GESETZ VOM ITERIERTEN LOGARITHMUS

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1 KAPITEL 19 GESETZ VOM ITERIERTEN LOGARITHMUS Eines der Hauptanliegen der Wahrscheinlichkeitstheoretiker war seit jeher das Studium der Fluktuationen von geeignet normierten) Summen S n = X X n, deren Glieder zu einer Folge X n )vonunabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen gehören. Die ersten Untersuchungen befassten sich mit dem Spezialfall von zentrierten, Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen. Seit 1909 kannte man als erstes Resultat das starke Gesetz der grossen Zahlen von Borel, das S n /n f.s. 0 besagt. Allerdings war das ein eher bescheidenes Ergebnis, gemessen an dem Ziel, das sich die Mathematiker zu Beginn des Jahrhunderts gesteckt hatten: es besagt ja nur, dass S n = on) fast sicher gilt, was man schwerlich als eine befriedigende Antwort auf die Frage nach dem Verhalten der Folge S n ) akzeptieren konnte. Gleichwohl, ein Anfang war gemacht und herausragende Mathematiker interessierten sich für dieses Problem und erzielten präzisere Resultate. Wir verweisen speziell auf Hausdorff 1913), der zeigen konnte, dass für jedes ε>0 sogar S n = on 1/2)+ε ) fast-sicher gilt, sodann auf Hardy und Littlewood 1914), die zeigten, dass sogar S n = O n log n) fast-sicher gilt. Ein Höhepunkt wurde 1924 erreicht, als Khintchin sein berühmtes Gesetz vom iterierten Logarithmus ankündigte. Wir werden es in diesem Kapitel als Theorem 3.3 vorstellen, wobei der Beweis den historischen Weg zu diesem Resultat nachzuzeichnen versucht. 1. Notation und vorbereitende Lemmata. EsseiY n )n 1) eine Folge von unabhängigen, identisch verteilten Bernoulli-Zufallsvariablen mit 1 2 ε 1 + ε 0 ) als gemeinsamer Verteilung. Für n 1 bezeichne X n die zentrierte und reduzierte Zufallsvariable X n =2Y n 1. Mit gu) wird die erzeugende Funktion der Momente von X 1 benannt, also gu) =g X1 u) =E[e ux 1 ]= 1 2 eu + e u )=chu u R), und für jedes n 1seiS n = n X k.

2 298 KAPITEL 19: GESETZ VOM ITERIERTEN LOGARITHMUS Lemma 1.1. Für jedes u R gilt gu) e u2 /2. Beweis. Esgenügt, die Reihenentwicklungen von gu) = coshu und von e u2 /2 gliedweise miteinander zu vergleichen. Es ist: gu) =coshu = k 0 u 2k 2k)! und e u2 /2 = k 0 u 2k 2 k k!. Damit folgt die Behauptung aus der Ungleichung k 0 gilt. 1 2k)! 1 2 k k! die für jedes Bemerkungen. Setzt man S n = S n/ n und g n u) = g S n u) = gu/ n ) ) n, so folgt aus Lemma 1.1 für alle u R die Ungleichung g n u) e u2 /2. Gemäss dem zentralen Grenzwertsatz gilt aber Sn L N 0, 1) und somit für alle u R g n u) e u2 /2 n ) n ). Man erkennt, dass g n u) von unten gegen e u2 /2 konvergiert. Lemma 1.2. Für jedes a>0 und jedes n 1 gilt 1.1) 1.2) PS n >a e a2 /2n) ; P S n >a 2e a2 /2n). Beweis. Für jedes a>0 und jedes u>0 sind die beiden Ereignisse S n >a und e us n >e ua gleichwertig. Die Markov-Ungleichung zeigt nun PS n >a E[euS n ] = gu)n e ua e, ua woraus wegen Lemma 1.1 PS n >a e nu2 /2) ua folgt. Diese Ungleichung gilt für alle u > 0. Wählt man nun u > 0so, dass der Ausdruck auf der rechten Seite minimal wird, also so, dass bei u 0 die Ableitung des Exponenten verschwindet, so findet man u 0 = a/n und der Wert des Exponenten ist a 2 /2n). Damit ist die Ungleichung 1.1) gezeigt. Da die Zufallsvariable S n symmetrisch ist, gilt für jedes n 1 PS n < a =PS n >a, und daraus ergibt sich die Ungleichung 1.2).

3 1. NOTATIONEN UND VORBEREITENDE LEMMATA 299 Lemma ) P Für jedes a>0, jedesn 1 und jedes u 0 gilt sup S k a E[euS n ] e ua. Beweis. Wir betrachten die disjunkten Ereignisse A 0 = S 1 <a 1,...,S n <a, A 1 = S 1 a, A k = S 1 <a,...,s k 1 <a,s k a k =2,...,n), deren Vereinigung alle Möglichkeiten ausschöpft. Es gilt A k = sup S k a, und für jedes u 0 kann man daher n n 1.4) E[e us n ] e us n dp= e us n I Ak dp A k schreiben. Wenn wir jetzt für jedes k =1,...,n die Zerlegung S n = S k + R k mit R k = X k X n betrachten für k = n sei R n = 0), so erhalten wir ) e us n I Ak dp= e us k I Ak e ur k dp. Die beiden Zufallsvariablen e us k I Ak und e ur k sind nun aber unabhängig die erste hängt nur von den X 1,..., X k ab, die zweite von X k+1,..., X n ). Daher gilt weiter e us n I Ak dp= e us k I Ak dp e ur k dp e ua PA k ) gu) ) n k, und wegen gu) 1erhält man e us n I Ak dp e ua PA k ). Blickt man auf 1.4) zurück, so hat man insgesamt E[e us n ] e ua n PA k )=e ua P = e ua P sup A k ) S k a.

4 300 KAPITEL 19: GESETZ VOM ITERIERTEN LOGARITHMUS 1.5) 1.6) Lemma 1.4. Für jedes a>0 und jedes n 1 gilt: P sup S k >a e a2 /2n) ; P sup S k >a 2e a2 /2n). Beweis. Majorisiert man die rechte Seite von Ungleichung 1.3) aus Lemma 1.3 ebenso, wie das im Beweis von Lemma 1.2 gemacht wurde, so erhält man die Ungleichung 1.5). Da die Zufallsvariablen S n symmetrisch sind, gilt noch P P S k a ; inf S k a damit erhält man auch die Ungleichung 1.6). 2. Zwischenresultate sup Theorem 2.1 Gesetz der grossen Zahlen, E. Borel, 1909). Für n gilt S n /n f.s. 0, d.h.s n = on) fast-sicher. Beweis. Setzt man in Lemma 1.2 2) a = nε, so erhält man für jedes ε > 0 die Ungleichung P S n /n > ε 2e ε2 /2)n.Dafür jedes ε>0die rechte Seite das allgemeine Glied einer konvergenten Reihe ist, gilt ebenso n 1 P S n/n >ε < ; daraus ergibt sich die Aussage von Theorem 2.1. Im Jahr 1914 konnten Hardy und Littlewood 1 S n = O n log n) fastsicher zeigen: Dieses Resultat wurde 1922 von Steinhaus noch verfeinert. Theorem 2.2 Steinhaus, 1922). Fast-sicher gilt lim sup S n 1. 2n log n Dies besagt, dass für jedes c>1 fast-sicher nur endlich viele der Ereignisse E n = S n >c 2n log n eintreten können. Beweis. Aus Lemma 1.2 2) mit a = c 2n log n folgt PE n ) 2e c2 log n =2n c2.für jedes c>1 ist aber die rechte Seite das allgemeine Glied einer konvergenten Reihe. Das gilt also auch für PE n ) und das Lemma von Borel-Cantelli liefert die Behauptung. 1 Hardy G.H.) and Littlewood J.E.). Some problems of Diophantine approximation, Acta Math., vol ), p

5 3. DAS GESETZ VOM ITERIERTEN LOGARITHMUS Das Gesetz vom iterierten Logarithmus 2 Theorem 3.1. Fast-sicher gilt lim sup S n 1. 2n log log n Dies besagt, dass für jedes c>1 fast-sicher nur endlich viele der Ereignisse A n = S n >c 2n log log n eintreten können. Beweis. Wirwählen ein c>1 und eine Zahl γ mit 1 <γ<c.für r 1 bezeichne n r die zu γ r nächstgelegene ganze Zahl. Wir betrachten nun das Ereignis B r = sup S n > 2n r log log n r. n r <n n r+1 Wenn man nun zeigen kann, dass das Ereignis B r nur für endlich viele Indices eintreten kann, so kann auch das Ereignis A n nur für endlich viele Indices n eintreten. Wegen des Lemmas von Borel-Cantelli genügt es also, die Konvergenz der Reihe PB r ) zu zeigen. Um die Richtigkeit dieser Aussage zu erkennen, wendet man Lemma 1.4 2) mit a = c 2n r log log n r an: PB r ) 2e c2 n r /n r+1 )loglogn r 1 ) c 2 n r /n r+1 ) =2. log n r Nun ist n r /n r+1 ) 1/γ) > 1/c), und daher n r /n r+1 > 1/c für hinreichend grosses r. Damit hat man für hinreichend grosses r auch die Abschätzung 1 ) c 1 ) c. PB r ) 2 2 log n r r log γ Für jedes c > 1 ist aber die rechte Seite das allgemeine Glied einer konvergenten Reihe. Dies gilt dann auch für die PB r ), und unter Berufung auf das Lemma von Borel-Cantelli ist das Theorem somit bewiesen. Theorem 3.2. Für jedes c mit 0 < c < 1 tritt das Ereignis A n = S n >c 2n log log n für unendlich viele Indices ein. Beweis. Wirwählen 0 < c < 1, eine ganze Zahl γ und eine reelle Zahl η mit γ 2 und 0 <c<η<γ 1)/γ < 1. Dann sei noch n r = γ r r 1). a) Wenn das Ereignis A nr für unendlich viele Indices r eintritt, dann tritt auch das Ereignis A n für unendlich viele Indices n ein. 2 Dieser Abschnitt orientiert sich an der Darstellung von Feller, An Introduction to Probability and its Applications, vol. 1. Wiley, NewYork, 1966, p

6 302 KAPITEL 19: GESETZ VOM ITERIERTEN LOGARITHMUS b) Wir setzen D r = S nr S nr 1 = n r k=n r 1 +1 X k.dannsindfür jedes r 1 die Variablen D r und S nr 1 unabhängig; ebenso sind die D r r 1) untereinander unabhängig. Setzt man also B r = D r >η 2n r log log n r,c r = S nr 1 > η c) 2n r log log n r, so hat man die Inklusion B r C r A nr. c) Wir werden nun sehen, dass bei geschickter Wahl η das Ereignis C r fast-sicher für jeden Index r eintritt, und zwar bis auf eine endliche Ausnahmemenge. Tatsächlich tritt nach Theorem 3.1 das Ereignis E r = Snr 1 < 2 2nr 1 log log n r 1 fast-sicher für jeden Index r ein, bis auf eine endliche Ausnahmemenge. Wählen wir nun η genügend nahe bei 1, damit 1 η<η c)/r) 2 gilt, so ist 4n r 1 =4 n r γ < 4n r1 η) <n r η c) 2, und man erhält E r = Snr 1 < 2 2nr 1 log log n r 1 S nr 1 < η c) 2n r log log n r S nr 1 > η c) 2n r log log n r = C r. Aus der Inklusion E r C r folgt nun die Behauptung. d) Wir werden nun PB r ) = + zeigen. Da die B r r 1) unabhängig sind, folgt aus dem Lemma von Borel-Cantelli, dass das Ereignis B r fast-sicher für unendlich viele Indices r eintreten muss. In der Tat, D r ist eine Zufallsvariable mit der Varianz n r n r 1. Die reduzierte Variable ist also Dr = D r/ n r n r 1, und sie erlaubt es, B r folgendermassen zu schreiben: B r = Dr n r >η 2 log log n r. n r n r 1 Wegen n r /n r n r 1 )=γ/γ 1) < 1/η gilt für 0 <η<1 B r D r > η 2loglogn r = D r > η 2 logr log γ). NunhatmanaberDr L N 0, 1) für r. Folglich ist die Reihe mit dem allgemeinen Glied PDr > η 2 logr log γ) divergent, und daraus folgt die Behauptung. e) Aus c), d) und der Inklusion B r C r A nr folgt, dass das Ereignis fast-sicher für unendlich viele Indices r eintritt. A nr

7 3. DAS GESETZ VOM ITERIERTEN LOGARITHMUS 303 Theorem 3.2. Für jedes c mit 0 < c < 1 tritt das Ereignis A n = S n < c 2n log log n für unendlich viele Indices ein. Beweis. Dies ergibt sich aus Theorem 3.2, da die Variablen S n symmetrisch sind. Die Theoreme 3.1, 3.2, 3.2 zusammenfassen. lassen sich nun zu der folgenden Aussage Theorem 3.3 Gesetz vom iterierten Logarithmus, Khintchin, 1924). Fast-sicher gilt lim sup S n 2n log log n =1 und lim inf S n 2n log log n = 1. Anders formuliert, für jedes ε>0wird die Folge mit dem allgemeinen Term S n fast-sicher den Wert 1 + ε) 2n log log n höchstens endlich oft überschreiten; andererseits wird sie fast-sicher den Wert 1 ε) 2n log log n unendlich oft überschreiten. Ganz analog ist sie fast-sicher höchstens endlich oft kleiner als 1 + ε) 2n log log n, aber andererseits unendlich oft kleiner als 1 ε) 2n log log n. Korollar. Mit Wahrscheinlichkeit 1 nimmt die Folge S n ) jeden ganzzahligen Wert an. In späteren Untersuchungen versuchte man sich von der klassischen Hypothese zu befreien, dass die Y n Bernoulli-verteilt sind mit Parameter 1 2.Wir zitieren zum Abschluss eines der zahlreichen Ergebnisse in dieser Richtung. Theorem 3.4 Hartman-Wintner, ). Es sei X n ) n 1) eine Folge von unabhängigen, identisch-verteilten und zentrierten Zufallsvariablen aus L 2 mit σ>0als gemeinsamer Standardabweichung. Ferner sei S n = n X k n 1). Dann gilt fast-sicher lim sup S n 2n log log n = σ und lim inf S n 2n log log n = σ. 3 Hartmann Ph.) and Wintner A.). On the law of the iterated logarithm, Amer. J. Math., vol. 63, p

8 304 KAPITEL 19: GESETZ VOM ITERIERTEN LOGARITHMUS ERGÄNZUNGEN UND ÜBUNGEN 1. Es sei Y n )n 1) eine Folge von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen mit pε 1 + qε 0 für 0 <p<1, p + q = 1 als gemeinsamer Verteilung. Man setzt X n =Y n p)/ pq und S n = n X k n 1). a) Man berechne die erzeugende Funktion gu) dermomentevonx 1. b) Für jedes u R gilt gu) 1. Für p = q = 1 ist das banal.) 2 Lösung. Für jedes reelle u ist gu) =g X1 u) =E[e ux 1 ]=pexp u q ) + q exp u p ). pq pq Setzt man a =exp u q ), b =exp u p ),soistgu) =pa + qb nichts pq pq anderes als das arithmetische Mittel von a und b, wogegen a p b q was gleich 1 ist) das geometrische Mittel von a und b ist. Nun folgt gu) 1 aus der klassischen Relation zwischen beiden Mittelwerten. 2. Es gelten weiterhin die Bezeichnungen aus der vorigen Aufgabe. Die Ungleichung gu) e u2 /2 gilt für alle u 0, falls p q ist, sowie für alle u 0, falls p q ist. Im Fall p = q = 1 2 wurde diese Ungleichung in Lemma 1.1 behandelt). Lösung. Wirführen den Beweis für p q, u 0. Dazu betrachten wir die Funktion fu) =u 2 /2) Log gu). Es ist Wegen und f u) =u g u) gu), f u) =1+ g 2 u) gu)g u). g 2 u) g u) = pq exp u q ) exp u p )) pq pq g u) =q exp u q ) + p exp u p ), pq pq hat man g 2 u) gu)g u) = exp u ) p q). pq Somit ist f u) =1 1 g 2 u) exp u ) p q). Nach Aufgabe 1 und den pq Voraussetzungen p q 0, u 0 folgert man f u) 1 exp u ) p q) 0. pq Die Funktion u fu) u 0) ist also konvex; ausserdem ist f0) = 0 und f 0) = 0. Also muss fu) 0für alle u 0gelten.

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