Untersuchungen zur abgeschnittenen Hilbert-Transformation von BMO-Funktionen und VMO-Funktionen

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1 Untersuchungen zur abgeschnittenen Hilbert-Transformation von BMO-Funktionen und VMO-Funktionen Holger Boche Abstract The behaviour of the truncated Hilbert transform for functions of bounded mean oscillation BMO and functions of vanishing mean oscillation VMO is investigated in the paper. t is shown that for VMOfunctions the truncated Hilbert transform is convergent in the BMO-norm to the Hilbert transform. A new characterization of VMO function is also given in the paper. Einleitung und Ergebnisse n der Arbeit wird das Verhalten der abgeschnittenen Hilbert-Transformation für BMO-Funktionen und VMO-Funktionen untersucht. Dazu werden als erstes einige Begriffe eingeführt. Mit L p [,π, p <, wird die Menge aller p-integrierbaren Lebesgue meßbaren Funktionen bezeichnet. Es sei C [,π die Menge aller unendlich oft differenzierbaren -periodischen Funktionen. Der Hardy-Littlewood-Maximaloperator ist durch Mft = sup µ µ fτ dτ Received by the editors December 997. Communicated by F. Bastin. 99 Mathematics Subject Classification : 30D50, 3A0. Key words and phrases : bounded mean oscillation, vanishing mean oscillation, Hilbert transform. Bull. Belg. Math. Soc ,

2 348 H. Boche definiert [], [], [5]. Das Supremum in wird über alle offenen ntervalle mit t gebildet. m weiteren bezeichnen wir mit µe das Lebesguesche Maß der Lebesgue meßbaren Menge E. Für den Hardy-Littlewood Maximaloperator gilt für alle Funktionen f L [,π] [], [], [6] die Abschätzung µ {t [,π Mft >λ} C π λ ft dt. Hierbei ist λ>0 beliebig und C eine von f und λ unabhängige Konstante. nsbesondere haben wir Mft < für fast alle t [,π. Das Poissonsche ntegral einer Funktion f L [,π ist für 0 r< durch ur, t= definiert [7]. Für das Poissonintegral 3 gilt π r fτ dτ 3 r cost τ+r lim ur, t =ft r fast überall in [,π [], [7]. Damit erhält man ebenfalls lim sup ur, t < r fast überall in [,π. Es sei f L [,π und ein festes ntervall. Wir führen die Zahl a f = ft dt 4 µ ein. Wir betrachten nun die Menge aller f L [,π, für welche die Beziehung sup µ µ ft a f dt < 5 gilt. Hierbei wird das Supremum in 5 über alle ntervalle [,π gebildet. Die Menge dieser Funktionen f bezeichnen wir mit BMO bounded mean oscillation [], [6], [5]. Für diese Menge führen wir die Norm f = π ft dt + sup µ µ ft a f dt 6 ein []. Der Raum BMO ist mit dieser Norm ein nicht separabler Banachraum []. Für δ>0betrachten wir weiterhin die Menge der Funktionen f BMO, für die mit M δ f = sup µ δ µ ft a f dt 7

3 Hilbert-Transformation von BMO-Funktionen und VMO-Funktionen 349 die Beziehung lim M δf =0 8 δ 0 gilt. Die Menge dieser Funktionen bezeichnen wir nach [], [4] mit VMOvanishing mean oscillation. Der Raum VMO ist ein abgeschlossener separabler Unterraum von BMO. Er ist der Abschluß der Menge C[,π] der stetigen -periodischen Funktionen in der BMO-Norm. Die BMO-Funktionen und VMO-Funktionen besitzen eine große Bedeutung für die Funktionentheorie [3]. n der Arbeit wird das Verhalten der konjugierten Funktion f untersucht. Diese Funktion wird auch häufig als Hilbert-Transformierte der Funktion f bezeichnet. Hierbei ist für eine Zahl 0 < π die abgeschnittene Hilbert-Transformation H durch H ft = ft + τ tan τ dτ τ π erklärt. Die Funktion f ist durch den fast überall existierenden Grenzwert ft = limh ft 0 definiert. Die Abbildung f = Hf ist ein stetiger linearer Operator vom Raum BMO in den Raum BMO und vom Raum VMO in den Raum VMO. Für eine Funktion f L [,π ist das konjugierte Potential v durch vr, t= π r sint τ fτ r cost τ+r dτ definiert. Das Verhalten des konjugierten Potentials von VMO- bzw. BMO-Funktionen steht in einem engen Zusammenhang dem Verhalten der Hilbert-Transformierten. Die Räume BMO und VMO haben eine ganze Reihe von interessanten Eigenschaften [] [3]. Es werden als nächstes einige wichtige Eigenschaften der BMO- und VMO-Funktionen aufgelistet. Diese Eigenschaften werden im weiteren benötigt. Für einen Beweis der Resultate sei auf [], [6] verwiesen. Für p< existiert eine Konstante A p mit sup µ µ ft a f p dt p A p f. 9 Die Funktion f BMO gehört damit zu jedem Raum L p [,π. Weiterhin gilt für alle f BMO und alle ntervalle die John-Nirenberg-Ungleichung [] λ µ {t : ft a f >λ} µ exp C. 0 f Hierbei ist C eine von f und λ unabhängige Konstante. Weiterhin lassen sich die Räume BMO und VMO durch das Poissonsche ntegral klassifizieren. Es existiert eine Konstante C 3,sodaßfür alle f BMO die Beziehung π sup fτ ur, t r 0 r< r cost τ+r dτ C 3 f

4 350 H. Boche gilt []. st umgekehrt die linke Seite von endlich, so gehört die Funktion f zum Raum BMO. Der Verfasser dankt den Gutachtern für die zahlreichen Hinweise und Verbesserungen. Hauptresultat Als nächstes wird ein Zusammenhang zwischen der abgeschnittenen Hilbert-Transformation H und dem Randverhalten des konjugierten Potentials v angegeben. Satz. Es existiert eine Konstante C 4 derart, daß für alle f BMO die Beziehung H ft v, t C 4 f gilt. Für alle f VMO ist lim 0 Beweis: Es sei f BMO beliebig. Wir haben Mit = ergibt sich max H ft v, t t [,π H ft v, t = + π ft + τ tan τ =0. 3 sinτ dτ cosτ + sinτ ft + τ dτ. 4 cosτ + tan τ sinτ tan τ = cosτ + = sin τ cos τ sin τ cos τ cosτ + = tan τ = q, τ. Für den ersten Ausdruck der rechten Seite von Gleichung 4 erhalten wir, t = = + + π π ft + τq, τ dτ cosτ + ft + τ u, t q, τ dτ.

5 Hilbert-Transformation von BMO-Funktionen und VMO-Funktionen 35 Hierbei haben wir die Tatsache genutzt, daß die Funktion q bezüglich τ ungerade ist. Weiterhin ist für τ <π Das ergibt, t = + C 5 f. tan τ tan + π + π π π Für den zweiten Ausdruck erhalten wir mit die Beziehung, t = = sin π. ft + τ u, t q, τ dτ ft + τ u, t cosτ + dτ ft + τ u, t cosτ + dτ fτ u, t cost τ+ dτ at, = ft + τ dτ sinτ ft + τ cosτ + dτ ft + τ at, sinτ cosτ + dτ.

6 35 H. Boche Es sei <p< und p + q =. Wir erhalten, t = ft + τ at, p p sinτ q q dτ cosτ + dτ ft + τ at, p p dτ sinτ q q cosτ + dτ 0 q sinτ q q cosτ + dτ 0 p A p f = A p f A, q q. Nun ist aber A, q = q q 0 q q q sin q τ cosτ + q dτ q sin 0 cosτ + q dτ < q q + q 0 dτ = q. Damit erhalten wir insgesamt H ft v, t, t +, t C 4 f, womit die erste Aussage des Satzes bewiesen ist. Die Beziehung 3 ist eine unmittelbare Konsequenz aus. Dazu sei δ>0 eine beliebige Zahl. Es existiert eine Funktion φ C [,π derart, daß gilt. Es wird die Funktion v φ r, t = π f φ < δ C 6 r sint τ φτ r cost τ+r dτ betrachtet. Man hat H ft v, t H f φt v, t v φ, t + + H φt v φ, t C 6 f φ + H φt v φ, t < δ + H φt v φ, t. 5

7 Hilbert-Transformation von BMO-Funktionen und VMO-Funktionen 353 Da φ C [,π gilt, hat man ebenfalls φ C [,π [7]. Folglich ist lim max φt H φt =0 0 t [,π und lim max φt v φ, t 0 t [,π Damit existiert eine Zahl 0 > 0 derart, daß =0. max t [,π H φt v φ, t < δ für alle 0 < 0 gilt. Somit hat man für alle 0 < 0 max H ft v, t <δ. t [,π Damit wurde ebenfalls die Beziehung 3 bewiesen. 3 Charakterisierung von VMO-Funktionen n diesem Abschnitt wird eine neue Charakterisierung von VMO-Funktionen angegeben. n der Literatur sind eine ganze Reihe äquivalenter Charakterisierungen bekannt [], [4]. n der Arbeit wurde unter anderem bereits die Tatsache genutzt, daß eine Funktion f genau dann zum Raum VMO gehört, wenn eine Folge stetiger -periodischer Funktionen existiert, welche bezüglich der BMO-Norm gegen die Funktion f konvergiert. Weiterhin gehört eine Funktion f genau dann zum Raum VMO,wennfür das Poissonsche ntegral u der Funktion f die Beziehung lim r f ur, = 0 6 gilt [], [4], [5]. Eine weitere Charakterisierung gibt der folgende Satz an. Satz. Eine Funktion f gehört genau dann zum Raum VMO,wenn gilt. lim 0 f H f = 0 7 Beweis: Es sei H f gegen die Hilbert-Transformierte f in der BMO-Norm konvergent. Für ein festes >0 ist die Funktion H f stetig. Da der Raum VMO die Abschließung der stetigen -periodischen Funktionen bezüglich der BMO-Norm ist, haben wir f VMO. Es ist aber f = f + C mit einer geeigneten Konstanten C. Folglich hat man f VMO. Nun sei f VMO beliebig. Damit haben wir f H f f v, + v, H f.

8 354 H. Boche Da die Funktion f zum Raum VMO gehört, haben wir lim 0 f v, =0. Es sei Mit dem Satz ist a, = µ v, t H ft dt. π v, H f = v, t H ft dt + + sup v, t H ft a, dt µ µ max ft v, t + t [,π + sup v, t H ft dt + µ µ + sup a, µ 3 max ft v, t. t [,π Dies ergibt lim v, H f =0, 8 0 womit der Satz bewiesen ist.

9 Hilbert-Transformation von BMO-Funktionen und VMO-Funktionen 355 Diskussion: Der Satz gibt Aufschluß über das Konvergenzverhalten der abgeschnittenen Hilbert-Transformation von stetigen Funktionen f. Die Hilbert-Transformierte f einer stetigen Funktion muß nicht unbedingt beschränkt sein, womit eine Ersetzung der VMO-Norm durch die Maximum-Norm im Satz nicht möglich ist. Für viele praktische Anwendungen ist es erforderlich, die Hilbert-Transformierte f von stetigen Funktionen f zu berechnen. Dazu können in der Regel nur numerische ntegrationsverfahren angewendet werden. Bei der Durchführung der numerischen ntegration treten jedoch häufig Probleme auf. Die Ursache dieser Probleme liegt darin begründet, daß die Hilbert-Transformation ein singuläres ntegral darstellt. Standardverfahren sind damit nur bedingt einsetzbar. Der Satz gibt in gewisser Hinsicht einen Ausweg aus dieser Situation an. Gemäß Satz kann die Hilbert-Transformierte f einer stetigen Funktion als erstes durch die abgeschnittene Hilbert-Transformation H f approximiert werden. Die abgeschnittene Hilbert-Transformation stellt nun ein reguläres ntegral dar, welches mit den Verfahren der numerischen ntegration ausgewertet werden kann. Für die praktische Anwendung ist es damit interessant, den Approximationsfehler f H f weiter zu untersuchen. Dazu sind weitere Forschungsarbeiten erforderlich.

10 356 H. Boche Literatur [] J.B. Garnett, Bounded Analytic Functions, Pure and applied Mathematics Bd. 96, Academic Press, New York, 98, [] J. Garcia-Cuerva, J. Rubio De Francia, Weighted norm nequalities and related topics, North-Holland Mathematics Studies, New York, 986 [3] Ch. Pommerenke, Boundary Behaviour of Conformal Maps, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Bd. 99, Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York, 99, [4] D. Sarason, Functions of vanishing mean oscillation, Trans. Amer. Math. Soc. 07, 975, p [5] E.M. Stein, Harmonic Analysis; Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory ntegrals, Princeton Mathematical Series, 43, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 993 [6] A. Torchinsky, Real-variable methods in Harmonic Analysis, Pure and applied Mathematics Bd. 3, Academic Press, New York, 986, [7] A. Zygmund, Trigonometric Series,, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Cambridge, 990, Heinrich-Hertz-nstitut für Nachrichtentechnik Berlin GmbH, Broadband Mobile Communication Networks, Einsteinufer 37, D-0587 Berlin, Germany and Swiss Federal nstitut of Technology ETH Zurich, Communication Technology Laboratory, ETH-Zentrum, Sternwartstrasse 7, CH-809 Zurich, Switzerland