Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Implementierung in Root. Eric Volkmann

Transkript

1 Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Implementierung in Root Eric Volkmann

2 Inhalt Mathematische Definition Random Number Generators Wichtige Verteilungen Anwendungsbeispiel: Monte-Carlo Simulation

3 Wahrscheinlichkeitsverteilung Mathematisch: Wahrscheinlichkeitsmaß P Abbildung vom Ereignisraum Ω [0,1] Jedem Ereignis A i wird eine Wahrscheinlichkeit P(Ai)=pi zugeordnet Normierung: P(Ω)=1 σ-additivität:sind A 1 und A2 unvereinbar, d.h A1 A=, dann gilt: P(A1ꓴ A2)=P(A1)+P(A2)

4 Beispiel: Der Würfel Ereignisraum Ω= {1,2,3,4,5,6} Definiere Warscheinlichkeitsmaß P({i}):=1/6 Prüfe Normierung: P({1,2,3,4,5,6})= P({1})+P({2})+P({3})+P({4})+P({5})+P({6})= 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1 Wichtig: In den Argumenten der Maße stehen keine Zahlen, sondern Mengen

5 (Pseudo-) Random Number Generator (P-)RNG Ein Algorithmus, der eine Folge von Zahlen erzeugt, die zufällig erscheinen. Kriterien für die Qualität eines RNG: Unabhängigkeit: Züfälligkeit der Zahlen, bestehen statistischer Tests Periodenlänge: Ab wann beginnt die Folge von vorn Geschwindigkeit: Wie schnell werden die Zahlen generiert

6 Random Number Generator (RNG) Default RNG in Root ist Trandom. Verwendeter Algorithmus: linearer Kongruenzgenerator Simpler Generator, benötigt wenig Speicher Sehr geringe Periode von 109 Schnellster RNG in Root: 5000 ns/call Besitzt mehrere Schwächen, die durch verschiedene Tests gezeigt wurden

7 Random Number Generator (RNG) Trandom2 basiert auf dem Tausworthe Generator Periode von 1026 Bietet ebenfalls hohe Geschwindigkeit: ns/call Benötigt nur 32bit pro State

8 Random Number Generator (RNG) Trandom3 basiert auf dem Mersenne Twister generator Riesige Periode von Gute Geschwindigkeit: ns/call Arbeitet auf großer Datenmenge: ~2.5kByte pro State Empfohlener RNG für die meisten Anwendungen Anyone who considers arithmetical methods of producing random digits is, of course, in a state of sin - John von Neumann

9 Gauß-Verteilung Zentraler Grenzwertsatz: Normierte Summe von Zufallszahlen hat eine Verteilung, die sehr schnell gegen ein Gaußverteilung konvergiert Abweichungen von Messwerten lassen sich sehr gut durch Gauß-Verteilung modellieren Erwartungswert μ Varianz σ2 Symmetrisch um μ 68,3% der Realisierungen im Intervall μ ± σ 95.4% im Intervall μ ± 2σ 99.7% im Intervall μ ± 3σ

10 Gauß-Verteilung in Root Gibt Zufallszahl aus Gauß-Verteilung mit gebenen zurück μ und σ

11 Binomial-Verteilung Beschreibt den Ausgang von Bernoulli-Prozessen Serie von gleichen und unabhängigen Versuchen Nur zwei Ausgänge möglich Erwartungswert: np Varianz: np(1-p) Nur für p=0, p=0.5, p=1 symmetrisch Konvergiert für n gegen Gauß-Verteilung

12 Poisson-Verteilung k ist die Anzahl von Ereignissen Einzelereignisse Proportionalität Homogenität Unabhängigkeit Für kleine λ stark asymetrisch Ähnelt für große λ der GaußVerteilung Erwartungswert/Varianz: λ Für Werte >2*109 PossionD verwerden

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14 Landau-Verteilung Beschreibt die Schwankungen des Energieverlusts durch Ionisierung von geladenen Teilchen durch dünne Schichten linke Seite lässt sich durch Gaußverteilung approximieren Mu ist location Parameter Sigma ist skalen parameter Erwartungswert/Varianz: nicht definiert

15 Lorentz-Verteilung/Breit-Wegner Resonanz Sie beschreibt eine Resonanzkurve, z.b eine Spektrallinie in der Atomphysik E0 mittlere Energie des emittierten Photons Γ die natürliche Linienbreite Integrale über ℝ konvergieren nicht Varianz/Erwartungswert: nicht definiert

16 Beispiel Fehlerverteilung bestimmen Gegeben: M1=(40 +/- 2) *104 kg M2=(30 +/-1)*104kg R=(3.2+/-1.0)m Suche die Verteilung der Gravitationskraft Fg=-G*M1*M2/R^2

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