χ yz (y, z) ( χ xy (x, y) ( χ xy (x, y) ( = χ xy (x, y) z ( ) 1 χ xz (x, z)χ yz (y, z) z ( ( ) ( ) χ xz (x, z) χ yz (y, z) z ( ( ) ( χ xz (x, z) χ yz (y, z) z 11 z z ) 1

12 ( = χ xy (x, y) ( = χ xy (x, y) ( ( χ xz (x, z) χ yz (y, z) z z ( ( χ xz (x, z) χ yz (y, z) x,z = P xy (S) 1 Pxz (S) 1 Pyz (S) 1, y,z ) mit den Projektionen P xy (S), P xz (S) und P yz (S) von S auf die Koordinatenebenen. Quadrieren wir diese Ungleichung erhalten wir S = N P xy (S) P xz (S) P yz (S). Aus dieser Ungleichung folgt nun, dass mindestens eine dieser Projektionen eine Mächtigkeit von mindestens N 3 besitzen muss. Damit ist die Fat elephant inequality bewiesen. Literatur [1] Winfried Kaballo. Einführung in die Analysis I. Spektrum Akademischer Verlag GmbH, 000. [] Konrad Königsberger. Analysis 1. Springer Verlag,