Tutorial 05: Musterlösungen für die Klausuraufgaben.

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1 SS 006 Tutorial 05 / S. von 8 Tutorial 05: Musterlösungen für die Klausuraufgaben. Aufgabe ( Punkte): An einem Flughafen, der täglich zwischen 6 und Uhr in Betrieb ist, kommen exponentiell verteilt im Mittel alle 6 Minuten Flugzeuge an. Der Flughafen besitzt nur eine Landebahn; die Landezeit ist ebenfalls exponentiell verteilt und beträgt im Mittel 5 Minuten. Während der Landung eines Flugzeuges werden weitere ankommende Flugzeuge in eine Warteschleife dirigiert. Jedes Flugzeug im System verursacht Kosten in Höhe von 0 $ pro Minute.. Bestimmen Sie die mittlere Anzahl von Flugzeugen im Warteflug und im System während der Betriebszeit.. Bestimmen Sie die mittlere Wartezeit eines Flugzeuges vor der Landung. Die Kosten und Unbequemlichkeiten könnten durch folgende Massnahmen verringert werden: a) Mit Hilfe moderner Apparatur kann die Landezeit auf 4 Minuten pro Flugzeug verringert werden. Dies würde Kosten in Höhe von $ pro Woche verursachen. b) Eine zweite Landebahn kann gebaut werden. In diesem Falle würde die dann erforderliche Synchronisation der Landevorgänge die Landezeit auf 8 Minuten pro Flugzeug erhöhen. Die Massnahme a) würde dann fallen gelassen werden..3 Prüfen Sie, ob die Massnahme a) zu Einsparungen führen würde..4 Berechnen Sie die bei Vornahme der Massnahme b) entstehende laufende jährliche Einsparung gegenüber dem gegenwärtigen Zustand..5 Wie verändern sich die Zeiten in der Warteschlange in den Fällen a) und b) gegenüber der ursprünglichen Situation? Lösung:. und.: Es ist 5/6, und das System eine (M/M/)-Warteschlange mit unbegrenztem Warteraum. Daher können die Formeln aus Parameter für das (M/M/)-System mit unbeschränktem Warteraum verwendet werden. Es folgt Erwartungswert für die Anzahl der Flugzeuge im Anflug: 5 E, 6

2 SS 006 Tutorial 05 / S. von 8 Erwartungswert für die Anzahl der Flugzeuge im System: E 5, Erwartungswert der Wartezeit im Anflug: E 3 5min. µ.3 (mit.5.): Im Falle a) ist 4/6 /3 und damit Erwartungswert für die Anzahl der Flugzeuge im Anflug: 4 E 4, 3 Erwartungswert für die Anzahl der Flugzeuge im System: E 5, Erwartungswert der Wartezeit im Anflug: E 6 8 min. µ Damit befinden sich im Mittel 5 3 Flugzeuge weniger im System; pro Minute werden also 30 $ eingespart. Pro Woche ergibt das eine Ersparnis von $. Pro Woche würden mithin.600 $ gespart werden..4 (mit.5.): Im Falle b) ist das System eine (M/M/)-Warteschlange mit µ /8, also 4/3. Die zu bestimmenden Grössen folgen aus Arbeitsblatt 5, Gl. (0.7), (0.8) und (0.9): Erwartungswert für die Anzahl der Flugzeuge im Anflug: Erwartungswert für die Anzahl der Flugzeuge im System: 3 6 E 7, E 8, 4 5

3 SS 006 Tutorial 05 / S. 3 von 8 Erwartungswert der Wartezeit im Anflug: 3 3 E 9 min. λ 4 5 In diesem Falle befänden sich also im Mittel 5 /5 3/5 Flugzeuge weniger im System als im gegenwärtigen Zustand. Das ergäbe eine jährliche Ersparnis von 3/ $. Aufgabe (0 Punkte): Ein kleines Unternehmen besitzt eine Telefonzentrale mit einem Mitarbeiter und Anschlüssen. Wenn ein Klient telefoniert, wird ein weiterer Anruf in die Warteschleife des zweiten Anschlusses geschaltet. Ein darüber hinaus gehender dritter Anruf wird abgewiesen. Die Erfahrung zeigt, dass im Mittel 0 Anrufe in der Stunde exponentiell verteilt eintreffen; wenn die Anrufer nicht sofort verbunden werden, sinkt die Rate der Anrufe auf die Hälfte. Die Bedienung eines Anrufs ist ebenfalls exponentiell verteilt mit einer mittleren Dauer von 4 Minuten.. Berechnen Sie den Erwartungswert der Anzahl der Anrufe im System.. Bestimmen Sie den Anteil der Anrufe, die verloren gehen..3 Geben Sie die mittlere Bedienungsdauer an, bei der der Erwartungswert der Anzahl der Anrufe im System gleich ist..4 Wie gross müsste die Bedienungsrate sein, damit die Wahrscheinlichkeit, dass ein Anruf verloren geht, kleiner als 0% ist? Lösung: Es handelt sich um eine (M/M/)-Warteschlange mit beschränktem Warteraum: Das System kann sich nur in den 3 Zuständen 0: Kein Anruf, keine Bearbeitung, : Ein Anruf, der bearbeitet wird, : Ein Anruf wird bearbeitet, ein zweiter Anruf ist in der Warteschleife befinden. Die Verkehrsdichte ist 4/3. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind (vgl. Tutorial ):

4 SS 006 Tutorial 05 / S. 4 von 8 p p p / + +.: Der Erwartungswert der Anzahl der Anrufe im System ist.: E( N) k p k 0 k + p / Der Anteil der verloren gehenden Anrufe ist p, also 8/9 7,6 %. p 8 9.3: Es müsste gelten /, also, mithin µ 6, das bedeutet 4.4 Minuten für die mittlere Bedienungszeit..4: p 0. führt auf, mithin auf µ λ /3 pro Minute, d.h. 3 Minuten für die mittlere Bedienungszeit. Aufgabe 3 (8 Punkte): 3. Formulieren Sie verbal einen vollständigen Algorithmus für eine Simulation der Aufgabe oder 3. Erstellen Sie ein komplettes Flussdiagramm für den Algorithmus.

5 SS 006 Tutorial 05 / S. 5 von 8 Es ist zweckmässig, die Simulation so einzurichten, dass die Abfrage der Daten ereignisgesteuert ist, d.h., dass die Abfrage jeweils zu denjenigen Zeitpunkten geschieht, in denen ein Ereignis die Ankunft eines neuen Anrufs oder die Beendigung der Bearbeitung eines Anrufs stattfindet. Um den Entmutigungscharakter zu berücksichtigen, werden bei jedem neuen Anruf, der nicht sofort bearbeitet wird, nur 50% der eingehenden Ereignisse gewertet (dies kann etwa dadurch geschehen, dass in einem solchen Falle bei jedem neu eintreffenden Anruf eine Münze geworfen wird und nur die Ergebnisse Kopf weiter verarbeitet werden d.h., dass bei gleichverteilten Zufallszahlen zwischen 0 und alle Ergebnisse ignoriert werden, bei denen die gewonnene Zufallszahl kleiner als ½ ist). Im Algorithmus wird dies als Münzwurf bezeichnet. Wir führen die folgenden Bezeichnungen ein: T S : Zeit des Simulationslaufs, T A : Exponentiell verteilter Ankunftszeit-Zuwachs, T B : Exponentiell verteilte Bedienungszeit, T A : Aktuelle Ankunftszeit, T B : Aktuelles Ende der Bedienungszeit, T E : Laufende Ereigniszeit, s : charakterisiert den Zustand des Systems (s 0, oder ), n : Anzahl der Anrufe in der Schlange (n 0 oder ), Nun der Algorithmus. Er benutzt die Routinen zur Berechnung der exponentiell verteilten Zufallszeiten ( T A exporand(lambda), T B exporand(mu)), zur Bestimmung des Minimums zweier Zeitintervalle (T E min (T A, T B )) und zur Halbierung der Anzahl der Anzahl der eingehenden Anrufe in der Warteschlange (muenzwurf()):. Gib die Parameter λ, µ und T S ein.. Initialisierung: Setze T E 0. Berechne T A und T B. Setze s, n 0, T A T A, T B T B. 3. Berechne T E min (T A, T B ). Gib alle zur Zeit T E interessanten Daten aus. Falls T E > T S beende das Programm. Wenn T E T A, gehe zu 4. andernfalls gehe zu Falls s 0, setze s s +, T B T E + T B. Falls s und muenzwurf > 0.5, setze s s +, n n +.

6 SS 006 Tutorial 05 / S. 6 von 8 Setze T A T E + T A. Gehe zu Setze s s. Wenn s 0, setze T B 0 * T S (grösser als jede Zeit im Simulationslauf). Andernfalls setze n n und T B T E + T B. Gehe zu 3. Die Visualisierung des Algorithmus durch ein Flussdiagramm wird dem Leser überlassen. Als Beispiel einer Implementierung (hier in C++) folgt noch weitgehend kommentarlos das Beispielprogramm. /****************************************************************************** * Kurze Warteschlange mit Entmutigung; Ausgabe in Textdatei "verlauf.txt". ******************************************************************************/ #include <fstream.h> #include <math.h> #include <time.h> #include <stdlib.h> // Globale Parameter const Tsim 500; // Routinen // Simulierte Exponentialverteilung für Ankunft mit Parameter kappa double exporand(const double kappa) double nu, t; nu kappa; t (double) rand()/rand_max; t - log(t)/nu; return t; // Minimum(a,b) double minim(double a, double b) double m; if (a < b) m a; else m b; return m; // Simulierte Gleichverteilung wie Muenzwurf double muenzwurf() double t; t (double) rand()/rand_max;

7 SS 006 Tutorial 05 / S. 7 von 8 return t; // Hauptprogramm int main() double lambda( ), mu(0.5), Te, Ta, Tb, deltata, deltatb, q; int s, n; ofstream out("verlauf.txt"); out.setf(ios::fixed); // Formatierung der Ausgabe out.precision(); // Initialisierung // Ablauf srand((unsigned) time (NULL)); deltata exporand(lambda); deltatb exporand(mu); Ta deltata; Tb deltatb; Te 0; s ; n 0; out << "Te: " << Te << endl; out << "\tta: " << Ta << ",\ttb: " << Tb; out << ",\ts: " << s << ",\tn: " << n << endl; while (Te < Tsim) Te minim(ta, Tb); if (Ta < Tb) if (s 0) s++; deltatb exporand(mu); Tb Te + deltatb; if (s ) q muenzwurf(); if ((s ) && (q>0.5)) s++; n++; deltata exporand(lambda); Ta Te + deltata; else s--; if (s 0) Tb 0*Tsim; else n--; deltatb exporand(mu);

8 SS 006 Tutorial 05 / S. 8 von 8 Tb Te + deltatb; out << "Te " << Te << endl; out << "\tta: " << Ta << ",\ttb: "; if (Tb < Tsim) out << Tb; else out << " -- "; out << ",\ts: " << s << ",\tn: " << n << endl; out.close(); return 0;