Die molekulare Bindung

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2 Bindungstypen Wir wollen jetzt im folgenden die verschiedenen Bindungstypen, die bei Molekülen auftreten können diskutieren und verstehen. Polare Bindung (Beispiel NaCl) (Beispiel O 2 ) Van der Waals Bindung (Beispiel flüssiger N 2 ) Wasserstoffbrückenbindung (Beispiel (H 2 O) n ) Einführung in die Struktur der Materie 22

3 Polare Bindung Die Polare Bindung Eine sehr einfache Bindung stellt die heteropolare Bindung dar A+B (A + B ) Bei der Bindung wird vom Atom A Elektronenladung auf das Atom B übertragen. Die Coulombwechselanziehung zwischen den beiden Ionen bewirkt dann die Bindung. Ionische Bindungen treten bevorzugt auf zwischen Elementen der 1. Hauptgruppe (Alkalimetalle) und den Elementen der 7. Hauptgruppe (Halogene). Alkaliatome geben leicht das äußere Valenzelektron ab, sind elektropositiv. Halogenatome binden gern ein zusätzliches Elektron, sie sind elektronegativ. Einführung in die Struktur der Materie 23

4 Periodensystem der Elemente Polare Bindung 1:01 1 H Hydrogen s 1 4:00 2 He Helium s 2 6:94 3 Li Lithium [He] 2s 1 9:01 4 Be Beryllium [He] 2s 2 10:81 5 B Boron [He] 2s 2p 1 12:01 6 C Carbon [He] 2s 2p 2 14:01 7 N Nitrogen [He] 2s 2 2p 3 16:00 8 O Oxygen [He] 2s 2p 4 19:00 9 F Fluorine [He] 2s 2 2p 5 20:18 10 Ne Neon [He] 2s 2p 6 22:99 11 Na Sodium [Ne] 3s 1 24:31 12 Mg Magnesium [Ne] 3s 26:98 13 Al Aluminum [Ne] 3s 2 3p 1 28:09 14 Si Silicon [Ne] 3s 2 3p 2 30:97 15 P Phosphorus [Ne] 3s 3p 3 32:07 16 S Sulfur [Ne] 3s 3p 4 35:45 17 Cl Chlorine [Ne] 3s 2 3p 5 39:95 18 Ar Argon [Ne] 3s 3p 6 39:10 19 K Potassium [Ar] 4s 1 40:08 20 Ca Calcium [Ar] 4s 2 44:96 21 Sc Scandium [Ar]3d 1 4s 2 47:88 22 Ti Titanium [Ar]3d 2 2 4s 50:94 23 V Vanadium [Ar]3d 3 2 4s 52:00 24 Cr Chromium [Ar]3d 5 4s 1 54:94 25 Mn Manganese [Ar]3d 5 2 4s 55:85 26 Fe Iron [Ar]3d 6 2 4s 58:93 27 Co Cobalt [Ar]3d 7 2 4s 58:69 28 Ni Nickel [Ar]3d 8 2 4s 63:55 29 Cu Copper [Ar]3d s 65:39 30 Zn Zinc [Ar]3d s 69:72 31 Ga Gallium [Ar]3d 10 4s 2 4p 1 72:61 32 Ge Germanium [Ar]3d s 4p 2 74:92 33 As Arsenic [Ar]3d s 4p 3 78:96 34 Se Selenium [Ar]3d s 4p 4 79:90 35 Br Bromine [Ar]3d s 4p 5 83:80 36 Kr Krypton [Ar]3d 10 4s 2 4p 6 85:47 37 Rb Rubidium [Kr] 5s 87:62 38 Sr Strontium [Kr] 5s 2 88:91 39 Y Yttrium [Kr]4d 1 2 5s 91:22 40 Zr Zirconium [Kr]4d 2 2 5s 92:91 41 Nb Niobium [Kr]4d 4 1 5s 95:94 42 Mo Molybdenum [Kr]4d 5 1 5s 97:91 43 Tc Technetium [Kr]4d 6 1 5s 101:07 44 Ru Ruthenium [Kr]4d 7 1 5s 102:91 45 Rh Rhodium [Kr]4d 8 2 5s 106:42 46 Pd Palladium [Kr]4d :87 47 Ag Silver [Kr]4d s 112:41 48 Cd Cadmium [Kr]4d s 114:82 49 In Indium [Kr]4d 10 5s 2 5p 1 118:71 50 Sn Tin [Kr]4d 10 5s 2 5p 2 121:76 51 Sb Antimony [Kr]4d s 5p 3 127:60 52 Te Tellurium [Kr]4d 10 5s 2 5p 4 126:90 53 I Iodine [Kr]4d s 5p 5 131:29 54 Xe Xenon [Kr]4d s 5p 6 132:91 55 Cs Cesium [Xe] 6s 1 137:33 56 Ba Barium [Xe] 6s 2 174:97 71 Lu Lutetium [Xe] 4f 5d 1 2 6s 178:49 72 Hf Hafnium [Xe] 4f 14 5d 2 6s 2 180:95 73 Ta Tantalum [Xe] 4f 5d 3 2 6s 183:84 74 W Tungsten [Xe] 4f 5d 4 2 6s 186:21 75 Re Rhenium [Xe] 4f 5d 5 2 6s 190:23 76 Os Osmium [Xe] 4f 5d 6 2 6s 192:22 77 Ir Iridium [Xe] 4f 5d 7 2 6s 195:08 78 Pt Platinum [Xe] 4f 5d 9 1 6s 196:97 79 Au Gold [Xe] 4f 5d s 200:59 80 Hg Mercury [Xe] 4f 5d s 204:38 81 Tl Thallium [Xe] 4f 5d s 6p 1 207:20 82 Pb Lead [Xe] 4f 5d s 6p 2 208:98 83 Bi Bismuth [Xe] 4f 5d s 6p 3 208:98 84 Po Polonium [Xe] 4f 5d s 6p 4 209:99 85 At Astatine [Xe] 4f 5d s 6p 5 222:02 86 Rn Radon [Xe] 4f 5d s 6p 6 223:02 87 Fr Francium [Rn] 7s 1 226:03 88 Ra Radium [Rn] 7s 262: Lr Lawrencium n/a 14 n/a 2 [Rn] 5f 7s 7p 1 [261] 104 Rf Rutherfordium n/a 14 n/a [Rn] 5f 6d 2 2 7s [262] 105 Db Dubnium n/a 14 n/a [Rn] 5f 6d 3 2 7s [266] 106 Sg Seaborgium n/a 14 n/a [Rn] 5f 6d 4 2 7s [264] 107 Bh Bohrium n/a 14 n/a [Rn] 5f 6d 5 2 7s [269] 108 Hs Hassium n/a 14 n/a [Rn] 5f 6d 6 2 7s [268] 109 Mt Meitnerium n/a 14 n/a [Rn] 5f 6d 7 2 7s [269] 110 Uun Ununnilium n/a 14 n/a [Rn] 5f 6d 9 1 7s [272] 111 Uuu Unununium n/a 14 n/a [Rn] 5f 6d s [277] 112 Uub Ununbium n/a 14 n/a [Rn] 5f 6d s A Z Sy Symb ol melt [K] boil[k] e config 138:91 57 La Lanthanum [Xe] 6d 1 6s 2 140:12 58 Ce Cerium [Xe] 4f 5d 1 2 6s 140:91 59 Pr Praseodymium [Xe] 4f 3 6s 2 144:24 60 Nd Neodymium [Xe] 4f 6s 144:91 61 Pm Promethium [Xe] 4f 6s 150:36 62 Sm Samarium [Xe] 4f 6s 151:97 63 Eu Europium [Xe] 4f 6s 157:25 64 Gd Gadolinium [Xe] 4f 5d 1 2 6s 158:93 65 Tb Terbium [Xe] 4f 6s 162:50 66 Dy Dysprosium [Xe] 4f 6s 164:93 67 Ho Holmium [Xe] 4f 6s 167:26 68 Er Erbium [Xe] 4f 12 6s 2 168:93 69 Tm Thulium [Xe] 4f 6s 173:04 70 Yb Ytterbium [Xe] 4f 6s 227:03 89 Ac Actinium [Rn] 6d 1 2 7s 232:04 90 Th Thorium [Rn] 6d 2 2 7s 231:04 91 Pa Protactinium [Rn] 5f 6d 1 2 7s 238:03 92 U Uranium [Rn] 5f 6d 1 2 7s 237:05 93 Np Neptunium [Rn] 5f 6d 1 2 7s 244:06 94 Pu Plutonium [Rn] 5f 7s 243:06 95 Am Americium [Rn] 5f 7s 247:07 96 Cm Curium n/a [Rn] 5f 6d 1 2 7s 247:07 97 Bk Berkelium n/a 9 n/a 2 [Rn] 5f 7s 251:08 98 Cf Californium n/a 2 [Rn] 5f 7s 252:08 99 Es Einsteinium n/a [Rn] 5f 7s 257: Fm Fermium n/a 2 [Rn] 5f 7s 258: Md Mendelevium n/a 2 [Rn] 5f 7s 259: No Nobelium n/a 2 [Rn] 5f 7s Einführung in die Struktur der Materie 24

5 Beispiel NaCl Die molekulare Bindung Polare Bindung Die Polare Bindung soll am Beispiel des NaCl Moleküls diskutiert werden Na+E Ionisation Na + + e Ionisation Cl + e Cl + E A Na + + Cl NaCl Die Coulombenergie des Moleküls beträgt Elektronenaffinität E Coul = e2 4πǫ 0 R, (1) wobei R der Gleichgewichtsabstand ist. R läßt sich z.b. über das elektrische Dipolmoment und IR-Spektroskopie bestimmen. Die Energiebilanz ist somit E Bindung = E Coul + EAff Cl EIon Na }{{} Werte aus der Literatur Einführung in die Struktur der Materie 25 (2)

6 Ionisationsenergien Die molekulare Bindung Polare Bindung Die Ionisationsenergien der Atome erhält man aus der Literatur. Sie werden unter Ausnutzung des Photoeffektes (Einstein) bestimmt A+ ω A + + e Datenbank im Internet über die Elemente: z.b. Einführung in die Struktur der Materie 26

7 Elektronenaffinität Die molekulare Bindung Polare Bindung Negative Ionen wurden zuerst in Massenspektren nachgewiesen Existenz negativer Ionen ist zunächst etwas überraschend. Wie wird das zusätzliche Elektron gebunden? Naiver Ansatz e Cl + e Exakte Beschreibung: Cl 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 Geschlossene Schale Kugelsymmetrisch Einführung in die Struktur der Materie 27

8 Polare Bindung Mehrelektronenproblem; Berücksichtigung der Wechselwirkung der Elektronen untereinander ist entscheidend! Quantenmechanische Beschreibung ist nicht trivial Korrelationseffekte Experimentelle Bestimmung der Bindungsenergie des zusätzlichen Elektrons sehr genau über Photoionisation mit Hilfe von Lasern, Photodetachment A + ω A+e Negative Ionen können in Entladungen erzeugt werden Einführung in die Struktur der Materie 28

9 Polare Bindung Experimentelle Werte der Elektronenaffinität in ev Cl + e Cl + E Aff Atom Affinität H 0.75 ev Wie ist das zu verstehen? Polarisation? Beimischung von 2p Zuständen Li 0.62 ev O 1.46 ev F 3.45 ev Na ev Cl 3.61 ev Br 3.36 ev I 3.06 ev Einführung in die Struktur der Materie 29

10 Polare Bindung Elektronenaffinität der Elemente ( Einführung in die Struktur der Materie 30

11 Polare Bindung Energiebilanz Energiebilanz für die Bildung von NaCl ist somit E Ion E Aff = = 1.53 ev Es müssen also mindestens 1.53 ev durch die Coulombenergie der Ionen aufgebracht werden. R ist der Gleichgewichtsabstand der Kerne E Coul (R) = e2 4πǫ 0 R (3) Repulsion der Elektronenschalen aufgrund des Pauli-Prinzips verhindert R 0. Im Gleichgewichtsabstand heben sich Coulombanziehung und Repulsion auf, was zu einem Energieminimum führt. Dieses Verhalten kann durch eine Potentialkurve beschrieben werden Einführung in die Struktur der Materie 31

12 Molekülpotential Die molekulare Bindung Polare Bindung Das Molekülpotential berücksichtigt die Coulombrepulsion der Kerne und die Energie der Elektronen des Moleküls. Die Kerne sollen in Ruhe sein, d.h. es ist keine Rotations- oder Vibrationsenergie enthalten. E(R) = e2 4πǫ 0 R }{{} + Coulombenergie der Ionen b }{{} R 9 empirischer Ansatz Repulsionsenergie für +(E Ion E Aff ) Einführung in die Struktur der Materie 32

13 Molekülpotentialkurve Polare Bindung E(R) 1 9 R R 0 NaCl 1 R + Na + Cl E Ion E Aff R Einführung in die Struktur der Materie 33

14 Gleichgewichtsabstand Polare Bindung Bestimmung des Gleichgewichtsabstandes aus Formel (4) 0 = de(r) dr = e2 R0 4πǫ 0 R0 2 9b R0 10 und damit b = R8 0 e2 36πǫ 0 Experimentell: R 0 = m R 0 in Gleichung für b eingesetzt ergibt (4) b = ev m 9 (mit: e = C, ǫ 0 = C 2 N 1 m 2, 1eV = J) E(R 0 ) = 5.44 ev ev = 3.91 ev Einführung in die Struktur der Materie 34

15 Molekülpotentialkurve Polare Bindung E(R) R 0 + Na + Cl Na + Cl R Einführung in die Struktur der Materie 35

16 Polare Bindung Neben der Potentialkurve mit einem Minimum (Na + + Cl ), die zu einem gebundenen Zustand des Moleküls führen, kann es auch eine rein repulsive Potentialkurve geben (Na + Cl), die einem ungebundenen Zustand des Moleküls entsprechen Hierbei kann es zu einer Überkreuzung der Potentialkurven kommen Dies entspricht einer Entartung der Zustände, die eine Mischung derselben bewirkt. Am Kreuzungpunkt, bzw. in seiner Umgebung ist damit der Prozeß möglich Na + + Cl Na+Cl Die Berücksichtigung dieser Wechselwirkung resultiert in der Aufhebung der Kreuzung/Entartung (Vermiedene Kreuzung, avoided crossing) Einführung in die Struktur der Materie 36

17 Polare Bindung Damit läßt sich der Prozeß der Molekülbindung detailierter beschreiben Na+Cl Na + + Cl NaCl E(R) R 0 Na + Cl + Na + Cl R Einführung in die Struktur der Materie 37

18 NaCl Eigenschaften Die molekulare Bindung Polare Bindung Dissoziationsenergien NaCl Na + + Cl = 5.44 ev, experimentell 5.76 ev NaCl Na + Cl = 3.91 ev, experimentell 4.23 ev Problem: Dipolmoment von NaCl rein ionische Bindung: p el = q R = C m = Cm + p Experimenteller Wert = Cm nur ca. 75% des theoretischen Wertes Was ist die Ursache? Keine rein ionische Bindung Einführung in die Struktur der Materie 38

19 Zusammenfassung Die molekulare Bindung Polare Bindung E(R) 10 R 0= m 3.91 ev Na + Cl + Na + Cl R 1.53 ev Polare Bindung am Beispiel NaCl diskutiert Exp. Unser Model NaCl Na + + Cl ev NaCl Na+Cl ev exp. Wert des Dipolmoments hat nur 75% aus unserem Model Einführung in die Struktur der Materie Keine reine ionische Bindung 39

20 Die kovalente Bindung Die einfachsten Beispiele sind H + 2 Molekülion H 2 Molekül Bindung von zwei H-Atomen zum H 2 Molekül Homöopolare Bindung Einfaches sehr grobes Modell (Metzler Kap ) Anwendung des Potentialtopfmodells Einführung in die Struktur der Materie 40

21 Potentialtopfmodell Die molekulare Bindung a 2a Einführung in die Struktur der Materie 41

22 zeitunabhängige Schrödingergleichung 2m d 2 ψ(x) dx 2 + E pot (x)ψ(x) = E ψ(x) (5) Lösung für sehr tiefe Potentialtöpfe (Physik III) E = h2 8ma 2 (6) Einführung in die Struktur der Materie 42

23 Für das Modell wählen wir für die Potentialtopfbreite a = m. Damit beträgt die Energie dann E = 9.4 ev. Die gesamte kinetische Energie der beiden Atome beträgt dann somit ev = 18.8 ev Vereinigung der beiden H-Atome zu H 2 wird dargestellt durch einen gemeinsamen Potentialtopf mit der doppelten Breite 2a Energie im Molekül E = h 2 = 2.35 ev 8m 4 a2 Die gesamte kinetische Energie ist dann somit ev = 4.7 ev Damit wird eine Energie von = 14.1 ev bei der Molekülbildung frei Einführung in die Struktur der Materie 43

24 Die Delokalisation der Elektronen über einen räumlich größeren Bereich liefert somit einen wichtigen Beitrag zur Molekülbindung Dieser Gewinn an kinetischer Energie muß um die Coulombenergie der Protonen und Elektronen reduziert werden! Alleine die Coulombenergie der beiden Protonen reduziert die Bindungsenergie um 7 ev Modell ist aber zu einfach, um es weiter zu verfolgen Genaueres quantenmechanisches Modell Einführung in die Struktur der Materie 44

25 H 2 -Molekül Die molekulare Bindung Ψ 1s (r) e r/a 0 H Atom 1 H Atom 2 Überlagerung der beiden H 1s Wellenfunktionen R 0 Einführung in die Struktur der Materie 45

26 H 2 -Molekül Die molekulare Bindung Problem : Das H 2 Molekül besteht aus vier Teilchen, d.h. es ist unmöglich eine exakte analytische Lösung zu finden Es ist deshalb zu anspruchsvoll für den ersten Schritt zum Verständnis der kovalenten Bindung Wir wollen zunächst ein einfacheres System wählen, das H + 2 Molekülion Dieses besteht aus nur drei Teilchen und ist damit im Prinzip immer noch nicht lösbar! Um das H + 2 Molekülion zu lösen kann jedoch ein Trick angewandt werden, mit dem es auf ein Zwei-Teilchensystem reduziert wird Einführung in die Struktur der Materie 46

27 Das H + 2 Molekülion Die molekulare Bindung Qualitative Betrachtung: H + 2 = H + p Betrachte R Ausdehnung des H-Atoms Fall A Fall B A R B Elektron ist am Kern A lokalisiert 1 Ψ A = Ψ 1s = e r/a 0 3/2 πa 0 r ist der Abstand des e vom Kern A Äquivalenter Fall, jedoch ist jetzt das Elektron am Kern B lokalisiert A R B Einführung in die Struktur der Materie 47

28 Die Bindungsenergie des e im Atom ist 13.6 ev; Für R r gibt es keine Wechselwirkung des H-Atoms mit dem Proton Gesamtbindungsenergie des Systems ist 13.6 ev gleich der Bindungsenergie des H-Atoms Die Kerne mögen sich nun aufeinander zu bewegen R r a 0, R m Betrachte nun den Extremfall R 0 (Kernverschmelzung, Gedankenexperiment) R 0 ergibt He + Bindungsenergie He + = Z ev = 54.4 ev mit Z = 2 und n2 n = 1 Die Bindung ist energetisch günstiger Problem : Proton Proton Coulombenergie vernachlässigt divergiert Vorgehen zu grob Einführung in die Struktur der Materie 48

29 Wir wollen die Gesamtenergiebilanz für H + 2 aufstellen Die Kerne sollen dabei in Ruhe bleiben, d.h. keine Schwingungen oder Rotationen r A r B A R A S R B B Potentielle Energie des Elektrons E pot = e2 4πǫ 0 ( ) r A r B (7) Einführung in die Struktur der Materie 49

30 H + 2 Potential Die molekulare Bindung A B R E pot Coulombpotential des Elektrons im Feld der beiden Protonen Wellenfunktion auf ein Potentialminimum lokalisiert Elektron kann die Barriere durchtunneln Symmetrie: Elektron ist gleich häufig bei A wie bei B Tunnelfrequenz Hz Einführung in die Struktur der Materie 50

31 LCAO Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an beiden Kernen ist gleich groß H + 2 besitzt kein elektrisches Dipolmoment Ansatz für die Wellenfunktion Ψ s = N + (ψ A +ψ B ) (8) Symmetrische Wellenfunktion, N + ist ein Normierungsfaktor Zusammensetzen der Molekülorbitale aus atomaren Orbitalen LCAO Linear Combination of Atomic Orbitals Einführung in die Struktur der Materie 51

32 LCAO Ψ s = N + (ψ A +ψ B ) A A B A B R=0 B R 0 Einführung in die Struktur der Materie 52

33 LCAO Ψ s = N + (ψ A ψ B ) Einführung in die Struktur der Materie 53

34 Alternative Möglichkeit die Wellenfunktionen der Atome zu kombinieren Ψ a = N (ψ A ψ B ) (9) Antisymmetrisch gegenüber einer Spiegelung am Ursprung ungerade Parität Antisymmetrie der Wellenfunktion bleibt auch für R 0 gegenüber der Spiegelung erhalten Der niedrigste Zustand muss somit ein 2p Zustand sein Bindungsenergie E B = 13.6 ev Z 2 22 = 13.6 ev = 13.6 ev n2 22 Kein Gewinn an Bindungsenergie für das Elektron Kernrepulsion überwiegt kein gebundener Zustand, repulsive Potentialkurve Einführung in die Struktur der Materie 54

35 Gesamtenergiebilanz E ges = E Elektron + E Protonen (10) Aufgrund der bisherigen Überlegungen erwarten wir einen gebundenen Zustand für die symmetrische Wellenfunktion und einen ungebundenen Zustand für die antisymmetrische Wellenfunktion Einführung in die Struktur der Materie 55

36 Deutung der Bindung Im symmetrischen Zustand hält sich das Elektron zwischen den Protonen auf (Klebstoff) Potential beider Kerne trägt bei Elektronenwellenfunktion im Vergleich zur 1s Funktion im H-Atom über einen größeren Raumbereich ausgeschmiert Reduktion der kinetischen Energie Pauli-Prinzip Im wesentlichen tragen zwei Faktoren bei Coulomb-Wechselwirkung mit beiden Kernen Delokalisierung Um die Bindung genauer zu verstehen müssen wir sie jetzt quantenmechanisch berechnen Einführung in die Struktur der Materie 56

37 H + 2 Die molekulare Bindung : Quantenmechanische Lösung Aufstellen der Schrödingergleichung für das H + 2 Lösung Wichtige Einschränkung: Die Kerne sind festgehalten Molekülion und H Ψ(r) = E Ψ(r) (11) Potentialkurven sind Lösungen der Gleichung für verschiedene Kernabstände H Ψ(r, R) = E(R) Ψ(r, R) (12) Das Molekülpotential enthält kinetische Energie Coulombenergie der Kerne und des Elektrons Einführung in die Struktur der Materie 57

38 r A r r B A R A S R B B Der Ursprung des Koordinatensystems liege im Massenschwerpunkt des Protonensystems r A = r R A R = R A R B r B = r R B R A = R B Die potentielle Energie ist damit E pot = e2 4πǫ 0 ( ) r A r B R (13) Einführung in die Struktur der Materie 58

39 Hamilton-Operator H = h2 2m e(r) e2 4πǫ 0 ( ) r A r B R (14) Schrödingergleichung [ h2 2m e(r) e2 4πǫ 0 ( )] Ψ e (r, R) = E(R)Ψ e (r, R) r A r B R (15) Die Kernwellenfunktion ist als konstant angenommen worden und wurde abgetrennt Dies ist die Born-Oppenheimer Näherung Einführung in die Struktur der Materie 59

40 Lösung der Gleichung näherungsweise durch einen Ansatz für Ψ e (r) Wahl von atomaren Orbitalen, H 1s-Funktionen Linearkombination der Wellenfunktionen Ψ A,B (r) = 1 e r A,B/a 0 (16) πa0 3 Ψ + = Ψ g = N + (Ψ A +Ψ B ) (17) Ψ = Ψ u = N (Ψ A Ψ B ) (18) Ergebnis der quantenmechanischen Rechnung E ± = E }{{} 1s + e2 4πǫ 0 R C ± A 1±S (19) Einführung in die Struktur der Materie 60

41 Überlappintegral S = Überlapp der Wellenfunktionen Coulombintegral C = V V Ψ A Ψ B dτ (20) Ψ A e 2 4πǫ 0 r B Ψ A dτ (21) Wechselwirkung des e am Kern A mit Kern B. Analog für e am Kern B Austauschintegral A = V Ψ A e 2 4πǫ 0 r A Ψ B dτ (22) Elektron wird zwischen Kern A und B ausgetauscht Einführung in die Struktur der Materie 61

42 Ergebnis der quantenmechanischen Rechnung E ± = E 1s + e2 4πǫ 0 R C ± A 1±S (23) Vereinfachte Darstellung der Energieterme E ± = H 11 ± H 12 1±S (24) Einführung in die Struktur der Materie 62

43 Überlappintegral S = (1+R + 13 ) R2 e R (25) Überlapp der Wellenfunktionen Coulombintegral H 11 = 1 ( ) e 2R (26) R Wechselwirkung des e am Kern A mit Kern B. Analog für e am Kern B Austauschintegral H 12 = ( 1 R R 1 ) 6 R2 e R (27) Elektron wird zwischen Kern A und B ausgetauscht Einführung in die Struktur der Materie 63

44 30 Energie (ev) S Coul β A 13.6eV Eu R 20 C Eg Einführung in die Struktur der Materie 64

45 Grenzwertbetrachtung Für R geht der Bruch gegen Null und damit E ± = E 1s Für R 0 geht der Bruch gegen 1 und damit E ± Vergleich mit dem Experiment Bindungsenergie Experiment: 2.8 ev, Theorie: 1.76 ev Bindungsabstand Experiment: 1.06 Å, Theorie: 1.3 Å Unsere Näherung gibt das Wesentliche richtig wieder Ursache für die Abweichungen sind die Einschränkung der Wellenfunktion auf eine H 1s Funktion Mit besseren Wellenfunktionen können die experimentellen Werte fast exakt berechnet werden Einführung in die Struktur der Materie 65

46 Das H + 2 Die molekulare Bindung Molekülion - Zusammenfassung Mit der Näherung Linearkombinationen der H 1s-Funktionen zur Beschreibung der Mehrteilchenwellenfunktionen zuverwenden haben wir die wichtigen Aspekte richtig beschrieben Ein bindener Zustand Ψ g ergibt sich für eine symmetrische Wellenfunktion bzgl. der Spiegelung am Ursprung Einen antibindenen, repulsiven Zustand Ψ u erhält man für eine antisymmetrische Wellenfunktion Die Bindung von H und H + zu H + 2 wird verursacht durch Konzentration des e im Bereich zwischen den Kernen für Ψ g Reduktion der kinetischen Energie durch Verteilung des e auf einen größeren Raumbereich Ursache der Abweichung vom Experiment durch die Einschränkung der Wellenfunktion Verbesserung durch Variation z.b. mit e α r/a 0 mit α = α(r) Einführung in die Struktur der Materie 66