KURZSKRIPT ZUR VORLESUNG LINEARE ALGEBRA UND ANALYTISCHE GEOMETRIE I IM WS 2017/18

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1 KURZSKRIPT ZUR VORLESUNG LINEARE ALGEBRA UND ANALYTISCHE GEOMETRIE I IM WS 207/8. Mengen und Zahlen Eine Menge X besteht aus Elementen. X ist eine Teilmenge von Y, geschrieben X Y, wenn jedes Element von X auch in Y liegt. Definition.. Seien X und Y Mengen. Die Vereinigung von X und Y ist definiert als X Y = {a a X oder a Y }. Der Durchschnitt von X und Y ist definiert als X Y = {a a X und a Y }. Die Differenz von X und Y ist definiert als X Y = X Y = {a a X und a Y }. Die Potenzmenge P (X) von X ist die Menge aller Teilmengen von X. Proposition.2. Seien X, Y und Z Mengen. Dann gilt: X Y = Y X, X Y = Y X ( Kommutativität ) (X Y ) Z = X (Y Z), (X Y ) Z = X (Y Z) ( Assoziativität ) (X Y ) Z = (X Z) (Y Z) Definition.3. Seien X und Y Mengen. Das kartesische Produkt von X und Y ist die Menge X Y = {(a, b) a X, b Y } der geordneten Paare (a, b) von Elementen a X und b Y. Definition.4. Seien X und Y Mengen. Eine Relation R (zwischen den Elementen von X und den Elementen von Y ) ist eine Teilmenge R von X Y. Für (a, b) R schreiben wir auch arb. Eine Teilmenge R X X wird auch als Relation auf X bezeichnet. Dann heißt R reflexiv ara a X symmetrisch [ a, b X arb bra] transitiv [ a, b, c X arb brc arc] R heißt Äquivalenzrelation R ist reflexiv, symmetrisch und transitiv. Für eine Äquivalenzrelation R schreibt man statt arb auch a R b ( a ist R-äquivalent zu b ). Definition.5. Sei R eine Äquivalenzrelation auf X und a X. Dann heißt [a] = {b X arb} die Äquivalenzklasse von a. Proposition.6. Sei R eine Äquivalenzrelation auf X. Für a, b X gilt entweder [a] = [b] oder [a] [b] =. X = [a], d.h. X ist die disjunkte Vereinigung der verschiedenen Äquivalenzklassen. Definition.7. Eine Relation f X Y heißt Funktion oder Abbildung von X nach Y a X! b Y (a, b) f (! bedeutet es existiert genau ein ). Statt (a, b) f schreiben wir auch f(a) = b und wir nutzen die Notation f X Y ( f ist eine Abbildung von X nach Y ) sowie a f(a) ( das Element a X wird auf f(a) abgebildet ). Definition.8. Sei f X Y eine Abbildung. Dann ist f injektiv a, b X f(a) = f(b) a = b surjektiv c Y a X f(a) = c bijektiv f injektiv und surjektiv

2 Definition.9. Seien f X Y und g Y Z Abbildungen. Die Komposition von g und f ist die Abbildung g f X Z mit a g(f(a)) für a X. Wir sagen auch, dass g nach f ausgeführt wird. Die Abbildung g heißt die Umkehrabbildung von f Z = X und g f = id X sowie f g = id Y. Theorem.0. Seien X und Y nichtleere Mengen und f X Y eine Abbildung. Dann gilt: f ist injektiv g Y X sodass g f = id X f ist surjektiv g Y X sodass f g = id Y f ist bijektiv g Y X sodass g f = id X und f g = id Y Definition.. Sei f X Y eine Abbildung. Die Menge f(x) = {f(a) a X} = {b Y a X mit f(a) = b} heißt Bild (oder Bildbereich oder Bildmenge oder Wertebereich von f). Die Elemente a X mit f(a) = b heißen Urbilder von b Y. Die Menge aller Urbilder von b wird mit f (b) = f ({b}) = {a X f(a) = b} bezeichnet. Für Z Y ist f (Z) = {a X f(a) Z}. Definition.2. Zwei Mengen X und Y sind gleichmächtig (oder von gleicher Kardinalität) Bijektion X Y. Eine Menge X heißt abzählbar, wenn sie gleichmächtig zu einer Teilmenge von N ist. Wenn X nicht abzählbar ist, heißt X überabzählbar. Peano-Axiome: (P) Es gibt eine natürliche Zahl. (P2) Es gibt eine Funktion S, die jeder Zahl a N eine Zahl S(a) zuordnet. (P3) ist nicht von der Form S(a) für irgendein a. (P4) S ist injektiv: a b S(a) S(b). (P5) Für alle Aussagen A über natürliche Zahlen gilt: [A() wahr und a N [A(a) wahr A(S(a)) wahr]] a A(a) wahr. Prinzip der vollständigen Induktion: Sei A(n) eine Aussage über natürliche Zahlen n N, sodass gilt: Induktionsanfang: A() ist wahr. Induktionsschritt: n N [A(n) wahr A(n + ) wahr]. Dann ist A(n) wahr n N. Theorem.3. Sei M N mit M. Dann existiert ein kleinstes Element in M, d.h. n o M mit n o a a M. Dieses Element ist eindeutig bestimmt. Lemma.4. Sei n N. Dann gilt n j = n(n+) 2. j= Proposition.5. Seien X, Y zwei Mengen mit jeweils n Elementen und sei BijAbb(X, Y ) definiert als die Menge der bijektiven Abbildungen von X nach Y. Dann ist BijAbb(X, Y ) = n!. Theorem.6. Sei M eine endliche Menge mit M = m 0 und sei 0 k m. Sei ferner ( m ) k die Anzahl der Teilmengen von M mit genau k Elementen. Die Zahl (m) k N heißt Binomialkoeffizient ( m über k ). Für k gilt: ( m+ ) k = (m) k + ( m ). k Für m k 0 gilt: ( m ) k = m! k k!(m k)! = m (m )... (m k+)... k. Für alle m, k gilt: ( m ) k = ( m ). m k Theorem.7. (Binomischer Lehrsatz): Für reelle (oder komplexe) Zahlen und n N gilt: (a + b) n = n j=0 ( n j )aj b n j. 2

3 Korollar.8. Sei X eine endliche Menge und X = n. Dann gilt: P (X) = 2 n, d.h. X hat genau 2 n Teilmengen. X hat genau 2 n Teilmengen mit gerader Anzahl an Elementen und genauso viele mit ungerader Anzahl an Elementen. Komplexe Zahlen: Wir definieren auf der Menge C = R 2 folgende Addition und Multiplikation: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac bd, ad + bc) Insbesondere folgt dann (0, ) 2 =. Wir setzen i = (0, ) und a + bi = (a, b). Dann gilt: (a + bi)(c + di) = ac bd + (ad + bc)i = (ac bd, ad + bc) Für z = a+bi C heißt a der Realteil von z, a = Re(z), und b der Imaginärteil von z, b = Im(z). Der Betrag von z ist definiert als z = a 2 + b 2. Wir können z C in Polarkoordinaten schreiben, d.h. es gibt ein r R 0 und einen Winkel α im Intervall [0, 2π[, sodass z = r cos α + ir sin α. Um diese Darstellung von z zu erhalten, nutzen wir grundlegende trigonometrische Zusammenhänge im Einheitskreis S = {z C z = }. Auf dem Einheitskreis liegen auch die n-ten Einheitswurzeln, d.h. Lösungen der Gleichung z n =. Diese haben die Form z k,n = (cos 2πk 2πk + i sin ) für k =,..., n. n n Lemma.9. Seien k, n N mit 0 < k < n sowie ε = z,n. Dann gilt: n ε jk = 0 und daher auch j=0 n j=0 cos 2π n n j = 0 = sin 2π j=0 n j. Korollar.20. Sei X eine endliche Menge und X = n. Dann ist die Anzahl der Teilmengen von X, deren Elementezahl durch 3 teilbar ist, gegeben durch 2 n n + 2, n 0 mod 6, d.h. 2 n und 3 n ( n j=0 j ) = 3 2 n 2, n 3 mod 6, d.h. 2 n und 3 n 2 n +, n, 5 mod 6, d.h. 2 n und 3 n 3 j 2 n, n 2, 4 mod 6, d.h. 2 n und 3 n 3

4 2. Vektorräume Definition 2.. Ein Ring ist eine Menge R mit zwei Abbildungen + R R R, (a, b) a + b und R R R, (a, b) a b und zwei ausgezeichneten Elementen 0 und in R mit 0, sodass gilt: (R) a R b R a+b = 0 = b+a (b = a ist inverses Element zu a bezüglich +) a R a + 0 = a = 0 + a (0 ist neutrales Element bezüglich +) a, b R a + b = b + a (+ ist kommutativ) a, b, c R (a + b) + c = a + (b + c) (+ ist assoziativ) (R2) a R a = a = a ( ist neutrales Element bezüglich ) a, b, c R (a b) c = a (b c) ( ist assoziativ) (R3) a, b, c R a (b + c) = (a b) + (a c) a, b, c R (a + b) c = (a c) + (b c) (+, sind distributiv) Der Ring R ist ein kommutativer Ring, wenn zusätzlich gilt: a, b R a b = b a ( ist kommutativ) Ein kommutativer Ring K ist ein Körper, wenn zusätzlich gilt: a K = K {0} b K ab = (= ba) (b = a ist inverses Element zu a bezüglich ) Lemma 2.2. Sei K ein Körper, dann gilt: 0 und sind eindeutig bestimmt als neutrale Elemente bezüglich + und. Ebenso sind a und a eindeutig bestimmt. a K a 0 = 0 a, b K a b = 0 a = 0 oder b = 0 a, b K a ( b) = ab = ( a)b und ( a)( b) = ab Definition 2.3. Sei K ein Körper. Eine Menge V heißt K-Vektorraum (oder Vektorraum über K), wenn es Abbildungen + V V V und K V V und ein ausgezeichnetes Element 0 V gibt, sodass gilt: (V) x V y V x+y = 0 = y+x (y = x ist inverses Element zu x bezüglich +) x V x + 0 = x = 0 + x (0 ist neutrales Element bezüglich +) x, y V x + y = y + x (+ ist kommutativ) x, y, z V x + (y + z) = (x + y) + z (+ ist assoziativ) (V2) x V λ, µ K λ(µx) = (λµ) x ink x V λ, µ K (λ + µ) ink x = λx + inv µx x, y V λ K λ(x + y) = λx + λy x V x = x Die Elemente von V heißen Vektoren, die von K heißen Skalare oder Koeffizienten. Definition 2.4. Sei V ein K-Vektorraum und U V eine Teilmenge. U heißt Untervektorraum (oder Unterraum) von V U ist ein K-Vektorraum und die Operationen auf U sind die Einschränkungen der Operationen auf V : (+ U U U) = (+ V V V ) U U (oder U U Einschränkung) ( K U U) = ( K V V ) K U Proposition 2.5. (Unterraumkriterium) Sei V ein K-Vektorraum und U V mit U. Dann ist U ein Untervektorraum von V a, b U λ, µ K λa + µb U a, b U a + b U und λ K a U λa U. 4

5 Definition 2.6. Sei V ein K-Vektorraum, I eine Menge und M = {v i i I} eine Menge von Vektoren in V. Ein Vektor a V ist eine Linearkombination der v i (lässt sich aus den v i linear kombinieren), wenn gilt: n N i,..., i n I λ,..., λ n K a = n j= λ j v ij. Die Menge [M] aller Vektoren in V, die sich aus endlich vielen Elementen von M linear kombinieren lassen, also [M] = {a V n N, i,..., i n I, λ,..., λ n K a = n j= λ j v ij }, heißt lineare Hülle von M oder der von M erzeugte oder aufgespannte Unterraum. Die Menge M heißt Erzeugendenssystem von [M]. Für M = ist [M] = {0}. Lemma 2.7. Für jede Menge M V gilt: [M] ist ein Unterraum von V. Proposition 2.8. Sei M V und [M] die lineare Hülle von M. Dann gilt: [M] = M U U Unterraum U d.h. [M] ist der bezüglich Inklusion kleinste Unterraum von V, der M enthält. Ein Polynom mit Koeffizienten in einem kommutativen Ring R ist eine endliche Folge (a 0, a,..., a n ) = (a 0,..., a n, 0,... ) von Elementen in R, geschrieben als p(x) = a 0 +a x+a 2 x a n x n (mit einem Symbol x) oder auch p(x) = a n x n a 0. Das Element a n 0 heißt Höchstkoeffizient (oder Leitkoeffizient) und die natürliche Zahl n heißt Grad von p. Definition 2.9. Sei V ein K-Vektorraum, n N und v,..., v n V. Die Vektoren v,..., v n heißen linear abhängig (λ,..., λ n ) K n {(0,..., 0)}, sodass n λ i v i = 0. Sonst heißen die Vektoren v,..., v n linear unabhängig. Lemma 2.0. Sei n > und seien die Vektoren v..., v n linear abhängig. Dann gibt es ein j {,..., n}, sodass v j eine Linearkombination der v i für i j ist. Sei n und seien die Vektoren v,..., v n linear abhängig. Sei u ein weiterer Vektor. Dann sind die Vektoren v,..., v n, u linear abhängig. Definition 2.. Sei V ein K-Vektorraum. Eine Menge M = {b i i I} von Vektoren in V bildet eine Basis von V : V = [M] und für alle echten Teilmengen M = {b i i I } M gilt [M ] V. Theorem 2.2. Sei V ein K-Vektorraum und M = {b i i I} eine Menge von Vektoren. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: M ist eine Basis von V. Jedes a V ist eine Linearkombination von Vektoren in M, und die vorkommenden Vektoren und die Koeffizienten sind (für festes a) eindeutig bestimmt. Die Vektoren in M sind linear unabhängig, d.h. jede endliche Teilmenge ist linear unabhängig, und [M] = V. Eine Basis ist also ein Erzeugendensystem aus linear unabhängigen Vektoren. i= 5

6 Proposition 2.3. Sei V ein K-Vektorraum, der von einer abzählbaren Menge erzeugt wird: V = [{v, v 2, v 3,... }]. Dann besitzt V eine Basis, die in der Menge {v, v 2, v 3,... } enthalten ist. Definition 2.4. Seien V und W K-Vektorräume und f V W eine Abbildung. f heißt K-linear (oder Vektorraum-Homomorphismus) a, b V f(a + b) = f(a) + f(b) und a V, λ K f(λ a) = λ f(a) f heißt Vektorraum-Isomorphismus: f ist ein bijektiver Vektorraum-Homomorphismus. Die Vektorräume V und W heißen dann isomorph und wir schreiben V W. Lemma 2.5. Sei f V W ein Vektorraum-Isomorphismus. Dann ist f W V auch ein Vektorraum-Isomorphismus. Korollar 2.6. Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum. Dann existiert ein n N 0 und ein Vektorraum-Isomorphismus ϕ K n V. (Hier ist K 0 = {0 v }.) Lemma 2.7. Sei {v i i I} eine Menge linear unabhängiger Vektoren und sei w = λ i v i i {i,...,i n} mit λ i 0 für alle i {i,..., i n }. Dann ist für j {i,..., i n } die Menge ({v i i I} {v j }) {w} linear unabhängig und erzeugt dieselbe lineare Hülle: [{v i i I}] = [{v i i I, i j} {w}]. Theorem 2.8. (Austauschsatz von Steinitz): Sei V ein K-Vektorraum mit Basis {b,..., b n } und sei {v,..., v l } eine Menge linear unabhängiger Vektoren. Dann gilt l n und V hat eine Basis {v,..., v l, c,..., c n l } mit {c,..., c n l } {b,..., b n }. Korollar 2.9. Wenn V eine Basis mit n Elementen hat, dann hat jede Basis von V genau n Elemente und die Vektoren in einer Menge mit l > n Elementen sind stets linear abhängig. Definition Sei V ein K-Vektorraum mit einer Basis {v,..., v n }. Dann heißt n die K-Dimension von V. Wir schreiben dim K V = n (oder dim V = n). Falls V = {0}, dann ist dim V = 0. Wenn V nicht endlich erzeugt ist, schreiben wir dim K V =. Lemma 2.2. Seien U und V K-Vektorräume und U ϕ V ein Vektorraum-Isomorphismus. Dann gilt dim U = dim V. Genauer gilt: ϕ bildet eine Basis von U auf eine Basis von V ab. 6

7 3. Lineare Abbildungen und Matrizen Sei K ein Körper und seien V und W endlich dimensionale K-Vektorräume mit Basen v,..., v n und w,..., w l. Sei ϕ V W eine K-lineare Abbildung mit ϕ(v ) = a w + a 2 w a l w l ϕ(v 2 ) = a 2 w + a 22 w a l2 w l ϕ(v n ) = a n w + a 2n w a ln w l d.h. für j {,..., n} gilt ϕ(v j ) = a j w + a 2j w a lj w l mit a ij K. Diese Information können wir wie folgt darstellen: a a 2... a n a A = 2 a a 2n a l a l2... a ln = (a ij ) i=,...,l Zeilenindex j=,...,n Spaltenindex A heißt die darstellende Matrix von ϕ bezüglich der Basen v,..., v n von V und w,..., w l von W. Sei v V mit v = λ v + λ 2 v λ n v n für λ, λ 2,..., λ n K. Wir definieren λ λ 2 a a 2... a n a A x = 2 a a 2n a l a l2... a ln l n λ n n µ µ 2 a λ + a 2 λ a n λ n a = 2 λ + a 22 λ a 2n λ n = a l λ + a l2 λ a ln λ n µ l l Dann gilt: ϕ(v) = µ w + µ 2 w µ l w l, d.h. die Matrix A legt die lineare Abbildung ϕ fest. Definition 3.. Sei K ein Körper. Die Menge der l n-matrizen mit l Zeilen und n Spalten sowie Einträgen in K wird mit Mat(l n, K) bezeichnet. Theorem 3.2. Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis v,..., v n und W ein l- dimensionaler K-Vektorraum mit Basis w,..., w l für l, n N. Dann ist die Abbildung {ϕ V W ϕ K-linear } Mat(l n, K), die der linearen Abbildung ϕ die darstellende Matrix bezüglich obiger Basen zuordnet, bijektiv. Definition 3.3. Seien V und W K-Vektorräume. Die Menge der K-linearen Abbildungen von V nach W wird mit Hom K (V, W ) oder Hom(V, W ) bezeichnet (siehe Definition 2.4). Proposition 3.4. Hom K (V, W ) ist ein K-Vektorraum mit Nullvektor 0(x) = 0 x V sowie (f + g)(x) = f(x) + g(x) und (λf)(x) = λf(x) x V. Wenn dim V = n und dim W = l, dann ist dim Hom K (V, W ) = n l. Mat(l n, K) ist ein K-Vektorraum mit Nullvektor (0) l n sowie a + b... a n + b n λa... λa n A + B = und λ A = a n + b n... a ln + b ln λa n... λa ln 7

8 Die Bijektion in Theorem 3.2 definiert einen (von der Wahl der Basen abhängigen) Vektorraumisomorphismus. Für zwei Matrizen A = (a ij ) Mat(l n, K) und B = (b ij ) Mat(n m, K) definieren wir das Produkt A B = (c ij ) Mat(l m, K) durch c ij = n k= a ik b kj. Proposition 3.5. Die Komposition von linearen Abbildungen entspricht dem Produkt von Matrizen, genauer gesagt: Seien U, V und W K-Vektorräume mit Basen u,..., u m, v,..., v n und w,..., w l und seien f U V und g V W lineare Abbildungen, sodass bezüglich dieser Basen f die darstellende Matrix B hat und g die darstellende Matrix A. Dann ist A B die darstellende Matrix der linearen Abbildung g f U W. Korollar 3.6. Bezüglich einer festen Basis v,..., v n von V ist End K (V ) = Hom K (V, V ) isomorph zu Mat(n n, K) als K-Vektorraum und als Ring. 8

9 4. Elementarmatrizen und lineare Gleichungssysteme Seien V und W Vektorräume und sei ϕ V W eine lineare Abbildung. Sei zudem B eine Basis von V und C eine Basis von W und sei A die darstellende Matrix von ϕ bezüglich dieser Basen. Wie verändert sich die Matrix A, wenn wir andere Basen von V bzw. W wählen? Sei also B eine weitere Basis von V und C eine weitere Basis von W. Wir schreiben die lineare Abbildung ϕ als Komposition V id V V ϕ W id W W. Sei nun T die darstellende Matrix von id V bezüglich der Basen B und B und sei S die darstellende Matrix von id W bezüglich der Basen C und C. V Basis B id V T V Basis B ϕ A W Basis C id W S W. Basis C Dann ist S A T die darstellende Matrix von ϕ bezüglich der Basen B und C. Die Matrizen T und S werden auch Basistransformationen oder Basiswechselmatrizen genannt. Im Folgenden fragen wir uns, wie wir durch Basistransformationen eine möglichst einfache darstellende Matrix von ϕ finden können. Seien n, p N und i, j n. Sei zudem K ein Körper mit λ K {0} und A Mat(p n, K). Wir definieren die folgenden Elementarmatrizen in Mat(n n, K): Elementare Umformung : S i (λ) = λ a... λa i... a n mit A S i (λ) = a p... λa pi... a pn Elementare Umformung 2: Falls i < j sei Q j i =, wobei außerhalb der Diagonalen alle Einträge 0 sind bis auf den Eintrag (j, i) =. Falls i > j sei Q j i =, wobei außerhalb der Diagonalen alle Einträge 0 sind bis auf den Eintrag (j, i) =. 9

10 a... a i + a j... a n Wir erhalten in beiden Fällen: A Q j i = a p... a pi + a pj... a pn Analog definieren wir: Q j i (λ) = λ i-spalte und Q j i (λ) = λ. Elementare Umformung 3: P j i = Pj i = 0 0 wobei außerhalb der Diagonalen alle Einträge 0 sind bis auf die Einträge (j, i) = (i, j) =., a... a j... a i... a n Wir erhalten für i < j A P j i = a p... a pj... a pi... a pn i-te Spalte j-te Spalte Theorem 4.. (Gaußsches Eliminationsverfahren für Matrizen) Sei A Mat(p n, K). Dann gibt es endlich viele elementare Umformungen T,..., T l, sodass C = T l... T A = , d.h. c ij = 0 für i > j und steht für beliebige Einträge aus K. Diese Form heißt Zeilenstufenform. Korollar 4.2. Sei ϕ V W eine lineare Abbildung mit dim V = n und dim W = p. Dann existiert in V eine Kette von Unterräumen V 0 = {0} V V n = V mit dim V j = j, und es existiert in W eine Kette von Unterräumen W 0 = {0} W W p = W mit dim W j = j, sodass ϕ(v i ) W i für alle i min{n, p}. 0

11 x x 0 Definition 4.3. Sei A Mat(p n, K). Die Menge K n A = heißt Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = x n x n 0 0. Lemma 4.4. Die Lösungsmenge von Ax = 0 ist ein Untervektorraum von K n. Wenn A die darstellende Matrix einer linearen Abbildung ϕ K n K p bezüglich der Standardbasen ist, dann ist die Lösungsmenge von Ax = 0 genau das Urbild ϕ (0 K p) des Nullvektors 0 K p im Zielbereich, d.h. die Menge aller Vektoren in K n, die auf 0 K p abgebildet werden. Definition 4.5. Sei ϕ V W eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen V und W (nicht notwendig endlich dimensional). Die Menge ϕ (0 W ) = {x V ϕ(x) = 0 W } heißt Kern von ϕ. Wir schreiben Kern(ϕ). Lemma 4.6. Sei T ein Produkt von endlich vielen Elementarmatrizen. Dann gilt Kern(T A) = Kern(A). Die linearen Gleichungssysteme Ax = 0 und T Ax = 0 haben denselben Lösungsraum. Korollar 4.7. Sei A Mat(l n, K) und sei T ein Produkt von endlich vielen Elementarmatrizen, sodass T A Mat(l n, K) in Zeilenstufenform ist, wobei p Zeilen ungleich null sind und l p Zeilen Nullzeilen sind. Dann hat der Lösungsraum U von Ax = 0 die Dimension n p. Genauer können die n p Variablen x j, wobei der Spaltenindex j nicht zu einer Zeile ungleich null gehört, frei gewählt werden, während die anderen p Variablen durch die zur entsprechenden Zeile gehörende Gleichung bestimmt sind.

12 5.. Erste Anwendung. 5. Anwendungen des Gauß-Algorithmus Theorem 5.. Eine Matrix A Mat(n n, K) ist genau dann invertierbar, wenn sie ein Produkt von Elementarmatrizen in Mat(n n, K) ist. c Korollar 5.2. Sei A Mat(n n, K) mit Zeilenstufenform C = T l... T A =. 0 c nn Dann ist A invertierbar c,..., c nn sind alle 0. Definition 5.3. Eine Gruppe G ist eine Menge mit einer Abbildung G G G, (g, h) g h, sodass gilt: e G e g = g e = g g G (e ist neutrales Element) g G h G g h = h g = e (h ist inverses Element zu g, Bezeichnung h = g ) g, g 2, g 3 G (g g 2 ) g 3 = g (g 2 g 3 ) ( ist assoziativ) G heißt abelsche Gruppe (oder kommutativ) g, g 2 G g g 2 = g 2 g. Definition 5.4. Die Menge der invertierbaren n n-matrizen mit Einträgen in K wird mit GL(n, K) oder GL n (K) bezeichnet und heißt die allgemeine lineare Gruppe Zweite Anwendung. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit Basis B = {b,..., b n }. Wir betrachten Vektoren v,..., v q V sowie die Koordinaten a ij der v j bezüglich der Basis B, d.h. v j = n i= a ij b i. Wir definieren die Matrix A = (a ij ) Mat(n q, K). Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: v,..., v q sind linear unabhängig. q n und A hat Zeilenstufenform c 0 c qq 0 0 mit allen c,..., c qq Dritte Anwendung. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit Basis B = {b,..., b n }. Wir betrachten Vektoren v,..., v q V und suchen eine Basis von U = [{v,..., v q }] V. Dazu betrachten wir die Koordinaten b ij der v i bezüglich der Basis B, d.h. v i = n j= b ij b j. Wir definieren die Matrix B = (b ij ) Mat(q n, K), sodass der Koordinatenvektor von v i bezüglich B die i-te Zeile von B darstellt. Durch Anwendung des Gauß-Algorithmus erhalten wir die Zeilenstufenform C von B. Die p Nichtnullzeilen von C (p q, n) beschreiben die Koordinaten von p Vektoren in V bezüglich der Basis B. Wir nennen diese p Vektoren u,..., u p. Diese Vektoren bilden eine Basis von U Vierte Anwendung. Seien V und W endlich dimensionale Vektorräume und sei B = {v,..., v n } eine Basis von V und C = {w,... w l } eine Basis von W. Sei ϕ Hom K (V, W ). Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: ϕ ist ein Isomorphismus. n = l und die darstellende Matrix von ϕ bezüglich B und C ist invertierbar. n = l und die darstellende Matrix von ϕ bezüglich B und C hat die Zeilenstufenform c mit allen c,..., c nn 0. 0 c nn 2

13 6. Bild und Rang einer linearen Abbildung, Gauß-Normalform Definition 6.. Seien V und W Vektorräume über einem Körper K und sei ϕ V W eine lineare Abbildung. Das Bild von ϕ ist ϕ(v ) = Im(ϕ) = {ϕ(x) x V }. Seine Dimension heißt der Rang von ϕ. Wir schreiben Rang(ϕ) oder rg(ϕ). Theorem 6.2. (Dimensionsformel für Kern und Bild): Sei ϕ V W eine lineare Abbildung und dim V <. Dann ist dim V = dim Kern(ϕ) + Rang(ϕ). Definition 6.3. Seien p, q N und sei A = (a ij ) Mat(p q, K). Die zu A transponierte Matrix t A = A t = A tr Mat(q p, K) hat die Einträge a ji, d.h. der (i, j)-te Eintrag ist a ji. Definition 6.4. Sei A Mat(p q, K). Der Rang von A wird auch als Spaltenrang von A bezeichnet. Der Rang von A tr heißt auch Zeilenrang von A. Theorem 6.5. Der Zeilenrang einer Matrix stimmt mit dem Spaltenrang überein. Der von den Zeilen aufgespannte Vektorraum hat dieselbe Dimension wie der von den Spalten aufgespannte Vektorraum. Korollar 6.6. Seien A, B Mat(p q, K). Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: Rang(A) = Rang(B) ϕ K q K p linear, sodass A und B bezüglich geeigneter Basen in K q und K p darstellende Matrizen von ϕ sind. S GL(p, K) und T GL(q, K), sodass B = SAT. S, S GL(p, K) und T, T GL(q, K) und r N 0, sodass SAT = S B(T ) = = C und C hat r Einträge gleich. In diesem Fall nennt man A und B äquivalent. C ist die Gauß-Normalform von A und von B. 3

14 7. Summen und Quotienten von Vektorräumen Definition 7.. Sei V ein K-Vektorraum mit Untervektorräumen X und Y. Die Summe X +Y ist die lineare Hülle der Vereinigung beider Mengen, d.h. X + Y = [X Y ]. Die Summe X + Y heißt direkte Summe, wenn X Y = {0}. Wir schreiben X Y. Lemma 7.2. X + Y = {v V x X y Y v = x + y} Die Summe X + Y ist direkt v X + Y!x X!y Y v = x + y. Theorem 7.3. (Dimensionsformel für Summe und Schnitt): Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum mit Unterräumen X und Y. Dann gilt: Insbesondere gilt für direkte Summen: dim(x + Y ) = dim X + dim Y dim(x Y ). dim(x Y ) = dim X + dim Y. Korollar 7.4. Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und X V ein Unterraum. Dann existiert ein Unterraum Y V, sodass V = X Y. Der Unterraum Y wird oft ein Komplement von X genannt. Sei nun V ein nicht notwendig endlich dimensionaler K-Vektorraum und U ein Unterraum von V. Sei die Relation auf V, die definiert ist durch v v 2 v v 2 U. Lemma 7.5. Die Relation ist eine Äquivalenzrelation. Die Menge der Äquivalenzklassen {[v] v V } ist ein K-Vektorraum mit Nullvektor [0], Addition [v ] + [v 2 ] = [v + v 2 ] und Skalarmultiplikation λ [v] = [λv] für λ K. Definition 7.6. Die Menge der Äquivalenzklassen {[v] v V } mit der obigen Vektorraumstruktur heißt Quotientenvektorraum. Wir schreiben V /U ("V modulo U") und [v] = v + U. Proposition 7.7. Sei V ein K-Vektorraum und U ein Unterraum. Die Restklassenabbildung π V V /U mit v [v] ist ein surjektiver Vektorraumhomomorphismus mit Kern(π) = U. Proposition 7.8. Seien V und W K-Vektorräume und sei f V W eine K-lineare Abbildung. Dann induziert f einen Isomorphismus V / Kern(f) Im(f). Korollar 7.9. Seien V und W K-Vektorräume und sei f V W eine K-lineare Abbildung. Dann sind die K-Vektorräume V und Kern(f) Im(f) isomorph. 4