Analytische Berechnung der Stromortskurven von Drehstrom-Asynchronmaschinen

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1 Analytische Berechnung der Stromortskurven von Drehstrom-Asynchronmaschinen 1 Gleichungen der Drehstrom-Asynchronmaschine 1.1 Strom- und Spannungsgleichungen Die mathematischen Beziehungen für Motoren mit Schleifringläufer und Einfachkäfigläufer werden im Folgenden auf der Basis von [1] entwickelt. Randbedingungen Symmetrischer Betrieb am Drehstromnetz mit fester Statorspannung und konstanter Statorfrequenz nur Grundfeldverhalten Sättigung, Reibung- und Eisenverluste vernachlässigt Literatur: [1] Nürnberg, W.: Die Asynchronmaschine. Springer-Verlag 1963 [2] Müller, G.: Elektrische Maschinen. Betriebsverhalten. Verlag Technik 1990 [3] Müller, R.: Modellierung, Analyse und Simulation elektrischer und mechanischer Systeme mit Maple und MapleSim. Springer Vieweg 2015 Die Verhältnisse in einer Asynchronmaschine mit Schleifring- oder Einfach-Käfigläufer lassen sich durch das Schema in Abb.1 beschreiben. Abb. 1 Ersatzschema einer Asynchronmaschine Dabei sind R 1, R 2... Ohmsche Widerstände der Ständer- und der Läuferwicklung

2 X, X Streureaktanzen der Ständer- und der Läuferwicklung X 1h, X 2h... Hauptreaktanzen X Verkettungsreaktanz Mit X + X 1h = X 1 und X + X 2h = X 2 erhält man die Spannungsgleichungen der sekundär kurzgeschlossenen Asynchronmaschine mit Schleifringläufer, die im Folgenden in Maple-Notation angegeben werden. restart: interface(imaginaryunit=j): G1:= U[1] = I[1]*(R1+j*X1) + I[2]*j*X12; # Nürnberg S.153 G2:= 0 = I[1]*j*X12*s + I[2]*(R2+j*X2*s); G3:= isolate(g2, I[2]); Aus Gleichung G1 folgt durch Ersetzen von I 2 mittels G3 G4:= subs(g3, G1); G5:= isolate(g4, I[1]); G5 ist die Gleichung des primären Stromes I 1 der sekundär kurzgeschlossenen und mit dem Schlupf s laufenden Asynchronmaschine. Dem Betriebspunkt s = 0 bzw. n = n0 ist der ideelle Leerlaufstrom I 0 zugeordnet. Im Motorbetrieb ist dieser Betriebspunkt nicht erreichbar, denn wegen s = 0 ist auch I 2 = 0, es kann also kein Moment erzeugt werden. I 0 unterscheidet sich daher von dem im Leerlauf des Motors gemessenen Strom I[1,0]. GI0:= simplify(subs(i[1]=i[0], s=0, G5)); Der Strom im Stator setzt sich zusammen aus dem Leerlaufstrom und dem auf die Statorseite transformierten Strom im Läufer. Der auf die Primärseite reduzierte Läuferstrom (I 2 ) ist daher G6:= subs(i[1]-i[0]=i [2], G5-GI0);

3 Einführung des komplexen (natürlichen) Übersetzungsverhältnisses ü G7:= ü = (R1+j*X1)/(j*X12); Der Absolutwert von ü legt das Verhältnis zwischen Ständer- und Läuferspannung bei Stillstand des Rotors und offenen Läufersträngen fest. G8:= lhs(g7)^2 = abs(rhs(g7)^2) assuming real In G6 wird mit Hilfe von G8 X12 ersetzt und außerdem werden auf die Ständerseite transformierte Widerstände und Reaktanzen des Rotors eingeführt: GX12:= isolate(g8, X12^2) G9:= subs(gx12, R2=R2 /ü^2, X2=X2 /ü^2, G6); # Vereinfachung von G9: G10:= evala(g9) G11:= collect(g10, [U[1],s]) Der Teilausdruck a:= -(-j*x1+r1)/(r1+j*x1) betrag_a:= abs(a) assuming R1=0.3, X1=120; winkel_a:= argument(a) assuming R1=0.2, X1=120; Weil R 1 <<X 1 ist 0, wobei 0 der Winkel ist, um den der Leerlaufstrom der eisen- und

4 reibungsverlustfreien Maschine gegen den idealen Magnetisierungsstrom I (reiner Blindstrom) voreilt. Daraus folgt die Gleichung GErw:= -(-j*x1+r1)/(r1+j*x1) = exp(2*j*alpha[0]); mit alpha[0] = arctan(r1/x1) Der Ausdruck auf der rechten Seite von G13 wird nun erweitert - der Zähler mit der rechten und der Nenner mit der linken Seite der Gleichung GErw. G12:= lhs(g11) = rhs(g11)*rhs(gerw)/lhs(gerw); G12 lässt sich auf die Form G13 bringen. Diese Schreibweise wird bevorzugt, weil sich damit I 2 auch für s0n problemlos berechnen lässt. G13:= I [2] = U[1]*exp(j*2*alpha[0])/(R1+R2 /s+j*(x2 -X1)); Der Ausdruck X2 -X1 bestimmt den Durchmesser des Ortskurvenkreises und wird daher als Durchmesserreaktanz ([1]) bezeichnet. Er wird durch das Symbol X ersetzt: G14:= X2 = X[Theta]+X1; GI2:= algsubs(g14, G13); Außerdem gelten die Gleichungen GI0 und GI1: GI0; GI1:= I[1] = I [2]+I[0]; Die Gleichungen GI2, GI0 und GI1 befriedigen das in Abb. 2 dargestellte Ersatzschaltbild [2]. Die zusätzliche Spannungsquelle dreht die Spannung U 1 0.

5 1.2 Leistungen und Momente Abb. 2 Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine [2] Die vom Ständer auf den Rotor übertragene Wirkleistung ist gleich der im Widerstand R2 /s umgesetzten Leistung P = 3$ 2 R2 /s, die als Luftspaltleistung bezeichnet wird. Die Stromwärmeverluste im Rotor sind P 2,v. = 3$ 2 R2. Es ist also P 2,v = P Reibungsverluste) gilt demnach Pmech = P - P 2,v = P - P P (1-s). Es gilt aber auch Pmech = M$w. Daraus folgt M$w = P (1-s) = 3$ I 2 2 GL1:= M*omega = 3*abs(I [2])^2*R2 /s*(1-s); GL2:= isolate(gl1, M); Mit der synchronen mechanischen Drehzahl n0 und dem Schlupf s folgt daraus GL3: GL3:= omega = n0*pi/30*(1-s) Mit GL3 und GI2 (Abschn. 1.1) folgt aus GL2 GL4:= subs(gl3, GI2, GL2); GL5:= simplify(gl4) assuming real, U[1]0;

6 Nach Division von Zähler und Nenner durch s und durch R2 erhält man für das Moment die Formel GM: GM:= M = 3*U[1]^2/(n0*Pi/30*((R1^2+X[Theta]^2)*s/`R2 `+ `R2 `/s+2*r1)) Bestimmung von Kippschlupf und Kippoment: Es wird die Nullstelle des Differentials dm/ds, d. h. des Differentials der rechten Seite von GM, gesucht: Loe_sk:= solve(diff(rhs(gm),s)=0, s); Für den Motorbetrieb ist die erste Lösung der Gleichung gültig und wird in GM eingesetzt. Gskipp:= skipp = Loe_sk[1]; GMkipp:= simplify(subs(m=mkipp, s=loe_sk[1], GM)); Die Größe des Kippmoments Mkipp ist demnach von R2 unabhängig. 2 Anwendungsbeispiel: Schleifringläufer 200 kw Typ:= "Asynchronmotor mit Schleifringläufer": katalog:= # Katalogdaten P=200, # Nennleistung in kw Mn=1342, # Nennmoment in Nm, Ma=1136, # Anlaufmoment in Nm Mkipp=2558, # Kippmoment in Nm Un=380, # verkettete Spannung in V U[1]=380/sqrt(3), # Strangspannung in V R1=0.0388, # Strangwiderstand Ständerwicklung n0=1500, # Synchrondrehzahl in 1/min nn=1424, # Nenndrehzahl in 1/m in In=376, # Nennstrangstrom in A cosphi_n=0.95, # cos(phi) bei Nennlast Uk=96.7, # verkettete Kurzschlussspannung in V cosphi_k=0.451, # cos(phi) im Kurzschlusspunkt I0=41.8, # Effektivwert des gemessenen Leerlaufstroms in A

7 cosphi_0=0.2924; # cos(phi) im Leerlauf interface(displayprecision=4): 2.1 Parameterermittlung Die Parameterermittlung erfolgt über die bekannten Werte der Primärströme: - Nennstrom In, - Kurzschlussstrom 1k : berechnet aus dem Verhältnis Nennspannung/Kurzschlussspannung und In - Leerlaufstrom I0 (Messwert). Statt des ideellen Leerlaufstroms I 0 wird hier, wie allgemein bei der Darstellung des Heilandkreises üblich, der durch eine Messung ermittelte Leerlaufstrom I0 Unter dem Namen katalog sind die für die weitere Rechnung erforderlichen Werte oben als Folge zusammengefasst. Zeiger des Leerlaufstroms: I_[1,0]:= subs(katalog, 'I0*exp(-j*arccos(cosphi_0))'); Zeiger des Nennstroms: I_[1,n]:= subs(katalog, 'In*exp(-j*arccos(cosphi_n))'); Effektivwert des Kurzschlussstroms: Ik:= subs(katalog, In*Un/Uk); Zeiger des Kurzschlussstroms: I_[1,k]:= subs(katalog, Ik*'exp(-j*arccos(cosphi_k))'); Zeiger und Effektivwert des transformierten Rotor-Nennstroms: I_[2,n]:= I_[1,n]-I_[1,0]; I2n:= abs(i_[2,n]) Zeiger und Effektivwert des transformierten Rotor-Kurzschlussstroms: I_[2,k]:= I_[1,k]-I_[1,0]; I2k:= abs(i_[2,k]) Gleichung des Effektivwertes des transformierten Rotorstroms: GI2abs:= I2 = abs(rhs(gi2)) assuming U[1]0;

8 Berechnung von X1: Z1p:= evalf(subs(katalog, U[1]/I_[1,0])); Zusammenfassen der Katalogwerte und X1 in der Parameterliste param1: param1:= katalog, X1=Im(Z1p); param2:= param1, alpha[0]=subs(param1,arctan(r1/x1)) Schlupf-Gleichung: Gs:= s = 1-nn/n0; Gleichung für den Schlupf bei Nennbetrieb: Gsn:= evalf(subs(n=nn, katalog, Gs)); Gleichung des Effektivwertes des transformierten Rotorstroms im Nennbetrieb: GI2n:= subs(i2=i2n, s=1-nn/n0, param2, GI2abs); Gleichung des Effektivwertes des transformierten Rotorstroms im Kurzschlusspunkt: GI2k:= subs(i2=i2k, param2, s=1, GI2abs); {GI2n,GI2k}: Loe2:= solve({gi2n,gi2k},[r2,x[theta]]) assuming real; Loe2[1] Loe2[1,2]

9 Übernahme der berechneten Werte in die Parameterlisten param3 und param4: param3:= param2, op(loe2[1]); Wenn R2 variabel sein soll, dann ist der Parametersatz param4 zu verwenden: param4:= param2, Loe2[1,2]; Aus dem transformierten Strom I 2 und dem Messwert des Leerlaufstroms wird eine neue Gleichung für I 1 gebildet : GI1s:= I[1] = rhs(gi2) + 'I0*exp(-j*arccos(cosphi_0))'; I1s:= subs(param3, rhs(gi1s)); Anlaufstrom: evalf(subs(s=1, I1s)); Bei der grafischen Ausgabe einer komplexen Zahl mit dem Befehl complexplot liegt der Realteil auf der Abszisse und der Imaginärteil auf der Ordinate. In der üblichen Form des Kreisdiagramms wird aber der Realteil des Stromes auf der Ordinate und der Imaginärteil auf der Abszisse dargestellt. Daher werden für die Darstellung der Ortskuve alle Ströme durch Multiplikation mit j entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. 2.2 Darstellung der Stromortskurve with(plots): setoptions(size=[400,450]): plotsetup("inline",plotoutput=terminal,plotoptions="colour=cmyk, resolution=2000"): Herausgehobene Punkte der grafischen Darstellung: Pn:= evalf(subs(gsn, j*i1s)); Pk:= evalf(subs(s=1, j*i1s)); Pkipp:= evalf(subs(s=skipp, Gskipp, param3, j*i1s));

10 Strom bei s0n: Pinf:= evalf(subs(s=infinity, Gskipp, param3, j*i1s)); Punkt:= style=point, symbol=solidcircle, symbolsize=15: pi1:= complexplot(j*i1s, s=infinity..-infinity): pi2:= complexplot([pn], Punkt): pi3:= complexplot([pkipp], Punkt): pi4:= complexplot([pk], Punkt): pi5:= complexplot([pinf], style=point, symbol=solidbox, symbolsize=15): Winkel zwischen Drehmomentlinie und Abszisse rho1 = arctan(r1/x[theta]): Winkel zwischen Leistungslinie und Abszisse rho2 = arctan((r1+r2 )/X[Theta]): 0 gedreht. pp1:= subs(param3, 1600*(1+j*R1/X[Theta])*exp(2*j*alpha[0])); 0 gedreht. pp2:= subs(param3, 1600*(1+j*(R1+R2 )/X[Theta])*exp(2*j*alpha[0] )); Drehmomentlinie ppm2:= complexplot([j*i_[1,0], pp1], color=blue, legend= ["Drehmomentlinie"], legendstyle=[location=top]): Leistungslinie ppl2:= complexplot([j*i_[1,0], pp2], color=red, linestyle=dash, legend=["leistungslinie"]): Titel:= subs(katalog,title=typeset(typ,"\n", P, " kw, ",Un," V, ", In," A\n")): d:= 0.05*I2k: # Textabstand text:= textplot(subs(katalog,[[re(pkipp), Im(Pkipp)+1.5*d, "Pkipp"], [Re(Pn)-0.5*d, Im(Pn)+d,"Pn"], [Re(Pk)+d, Im(Pk)+d, "Pk"], [Re(Pinf)+d,Im(Pinf)+d,"Pinf"]])): interface(displayprecision=2): KD:= display(pi1,pi2,pi3,pi4,pi5,ppm2,ppl2, Titel, text, scaling=constrained, gridlines, labels=['im(i1)','re(i1)'], size=[400,450]): display(kd);

11 2.3 Weitere Auswertungen des Modells Drehzahl-Drehmoment-Kennlinie pm:= subs( s=1-n/n0, param3, GM); plot(rhs(pm),n= , gridlines, size=[300,200]);

12 Anlaufmoment: Ma:= subs(s=1, param3, GM); Vorwiderstand für das Anlassen mit dem Moment M = 1960 Nm interface(displayprecision=4): GM; Anpassung der Gleichung GM für das Anlassen mit beliebigem Vorwiderstand Rv. GMv:= subs(r2 =R2 +Rv, GM); Die aktuellen Modellparameter werden eingesetzt und die neue Gleichung GMav nach Rv aufgelöst. GMav:= subs(param3, s=1, M=1960, GMv); LRv := solve(gmav, Rv ); Es ergeben sich zwei Lösungen, die bei gleichem Anlassmoment unterschiedliche Momentenverläufe und auch verschiedene Verläufe des Anlassstroms repräsentieren. Rv1 := LRv [1] Rv2 := LRv [2] Mv1:= subs(rv =Rv1, param3, rhs(gmv));

13 Mv2:= subs(rv =Rv2, param3, rhs(gmv)); setoptions(size=[300,200]); plot([mv1, Mv2],s=0..1, gridlines, legend=["rv1","rv2"], title= "Momentenverlauf M(s)"); GI1s; Is:= rhs(gi1s); Anpassung der Gleichung für den Ständerstrom Is bei Zusatzwiderstand im Läufer: Isv:= subs(r2 =R2 +Rv, Is); Einsetzen der Parameter und der zwei Lösungen für den Vorwiderstand. Isv1:= subs(param3, Rv =Rv1, Isv) Isv2:= subs(param3, Rv =Rv2, Isv)

14 plot([abs(isv1), abs(isv2)], s=0..1, gridlines, legend=["rv1", "Rv2"], title="stromverlauf I1(s)"); Anfahrstrangstrom bei Vorwiderstand Rv1: Isva:= evalf(abs(subs(s=1, Isv1))); Die obigen Werte Rv des Vorwiderstandes für das Anlassen des Motors sind auf die Primärseite bezogen und müssen noch in reale Werte umgerechnet werden. Rv1:= subs(ü=1.584, Rv1 /ü^2); Rv2:= subs(ü=1.584, Rv2 /ü^2); Animation der Verschiebung des Kurzschlusspunktes (Anlaufpunktes) auf der Ortskurve Parametrierte Gleichung des Ständerstroms: Isp:= subs(param3, Is); Kurzschlusspunkt bei variablem Rotorwiderstand R2 : Ikv:= subs(param4, s=1, Is); kreis:= complexplot(j*isp, s=infinity..-infinity): bezeichnung:= caption="wanderung des Kurzschlusspunktes auf der Stromortskuve\n der Asynchronmaschine bei Vergrößerung von R2 \n in Schritten von Delta_R2 =0,03": animate(complexplot, [j*ikv, s=0..1, Punkt], R2 = ,

15 scaling=constrained, gridlines, background=kreis, frames=100, view=[ ,0..900], bezeichnung, size=[400,250], trace=10); Werte am Kipppunkt: subs(param3, Gskipp); subs(s=skipp, Gskipp, param3, GM); I1kipp_:= evalf(subs(s=skipp, Gskipp, param3, I1s)); I1kipp:= abs(i1kipp_); Statorstrom als Funktion des Schlupfes s: I1s; plot(abs(i1s), s=0..1, gridlines, labels=["s", "I1 in A"], labelfont=[times, 14]);

16 2.4 Druck des Kreisdiagramms Das Kreisdiagramm wird durch die folgenden Anweisungen im Postskriptformat in der Datei print. eps gespeichert, um es bei Bedarf ausdrucken zu können. Mit dem Befehl plotsetup wird die Form der Ausgabe vorbereitet. In Anpassung an die übliche Darstellung des Kreisdiagramms werden die Achsenbezeichnungen und auch die Achsenmarkierungen bei der Ausgabe unterdrückt. Das Postskriptformat wird wegen der Qualität des Druckbildes bevorzugt. Für das Drucken des Postskriptfiles wurde beim Programmtest des lizenzfreie Programm GSview verwendet. Wenn während der Ausführung des Programms die Frage "Kreisdiagramm drucken?" mit "ja" beantwortet wird, kommt automatisch das in der Datei print.eps abgelegte Diagramm über GSview (oder ein anderes geeignetes Programm) zur Anzeige und kann ausgedruckt werden. Anschließend wird die Eingabe der Länge der Strecke vom Nullpunkt des Koordinatensystems zum Punkt P k angefordert und daraus Strom-, Drehmoment- und Leistungsmaßstab für das gedruckte Diagramm berechnet. Diese Daten werden auf dem Bildschirm angezeigt und außerdem gemeinsam mit dem Kreisdiagramm in die korrigierte Datei print.eps eingetragen, die wiederum angezeigt wird und ausgedruckt werden kann. Umschaltung von Bildschirm- auf Druckerausgabe: plotsetup(ps, plotoutput="print", plotoptions="noborder, resolution=1000"); KD2:= display(kd, font=[times,8], tickmarks=[0,0], labels=[" "," "], titlefont=[times,10], captionfont=[times,8], legendstyle= [font=[times,6], location=top], size=[200,350], caption=typeset ("\nstrommaßstab: ", 0, " A/mm\rLeistungsmaßstab: ", 0, " kw/mm \ndrehmomentmaßstab: ", 0, " Nm/mm"), thickness=0): KD2; druck:= readstat("kreisdiagramm drucken? ja oder nein"): if druck='ja' then interface(displayprecision=2): system[launch]("cmd /c","print.eps"); ZL:= readstat("strecke vom Koordinatennullpunkt bis Pk in mm:"): printf("zeigerlänge von P0 bis Pk: %4.0f mm \n", ZL); # Ermittlung des Strommaßstabs: IMSd:= evalf(ik)/zl; # A/mm

17 # Berechnung des Leistungs- und des Drehmomentmaßstabs: LMSd:= evalf(subs(katalog,imsd*u[1]*3/1000)); # kw/mm DMSd:= evalf(subs(katalog,lmsd*1000/(2*pi*n0/60.))); # Nm/mm printf("strommaßstab: %6.2f A/mm \n", IMSd); printf("leistungsmaßstab: %6.2f kw/mm \n", LMSd); printf("drehmomentmaßstab:%6.2f Nm/mm \n", DMSd); # Ausgabe des ergänzten Kreisdiagramms KD3:= display(kd2, caption=typeset("\nstrommaßstab: ", IMSd, " A/mm\rLeistungsmaßstab: ", LMSd, " kw/mm \ndrehmomentmaßstab: ", DMSd, " Nm/mm"), size=[200,350]): print(kd3); Threads[Sleep](2): system[launch]("cmd /c","print.eps"); end if: Zeigerlänge von P0 bis Pk: 123 mm Strommaßstab: A/mm Leistungsmaßstab: 7.91 kw/mm Drehmomentmaßstab: Nm/mm Rücksetzen auf Bildschirmausgabe: plotsetup("inline",plotoutput=terminal,plotoptions="colour=cmyk, resolution=1000"):