Messung der Zentrifugalbeschleunigung

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1 Messung der Zentrifugalbeschleunigung 1. Lernziele Worum geht es: «your smart phone is a lab in your pocket» Legt man ein Smartphone in eine Salatschleuder oder auf eine drehbare Plattform und lässt die Plattform rotieren, so bewegt sich das Smartphone auf einer Kreisbewegung. Eine Kreisbewegung ist eine beschleunigte Bewegung. Die Kraft, welche das Smartphone auf einer Kreisbewegung hält ist nach innen zum Drehpunkt hin gereichtet und heisst Zentripetalkraft. Sie wird durch die Befestigung des Smartphones oder durch die Wände der Plattform realisiert. Das Smartphone spürt als beschleunigter Beobachter eine nach aussen wirkende Kraft. Diese ist genau entgegengesetzt zur Zentripetalkraft und heisst. Die ist keine «echte»-kraft, sondern eine Trägheitskraft, die nur ein beschleunigter Beobachter spürt. Mit der Phyphox-App ( lassen sich alle Sensoren eines Smartphones per WLAN auslesen und die Daten können in einem xls-format abgespeichert werden. Bei diesem Versuch nutzt phyphox zugleich das Gyroskop (eigentlich ein Drehratensensor) und den Beschleunigungssensor, um die Rotationsgeschwindigkeit und die Zentrifugalbeschleunigung zu messen. Dieses Experiment lässt sich auch gut mit Drehstühlen, Karussells und ähnlichem durchführen. Es kann direkt der quadratische Zusammenhang der Beschleunigung zur Winkelgeschwindigkeit gemessen werden, ohne dass eine Betrachtung über Formeln notwendig ist. Abbildung 1: Für die Passagiere dieses Karussells erscheint es, als ob eine nach aussen wirkende Kraft, die, am Sessel angreift und den Sessel nach aussen beschleunigt. In Wirklichkeit sind es die Seilkräfte, die den Sessel auf einer Kreisbahn halten. Jede Kreisbewegung ist eine beschleunigte Bewegung. Würden die Seile reissen, würden die Sessel mit ihrer aktuellen Geschwindigkeit geradeaus wegfliegen. CH-9471 Buchs 1/11

2 Abbildung 2: (links) Ein Fliehkraftregler einer Dampfmaschine nutzt die, um das Dampfventil zu drosseln und so eine konstante Drehgeschwindigkeit zu erreichen. (rechts) Bei der Salatschleuder werden die Wassertropfen nach aussen beschleunigt und die Salatblätter so getrocknet. Lernziele/Kompetenzen Sie wissen, dass im Smart-Phone ein dreiachsiger Drehratensensor (Gyro) eingebaut ist, mit dem sich Winkelgeschwindigkeiten ωω messen lassen. Sie können Experimente mit dem Smartphone (App phyphox ) durchführen und wenden das Smartphone als Messinstrument zur Datenerfassung an. Sie können die Daten per oder direkt per WLAN an einen Rechner übertragen und mit Excel darstellen und auswerten. Sie kennen den Begriff der Regression und wissen, dass ein Least-Square-Fit diejenige Kurve ist, die sich optimal an die Datenpunkte anschmiegt. Optimal heisst hier, dass die Summe der Quadrate der Abstände zu den Messpunkten minimal ist. CH-9471 Buchs 2/11

3 2. Theoretische Grundlagen Zentrifugal- und Zentripetalbeschleunigung: Während der Rotation auf der Kreisbahn ist das Smartphone beschleunigt, auch wenn die Drehgeschwindigkeit ωω konstant ist. Wäre dies nicht der Fall, würde laut ISAAC NEWTON das Smartphone geradeaus fliegen. Die Kraft, welche das Smartphone auf einer Kreisbewegung hält, nennt man Zentripetalkraft. Sie ist radial nach innen gerichtet. Sie wird durch die Befestigung des Smartphones realisiert. Befinde ich mich während der Rotation am Ort des Smartphones im rotierenden Koordinatensystem, so erfahre ich scheinbar eine nach aussen wirkende Kraft. Sie ist betragsmässig eben so gross wie die Zentripetalkraft, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung. Es ist eine Scheinkraft, welche nur im beschleunigten Bezugssystem wahrgenommen kann. Diese Scheinkraft oder Trägheitskraft nennt man. Abbildung 3: (a) Damit eine Punktmasse eine Kreisbahn mit konstanter Kreisgeschwindigkeit ωω vollzieht, benötigt man eine zentral nach innen gerichtete Kraft, die Zentripetalkraft. Diese wird meist durch ein Seil oder eine Befestigung realisiert. Es ist eine reale Kraft. (b) Der beschleunigte Beobachter nimmt eine nach aussen gerichtete Kraft wahr, die. Hierbei handelt es sich um eine Trägheitskraft oder Scheinkraft. Die auf das Smartphone während der Rotation wirkende Trägheitskraft im beschleunigten System des Smartphones nennt man. Sie ist gegeben durch (1) FF ZZZZ = mm aa ZZZZ = mm vv2 = mm rr ωω2 rr Nach Division durch die Masse m des Smartphones erhalten wir den Ausdruck für die radial nach aussen gerichtete Beschleunigung aa ZZZZ, welche das Smartphone misst. Der Betrag der Zentrifugalbeschleunigung aa ZZZZ ist gleich dem Betrag der Zentripetal-beschleunigung aa ZZZZ : aa ZZZZ = aa ZZZZ = rr ωω 2 (2) Daran erkennt man, dass die radial nach aussen gerichtete Beschleunigung aa ZZZZ linear mit dem Radius r und quadratisch mit der Winkelgeschwindigkeit (Drehrate) ωω zunimmt. CH-9471 Buchs 3/11

4 Karussell: Wird eine Masse an einem dehnsteifen Seil der Länge bb an der rotierenden Platte befestigt, so wird die Masse bei Rotation mit der Winkelgeschwindigkeit ωω durch die Wirkung der FF ZZZZ nach aussen beschleunigt. Die horizontale Komponente der Seilkraft FF SS realisiert die Zentripetalkraft nach innen und sorgt dafür, dass sich die Masse auf einer Kreisbahn bewegt. rr 1 ωω bb αα FF ZZZZ αα mm FF SS rr 0 FF GG Abbildung 4: Eine an der rotierenden Plattform über eine Schnur der Länge bb befestigte Masse mm wird nach aussen beschleunigt. Das Verhältnis zwischen Zentrifugal- und Schwerkraft kann über den Neigungswinkel αα abgelesen werden. Durch gleichzeitige Messung der Winkelgeschwindigkeit ωω und des Neigungswinkels αα kann der Radius rr 0 bestimmt werden. Die ist eine Trägheitskraft und wird daher nur gestrichelt eingezeichnet. Zeichnet man die Kräfte im beschleunigten Bezugssystem ein, so befindet sich die Masse anscheinend in Ruhe. Die Summe der Kräfte inklusive der Trägheitskräfte ergibt null. FF SS + FF GG + FF ZZZZ = 0 Geometrisch erkennt man, dass das Verhältnis von Zentrifugal- und Schwerkraft gerade dem Tangens des Neigungswinkels entspricht: tan αα = FF ZZZZ FF GG = mm aa ZZZZ mm gg = aa ZZZZ gg CH-9471 Buchs 4/11

5 Auflösen nach der Zentripetalbeschleunigung liefert: aa ZZZZ = gg tan αα Auf der anderen Seite wissen wir aus (2), dass die Zentrifugalbeschleunigung auch durch die Winkelgeschwindigkeit ωω und dem Radius rr 0 berechnet werden kann, also haben wir: aa ZZZZ = gg tan αα = rr 0 ωω 2 Durch gleichzeitiges Messen des Neigungswinkels αα und und der Winkelgeschwindigkeit ωω können wir den Radius rr 0 schätzen: rr 0 = gg tan αα ωω 2 Regression (Kurvenfit, Trendlinie in Excel) Beim Fitten einer Kurve, z.b. einer Parabel an die Messdaten werden die Parameter der Parabel durch ein Optimierungsverfahren so bestimmt, dass die Summe der Abstände der Messpunkte zur Kurve selbst minimal ist. Man nennt dies einen Least Square Fit, und die Methode heisst die Methode der kleinsten Quadrate. Eine Parabelgleichung als Funktion der Winkelgeschwindigkeit ωω hat folgende Form: aa(ωω) = ff(ωω) = pp 1 ωω 2 + pp 2 ωω + pp 3 (3) Legen wir eine Parabel mit der Methode der kleinsten Quadrate durch die Messkurve, um den Radius rr zu bestimmen, z.b. mit einer Trendlinie in Excel, so werden die Parameter {pp 1, pp 2, pp 3 } so bestimmt, dass die Kurve sich optimal an die Messpunkte anschmiegt. Vergleichen wir Gleichung (2) und (3), so sehen wir, dass im Falle der Zentrifugalbeschleunigung die Parameter pp 2 und pp 3 eigentlich null sein sollten und der Parameter pp 1 gerade dem Radius rr entspricht. pp 1 = rr (4) CH-9471 Buchs 5/11

6 3. Messungen mit dem Smartphone Ein Smartphone besitzt einen dreiachsigen Beschleunigungssensor zur Bestimmung der linearen Beschleunigung aa = aa xx, aa yy, aa zz und einen dreiachsigen Drehratensensor (Gyro) zur Bestimmung der Drehgeschwindigkeit oder Winkelgeschwindigkeit ωω = ωω xx, ωω yy, ωω zz entlang jeder Koordinatenachse. Die Orientierung dieser Sensoren ist in (1) und (2) gezeigt: Abbildung 5: Orientierung der Beschleunigungssensoren (links) und der Drehratensensoren (Gyro-Sensoren) in einem modernen Smartphone. Hinweis: Mit vielen Aufbauten erreichen Sie die Kalibrierungsgrenze der Sensoren Ihres Smartphones. Je nach Modell und Aufbau geschieht dies zuerst beim Gyroskop oder beim Beschleunigungssensor und in manchen Fällen bereits bei noch recht moderaten Geschwindigkeiten. Sie erkennen dies daran, dass in Ihren Daten ein deutlicher Knick entsteht. Dies stellt keine Gefahr für Ihr Smartphone dar, aber um gute Messergebnisse zu erhalten, sollten Sie bewusst mit langsamen Drehgeschwindigkeiten beginnen und sich langsam an höhere Geschwindigkeiten herantasten, so dass Sie deutlich erkennen, wenn Sie diese Grenze erreichen. CH-9471 Buchs 6/11

7 4. Versuchsaufbau Der Versuchsaufbau besteht aus einem Drehteller (3), welcher durch einen DC-Motor (2) angetrieben wird. Das Smartphone kann mit laufender Phyphox-App in unterschiedlicher Lage in den Drehteller eingelegt werden. Über die Einstellung der Spannung am DC-Netzteil (1) kann die Drehgeschwindigkeit ωω eingestellt werden. WICHTIG: Beachten Sie bitte folgende Punkte: a) Realisieren Sie mit den vorhandenen Materialien einen Versuchsaufbau, bei dem das Smartphone an einer Stange sicher horizontal rotieren kann. Sichern Sie bei Bedarf kritische Stellen. Es muss darauf geachtet werden, dass der Motor an seiner Halterung sowie das Handy an der Stange gut befestigt sind (ggf. vor dem Start den Aufbau kurz überprüfen, um Folgeschäden zu vermeiden). b) Achten Sie darauf, dass während der Rotation des Aufbaus niemand in den Wirkungsbereich der sich drehenden Stange gelangt. c) Beschleunigen Sie den DC Motor langsam durch Hochdrehen der Spannung am Netzgerät bis etwa auf maximal 3.0V. Drehen Sie dann langsam die Spannung am Netzgerät wieder auf null, bis der Motor zum Stillstand kommt. d) Beenden Sie die Messung am Smartphone zügig, nachdem Sie das Pendel anhalten! Somit wird verhindert, dass zu viele Daten aufgenommen werden, welche die Messung verfälschen würden. CH-9471 Buchs 7/11

8 5. Messungen 5.1 Installation der Phyphox-App Mit der Phyphox-App, welche sie unter herunterladen können, lassen sich alle Sensoren eines Smartphones auslesen. Die Daten lassen sich in Quasi-Echtzeit per WLAN an einen Rechner übertragen, visualisieren, abspeichern und auswerten. 1. Verbinden Sie ihr Smartphone (iphone, Android) mit dem Gast-WLAN der NTB. Das notwendige Passwort erhalten Sie von Ihrem Betreuer. 2. Installieren und starten Sie die Phyphox-App. 3. Wählen Sie den Versuch Zentripetalbeschleunigung 5.2 Messung mit Radius rr Befestigen Sie das Smartphone in einem fixen Abstand rr 1 von der Drehachse. Führen Sie eine erste Messung durch, indem Sie die App «Zentrifugalbeschleunigung» am Smartphone starten und die Spannung am Netzgerät langsam hochdrehen, bis die Stange rotiert und eine konstante Winkelgeschwindigkeit ωω erreicht hat. 2. Drehen Sie dann die Spannung am Netzgerät langsam wieder zurück auf null und warten Sie, bis die Rotation zum Stillstand kommt. Beenden Sie die Messung am Smartphone und übertragen Sie die Daten im xls-format per WLAN oder an einen Rechner. 3. Öffnen Sie das xls-file durch Doppelklicken und stellen Sie die Zentrifugalbeschleunigung (linear acceleration) gegen die Winkelgeschwindigkeit ωω in einem Diagramm dar. Beschriften Sie die Achsen und geben Sie die Einheiten an (siehe Abbildung 2) CH-9471 Buchs 8/11

9 Zentrifugalbeschleunigung a (m/s^2) Acceleration (m/s^2) y = x x Winkelgeschwindigkeit ω (1/s^2) Abbildung 6: Zentrifugalbeschleunigung als Funktion der Winkelgeschwindigkeit ωω 4. Fügen Sie eine Trendlinie hinzu. Drücken Sie hierfür mit der Maus auf das Pluszeichen an der rechten oberen Ecke der Grafik. Wählen Sie eine quadratische Funktion (Polynom 2. Grades) und lassen Sie sich die Formel im Diagramm anzeigen. Fügen Sie eine Legende hinzu und wählen Sie geeignete Farben für die Darstellung. 5. Interpretieren Sie die Koeffizienten des quadratischen, linearen und konstanten Terms in der Formel. Welcher Koeffizient stellt den Radius rr 1 dar und warum? Was bedeuten die übrigen Koeffizienten? 6. Da die Zentripetalbeschleunigung aa proportional (d.h. linear) zur Winkelgeschwindigkeit im Quadrat ist, macht es Sinn, die Zentripetalbeschleunigung gegen ωω 2 darzustellen. In diesem Diagramm hängt die y-achse linear von der x-achse ab. Fügen Sie also eine lineare Trendlinie hinzu und erzwingen Sie, dass die Gerade durch den Nullpunkt des Koordinatensystems verläuft. Welcher Parameter stellt nun den Abstand rr 1 von der Drehachse dar? CH-9471 Buchs 9/11

10 45 Zentrifugalbeschleunigung a (m/s^2) y = x R² = Acceleration (m/s^2) Linear (Acceleration (m/s^2)) ω 2 (1/s 2 ) Abbildung 7: Stellt man die Zentrifugalbeschleunigung als Funktion von ωω 2 dar, so ergibt sich eine Gerade durch den Nullpunkt. Die Geradensteigung ist gerade der gesuchte Radius. 5.3 Messung mit Radius rr Führen Sie das Experiment 5.1 mit einem leicht unterschiedlichen Abstand rr 2 zur Drehachse durch, indem Sie beispielsweise das Smartphone um 90 verdrehen. 2. Markieren Sie die Position des Beschleunigungssensors auf dem Smartphone. Dies sollte durch die Kenntnis der beiden Radien rr 1 und rr 2 nun möglich sein. 3. Suchen Sie auf dem Internet nach einem Layout ihres Smartphones und überprüfen Sie, ob ihr Smartphone richtig bestückt wurde. CH-9471 Buchs 10/11

11 5.4 Bestimmen des Radius rr 00 über den Neigungswinkel αα einer Masse an einer Schnur 1. Befestigen Sie eine kurze Schnur mit einer Masse an den Drehteller. 2. Legen Sie ein Smartphone auf den Drehteller und lassen sie den Drehteller über die Einstellung der DC-Spannung an der Spannungsversorgung langsam rotieren, bis sich die Masse mm um einen messbaren Neigungswinkel αα nach aussen neigt. 3. Messen Sie, sobald sich eine konstante Winkelgeschwindigkeit ωω eingestellt hat, mittels der Phyphox-App die Winkelgeschwindigkeit ωω. 4. Machen sie mit einem zweiten Smartphone ein Photo, um den Neigungswinkel αα später aus diesem Foto bestimmen zu können. Vielleicht müssen Sie mehrere Fotos machen, damit Sie sicher eines erwischen, das Sie verwenden können. Werten Sie den Neigungswinkel durch Messen in einem Bildverarbeitungsprogramm aus. 5. Berechnen Sie aus der gemessenen Winkelgeschwindigkeit ωω und dem Neigungswinkel αα den Radius rr Überprüfen Sie das Resultat, indem Sie den Radius rr 0 geometrisch berechnen. 5.5 Protokoll / Praktikumsbericht 7. Verfassen Sie einen Praktikumsbericht gemäss den Angaben Ihres Dozenten. CH-9471 Buchs 11/11