Quantitative Projekt- und Reihenfolgeplanung: Mastermodul Operations Research II

Transkript

1 Operations Research und Wirtschaftsinformatik Prof. Dr. P. Recht // Christin Otto, M.Sc. Wirt.-Math. Quantitative Projekt- und Reihenfolgeplanung: Mastermodul Operations Research II p 1,k1 p 1,k2... p 1,kn p 2,k1 p 2,k2... p 2,kn p m, k1 p m k..., 2 p m k, n Vorlesung SS 2016 Das Fachgebiet im Internet:

2 Inhaltsverzeichnis I. Quantitative Projektplanung Netzplantechnik 1 1. Grundlagen Allgemeines zur Netzplantechnik Erste Schritte bei der Planung eines Projektes (Wdh.) CPM-Netzpläne Konstruktion eines CPM-Netzplans aus dem CPM-Präzedenzgraphen Konstruktion von G = (V, E) aus G mod = (V mod, E mod ) Zeitanalyse eines Projektes im CPM-Netzplan Algorithmen für die Konstruktion und die Zeitanalyse von CPM-Netzplänen Darstellung von CPM-Netzplänen MPM-Netzpläne Konstruktion eines MPM-Netzplans aus dem MPM-Präzedenzgraphen Zeitanalyse von MPM-Netzplänen Potentiale in Di-Graphen Potentiale und Vorgangsanfangszeiten Längste Wege in MPM-Netzplänen mit Ford Darstellung von MPM-Netzplänen PERT-Netzpläne Ermittlung der Vorgangsdauern Zeitanalyse eines Projektes in PERT-Netzplänen Darstellung von PERT-Netzplänen II. Quantitative Reihenfolgeplanung (Scheduling) Einleitung Grundbegriffe deterministischer Reihenfolgeprobleme Notationen Beispiele Schedules für Probleme mit regulärer Zielfunktion Deterministische Ein-Maschinen Modelle n j=1 w j C j prec : G 1 = {J 1,..., J k }; G 2 = {J k+1,..., J n } n j=1 w j C j I

3 prec : tree w j C j prec h max prec; prmp; r j h max d j n j=1 U j Deterministische Parallel-Maschinen Modelle Das Parallel-Maschinen Problem vom Typ P m C max Das Parallel-Maschinen Problem vom Typ P m n j=1 C j Deterministische Serien-Maschinen Modelle Serienbearbeitung mit unbegrenzten Zwischenspeichern Serienfertigung vom Typ F m prmu, p ij = p j C max Serienfertigung vom Typ F m prmu C max mit dominanten Maschinen Deterministische Werkstattfertigungsprobleme Offene Werkstattfertigung vom Typ O 2 C max Auftragsfertigung vom Typ J 2 C max Auftragsfertigung vom Typ J m C max Literaturverzeichnis 101 II

4 Teil I. Quantitative Projektplanung Netzplantechnik 1

5 1. Grundlagen In diesem Kapitel werden die Ursprünge der Netzplantechnik, sowie deren Grundbegriffe vorgestellt und das Vorgehen bei der Planung eines Projektes beschrieben. Die hier vermittelten Begriffe und Techniken dienen als Grundlage für die spätere Anwendung einzelner Methoden Allgemeines zur Netzplantechnik Unter Netzplantechnik versteht man spezielle quantitative Analysetechniken für die Durchführungsplanung und Durchführungskontrolle von Projekten auf der Grundlage bestimmter Graphenmodelle, den sogenannten Netzplänen. Derartige Analysen erfolgen durch Anwendung bestimmter Graphenalgorithmen, d.h. Verfahren, welche aus der Theorie der Graphenmodelle herangezogen werden. Ziel des ersten Teils der Veranstaltung ist es, die grundlegenden Eigenschaften zweier Netzplantechniken aufzuzeigen und die benötigen Analyseverfahren darzustellen. Hierbei versteht man unter Projekt: eine zu planende und auszuführende, zeitbenötigende Tätigkeit innerhalb eines technisch-ökonomischen Systems, Durchführungsplanung: die Antizipierung der Realisierung eines Projektes, d. h. insbesondere Antizipierung des Ablaufes der einzelnen Realisierungstätigkeiten (Strukturplanung), Terminplanung, Ressourcen-Einsatzplanung, Kostenplanung, Netzplan: einen bewerteten Di-Graphen G = (V, E, c), der die zur Realisierung eines Projektes wesentlichen zeitbeanspruchenden Aktivitäten, bestimmte definierte Zustände der Projektrealisation sowie deren sachlogischen Abhängigkeiten untereinander modelliert. Beeinflusst durch den jeweiligen Planungszweck wurden im Laufe der Zeit einzelne spezielle Verfahren der Netzplantechnik entwickelt. Dies sind u.a. CPM (Critical Path Method), PERT (Program Evaluation and Review Technique), MPM (Metra Potential Method), die bereits in den 1950 er Jahren entwickelt wurden. Sie unterscheiden sich prinzipiell durch 2

6 1 Grundlagen OR II d unterschiedliche Netzpläne (d. h. durch die Graphenmodelle für die Projektmodellierung). Wir werden uns mit zwei von diesen drei grundlegenden speziellen Netzplantechniken befassen Erste Schritte bei der Planung eines Projektes (Wdh.) Von grundlegender Bedeutung bei der Erstellung eines zu einem Projekt P gehörenden Netzplans sind die Begriffe Vorgang, Ereignis und Präzedenzstruktur. Unter einem Vorgang (oder auch Job) innerhalb eines Projektes P versteht man eine Tätigkeit mit definierbarem Anfang und Ende. Unter einem Ereignis wird ein feststehender Zustand (eines oder mehrerer Vorgänge) innerhalb des zeitlichen Ablaufs eines Projektes verstanden. Der ersten Schritt bei der Planung eines Projektes P besteht aus der der sog. Strukturund Zeitplanung. Dabei wird P zunächst in Vorgänge bzw. in Ereignisse zerlegt. Aus dieser Zerlegung wird dann unter Berücksichtigung technologischer und organisatorischer Abhängigkeiten eine zeitlich-logische Ablaufstruktur (Präzedenzstruktur) festgelegt. D. h., dass beispielsweise für jeden Vorgang die benötigten Zeitdauern und die in der zeitlichen Logik vorangehenden bzw. nachfolgenden Vorgänge/Ereignisse festgelegt werden. Anschließend wird im zweiten Schritt diese so gewonnene zeitliche und organisatorische Präzedenzstruktur in einem Netzplan (bzw. in Netzplänen) modelliert. In einem dritten Schritt erfolgt dann die eigentliche Analyse des Netzplans und damit die quantitative Projektplanung. Die vorgangsorientierte Zerlegung eines Projektes (d. h. die Zerlegung von P in eine Menge von Vorgängen) erfordert eine detaillierte Kenntnis des Projektes bzw. einzelner Arbeitsschritte in seinem Ablauf. Die Durchführung einer solchen Zerlegung ist (abhängig vom Detaillierungsgrad) i. Allg. aufwendig; erweist sich dann aber auch als wirkungsvoll für die Planung und Kontrolle des Projektablaufs. Eine ereignisorientierte Zerlegung eines Projektes (d. h. P wird durch eine Menge von Ereignissen charakterisiert) eignet sich in erster Linie dann, wenn Planung und Kontrolle des Projektes nur gut erfolgen soll (Meilenstein-Planung), wenn die Beziehungen, die einzelnen Ereignisse untereinander haben, nicht betrachtet werden sollen, oder man Arbeitsschritte, welche zu den Ereignissen führen, nicht genau kennt (z.b. innerhalb von Forschungs- und Entwicklungsprojekten). Wir gehen im Folgenden davon aus, dass wir in der Lage sind, eine vorgangsorientierte Projektzerlegung durchzuführen. Des Weiteren setzen wir voraus, dass die Vorgangsmenge, welche das Projekt bestimmt, deterministisch in dem Sinne ist, dass jeder Vorgang (jedes Ereignis) mit Sicherheit durchgeführt werden muss, bzw. innerhalb des Projektablaufs auch eintritt. Hat man ein Projekt P entsprechende eines bestimmten Detaillierungsgrades in seine Vorgänge {e 1,..., e m } zerlegt, so wird die zeitlich-logische Ablaufstruktur des Projektes ermittelt, indem man zunächst die sogenannte Präzedenzstruktur der Vorgänge festlegt. 3

7 1 Grundlagen OR II d Die Präzedenzstruktur ist eine binäre Relation R auf der Menge der Vorgänge (e i, e j ) R Die Durchführung von Vorgang e i liegt zeitlich/techno- logisch vor der Durchführung von Vorgang e j. Die Angabe der Präzedenzstruktur (d.h. die Antwort auf die Fragen: liegt (e i, e j ) in R oder nicht?) erfolgt aufgrund rein technologischer bzw. organisatorischer Bedingungen, die bei der Projektdurchführung dann auch einzuhalten sind. Um allerdings später im Rahmen der Analyse des Netzplans eine Termin- bzw. Kostenplanung der Projekte durchführen zu können, muss die Präzedenzstruktur noch weiter präzisiert werden. Die Durchführungvon Vorgang e i liegt zeitlich/logisch vor der Durchführungvon Vorgang e j kann nämlich bedeuten: e j soll begonnen werden, nachdem e i beendet wurde. (Die so definierte binäre Relation bezeichnet man als eine Ende-Start-Relation zwischen den aufeinanderfolgenden Vorgängen e i und e j.) Eventuell findet zwischen dem Endereignis des Vorgangs e i und dem Beginnereignis des Vorgangs e j ein Wartevorgang statt. e j soll begonnen werden, nachdem e i begonnen wurde. (Die so definierte binäre Relation wird eine Start-Start-Relation zwischen den aufeinanderfolgenden Vorgängen e i und e j genannt.) Eventuell findet zwischen dem Start von e i und dem Start von e j ein Wartevorgang statt. e j soll beendet werden, nachdem e i begonnen wurde. (Die so definierte binäre Relation heisst eine Start-Ende-Relation zwischen den aufeinanderfolgenden Vorgängen e i und e j.) Eventuell findet zwischen dem Start von e i und dem Endevon e j ein Wartevorgang statt. e j soll erst beendet werden, nachdem e i beendet wurde. (Die so definierte binäre Relation bezeichnet man als eine Ende-Ende-Relation zwischen den aufeinander folgenden Vorgängen e i und e j.) Eventuell findet zwischen dem Endevon e i und dem Ende von e j ein Wartevorgang statt. Die im Rahmen der Veranstaltung behandelten Netzplantechniken verwenden jedoch bei der Festlegung der Präzendenzstruktur nur jeweils eine dieser binären Relationen: Critical Path Method: Ende-Start-Relation Program Evaluation and Review Technique: Ende-Start-Relation Metra Potential Method: Start-Start-Relation 4

8 1 Grundlagen OR II d Neben der vorgangsorientierten Zerlegung P = {e 1,..., e m } und der Festlegung der Präzedenzstruktur müssen in Schritt 1 zu jedem Vorgang e k P auch zeitliche Angaben gemacht werden. Unter der Vorgangsdauer d k = d(e k ) 0 (eines Vorgangs) versteht man den Zeitbedarf, der notwendig ist, um den Vorgang e k vom Ereignis seines Beginns bis zum Ereignis seines Endes durchzuführen. Methoden zur Ermittlung von Vorgangsdauern: Zeitbedarfsaufzeichnungen der Vergangenheit Einpersonen-Schätzung Mehrpersonen-Schätzung Achtung: Realistische Angaben zu Vorgangsdauern d(e k ) setzen genauere Kenntnisseüber die verfügbaren Arbeitsmittel, die personellen Ressourcen und organisatorische Gegebenheiten bei der Durchführung von e k voraus. Die MPM-Netzplantechnik (Präferenzstruktur: Start-Start) verlangt zudem, dass für den Zeitraum zwischen den Beginnterminen zweier aufeinander folgender Vorgänge ein zeitlicher Minimalabstand, ein zeitlicher Maximalabstand (oder vielleicht sogar beides) angegeben werden kann. Entsprechend der jeweiligen Verknüpfungsmöglichkeiten können wir nun den CPM/PERT - Präzedenzgraphen bzw. den MPM - Präzedenzgraphen definieren: a) Es sei P = {e 1,..., e m } eine vorgangsorientierte Zerlegung eines Projektes. Der Di-Graph G = (V, E ) mit V = {e 1,..., e m } und (e i, e j ) E e j kann zeilich/logisch begonnen werden, (unmittelbar) nachdem e i beendet ist, heißt CPM (PERT) - Präzedenzgraph des Projektes P. b) Es sei P = {e 1,..., e m } eine vorgangsorientierte Zerlegung eines Projektes. Der Di-Graph G = (V, E ) mit V = {e 1,..., e m } und (e i, e j ) E e j kann zeitlich/logisch begonnen werden, (unmittelbar) nachdem e i begonnen wurde, heißt MPM - Präzedenzgraph des Projektes P. Bemerkung 1.1 (i) Soll ein Vorgang e j im Projekt P bereits begonnen werden, wenn ein Teil des Vorgangs e i beendet ist, so zerlege man den Vorgang e i (im Rahmen der Strukturplanung) entsprechend in zwei Vorgänge e 1 i und e 2 i. Auf diese Weise kann dann diese Situation im CPM-Präzedenzgraphen G abgebildet werden. 5

9 1 Grundlagen OR II d (ii) Liegt die Situation vor, dass e j erst eine bestimmte Zeitspanne nach der Beendigung von Vorgang e i begonnen werden soll, so definiere man (im Rahmen der Strukturplanung) einen Wartevorgang e, der sich unmittelbar an das Ende von Vorgang e i anschließt und dessen Ende unmittelbar vor dem Beginn von Vorgang e j liegt. Die Vorgangsdauer d(e) von e entspricht dann bei der Ende-Start-Relation gerade der Wartezeit zwischen dem Endevon e i unddembeginn von e j. AuchdieseSituationkannalsoimPräzedenzgraphen G modelliert werden.im Fall der Start-Start-Beziehung ist es bei Anwendungder MPM- Netzplantechnik nicht nötig, die exakte Wartezeit d(e) anzugeben, vielmehr reicht es aus, diesen durch Unter- bzw. Obergrenzen der zeitlichen Verzögerung zwischen den Starts von e i und e j von d(e) zu beschreiben. (iii) Ohne Beschränkung der Allgemeinheit(O. B. d. A.) kann davon ausgegangen werden, dass die Graphen G bzw. G genau eine Quelle q und genau eine Senke s enthalten. Nötigenfalls erreicht man dies, indem man im Rahmen der Strukturplanung von P die Vorgänge Projekt starten bzw. Projekt beenden (mit Zeitdauer jeweils = 0) einfügt. (iv) Erste notwendige Bedingungen für eine sachlogisch korrekte Zerlegung von P bzw. für eine korrekte Festlegung der Präzedenzstruktur sind: a) Für alle v V bzw. v V gilt: v ist in G (bzw. in G ) von q aus auf einem Weg erreichbar, s ist in G (bzw. in G ) von v aus auf einem Weg erreichbar, b) G (bzw. G ) ist zyklenfrei, d.h. er enthält keine gerichteten Kreise. Beide Eigenschaften sind in den betreffenden Präzendenzgraphen zunächst zu überprüfen. Dazu muss also ein geeigneter Graphen-Algorithmus bereitgestellt werden. 6

10 2. CPM-Netzpläne Im ersten Abschnitt dieses Kapitels werden grundlegende Methoden zur Konstruktion eines CPM-Präzedenzgraphen aus einem CPM-Netzplan erklärt und in den folgenden Abschnitten dieses Kapitels werden Methoden zur Analyse von Projekten mit Hilfe von CPM-Netzplänen vorgestellt Konstruktion eines CPM-Netzplans aus dem CPM-Präzedenzgraphen Im Folgenden gehen wir davon aus, dass ein Projekt P vorgangsorientiert in die Vorgänge {e 1,..., e m } zerlegt ist. Des Weiteren wollen wir annehmen, dass der zugehörige Präzedenzgraph G = (V, E ) ein zyklenfreier Di-Graph mit genau einer Quelle q und genau einer Senke s ist. Würde man nun jeden Knoten e j in G = (V, E ) mit der Zeit d(e j ), d.h. der Zeitspanne, die fürdiedurchführungdes Vorgangs e j benötigt wird,bewerten, soläge ein knotenbewerteter Di- Graph vor. Die algorithmischen Verfahren, die zur quantitativen Analyse von Graphenmodellen herangezogen werden, beziehen sich jedoch hauptsächlich auf kantenbewertete Di-Graphen. Es wird also notwendig, den knotenbewerteten Graphen G = (V, E ) in einen kantenbewerteten Di-Graphen G = (V, E, c) zu transformieren, so dass jeder Knoten in G eindeutig einer Kante in G entspricht sowie die Präzedenzstruktur des Projektes P, die ja in G festgelegt ist, genauso in G widergespiegelt wird. Um bei der Transformation diese Eigenschaften sicherzustellen, müssen in G zunächst drei Typen von technischen Modifikationen vorgenommen werden, wobei diese hintereinander im Präzedenzgraphen gesucht werden (d. h. erst a) dann b) und abschließend c)). a) Modifikation von transitiven Kanten 7

11 2 CPM-Netzpläne OR II d EineKante (e i, e j ) E heißttransitiv,fallseseinengerichtetenwegmitmindestenszwei Kanten von e i nach e j gibt. Enthält G = (V, E ) eine transitive Kante (e i, e j ) E, so fügt man auf dieser Kante einen Knoten e ein (dieses Einfügen nennt man auch eine Unterteilung von (e i, e j )). Dieser Knoten e wird als fiktiver Vorgang oder Scheinvorgang der Dauer d(e) = 0 interpretiert. D.h. V V {e} und E E \ {(e i, e j )} {(e i, e), (e, e j )}. b) Modifikation von Vierecken Enthält G = (V, E )einenteilgraphenderform(d.h. {(e i, e j ), (e j, e l ), (e i, e k ), (e k, e l )} E für vier verschiedene Indizes i, j, k, l), so unterteile man irgendeine der vier Kanten. Der so eingefügte Knoten wird wiederum als ein Scheinvorgang der Dauer d(e) = 0 gedeutet. D. h. V V {e} und E E \ {(e j, e l )} {(e j, e), (e, e l )}. c) Modifikation von Z-Teilgraphen Enthält G einen Teilgraphen der Form e i e j e k e l welcher nicht in einem Teilgraphen der Form e i e j e k e l enthalten ist (d.h. {(e i, e j ), (e k, e j ), (e k, e l )} E, (e i, e l ) / E ), so unterteile man die Kante (e k, e j ). Der Unterteilungsknoten e wird wiederum als Scheinvorgang mit d(e) = 0 gedeutet. D. h. V V {e} und E E \ {(e k, e j )} {(e k, e), (e, e j )}. 8

12 2 CPM-Netzpläne OR II d Durch diese drei Modifikationen erhält man aus dem Präzedenzgraphen G = (V, E ) einen modifizierten Präzedenzgraphen G mod = (V mod, E mod ). In G mod seien die Knoten entsprechend neu nummeriert. Bemerkung 2.1 G mod ist wie G zyklenfrei mit genau einer Quelle q und genau einer Senke s. Jeder Knoten e i V mod ist von q aus erreichbar und s ist von jedem Knoten e i aus erreichbar. Die Präzedenzstruktur des Projektes P wird von G mod genauso modelliert wie von G. Wir haben nun folgendes Ergebnis: Satz 2.2 Vor.: Es sei G = (V, E ) ein CPM(PERT) - Präzedenzgraph, der gemäß der Modifikationsvorschriften a) bis c) zu einem Graphen G mod = (V mod, E mod ) modifiziert sei. Beh.: Dann gibt es einen Di-Graphen G = (V, E) mit den Eigenschaften: (i) Zu jedem Knoten e j V mod gibt es genau zwei Knoten v j, w j V mit v j w j und (v j, w j ) E. (ii) Zu jeder Kante (v k, w k ) E gibt es genau einen Knoten e k V mod. (iii) Es ist (e i, e j ) E mod w i = v j. Beweisskizze:Wirkonstruierenaus G mod = (V mod, E mod )dengraphen G = (V, E), indemwir uns nacheinander die einzelnen Vorgänge e Vmod vornehmen, diesen zwei Knoten (Anfangsund Endknoten) in V zuordnen und bei dieser Zuordnung beachten, dass zwei Knoten, die in Vmod adjazent sind, als Kanten in G inzident sein müssen. Wir haben dann die folgende Definition Definition 2.3 Es sei G = (V, E ) ein CPM-Präzedenzgraph mit modifiziertem Graphen G mod = (V mod, E mod ). Ein gewichteter Di-Graph G = (V, E, c) heißt CPM-Netzplan des Projektes P, falls (a) für den Di-Graphen G = (V, E) die Bedingungen (i) bis (iii) von Satz 2.2 erfüllt sind und (b) c(v j, w j ) = d(e j ) für alle j gilt. 9

13 2 CPM-Netzpläne OR II d Konstruktion von G = (V, E) aus G mod = (V mod, E mod) Aufgrund der vorherigen Überlegungen können wir also ein Verfahren angeben, um aus G mod den CPM-Netzplan zu konstruieren. Das Verfahren benötige im Verlauf zwei Hilfsmengen I 1 und I 2. Die Menge I 1 sammelt Knoten e i aus Vmod auf, die bereits für die Konstruktion von G verwendet wurden, in der Menge I 2 befinden sich Kanten (e i, e j ) aus Emod (diese entsprechen bestimmten Präzedenzen), die noch nicht für die Konstruktion von G verwendet wurden. Initialisierung: Wähle die Quelle q V mod (o.b.d.a. sei q = e 1); setze V := {v 1, w 1 }, E := {(v 1, w 1 )}, setze I 1 := {e 1 } setze I 2 := E mod. Gehe zu Schritt 1. Schritt 1: Wähle (e i, e j ) I 2 mit e i I 1 Falls e j / I 1, setze (in V) v j := w i, I 1 := I 1 {e j }, V := V {w j } und E := E {(w i, w j )}. Falls e j I 1, (Achtung: Nicht sonst!) setze w i := v j und I 2 := I 2 \ {(e i, e j )}. Gehe zu Schritt 2. Schritt 2: Falls I 2 = : STOP, G = (V, E) ist gefunden! Sonst gehe zu Schritt 1 Bemerkung 2.4 Die Unterteilung der Kanten im Rahmen der Modifikation a) und Modifikation b) sorgen dafür, dass bei der Konstruktion von G aus (dem zykelfreien) G mod keine Schlingen (oder Zykel) und keine parallelen Kanten in G vorkommen können. Modifikation c) (Modifikation von Z-Teilgraphen) sorgt dafür, dass die durch diesen Teilgraphen bestimmte Präzedenzstruktur auch eindeutig auf G abgebildet wird, denn ohne eine derartige Modifikationsvorschrift würden und nach obigem Konstruktionsverfahren auf denselben Teilgraphen in G abgebildet. Hinweis: Machen Sie sich diese Tatsachen bitte klar!!! Da die Nummerierung der Knoten in G noch völlig willkürlich ist, werden wir die Knoten so nummerieren, dass sie topologisch sortiert sind. Der Grund dies so zu tun liegt darin, dass eine solche Sortierung eine spätere weitere algorithmische Behandlung von G einfacher macht. 10

14 2 CPM-Netzpläne OR II d Definition 2.5 Es sei V = {v 1,..., v n } und G = (V, E) ein Di-Graph. Für v i V heißt die Menge S(v i ) := {v j (v i, v j ) E} die Menge der Nachfolger von v i und P(v i ) := {v k (v k, v i ) E} die Menge der Vorgänger von v i. Ein kreisfreier Di-Graph heißt topologisch sortiert, falls für alle v i V gilt: v k P(v i ) = k < i. Insbesondere besitzt also in einem CPM-Netzplan G die Quelle q (Anfangsereignis des Projektes) den kleinsten Index, z.b. q = v 1, und die Senke s (Endereignis des Projektes) den größten Index. Konvention: Der Übersichtlichkeit halber werden wir im Folgenden, sofern keine Verwechslungen möglich sind, den Knoten v i V mit seinem Index i, und die Kante (v i, v j ) E mit (i, j) identifizieren Zeitanalyse eines Projektes im CPM-Netzplan Im Folgenden wollen wir uns mit der Zeitanalyse, der eigentlichen Aufgabe der quantitativen Projektplanung, eines Projektes P befassen. Wir gehen davon aus, dass wir für P einen topologisch sortierten CPM-Netzplan vorliegen haben. Wir beginnen zunächst mit einer Definition (DIN 69900): Definition 2.6 Es sei G = (V, E, c) ein CPM-Netzplan. Dann wird für jeden Vorgang (v i, v j ) = (i, j) E mit FAZ ij der frühest mögliche Beginn (d.h. Anfangszeitpunkt) des Vorgangs (v i, v j ), mit FEZ ij (v i, v j ), der frühest mögliche Abschluss (d.h. Endzeitpunkt) des Vorgangs mit SAZ ij der spätest mögliche Beginn (d.h. Anfangszeitpunkt) des Vorgangs (v i, v j ), unter Wahrung eines vorgegebenen Endtermins T, und mit SEZ ij der spätest mögliche Abschluss (d.h. Endzeitpunkt) des Vorgangs (v i, v j ), unter Wahrung eines vorgegebenen Endtermins T, bezeichnet. Für jedes Ereignis v i ( = i) V bezeichnen wir mit 11

15 2 CPM-Netzpläne OR II d FZ i den frühest möglichen Zeitpunkt des Eintretens von Ereignis i, Konvention: FZ 1 = 0, und mit SZ i den spätest möglichen Zeitpunkt des Eintretens von Ereignis i, unter Wahrung eines bestimmten vorgegebenen Endtermins T, d.h. SZ n = T. Bemerkung 2.7 Untereinander stehen diese Grössen offenbar in folgender Beziehung (machen Sie sich dies bitte klar): (i) FAZ ij = FZ i (ii) FEZ ij = FZ i + c(i, j) (iii) SAZ ij = SZ j c(i, j) (iv) SEZ ij = SZ j Darüber hinaus können wir die folgenden Aussagen machen: Aussage 1: (i) Es sei W (v 1, v k ) ein (gerichteter) Weg in G mit der Darstellung W (v 1, v k ) = (v 1, (v 1, v i1 ), (v i1, v i2 ),..., (v ir 1, v ir ), (v ir, v k ), v k ) und c(w (v 1, v k )) = c((v 1, v i1 ))+c((v ir, v k ))+ r 1 j=1 c(v i j, v ij+1 ) die Länge dieses Weges. Dann gilt FZ n = max{c(w (v 1, v n )) W (v 1, v n ) ist (gerichteter) Weg von v 1 nach v n }. Die frühestmögliche Fertigstellungsdauer eines Projektes entspricht also der Länge eines längsten Weges von v 1 nach v n. (ii) Falls T < FZ n, so ist das Projekt mit den zu Grunde gelegten Struktur- und Zeitplanungsannahmen nicht durchführbar. Konsequenterweise muss als entweder T verändert werden, oder es muss eine Revision der Stuktur- bzw. Zeitplanung erfolgen. (iii) FZ i = max j P (v i ) (FZ j + c(j, i)) für i = 2, 3,..., n (iv) SZ i = min j S(v i ) (SZ j c(i, j)) für i = n 1, n 2,..., 1 mit SZ n := T Bemerkung 2.8 Da G topologisch sortiert ist, lassen sich die Formeln (iii) und (iv) sukzessive, beginnend mit FZ 1 = 0 (in (iii)) bzw. SZ n = T (in (iv)), rekursiv bestimmen und führen so zu einem Längste-Wege-Algorithmuns. 12

16 2 CPM-Netzpläne OR II d FZ i entspricht dabei der Länge eines längsten Weges in G von v 1 nach v i. Es gilt für i = n 1, n 2,..., 1: SZ n SZ i = SZ n min j c(i, j)) j S(v i ) = max n (SZ j c(i, j)] j S(v i ) = max n SZ j ) + c(i, j)] j S(v i ) Überlegen Sie sich bitte, dass der Ausdruck (SZ n SZ i ) bei festgelegtem Wert für SZ n die Länge eines längsten Weges von v i nach v n beschreibt. Indem man einen Algorithmus benutzt, der für jeden Knoten v i die Länge eines längsten Weges in G von v 1 nach v i und die Länge eines längsten Weges in G von v i nach v n berechnet, kennt man daher unmittelbar die Größen FZ i und SZ i. Bei Projekten stellt sich häufig die Frage, was passiert, wenn ursprünglich geplante bestimmte Termine (also etwa der Start- oder Endtermin bestimmter Vorgänge) bei der tatsächlichen Realisierung nicht eingehalten werden bzw. eingehalten werden können. Dazu zunächst die folgende Definition 2.9 Es sei G = (V, E, c) ein CPM-Netzplan eines Projekte P und T FZ n. (a) Unter der gesamten Pufferzeit GP ij 0 eines Vorgangs (v i, v j ) E versteht man die maximale Zeitspanne, um die sein Beginnzeitpunkt verschoben werden kann, ohne den Endtermin T zu gefährden. (b) Unter der freien Pufferzeit FP ij 0 eines Vorgangs (v i, v j ) versteht man die maximale Zeitspanne, um den sein Beginnzeitpunkt verschoben werden kann, so dass alle mit v j adjazenten Vorgänge (v j, v k ) (also die unmittelbaren Nachfolgevorgänge) zu ihrem frühestmöglichen Anfangstermin FAZ jk = FZ j beginnen können. Aussage 2: In einem CPM-Netzplan G = (V, E, c) gilt offenbar für einen beliebigen Vorgang (v i, v j ) E: (i) GP ij = SAZ ij FAZ ij = SEZ ij FEZ ij = SZ j FZ i c(i, j), (ii) GP ij T FZ n, wobei T den (vorgegebenen) Endtermin des Projektes beschreibt (T FZ n ), (iii) FP ij = FZ j FEZ ij = FZ j (FZ i + c(i, j)). Von besonderer Bedeutung für ein Projekt sind so genannte kritische Vorgänge. 13

17 2 CPM-Netzpläne OR II d Definition 2.10 Es sei G = (V, E, c) ein CPM-Netzplan. Ein Vorgang (v i, v j ) E heißt kritischer Vorgang (oder einfach kritisch), falls GP ij = min (k,l) E GP kl. Ein kritischer Vorgang ist also ein solcher Vorgang, der den kleinsten Wert der Gesamtpufferzeiten sämtlicher Vorgänge bestimmt. Würde sich die Gesamtpufferzeit eines solchen kritischen Vorgangs aus irgendeinem Grund während der Realisierungsphase des Projektes verringern(etwa weil seine Vorgangsdauer sich als größer erweist, als in der Planungsphase angenommen), so verspätet sich der Endtermin des Projektes, also T. Ist hingegen aus irgendeinem Grund die Vorgangsdauer eines kritischen Vorgangs bei Projektrealisierung geringer, als bei der Planung angenommen, so führt dies u.u. dazu, dass der Vorgang die Eigenschaft verliert, kritisch zu sein. Um festzustellen, welche Vorgänge kritisch sind, haben wir Satz 2.11 Vor.: Es sei G = (V, E, c) ein CPM-Netzplan mit Endtermin T FZ n. Beh.: (v i, v j ) ist kritisch GP ij = T FZ n. Beweis: = : Sei (v i, v j ) kritisch. Also gilt GP ij = min (k,l) E GP kl. Das heißt also insbesondere GP ij GP kn, füreinenvorgang (k, n)dersogewählt ist,dasseraufeinemlängstenwegvon v 1 (Startereignes von P ) nach v n (Endereignis von P) liegt. Nun ist: GP kn = SZ n FZ k c(k, n) = T (FZ k + c(k, n)) = T max j + c(j, n)) j P (v n) = T FZ n. Also gilt: GP ij T FZ n. Zusammen mit der vorherigen Aussage 3 (ii) hat man dann: GP ij = T FZ n. = : Es sei GP ij = T FZ n. Wegen Aussage 3 (ii) gilt GP kl T FZ n für alle Vorgänge (k, l). Daher muss GP ij = min (k,l) E GP kl gelten. 14

18 2 CPM-Netzpläne OR II d 2.3. Algorithmen für die Konstruktion und die Zeitanalyse von CPM-Netzplänen Bei der bisherigen Betrachtung der CPM-Präzedenzgraphen bzw. der CPM-Netzpläne waren eine Reihe von Teilproblemen zu lösen, für die im Folgenden Algorithmen entwickelt werden sollen. Teilproblem 1: Überprüfen eines Di-Graphen auf Zyklenfreiheit Für den Präzedenzgraph G war es notwendig festzustellen, ob er zyklenfrei ist. Sofern er gerichtete Kreise besitzt, so deutet dies darauf hin, dass bei der Strukturanalyse von P Fehler gemacht wurden. Es muss also ein Verfahren zur Verfügung gestellt werden, welches einen Di- Graphen dahingehend überprüft, ob er gerichtete Kreise enthält oder nicht. Die Idee des nachfolgenden Verfahrens ist es, jeden einzelnen Knoten (entspricht in G einem Vorgang, bzw. entspricht in G einem Ereignis) dahingehend zu überprüfen, ob er zu einem Kreis gehören kann oder nicht. Stellt sich heraus, dass jeder Knoten nicht zu einem gerichteten Kreis gehören kann, so gibt es natürlich auch keine Zykel in G. Wir benötigen für das Verfahren die folgenden Begriffe. Definition 2.12 Es sei G = (V, E) ein Di-Graph 1. Für beliebige v V seien W 1 (v) := {W W ist eine (gerichtete) Kantenfolge in G mit Endknoten v}, W 2 (v) := {W W ist eine (gerichtete) Kantenfolge in G mit Startknoten v}. Für eine Kantenfolge W sei l(w ) die Anzahl der Kanten, die W beschreiben. Dann heißt sup l(w ), falls W 1 (v) (i) ρ(v) := W W 1 (v) 0, falls W 1 (v) = der Vorwärtsrang von v. sup l(w ), falls W 2 (v) (ii) γ(v) := W W 2 (v) 0, falls W 2 (v) = heißt der Rückwärtsrang von v. 1 Nicht notwendigerweise ein CPM-Netzplan. 15

19 2 CPM-Netzpläne OR II d Bemerkung 2.13 Wir sehen sofort: G enthält einen Kreis. Es gibt einen Knoten v i V mit ρ(v i ) =. Es gibt einen Knoten v j V mit γ(v j ) =. Algorithmen zur Bestimmung der Knotenränge: Wir können nun auf einfache Weise die Knotenvorwärtsränge bzw. die Knotenrückwärtsränge von G = (V, E) bestimmen: Sei A die Adjazenzmatrix von G und j irgendeine Spalte von A. Offenbar ist dann n s j := a ij = Anzahl der unmittelbaren Vorgänger von v j. i=1 Gilt s j = 0, dann ist die j Spalte von A eine 0-Spalte, d.h. hat v j keinen Vorgänger und somit ist ρ(v j ) = s j = 0. (Notabene: In einem CPM-Netzplan haben wir stets s 1 = 0.) Diese elementare Beobachtung führt zu folgendem Algorithmus zur Bestimmung des Knotenvorwärtsranges ρ(v): Gegeben: G = (V, E) mit Adjazenzmatrix A = (a ij ) 1 i,j n Initialisierung: I := {1,..., n}, ρ(v i ) := für i I, k := 0 Gehe zu Schritt 1. Schritt 1: Falls es (eine Spalte) j I gibt mit s j = n i=1 a ij = 0 gehe zu Schritt 2. Sonst gehe zu Schritt 3. Schritt 2: Bestimme I = {j I s j = 0} Für alle j I: setze ρ(v j ) := k setze a jt := 0 für t = 1,..., n Setze k := k + 1, I := I\I. Gehe zu Schritt 1. Schritt 3: STOP Für i = 1,..., n beschreibt ρ(v i ) den Knotenvorwärtsrang von v i. Falls I = : G enthält keinen (gerichteten) Kreis. Falls I : G enthält (mindestens) einen gerichteten Kreis. 16

20 2 CPM-Netzpläne OR II d Das Auffinden derjenigen Spalten j I mit s j = 0 und das Setzen a jt := 0 für t = 1,..., n (0-Setzen der j-ten Zeile) für j I (Schritt 2) in der Adjazenzmatrix A kann man als Konstruktion eines neuen Digraphen G 1 mit Adjazenzmatrix A 1 auffassen (in G 1 ist v j isolierter Knoten). In G 1 geht man wieder vor wie zuvor: Für sämtliche 0-Spalten j in A 1 werden die entsprechenden Zeilen j ebenfalls identisch 0 gesetzt. Derartig in G 1 isolierte Knoten haben im ursprünglichen Graphen G den Knotenvorwärtsrang ρ(v j ) = 1. usw. Das Verfahren bricht nach spätestens k n = V Schritten ab. Entweder gibt es in der dann vorliegende Adjazenzmatrix A k des Graphen G k keine Spalte mehr mit mit s (k) j = n(k) i=1 a(k) ij = 0, oder sämtliche Knoten sind eliminiert (k = n). Im letzten Fall ist G kreisfrei. Im ersten Fall enthält G Kreise, und diejenigen Knoten v j, die nicht im Laufe des Verfahrens eliminiert wurden, besitzen den Vorwärtsrang ρ(v j ) =. Analog geht man bei der Bestimmung der Knotenrückwärtsränge vor. Hier macht man sich zunutze, dass für eine beliebige Zeile i A gilt: n t i := a ij = Anzahl der Nachfolger des Knotens mit dem Index i. j=1 Aufgabe: Konzipieren Sie bitte einen Algorithmus zur Bestimmung der Knotenrückwärtsränge. Algorithmus zur Bestimmung (knoten-disjunkter) gerichteter Kreise in G: Offenbar gilt für alle Knoten v in G, die einem gerichteten Kreis angehören: ρ(v) = γ(v) =. Haben wir nach dem vorherigen Verfahren zur Bestimmung der Knotenränge die Situation vorliegen, dass in einem Subgraphen G k mit Adjazenzmatrix A k keine Spalten mehr gestrichen werden können, so haben alle Knoten in G k unendlich großen Vorwärtsrang, u.u. jedoch noch einen endlichen Rückwärtsrang. Um diese Knoten zu eliminieren, werden in A k sukzessive sämtliche Zeilen mit Zeilensumme 0 gestrichen. Anschließend dann die entsprechenden Spalten). Auf diese Weise erhält man einen Di-Graphen G mit Adjazenzmatrix Ã, in der sämtliche Zeilen- und Spaltensummen von Null verschieden sind. G enthält nur noch Knoten v mit ρ(v) = γ(v) =. All diese Knoten liegen also auf irgendwelchen Zykeln in G. Derartige gerichtete Kreise sollen nun bestimmt werden. 17

21 2 CPM-Netzpläne OR II d Algorithmus zur Bestimmung eines (knoten-disjunkten) gerichteten Kreises in G: Gegeben: G = (V, E) mit Adjazenzmatrix à = (a ij ) 1 i,j n Schritt 1: Suche in einer beliebigen Zeile i 1 von à ein Element ã i 1 i 2 = 1. Setze ã i1 i 2 := 0. Gehe zu 2 Schritt 2: Suche in der Zeile i 2 von à ein Element ã i 2 i 3 = 1. Setze ã i2 i 3 := 0. Gehe zu 3. Schritt 3: Führe diesen alternierenden Spalten-Zeilen-Auswahl -Prozess solange fort, bis sich zum ersten Mal ein Index i p wiederholt; etwa i q = i p. Dann ist K = {(i p, i p+1 ), (i p+1, i p+2 ),..., (i q 1, i q )} ein Kreis in G. Gehe zu 4 Schritt 4: Setze alle Koeffizienten ã ij Ã, welche vorher gleich Null gesetzt wurden, aber deren Indizes (i, j) / K sind, wieder auf den Wert 1. Auf diese Weise erhält man eine neue Matrix Ã1. Ã1 ist die Adjazenzmatrix eines Graphen G 1, in der wie vorher Kreise bestimmt werden können. Teilproblem 2: Topologisches Sortieren eines zykel-freien Di-Graphen mit genau einer Quelle und einer Senke Um G topologisch zu sortieren (nummeriere so, dass gilt: v i P(v j ) i < j), wollen wir uns die bereits ermittelten Knotenvorwärtsränge ρ(v i ), v i V, der Knoten zunutze machen. Offenbar gilt: Ist v i S(v j ) = ρ(v i ) > ρ(v j ). Ist v i P(v j ) = ρ(v i ) < ρ(v j ). NummerierenwiralsodieKnoten {v 1,..., v n }derartum,dassaus ρ(v i ) < ρ(v j ) = i < j folgt, dannhatjederknoten v i einenkleinerenindex ialsjederseinernachfolger v j.umnummerieren der Knoten bedeutet, dass in der Adjazenzmatrix A des Di-Graphen G eine Spalte j und die entsprechende Zeile j an die Stelle der Spalte (Zeile) i gesetzt wird. Algorithmus zum topologischen Sortieren eines kreisfreien Di-Graphen mit genau einer Quelle und einer Senke: Gegeben: Digraph G = (V, E) mit Adjazenzmatrix A = (a ij ) 1 i,j n 18

22 2 CPM-Netzpläne OR II d Knotenvorwärtsränge ρ(v i ) für alle v i V Schritt 1: Ordne die Knotenvorwärtsränge in aufsteigender Reihenfolge: (ρ(v i1 ), ρ(v i2 ), ρ(v i3 ),..., ρ(v in 1 ), ρ(v in )), wobei ρ(v ij ) ρ(v ik ) ist, falls j < k. Gehe zu 2. Schritt 2: Setze ṽ k := v ik für k = 1,..., n. Dann gilt für alle i, j: ρ(ṽ i ) < ρ(ṽ j ) = i < j. Gehe zu 3. Schritt 3: Ermittle neue Adjazenzmatrix Ã: Setze ã rs := { 1 falls airi s = 1 0 sonst 1 r, s n. Gehe zu 4. Schritt 4: Setze v k := ṽ k für k = 1,..., n und a ij := ã ij für 1 i, j n. Teilproblem 3: Bestimmung längster Wege in einem zykel-freien, gewichteten Di-Graphen mit genau einer Quelle und genau einer Senke Die prinzipielle Technik zur Ermittlung längster Wege in einem topologisch sortierten, zykelfreien, gewichteten Di-Graphen G = (V, E, c) geht auf den Algorithmus von Dijkstra zur Ermittlung kürzester Wege zurück. Längste Wege findet man in derartigen Di-Graphen entsprechend der Idee des Dijkstra- Verfahrens, indem man, ausgehend von der Quelle q = v 1, nacheinander Verlängerungen von solchen Knoten v k aus überprüft, für die man bereits endgültig längste Wegen (von v 1 aus) ermittelt hat. Dabei macht man sich folgendes zu Nutze: In Ggibtes (mindestenseinen )Knoten v i mitdereigenschaft, dass v i von v 1 ausausschließlich über einen Weg mit Kantenanzahl 1 erreichbar ist. Ein solcher Weg muss dann offenbar der längste Weg von v 1 zu v i sein. Er hat somit die Länge l(v i ) = c(v 1, v i ). Betrachtet man nun für die so ermittelten Knoten v i Weg- Verlängerungen, d.h. Wege mit größerer Kantenanzahl, die alle über den Knoten v i verlaufen, so gibt es zunächst solche Knoten v j, bei der diese Verlängerung aus nur einer weiteren Kante besteht (ein solcher Weg von v 1 nach v j über v i besteht also aus zwei Kanten), so findet man für derartige Knoten v j wiederum deren größte Entfernung l(v j ) von v 1. Dies setzt man fort, indem man sukzessive Wege mit immer größerer Kantenanzahl untersucht, bis man alle Wege gefunden hat. Als Ergebnis erhält man dann die längsten Wege von v 1 aus zu sämtlichen übrigen Knoten 19

23 2 CPM-Netzpläne OR II d v V. Das ist genau das, was wir für unsere Zeitanalyse im CPM-Netzplan benötigen. Zur genauen Beschreibung des Verfahrens legen wir die folgende Indexmengen fest, die während der Iterationen herangezogen werden: K := {i Längste Wege von v 1 nach v i sind bereits ermittelt; es wurden aber noch keine Verlängerungen betrachtet.} Z := (0, z 2,..., z n ), z j ˆ= Anzahl derjenigen unmittelbaren Vorgängerknoten von v j, welche noch nicht für eine Verlängerung nach v j herangezogen wurden. Es wurde also noch nicht überprüft, ob ein Weg nach v j über einen solchen Knoten länger ist als ein bisher gefundener längster Weg nach v j. P := (p 1,..., p n ), p i ˆ= Index des unmittelbaren Vorgängerknotens von v i auf einem längsten Weg von v 1 nach v i L := (l 1,..., l n ) l i ˆ= Länge des längsten Weges von v 1 nach v i, i = 1,..., n Algorithmus zur Bestimmung längster Wege in G von v 1 aus: Initialisierung: Setze K := {1}, P := (0, 0,..., 0), L := (0,,,..., ), Z := (0, z 2,..., z n ), z j := #P(v j ). Schritt 1: Wähle einen beliebigen Index k K. Falls S(v k ) =, Gehe zu Schritt 2. Sonst Für alle j mit (v k, v j ) E, bestimme l (k) j := l k + c(k, j), setze z j := z j 1. Falls l (k) j > l j setze p j := k und l j := l (k) j. Falls z j = 0, setze K := K {j}. Gehe zu Schritt 2. Schritt 2: Setze K := K \ {k}. Falls K gehe zu Schritt 1, sonst STOP Darstellung von CPM-Netzplänen Die Ermittlung der quantitativen Größen eines CPM-Netzplanes reicht oft nicht aus, um allen am Projekt Beteiligten einen Überblick über die Reihenfolge der einzelnen Vorgänge zu liefern. Es ist häufig notwendig, den dem Projekt zugrundeliegenden Netzplan auch tabellarisch 20

24 2 CPM-Netzpläne OR II d graphisch darzustellen. Für eine solche graphische Darstellung existieren eine Reihe von Konventionen: Die Ereignisse (d.h. Beginn- und Endereignis eines Vorganges) werden graphisch stets als Kreise dargestellt. v i v j Die Vorgänge werden stets als Linie mit ausschließlich senkrechten bzw. waagerechten Abschnitten dargestellt. Scheinvorgängen entsprechen gestrichelte Linien. In die Linien, welche die Vorgänge beschreiben, wird graphisch ein Rechteck eingebracht, in dem alle wesentlichen (CPM-) Informationen über den Vorgang dargestellt sind. Dazu gehören: Vorgangsbezeichnung Projektnummer des Vorganges Dauer c(i, j) des Vorganges FAZ ij, FEZ ij, SAZ ij, SEZ ij, GP ij etc. Vorgangsnummer FAZ ij Vorgangsbezeichnung c( i, j) FEZ ij SAZ ij GP ij SEZ ij Neben einer solchen Darstellung auf dem Bildschirm/Papier wird als Darstellung des Projektes (mit allerdings geringerem Informationsgehalt) oft das sogenannte GANTT-Diagramm herangezogen. In einem GANTT-Diagramm werden über einer Zeitachse die Dauern der einzelnen Vorgänge als Intervallbalken abgetragen. Dies geschieht unter Berücksichtigung zweier Regeln: a) Der Vorgang (v i, v j )wirdals Balkenüber dembalkenzu einemvorgang (v k, v l )graphisch angeordnet, falls FAZ ij > FAZ kl ist. (Falls FAZ ij = FAZ kl ist, so ordnet man denjenigen Vorgang mit der größten Projektnummer graphisch über dem anderen Vorgang an.) 21

25 2 CPM-Netzpläne OR II d b) Ein Balken zu einem Vorgang wird so angeordnet, dass der Anfang des Balkens über dem Zeitpunkt t = FAZ ij und das Ende des Balkens über dem Zeitpunkt t = FEZ ij der Zeitachse liegt

26 3. MPM-Netzpläne In diesem Kapitel wird eine Methode zur Modifikation eines MPM-Präzedenzgraphen zu einem MPM-Netzplan erläutert. Darüber hinaus werden Algorithmen und Methoden zur Analyse von Projekten mithilfe von MPM-Netzplänen vorgestellt Konstruktion eines MPM-Netzplans aus dem MPM-Präzedenzgraphen Im Folgenden gehen wir davon aus, dass ein Projekt P vorgangsorientiert zerlegt wurde, d. h. P = {e 1,..., e n }. Darüber hinaus seien, wie für den CPM-Netzplan, deterministische Vorgangsdauern d(e k ) (k = 1,..., n) bekannt. Mit Hilfe der binären Start-Start -Relation auf {e 1,..., e n } {e 1,..., e n }, (e i, e j ) E ) e j soll begonnen werden, nachdem e i begonnen wurde ließsichja,wieinkapitel1beschrieben,derzugehörigempm-präzedenzgraph G = (V, E ) bestimmen. Wie bereits in der CPM-Situation seien e 1 := Projekt starten, e n := Projekt beenden und d(e 1 ) = d(e n ) = 0. Offenbar ist dann (e 1, e k ) E für alle k 1 und (e k, e n ) E für alle k n. Für eine detaillierte quantitative Analyse ist die Aussage e j soll begonnen werden, nachdem e i begonnen wurde allerdings sehr vage. Dies könnte ja bedeuten, dass der Beginn von e j irgendwann nach Beginn von e i liegt. In der Praxis ist es nun oftmals möglich oder sogar projektspezifisch gewünscht, dazu zumindest füreinigedervorgangspaare (e i, e j ) E genauere zeitliche Angaben gemachtwerden.eswird eine Aussage darüber getroffen, um wie viele Zeiteinheiten nach dem Beginn von Vorgang e i der Vorgang e j frühestens begonnen werden (Mindestzeitspanne zwischen dem Beginn von e i und e j ) kann oder sollte. Ähnlich kann man u.u. Aussagen darüber treffen, um wie viele Zeiteinheiten nach Beginn eines Vorgangs e i der Vorgang e j spätestens begonnen werden kann oder sollte (Höchstzeitspanne zwischen dem Beginn von e i und e j ). Derartige zeitliche Intervall-Angaben werden für die Anwendung der Netzplanmethode MPM vorausgesetzt. Dabei sind die Fälle Mindestzeitspanne = 0 und Höchstzeitspanne = explizit zugelassen. 23

27 3 MPM-Netzpläne OR II d Die Modellierung derartiger zeitlicher Angaben könnte nun derart erfolgen, dass - neben der Knotenbewertung d(e i ) für (einige) der Kanten eine bzw. zwei Kantenbewertungen vorgenommen werden. Genauer: In G kann man zwei, nicht notwendig disjunkte Teilmengen E 1, E 2 E mit E 1 E 2 = E und zwei Funktionen b : E 1 R + b : E 2 R + angeben. Diese haben die Bedeutung b(e i, e j ) ˆ= e j soll frühestens b(e i, e j ) Zeiteinheiten nach dem Beginn von e i starten, b(ei, e j ) ˆ= e j soll spätestens b(e i, e j ) Zeiteinheiten nach dem Beginn von e i starten. Bezeichnen wir (wieder) mit AZ i den Anfangszeitpunkt des Vorgangs e i (mit AZ 1 := 0), so lassen sich folgende terminliche Projektanforderungen mittels der Funktionen b und b modellieren: (a) e j soll frühestens t Zeiteinheiten nach Beginn des Vorgangs e i starten: AZ j AZ i t, d.h. (e i, e j ) E 1, b(e i, e j ) := t; (b) e j soll frühestens t Zeiteinheiten nach Projektbeginn starten: AZ j AZ 1 t, d.h. (e 1, e j ) E 1, b(e 1, e j ) := t; (c) e i soll spätestens t Zeiteinheiten vor Projektende abgeschlossen sein ( Das Projektende e n soll frühestens t Zeiteinheiten nach dem Abschluss des Vorgangs e i erfolgen.): AZ n (AZ i + d(e i )) t, d.h. (e i, e n ) E 1, b(e i, e n ) := t + d(e i ); (d) e j soll spätestens t Zeiteinheiten nach Projektbeginn abgeschlossen sein ( e j soll spätestens t d(e j ) Zeiteinheiten nach Projektbeginn begonnen werden.): AZ j AZ 1 t d(e j ), d.h. (e 1, e j ) E 2, b(e 1, e j ) := t d(e j ); (e) e j soll spätestens t Zeiteinheiten nach Beginn des Vorgangs e i starten: AZ j AZ i t, d.h. (e i, e j ) E 2, b(e i, e j ) := t. (f) e i soll frühestens t Zeiteinheiten vor Projektende begonnen werden ( Der Vorgang e n := Projekt beenden soll spätestens t Zeiteinheiten nach dem Beginn des Vorgangs e i starten: AZ n AZ i t, d.h. (e i, e n ) E 2, b(e i, e n ) := t, Die nachfolgende Übersicht zeigt, dass durch entsprechende Auswahl der Mengen E1 und E2 sowie der Werte von b und b für die Berücksichtigung terminlicher Anforderungen an ein Projekt die Netzplantechnik MPM (mit der vorausgesetzten Start-Start -Relation und den Intervall-Angaben) als ein mächtigeres Instrument angesehen werden kann, als die Netzplantechnik CPM (mit der vorausgesetzten Ende-Start -Relation) (Übung!!). 24

28 3 MPM-Netzpläne OR II d CPM und MPM im Vergleich: Berücksichtigung terminlicher Anforderungen im Projekt: Terminliche Anforderung Realisierbar mit CPM MPM Vorgang e i soll frühestens zu einem bestimmten Zeitpunkt beginnen ja ja Vorgang e j mussspätestens eine bestimmte Zeitdauer vor Projektende ja ja enden Vorgang e j soll frühestens beginnen, nachdem ein Teil eines anderen ja ja Vorgangs e i beendet ist Vorgang e j soll frühestens eine bestimmte Zeitdauer nach Beendigung ja ja eines anderen Vorgangs e i beginnen Vorgang e j soll spätestens eine bestimmte Zeitdauer nach Projektbeginn nein ja abgeschlossen sein Vorgang e j soll frühestens eine bestimmte Zeitdauer vor Projektende nein ja beginnen Vorgang e j soll spätestens eine bestimmte Zeitdauer nach dem nein ja Beginn eines anderen Vorgangs e i starten Vorgang e j soll genau zu einem bestimmten Termin beginnen nein ja mehrere Vorgänge e i, e j,..., e k sollen parallel beginnen nein ja mehrere Vorgänge sollen lückenlos nacheinander bearbeitet werden nein ja die Vorgänge e i und e j sollen sich während einer bestimmten Zeitspanne überlappen nein ja Mit den Funktionen b : E1 R + und b : E2 R + werden also in G = (V, E ) Bewertungen der Kanten vorgenommen. Allerdings liegen für Kanten (e i, e j ) E1 E 2 zwei verschiedene Bewertungen vor, nämlich b(e i, e j ) und b(e i, e j ). Um aus G und den beiden Funktionen b und b einen mit einer einzigen Kantenbewertung versehenen kantenbewerteten Graphen zu konstruieren, welcher die Präzedenzstruktur von G beibehält und die durch b und b gegebenen zeitlichen Minimal- und Maximalabstände von bestimmten Beginnzeitpunkten (bzw. Endzeitpunkten) einzelner Vorgänge berücksichtigt, überlegt man sich Folgendes: (a) Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann E 1 = E gewählt werden. Falls der zeitliche Mindestabstand zwischen zwei Vorgängen (e i, e j ) E nicht genau bekannt ist, kann dieser als 0 gesetzt werden. (b) Ist (e i, e j ) E 1 mit b(e i, e j ) > 0 = (e j, e i ) / E. Ansonsten läge ein logischer Widerspruch vor. Das Projekt wäre nicht durchführbar. 25

29 3 MPM-Netzpläne OR II d (c) Ist (e i, e j ) E 1 mit b(e i, e j ) = 0, dann bedeutet dies: entweder (e j, e i ) / E oder, sofern (e j, e i ) E, kann dies nur dann der Fall sein, wenn e i und e j gleichzeitig beginnen sollen. Die Modellierung des gleichzeitigen Beginns von e i und e j erreicht man aber auch dadurch, dass man die Kante (e j, e i ) aus E eliminiert und dafür die Kante (e i, e j ) als Kante in E 2 auffasst und mit b(e i, e j ) := 0 gewichtet. Wir können im Folgenden also stets davon ausgehen, dass im MPM-Präzedenzgraphen G zwischen zwei Knoten e i und e j keine entgegengesetzt gerichteten Kanten (e i, e j ) und (e j, e i ) vorliegen können. Dadurch ist es nun aber möglich, dass man eine mit b(e i, e j ) und b(e i, e j ) zweifach bewertete Kante mittels zweier Einzelbewertungen modellieren kann. Wir überlegen uns: Sei (e i, e j ) E 2. Damit liegt für (e i, e j ) neben b(e i, e j ) eine zweite Kantenbewertung b(e i, e j ) vor. Diese hat die Bedeutung AZ j AZ i b(e i, e j ): AZ i AZ j b(e i, e j ). Der Beginn von Vorgang e j liegt höchstens b(e i, e j ) Zeiteinheiten nach dem Beginn von Vorgang e i. Der Beginn von Vorgang e i liegt höchstens b(e i, e j ) Zeiteinheiten vor dem Beginn von Vorgang e j. Der Beginn von Vorgang e i liegt mindestens b(e i, e j ) Zeiteinheiten nach dem Beginn von Vorgang e j. AZ i AZ j b(e i, e j ) Auf diese Weise lässt sich also jede mit b gewichtete Kante in E2 als eine Kante in E2 := {(e i, e j ) (e j, e i ) E2 } mit der (nicht-positiven) Gewichtsfunktion b darstellen. Aus den vorherigen Bemerkungen wissen wir, dass E E = und somit E E2 = ist. Auf diese Weise können wir nun mit Hilfe des MPM-Präzedenzgraphen G = (V, E ) und der Funktionen b und b einen MPM-Netzplan definieren. Definition 3.1 Es sei P = {e 1,..., e n } eine vorgangsorientierte Zerlegung eines Projektes P. G = (V, E ) sei der zugehörige MPM-Präzedenzgraph, der o. B. d. A. genau eine Quelle und genau eine Senke habe. Es beschreibe b : E R + die zeitlichen Mindestabstände zwischen den Beginnzeitpunkten zweier Vorgänge, b : E E2 R + die zeitlichen Maximalabstände zwischen den Beginnzeitpunkten zweier Vorgänge und d : V R + die Vorgangsdauern. 26

30 3 MPM-Netzpläne OR II d Ein Graph G = (V, E, c) zusammen mit der Funktion d heißt der zu P gehörige MPM- Netzplan, falls (i) V = V, (ii) E = E E 2 = E {(e i, e j ) (e j, e i ) E 2 }, (iii) c : E R, mit c(e i, e j ) = { b(ei, e j ) falls (e i, e j ) E b(e j, e i ) falls (e j, e i ) E 2. Bemerkung 3.2 (i) Ein MPM-Netzplan kann keine Kreise positiver Länge, d. h. keine Kreise, bei denen die Summe S der Kantengewichte positiv ist, enthalten. Wäre das der Fall, so würde dies für einen Vorgang e i, der in einem solchen Kreis liegt, bedeuten, dass e i frühestens S > 0 Zeiteinheiten nach seinem Beginn gestartet werden kann. (ii) Im Gegensatz zu CPM-Netzplänen, die keine Kreise enthalten dürfen, dürfen Kreise negativer Länge (S < 0) allerdings existieren, denn für einen Vorgang e i in einem solchen Kreis bedeutet dies nur, dass e i spätestens S > 0 Zeiteinheiten nach seinem Beginn gestartet werden soll Zeitanalyse von MPM-Netzplänen In diesem Abschnitt wird ein weiteres graphentheoretisches Instrument, das Potential, eingeführt und der Zusammenhang zwischen diesem und der Zeitanalyse von MPM-Netzplänen vorgestellt Potentiale in Di-Graphen Wie wir bereits im Zusammenhang mit CPM-Netzplänen gesehen hatten führt die Berechnung von bestimmten zeitlichen Größen (wie FAZ, SAZ, FEZ, SEZ) auf die Bestimmung der Größen FZ und SZ. Ähnliches gilt nun für MPM-Netzpläne, bei denen bestimmte Größen für die einzelnen Knoten ( ˆ= Vorgänge) berechnet werden. In diesem Zusammenhang spielt der Begriff des Potentials eines gewichteten Graphen eine wichtige Rolle. 27

31 3 MPM-Netzpläne OR II d Definition 3.3 Es sei G = (V, E, c) ein gewichteter Di-Graph, #V = n. Eine Abbildung p : V R mit p j p i c ij für alle (i, j) E heißt Potential auf G. (Hierbei ist wieder p i := p(e i ), (i, j) := (e i, e j ) und c ij := c(e i, e j ).) Der Vektor p = (p 1,..., p n ) heißt Potentialvektor auf G. Um die Fragen zu beantworten, ob es Potentiale auf G gibt und wie man sie gegebenenfalls ermitteln könnte, machen wir noch die folgende Definition 3.4 Es sei G = (V, E) ein Di-Graph. (a) Eine Menge B V von Knoten heißt Basis von G, falls (i) R(B) := {e e ist auf einer gerichteten Kantenfolge von einem Element von B aus erreichbar } = V ist und (ii) es kein B B mit R(B ) = V gibt (Minimalitätseigenschaft). (b) Eine Menge A V von Knoten heißt Antibasis von G, falls (i) R(A) := {e von e aus kann ein Element von A über eine gerichtete Kantenfolge erreicht werden } = V ist und (ii) es kein A A mit R(A ) = V gibt. Es sei dabei vereinbart, dass jeder Knoten e i V immer von sich selbst aus erreichbar sei. Bemerkung 3.5 (i) Eine Basis B ist also eine kleinste Menge von Knoten, von denen aus jeder Knoten aus V auf einem gerichteten Weg erreicht werden kann. (ii) Falls e i, e j B soist e j von e i ausnichterreichbar.dennjedervon e j B aus erreichbare Knoten in V wäre dann auch von e i B aus erreichbar. Man könnte also durch die Elimination von e j die Menge B verkleinern, was der Minimalitätseingenschaft einer Basis widerspräche. (iii) In einem MPM-Netzplan G ist die Quelle e 1 eine Basis und die Senke e n eine Antibasis. Wenn man eine Basis B in einem gewichteten Di-Graphen G = (V, E, c) betrachtet, mit W(B, e i ) := {W W ist eine gerichtete Kantenfolge in G mit Anfangsknoten in B und Endknoten e i } 28