DER SATZ MIT DEM ITERIERTEN LOGARITHMUS V. STRASSEN

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1 Теория вероятностей и математическая статистика Probability theory and statistics Calcul des probabilités et statistique Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik DER SATZ MIT DEM ITERIERTEN LOGARITHMUS V. STRASSEN Sei Xt die i-te Rademacherfunktion auf [0, 1] und S n = 2 X t * Borel's starkes Gesetz der großen Zahl (S n = о (n) außerhalb einer Menge vom Lebesguemaß 0) eröffnete 1909 eine Folge von Arbeiten von Hausdorff, Hardy-Littlewood, Steinhaus und Khintschin, die 1924 durch Khintschin's brillianten Satz mit dem iterierten Logarithmus abgeschlossen wurde: (1) ïïm (n log log n)~ 1/2 S n = У 2 außerhalb einer Menge vom Lebesguemaß 0. Ich möchte hier über einen Teil der seitdem erzielten Fortschritte berichten. In den ersten beiden Abschnitten werden einige Verschärfungen behandelt, wobei der oben betrachtete diskrete stochastische Prozeß [S n )n^i aus Gründen der leichteren Formulierung durch den kontinuierlichen Prozeß der Brownschen Bewegung ( (t)) t^o ersetzt wird. Im letzten Abschnitt werden Verallgemeinerungen des zugrundeliegenden Prozesses diskutiert. üso 1. Der Kolmogorov-Petrovskij-Erdös Test Khintschin's Satz lautet für die Brownsche Bewegung: ïïm (t log log t)~ lh С V) = 1/2 fastsicher, Pr { (t) < (et log log tf h schließlich f ür t -> oo} «0 oder 1, e nachdem с < 2oder c > 2. Sehr viel weiter geht der Kolmogorov- ^etrovskij-erdös Test (Kolmogorov's Beweis ist nicht veröffentlicht, >etrovskij [18], Erdös [5], Feller [6], Motoo [17]):

2 528 ПОЛУЧАСОВЫЕ ДОКЛАДЫ HALF-HOUR REPORTS Sei ф: R + ->R* stetig und so, daß t-*hy(t) mit t wächst, Dann ist Pr{ (t) < Ф (t) schließlich für t-+ 00} = 0 oder 1, je nachdem 00 <2) [ t- 3 h<pe-ww dt =00 oder <oo. 1 -Man hat heute eine Reihe von O-1-Knterien ähnlicher Bauart für die Brownsche Bewegung in einer oder in mehreren Dimensionen. Hierzu sei auf Itô-McKean [12] verwiesen (S , , , ; siehe auch Chung [3], Barndorff-Nielsen [1], Shepp [19], V, 19)/ Konvergiert (2), so ist fastsicher schließlich <ф, von welcher Stelle an, hängt natürlich vom Zufall ab. Sei Гф-suptf: (0>Ф(0}- P. Levy [16], S erhält eine Reihe von oberen Abschätzungen für Pr {Тф > s}, die sich als Spezialfälle der eleganten Ungleichung 00 Рг{Г ф >8}'<2 J (2я* 8 )- 1/а фе- фа/(2 ' ) dt 8 in Itô-McKean [12], S. 34 erweisen (gültig unter einer zusätzlichen Monotoniebedingung an ф). Ist nun ф sogar stetig differenzierbar mit ф'(я)~ф'(0 für s~t, t >oo, und ist fastsicher Т ф < 00, so hat Т ф außerhalb 0 eine stetige Dichte Dq> und es gilt (3) о ф (/)-ф / (0(2^Г 1/^" ф(02/(2 für t~>oo ([23], Theorem 3.6). Innerhalb der zugelassenen Funktionenklasse haben übrigens ф' und (p/t die gleiche Größenordnung, so daß man den Integranden in (2) auch durch die rechte Seite von (3) ersetzen kann. (3) liefert dann eine einfache wahrscheinlichkeitstheoretische Deutung (und einen neuen Beweis) für den Kolmogorov-Petrovskij- Erdös Test. Ein Beispiel für (3): «> ^lt. 10,, lv,~(îi^)"-/-.(log ( r' 2, wenn c> 2.

3 V. STRASSEN Das Verhalten der ganzen Pfade Sei С der Banachraum der stetigen Funktionen x auf [0, 1] mit с (0) =0, und für *>0 sei * die durch b(«) = t(ef) (s [0 f.l]) jef inier te Zufallsvariable mit Werten in С > t spiegelt das Verhalten /on bis zum Zeitpunkt t wieder. Khintschin's Satz kann (unwesentich verschärft) so formuliert werden: Fastsicher ist (t log log *)-v«t (1) für t -*- oo beschränkt und die Menge seiner Limespunkte ist f-1/2, V% Eine analoge Aussage läßt sich für die > t als ganze machen ([21], üorollary 1, siehe auch Chover [2]): Fastsicher ist das Netz ((noglog0" v 4^>e elativ normkompakt, und die Menge seiner Normlimespunkte für ' -> oo ist i ix: x C, x ist absolutstetig, -^ \ * 2 <i A<;l j wobei p, das Lebesguemaß in [0, 1] ist und x =dx/dt ist), besteht ilso aus genau den x С mit "mittlerer kinetischer Energie < 1". Dieses Ergebnis verhält sich zu Khintschin's Satz ähnlich wie Donsker's Invarianzprinzip [4] zum zentralen Grenzwertsatz (die für len Fall der Brownschen Bewegung allerdings trivial sind). Ebenso те dort ergeben sich auch hier zahlreiche Folgerungen durch Anwenien von geeigneten Funktionalen, z.b. eine Art Gegenstück zu (4) ür c<2: Im-U{s: s [0, t], (s) >(cs log log s) 1/2 } = - oo ( = 1 exp 4 (- l)} fastsicher [[21], S Erdös [5], S. 434 hat schon bemerkt, daß die linke Seite kstsicher eine gewisse stetige, strikt monoton von 1 nach 0 fallende Funktion von с e [0, 2] ist, vgl. auch P. Levy [16], S ). Oder un Resultat, das kürzlich in etwas anderer Gestalt von Гапошкин :ür Summen unabhängiger Zufallsvariablen bewiesen wurde ([9], Theorem 3): oo ïïmv/2 ( log log -M~ Va [ g (s) e~ ab ds = 1 fastsicher o 0 v 0

4 530 ПОЛУЧАСОВЫЕ ДОКЛАДЫ HALF-HOUR REPORTS (die linke Seite ist fastsicher n/a = limïïma 8 /a(loglogi)~ V * \ l(s)e- ab ds = П-»оо o 0 * -«/ jj 1 = lim я 8 /* ïïm \ (t log log t)~ lh U (s) e- ns ds, so daß man [21], S. 218 (ii) anwenden kann). Für andere Beispiele siehe [21]. Es liegt nahe, nach einer Verallgemeinerung des Kolmogorov- Petrovskij-Erdös Test's für das Verhalten der ganzen Pfade zu fragen. Vielleicht ist die folgende Problemstellung nützlich: Sei für jedes t> 0 V t cz С offen und konvex.so, daß t-^vt fc (monoton), und sei i v t = M Jf \ x % d\i\ a : * C V t, x ist absolutstetigj. о Welche zusätzlichen Bedingungen sind an die V t zu stellen, damit: Pr {Zt G V t schließlich für t -> oo} = 1 <=> ^t-*/*vte- v2 * /{2i) dt <oo. 3. Übertragung auf andere Prozesse Kolmogorov [15] verallgemeinert Khintschin's Satz auf eine große Klasse von Prozessen (S n ) n^i mit S n = 2 Xi un d unabhängigen X u und P. Levy überträgt diese Ergebnisse auf Martingale (siehe [16], S )., Im Falle unabhängiger, identisch verteilter X t zeigen Hartman- Wintner [11] etwas schärfer, daß EXi = 0, EX\ = 1 für (1) hinreicht. Diese Bedingung ist auch notwendig, wenn man (1) durch lim (n log log n)~ lh S n = ]/2 fastsicher ergänzt ([22], Corollary). Dagegen gibt es (D. Freedman, siehe [22]) unabhängige, identisch verteilte symmetrische X t mit unendlicher Varianz und positive Konstante c n so, daß Hm c^sn = 1 fastsicher.

5 V. STRASSEN * 531 Feller [6] und [7] dehnt den Kolmogorov-Petrovskij-Erdös Test auf sehr allgemeine Klassen von Prozessen (S n ) n^i mit unabhängigen Xi aus, wo die S n nicht einmal mehr asymptotisch normal zu sein brausen (vgl. auch z.b. Гнеденко [10], Хинчин [14], Золотарев [24]). In [21] und [23] werden die Ergebnisse der vorangehenden beiden Abschnitte mit Hilfe von Fastüberall-Invarianzprinzipien verallgemeinert. Diese sind fastsichere Gegenstücke zum Erdös-Kac-Donskerschen Verteilungsinvarianzprinzip (unter einem anderen Aspekt betrachtet als in Abschnitt 2). Ihr Beweis beruht auf einem wichtigen Satz von Скороход ([20], Theorem auf S. 163). Als Beispiel zitieren wir Theorem 1.3 (4.4),in [23] (ein Spezialfall hiervon stammt von Dubins und Freedman). Sei S n = 2 Xi e * n quadratisch integrierbares Martingal. Fastsi- :her gelte Für nf oo und V n =%E(Xl\X u...jc-ofoo 2 / (Уп)- 1 l * 2 dpî {X n < x\x u..., Xn-i) < oo, wobei /: # + -> R + monoton wächst, aber schwächer als die identische Abbildung. Ist dann der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum -eichhaltig genug, so gibt es eine ßrownsche Bewegung mit S n =- (^)+o((vj(l/ n ))V4lo g y n ) fastsicher. Dies gestattet es leicht, den Kolmogorov-Petrovskij-Erdös Test und die Ergebnisse von Abschnitt 2 (auch z. B. des Resultat von Chung [3] und eine Version von Shepp's Dichotomie [19], V, 19) auf Martingale zu übertragen unter Bedingungen, die für Summen unabhängiger Zufallsvariablen kaum schärfer sind als Feller's Bedingung auf S. 399 yon [6]. Es wäre-interessant, fastsichere Invarianzprinzipien für Prosesse zu finden, die nicht asymptotisch normal sind. Freedman [8] überträgt Abschnitt 2 auf Funktionale von Markoffschen Ketten. Auch (3) kann mit einigen Abstrichen durch ein geeignetes Invarimzprinzip verallgemeinert werden ([23] Theorem 4.8 und Corollary 1.9), und zwar auf Irrfahrten mit endlicher erzeugender Funktion in îiner Umgebung von 0. Institut für mathematische Statistik und Wirtschaftsmathematik ter Universität Göttingen und Mathematisches Institut 1er Universität Erlangen, Sundesrepublik Deutschland 34*

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