Graphen III- Kostennetz

Transkript

1 Graphen III- Kostennetz Beim nächsten Besuch wird Aloysius auch schon mit dem nächsten Problem betraut: Die fünf Orte in den schweizerischen Alpen sollen mit neuen elektrischen Leitungen verbunden werden. Ein Ingenieurbüro hat schon Untersuchungen angestellt und die Kosten für die direkte Verbindung zweier Orte ermittelt. Die Kosten sind in der Skizze in Schweizer Franken eingetragen. Aloysius wird zunächst mal zu allgemeinen Überlegungen angeregt: - wie viele Verbindungsstrecken hätten eigentlich 10, 100, 1000 Orte, welche Formel gibt es dafür? - sein Honorar soll 0,7% der Kosten aller Strecken ausmachen. Erhält er dafür mehr als? Jetzt zum eigentlichen Problem: - wie könnte er die einzelnen Kosten abspeichern, gibt es da Besonderheiten? - wie könnte man das kostenminimale Netz ermitteln? Zu dem letzteren macht er erst einmal Schreibtischüberlegungen : - Er startet einfach mit ; - er ermittelt den Ort, den er von am günstigsten verbinden kann; - dann sucht er von beiden Orten wieder denjenigen (verbliebenen) Ort, der von einem der beiden Orte ausgehend am günstigsten verbunden kann; - dann sucht er von den bisherigen drei Orten... Führen Sie das Verfahren von Aloysius praktisch durch: a) von ausgehend b) von ausgehend c)... Welche Bedeutung hat der Startort, wie findet man den optimalen? Wie kann man einen passenden Algorithmus formulieren?

2 Lösung (Algorithmus von Prim): Wir suchen von das am günstigsten zu erreichende Dorf. Das ist offenbar mit Kosten von. Wir verbinden die beiden Dörfer! Nun suchen wir von und wieder die günstigste Verbindung! Von ist das günstigste nach, von gibt es aber noch was günstigeres, wir verbinden also mit mit Kosten von. Gesamtkosten bisher: 440. Jetzt müssen wir alle drei verbundenen Dörfer betrachten und suchen wieder das Beste: indem wir alle betreffenden Zahlen vergleichen (die kleinste suchen), finden wir als nächste Verbindung diejenige von nach mit heraus. Die Kosten betragen dann bisher insgesamt 650. (Skizze s.u.) Als letztes bleibt noch eine weitere Verbindung zu suchen. Geht man wieder von allen verbunden zu allen noch nicht verbundenen (hier nur noch eins) Dörfern durch, so findet man die Verbindung von nach. Das ist jetzt die noch

3 fehlende Verbindung und schlägt mit Kosten von zu Buche (teuer, aber noch am billigsten!) vorletzter Schritt: letzter Schritt: Startet man an einem anderen Ort, so ergibt sich auf den ersten Blick verblüffend, dann aber offensichtlich wieder genau das gleiche Ergebnis. Hier sieht man die Ausgabe bei Start in (Ziffer 4). Verbindungsleitung: 4 <---> 2 Verbindungsleitung: 2 <---> 1 Verbindungsleitung: 1 <---> 0 Verbindungsleitung: 0 <---> 3 Minimale Kosten betragen: 995

4 Als Algorithmus für einen Verbindungsschritt können wir folgendes notieren: setze bisherigeoptimum auf großen Wert (z.b ) für alle Dörfer Dorf1 tue für alle Dörfer Dorf2 tue wenn Dorf1 schon verbunden ist und Dorf2 noch nicht verbunden ist und die Verbindungskosten zwischen Dorf1 und Dorf2 günstiger als das bisherigeoptimum merke dir Dorf1 als OptimalDorf1 merke dir Dorf2 als OptimalDorf1 setze das bisherigeoptimum auf die Kosten zwischen Dorf1 und Dorf2 ende für Dorf2-Schleife ende für Dorf1 Schleife verbinde jetzt OptimalDorf1 und OptimalDorf2 markiere Dorf2 als verbunden Wie viele Schritte haben wir nun gemacht? Natürlich brauchen wir für fünf Dörfer nur 4 Verbindungen, allgemein immer eine Verbindung weniger als die Anzahl der Dörfer. Also muss obiger Algorithmusteil noch in eine Schleife für zähler = 1 bis AnzahlDörfer-1 ; AnzahlDörfer entspricht bei uns dim. (Dabei wird die Variable zähler für nichts anderes benutzt als einfach die Schritte durchzuzählen.) Welche Datenstrukturen (Klassen) brauchen wir? Wegen der Ähnlichkeit zu anderen Graphenproblemen und der Tatsache, dass die Verbindungen mit Werten versehen sind, legt es nahe, die Klasse GraphBewertet zu Grunde zu legen. Diese verfügt schon über eine Adjazenzmatrix, die zum Abspeichern des Kostennetzes dienen kann. Auch ein Weg zur Abspeicherung der verbundenen Orte ist vorhanden. Wir benötigen dann noch eine Möglichkeit zur Abspeicherung der real einzurichtenden Verbindungen. Dazu kann man einfach eine weitere zunächst leere Adjazenzmatrix ( Kanten ) benutzen.

5 Weiteres Verfahren (Herkunft unbekannt): Wir suchen in dem Graphen einen geschlossenen Weg, z.b. A-B-C-A. Aus diesem entfernen wir die Kante mit dem höchsten Wert, das ist hier die Kante von A nach C: Der nächste geschlossene Weg ist der von A-B-C-D-A. Auch hier wird die teuerste Kante entfernt, das ist die von C nach D:

6 Von A beginnend entdeckt man noch einen geschlossenen Weg über A-B-D-A. Die Kante mit den höchsten Kosten ist hier die von B nach D. Nach Entfernung ergibt sich folgendes Bild Die Suche nach geschlossenen Wegen geht weiter. A-B-C-E-A gibt es noch, von denen die Kante E-A entfernt wird.

7 Wir suchen wieder konsequent dem Alphabet nach und finden noch den Weg A-B- C-E-D-A und entfernen hier den Weg von E nach D: Da es von A jetzt keinen geschlossenen Weg mehr gibt, suchen wir noch Wege von B nach B und finden B-C-E mit der teuersten Kante B-E, die noch entfernt wird:

8 Jetzt gibt es keine geschlossenen Wege mehr und der minimale Spannbaum ist fertig!