Wie viele Bälle passen in unsere Turnhalle? Aufgaben im Stil Enrico Fermis bearbeiten. Von Dr. Doris Bocka, Bindlach

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1 III Form und Raum Beitrag 32 Fermi-Aufgaben lösen 1 von 24 Wie viele Bälle passen in unsere Turnhalle? Aufgaben im Stil Enrico Fermis bearbeiten U A H C S R Titelbild: Thinkstock/iStock Von Dr. Doris Bocka, Bindlach Wie viele Bälle passen in eine Turnhalle oder auf ein Fußballfeld? Ihre Schüler lernen mit solchen Fragen umzugehen und sinnvolle Lösungen zu erarbeiten. Klasse O V 5/6 Dauer 2-3 Unterrichtsstunden Inhalt Offene Aufgabenstellungen nach Art von Fermi-Aufgaben mit vielfältigen mathematischen Strategien lösen, Flächen und Volumen berechnen, Anzahlen bestimmen Kompetenzen Probleme mathematisch lösen (K2), mathematisch modellieren (K3), mathematisch argumentieren (K1) und kommunizieren (K6) Ihr Plus Handlungsorientierung und Bearbeitungsstrategien

2 2 von 24 Didaktisch-methodische Hinweise Fachlicher Hintergrund: Fermi-Aufgaben Bei Fermi-Aufgaben handelt es sich um spezielle Problemstellungen, die auf den italienischen Physiker und Nobelpreisträger Enrico Fermi ( ) zurückgehen erhielt er den Nobelpreis für Physik. Nach mehreren Stationen in Europa arbeitete er an verschiedenen Universitäten in den USA, unter anderem in Chicago. Fermi war bekannt dafür, dass er seinen Studierenden Aufgaben stellte, die auf den ersten Blick unlösbar erschienen, weil sie praktisch keine Daten enthielten. Er wollte, dass sie mit Allgemeinwissen und gesundem Menschenverstand gelöst werden. Dabei wird eine Fragestellung in Teilproblemen bearbeitet, für die Erfahrungswerte vorhanden sind, und durch Abschätzen gelöst. Begründung für die Behandlung von Fermi-Aufgaben im Unterricht Bei diesem Aufgabentypus können Probleme aus dem Erfahrungsfeld der Schülerinnen und Schüler aufgegriffen werden. Dabei wirft man eine (scheinbar) einfache Problemstellung auf und hält sie offen. Das Fehlen von Zahlenangaben verhindert eine vorschnelle Verknüpfung mit bekannten Rechenoperationen. Die Lebenswirklichkeit der Schülerinnen und Schüler wird in ihrer Komplexität konkret dargestellt, was sich häuig erst bei der Bearbeitung von den Teilaufgaben herauskristallisiert, denn grobes Schätzen genügt oft nicht. Das zeigt sich unter anderem daran, dass die vermuteten Werte der Schülerinnen und Schüler stark variieren können oder Nonsens-Ergebnisse herauskommen: Auf die Frage Wie viele Fußbälle passen auf ein Fußballfeld? (M 1) schätzten Schülerinnen und Schüler einer Klasse zwischen 1000 und Bälle daraus lässt sich schließen, dass sie nur vage Größenvorstellungen haben. Vielmehr soll durch strategisches Vorgehen (M 2) ein passendes mathematisches Modell für den Lösungsweg gefunden werden. Da das Vorwissen der Schülerinnen und Schüler bei der Bearbeitung von Fermi-Aufgaben eine entscheidende Rolle spielt, gibt es kein Standardverfahren zur Lösung. Deswegen sind nicht nur mehrere Lösungswege möglich, sondern auch mehrere (sinnvolle) Lösungen. Vielfältige Förderung mathematischer Kompetenzen Durch Aufgaben im Stil Enrico Fermis werden auf vielfältige Art und Weise mathematische Kompetenzen gefördert. Als Ausgangspunkt dienen komplexe Sachsituationen, für die ein geeignetes mathematisches Modell gefunden werden muss, das die Sachebene mit der mathematischen Ebene verbindet. Mit dem gewählten Modell wird operiert, bis es eine mathematische Lösung gibt. Diese wird dann auf die Sachsituation hin interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten schwierig erscheinende Sachsituationen problemlösend. Sie vertiefen dabei ihr Verständnis für Größen, wobei ihre Alltagsvorstellungen an mathematischen Größenbereichen überprüft werden. Bei der Bearbeitung von (selbst gewählten) Teilaufgaben rechnen die Schülerinnen und Schüler überschlägig und exakt mit Zahlen und Maßeinheiten. Am Ende des Lösungsprozesses relektieren und bewerten sie ihre Lösungswege. Da die Ergebnisse aufgrund von sinnvollen Annahmen und Abschätzungen im Lösungsprozess eine gewisse Spannbreite aufweisen können, erkennen die Schülerinnen und Schüler, dass es keine alleingültige Lösung gibt. Insgesamt lernen die Schülerinnen und Schüler bei der Bearbeitung von Aufgaben im Fermi-Stil, mit vagen Angaben, Schätzungen und Teilproblemen umzugehen.

3 III Form und Raum Beitrag 32 Fermi-Aufgaben lösen 3 von 24 Die Materialien im Überblick Die Aufgaben sind so angelegt, dass sie mit den Arbeitsblättern gelöst werden können. Ergänzend dazu gibt es eine Kopiervorlage mit Bearbeitungsstrategien (M 2) sowie passende Infoblätter (M 4 Infoblatt mit Größenangaben, M 5 Infoblatt Bälle anordnen, M 9 Infoblatt Enrico Fermi ). Besonders die Materialien M 1 Wie viele Bälle passen auf ein Fußballfeld?, M 3 Fermi-Fragen rund ums Fußballfeld und M 7 Wie viel passt hinein? lassen sich auch handlungsorientiert lösen, M 6 Was wächst denn da? teilweise auch dazu müssen den Schülerinnen und Schülern entsprechende Materialien und Messinstrumente zur Verfügung gestellt werden. Dazugehörige Anmerkungen inden sich weiter hinten in den Hinweisen. Auf der letzten Kopiervorlage M 10 Meine eigene Fermi-Aufgabe können die Schülerinnen und Schüler selbst eine Problemstellung mit einem Lösungsvorschlag entwerfen. Aufbau der Unterrichtseinheit Man kann beim Themenbereich Aufgaben im Stil Enrico Fermis lösen drei Schwerpunkte setzen. 1. Lösungsstrategien: Ist genügend Zeitbudget vorhanden, können mithilfe von M 1 Wie viele Bälle passen auf ein Fußballfeld? eigene Lösungsstrategien für Fermi-Aufgaben erarbeitet werden. Man kann aber auch die ausgearbeiteten Bearbeitungsstrategien M 2 für dieses Arbeitsblatt und für alle weiteren Fermi-Fragen als Vorlage verwenden. Dabei sollen die Schülerinnen und Schüler immer wieder ihr Handeln und ihre Strategie kritisch überprüfen. Wichtig ist auch, dass sie ihre oft abweichenden, plausiblen Ergebnisse so einordnen, dass sie eine sichere Größenvorstellung entwickeln können. Das Infoblatt Enrico Fermi M 9 bietet durch Auswahlinformationen mögliche Teilfragen an, die zur Lösung des Problems gestellt werden können. 2. Handlungsorientierung: Für diesen Schwerpunkt sind die Arbeitsblätter Wie viele Bälle passen auf ein Fußballfeld? M 1, Fermi-Fragen rund ums Fußballfeld M 3, Wie viele Fußbälle passen in unsere Turnhalle M 6 und Wie viel passt hinein? M 8 besonders geeignet. Die Arbeitsblätter lassen sich unabhängig voneinander bearbeiten und mithilfe der Infoblätter M 4 Infoblatt mit Größenangaben und M 5 Infoblatt Bälle anordnen bearbeiten. Das Arbeitsblatt Was wächst denn da? M 7 kann auch hinzugenommen werden, wenn die Schülerinnen und Schüler selbst Werte recherchieren sollen. 3. Anwendung und Transfer: Haben die Schülerinnen und Schüler eine Fermi-Aufgabe gelöst, sollen sie besonders ihre Bearbeitungsstrategien an mehreren Problemstellungen weiter vertiefen und auf neue Situationen anwenden (M 1, M 3, M 6 M 8). Sie können auch eine eigene Aufgabe entwickeln und ihren Lösungsweg skizzieren (M 10 Meine eigene Fermi- Aufgabe ). Für die Bearbeitung von Fermi-Aufgaben ist ein Vorgehen nach dem Ich-Du-Wir-Schema besonders geeignet. In der ersten Phase setzt sich jeder Lernende individuell mit der Problemstellung auseinander, um sie anschließend mit einem Lernpartner zu diskutieren. Im Plenum wird schließlich gemeinsam unter Moderation der Lehrkraft nach einer Lösung gesucht. Weiterführende Hinweise Die Bearbeitungsstrategien für Fermi-Aufgaben eigenen sich auch zur Bearbeitung anderer offener Aufgabenstellungen und zur Sicherung von Problemlösestrategien. Die Arbeitsblätter sind auch für Vertretungsstunden geeignet. Dazu können einzelne Aufgabenstellungen je nach Methodenkenntnissen der Klasse auch im Plenum bearbeitet werden.

4 4 von 24 Auf einen Blick Stunde 1-3 M 1 (Fo) M 2 (Fv) M 3 (Ab) M 4 (Ib) M 5 (Ib) M 6 (Ab) M 7 (Ab) M 8 (Ab) M 9 (Ib) M 10 (Ab) Fermi-Aufgaben und Hilfestellungen Wie viele Bälle passen auf ein Fußballfeld? Bearbeitungsstrategien Fermi-Fragen rund ums Fußballfeld Infoblatt mit Größenangaben Infoblatt: Bälle anordnen Wie viele Fußbälle passen in unsere Turnhalle? Was wächst denn da? Wie viel passt hinein? Infoblatt: Enrico Fermi Legende der Abkürzungen Meine eigene Fermi-Aufgabe Ab: Arbeitsblatt; Fo: Farbfolie; Fv: Folienvorlage; Ib: Infoblatt; Tx: Text Minimalplan In einer Doppelstunde lassen sich mehrere Fermi-Aufgaben arbeitsteilig lösen (M 1, M 3, M 6, M 7 oder M 8). Man kann dazu nur die Arbeitsblätter (besonders bei M 1 und M 3 in Kombination mit M 4 und M 5) verwenden. Zum Einstieg ist es jedoch sinnvoll, zumindest ein Teilproblem handlungsorientiert zu lösen (z. B. bei M 1 einen Quadratmeter mit Fußbällen auslegen, bei M 3 auf dem Schulgelände die Größe eines Parkplatzes ausmessen) und die Bearbeitungsstrategien (M 2) zu erarbeiten. In einer Einzelstunde können auch M 5 und/oder M 6 arbeitsteilig gelöst werden, eventuell kann auch nur M 9 bearbeitet werden. Die Lösungen zu den Materialien inden Sie ab Seite 18.

5 III Form und Raum Beitrag 32 Fermi-Aufgaben lösen 5 von 24 Wie viele Bälle passen auf ein Fußballfeld? M 1

6 6 von 24 M 2 Bearbeitungsstrategien Hier bekommst du Tipps, wie du mit offenen Aufgabenstellungen und Fermi-Aufgaben umgehst. Du kannst zur Bearbeitung folgende Fragen hinzuziehen: Frage 1: Was weißt du schon darüber? Überlege dir, welche Vorkenntnisse du schon über die Problemstellung hast und notiere diese. Vielleicht musst du auch alles nachforschen. Frage 2: Welche Informationen brauchst du noch? Um die Aufgabe zu lösen, brauchst du noch konkrete Angaben. Überlege dir, woher du diese bekommen kannst. Oft hilft eine Recherche im Internet. Frage 3: Welche Teilprobleme musst du lösen? Zerlege die Aufgabenstellung in Teilprobleme. Dabei kannst du das große Problem in kleine Probleme gliedern. Zu Beginn kannst du schon einmal Teilfragen abschätzen, eine Skizze anfertigen oder (bekannte) Bezugsgrößen (zum Messen oder Zählen) verwenden zum Beispiel die Anzahl pro Quadratmeter, die Menge pro Kubikmeter usw. Frage 4: Wie kannst du deinen Lösungsweg am besten organisieren? Überlege, was du handelnd, zählend oder rechnerisch lösen kannst. Notiere dir auch die Teilergebnisse, die du zu deinen Teilproblemen gefunden hast. Frage 5: Kann das Ergebnis stimmen? Kontrolliere, ob du dein Ergebnis mit deinem Vorwissen vereinbaren kannst und ob deine Abschätzungen stimmen können. Gerade bei Fermi-Aufgaben gibt es nicht nur ein richtiges Ergebnis. Je nachdem, welche Teilprobleme und eingeholten Informationen du zugrunde gelegt hast können abweichende Ergebnisse zustande kommen sie müssen aber plausibel sein. Überprüfe, ob die Größenordnung stimmen kann. Du kannst dir auch überlegen, wie sich dein Ergebnis ändert, wenn du bei einem Teilproblem einen anderen Zahlenwert zugrunde legst, du eine andere Vorgehensweise wählst oder sich eine Variable ändert. Nagel: Thinkstock/iStock

7 12 von 24 M 8 Wie viel passt hinein? - Fermi-Aufgaben handlungsorientiert lösen. Wähle eine Fermi-Frage aus und bearbeite sie. Nutze dazu die Bearbeitungsstrategien. Aufgabe 1: Wie viele Zeitschriften passen in einen Umzugskarton? Aufgabe 2: Wie viele Legosteine passen in einen Umzugskarton? Aufgabe 3: Wie viele Mathebücher passen in unser Klassenzimmer? Aufgabe 4: Wie viele Handys passen in unser Klassenzimmer? Aufgabe 5: Wie viele Luftballons passen in unsere Turnhalle? Aufgabe 6: Wie viele Schüler passen auf unseren Pausenhof? Aufgabe 7: Wie viele Getränkekisten kann man in unserer Aula stapeln? Aufgabe 8: Wie viele Stühle passen auf unser Schulgelände?

8 16 von 24 Hinweise (M 5) Das Infoblatt enthält Angaben, die für die Arbeitsblätter M 1, M 3 und M 6 verwendet werden können. Die Werte lassen sich aber auch selbst auf handlungsorientierte Art und Weise in der Klasse bestimmen. Damit die Bälle nicht wegrollen, sollte man nicht nur einen Quadratmeter am Boden mit Klebeband abkleben, sondern ihn auch mit Kästen (von den Sprungkästen) abstecken. Das Aufeinanderstapeln von Bällen funktioniert dann gut, wenn die Raumhöhe komplett seitlich begrenzt ist. Ansonsten wären die Bälle versetzt gestapelt stabiler. Wichtig ist es, mit den Schülerinnen und Schülern zu diskutieren, dass lose Schüttungen und versetzte Anordnungen bei größeren Flächen und Volumen von Vorteil sein können. Bei der Berechnung von Fermi-Aufgaben ist es aber sinnvoll, brauchbare Bezugsgrößen zu verwenden. Eine mögliche Abweichung in den Ergebnissen kann toleriert werden. Hinweise (M 6) Bei Aufgabe 1 kann auf die Vorkenntnisse aus M 1 zurückgegriffen werden, wenn es vorher schon bearbeitet worden ist. Die Frage selbst ist so formuliert, dass nicht unbedingt das Volumen der Halle mit Bällen ausgefüllt werden muss, sondern auch eine Schicht am Boden gelegt werden kann. Die Maße der Halle können handlungsorientiert erschlossen oder (von der Lehrkraft) erfragt werden. Im Lösungsteil ist ein Beispiel mit den Mindestmaßen einer Einfachturnhalle in Bayern dargestellt. Bei Aufgabe 2 können die gleichen Hallenmaße wie bei Aufgabe 1 verwendet werden. In den Lösungen wurden Tischtennisbälle mit einem kleineren Durchmesser als Fußbälle gewählt, sodass sich die Ergebniszahl erhöht. Es können auch gemischte Bälle genommen werden, wobei dann eine Durchschnittsgröße zur Berechnung Sinn macht. Auch bei dieser Aufgabe muss nicht zwingend das Volumen berechnet werden, eine Flächenbedeckung wäre aufgrund der offenen Fragestellung auch richtig. Dies sollten Sie aber vorher mit den Schülerinnen und Schülern klären. Bei Aufgabe 3 ist es nötig, nicht nur die Größe, sondern auch die Form des Bällebads festzulegen bei den bisherigen Aufgaben war es immer eine rechteckige Form. Bällebäder gibt es aber auch häuig mehreckig oder rund. Durch die Größe der Bälle wird die Form beim Volumen aber kaum eine Rolle spielen. In der Regel gibt es kleinere Bälle mit 6 cm Durchmesser oder größere Bälle mit 7,5 cm Durchmesser für die Befüllung von Bällebädern. In der Beispielrechnung in den Lösungen werden die größeren verwendet. Hinweise (M 7) Die Aufgaben auf diesem Arbeitsblatt sind überwiegend rechnerisch zu lösen. Dazu sind die Vorkenntnisse aus den Arbeitsblättern M 1 und M 3 hilfreich. Ihre Schülerinnen und Schüler sollten die Bearbeitungsstrategien aus M 2 weiterhin verwenden. Die Werte für die Teillösungen können selbst recherchiert werden. Im Lösungsteil inden sich entsprechende Beispiele, die sich auch als Vorgabe verwenden lassen. Das Vorwissen der Schülerinnen und Schüler sowie sinnvolle Abschätzungen an geeigneten Bezugsgrößen sollten ebenfalls einbezogen werden. Besonders die Aufgaben 6 8 erzielen iktive Ergebnisse. Die Schülerinnen und Schüler lösen dieses Arbeitsblatt individuell oder in Partner- bzw. Gruppenarbeit. Dabei ist es wichtig die Teilprobleme zu formulieren und den Lösungsweg nachvollziehbar darzustellen. Die Ergebnisse können im Plenum vorgestellt und diskutiert werden. Zusätzlich kann für die gewählte Aufgabe ein Plakat (Frage, Vorwissen, Teilprobleme, Lösungsweg und Ergebnis) gestaltet werden.

9 III Form und Raum Beitrag 32 Fermi-Aufgaben lösen 17 von 24 Hinweise (M 8) Bei diesen Aufgaben bietet sich ein handlungsorientierter Zugang an. Die Gegenstände und Messinstrumente dafür sind meistens in der Schule vorhanden oder in der Regel leicht zu organisieren (Aufgabe 1: Umzugskarton und Zeitschriften, Aufgabe 2: Umzugskarton und Legosteine, Aufgabe 3: Mathebücher und evtl. Maßband, Aufgabe 4: Handys und Maßband, Aufgabe 5: Luftballons und Maßband, Aufgabe 6: Maßband, Aufgabe 7: Getränkekiste und Maßband, Aufgabe 8: Stühle und Maßband). Wenn vorher schon das Arbeitsblatt M 6 bearbeitet und das Infoblatt: Bälle anordnen M 5 verwendet wurde, kann auf die gewonnenen Erkenntnisse zurückgegriffen werden. Die Bearbeitungsstrategien M 2 sind für die Planung des Lösungsweges hilfreich. Die in den Lösungen verwendeten Werte sind nur exemplarisch gewählt, können aber auch als Basis für die Berechnungen dienen. Die Aufgaben können wie bei M 7 bearbeitet und die Ergebnisse im Plenum vorgestellt und diskutiert werden. Zusätzlich kann für die gewählte Aufgabe ebenso ein Plakat (Frage, Vorwissen, Teilprobleme, Lösungsweg und Ergebnis) gestaltet werden. Hinweise (M 9) Da es sich bei der Aufgabe um ein originales Fermi-Problem handelt, sind bei den Auswahlinformationen zeitgenössische Werte angegeben. Heute leben zwar etwas mehr Menschen in Chicago, aber es dürfte weniger stimmbare Klaviere geben, da elektrische Klaviere und Keyboards in dieser Hinsicht wartungsfrei sind. Das Ergebnis ist in diesem Fall eindeutig, da alle Schülerinnen und Schüler dieselben passenden Zahlenangaben verwenden. Legt man allerdings andere plausible (selbst recherchierte) Zahlenangaben zugrunde, kann das Ergebnis abweichen. Hinweise (M 10) Dieses Arbeitsblatt eignet sich sehr gut zur Differenzierung oder als Hausaufgabe. Es könnte auch für einen Wettbewerb oder ein Quiz mit entsprechend gestaltetem Plakat verwendet werden. Bevor die individuellen Ergebnisse im Plenum präsentiert werden, sollte sie die Lehrkraft überprüfen.

10 18 von 24 Lösungen Hinweise zu den Lösungen Verbindliche Lösungen mit exakten Zahlenwerten gibt es bei Fermi-Aufgaben nicht. Da die zugrunde gelegten Zahlenangaben variieren können (je nach gestellten Teilproblemen, nach gewählter Bezugsgröße oder nach Schätzung), sind in den Lösungen lediglich Beispielrechnungen angegeben. Ziel der Aufgabenstellungen ist es vielmehr, Vorstellungen von Größenordnungen zu gewinnen. Dazu dienen vernünftige und begründbare Annahmen. Lösung (M 1) Wie viele Bälle passen auf ein Fußballfeld? Aufgabe 1: Welche Überlegungen der Kinder sind sinnvoll? Diskutiert in der Klasse. Individuelle Lösungen Aufgabe 2: Überlege dir, welche Teilfragen du stellen kannst. Beispiellösung: Wie groß ist ein Fußball? Wie viele Fußbälle passen auf einen Quadratmeter? Wie groß ist ein Fußballfeld? Aufgabe 3: Welche Zahlenangaben brauchst du, um die Aufgabe zu lösen? Beispiellösung: Ich weiß, dass individuelle Lösung. Ich erforsche, wie groß ein Fußball ist, wie groß ein Fußballfeld ist, wie viele Fußbälle auf einen Quadratmeter passen. Aufgabe 4: Wie möchtest du vorgehen? Beispiellösung: Zuerst messe oder recherchiere ich, wie groß ein Fußball und ein Fußballfeld sind. Dann lege oder berechne ich, wie viele Bälle auf einen Quadratmeter passen. Zum Schluss berechne ich wie viele Fußbälle auf ein Fußballfeld passen. Beispiellösung: = Fußbälle passen auf ein Fußballfeld.