Eliminationsmethoden auf dem dualen Berechnungsgraphen
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- Kathrin Schumacher
- vor 6 Jahren
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1 smethoden auf dem dualen Berechnungsgraphen Sommerschule des Graduiertenkollegs Hierarchie und Symmetrie in mathematischen Modellen Universitätsakademie Bommerholz
2 Übersicht Einleitung 1 Einleitung
3 Motivation Einleitung Beispiel in diesem Abschnitt: verschiedene Berechnungsverfahren für die Ableitung, größtenteils auf Basis der automatischen Differentiation zum Vergleich benötigt: Komplexitätsmaß hier sinnvoll: Anzahl der Berechnungen der Form a + bc, der affin-linearen Transformationen (ALTs)
4 Motivation Einleitung Ziel: Berechnung der Ableitungsmatrix der Funktion F : R 2 R 2, F ((x 1, x 2 )) = (cos(x 1 x 2 sin(x 1 x 2 )), exp(x 1 x 2 sin(x 1 x 2 ))) in einem Punkt x 0 R 2. für alle AD-Ansätze benötigt: Kodeliste
5 Motivation Einleitung Ausgangsfunktion: F ((x 1, x 2 )) = (cos(x 1 x 2 sin(x 1 x 2 )), exp(x 1 x 2 sin(x 1 x 2 ))) Kodeliste: (die Eingabevariablen x 1 und x 2 werden aus Konsistenzgründen als v 1 und v 0 geschrieben) v 1 = v 1 v 0 v 2 = sin v 1 v 3 = v 1 v 2 v 4 = cos v 3 v 5 = exp v 3
6 Motivation Einleitung Annahme für Komplexitätsvergleich: partielle Ableitungen der Terme der Kodeliste in x 0 bereits bekannt (c 1,..., c 7 ) Vergleich einiger Verfahren: direkte Berechnung von DF : Man erhält (bis auf Umnumerierungen der Indizes) ( ) c1 c DF = 3 c 6 + c 1 c 4 c 5 c 6 c 2 c 3 c 6 + c 2 c 4 c 5 c 6 c 1 c 3 c 7 + c 1 c 4 c 5 c 7 c 2 c 3 c 7 + c 2 c 4 c 5 c 7 Aufwand: 20 ALTs AD im Vorwärts- oder Rückwärts-Modus: 14 ALTs AD mit Ausnutzung der Dünnbesetztheit: 12 ALTs
7 Motivation Einleitung Vergleich einiger Verfahren (Fortsetzung): Umformung von DF : ( ) c1 c DF = 3 c 6 + c 1 c 4 c 5 c 6 c 2 c 3 c 6 + c 2 c 4 c 5 c 6 c 1 c 3 c 7 + c 1 c 4 c 5 c 7 c 2 c 3 c 7 + c 2 c 4 c 5 c 7 ( ) c6 s c = 6 t c 7 s c 7 t mit r = c 3 + c 5 c 4 sowie s = rc 1 und t = rc 2. Aufwand: 7 ALTs
8 Motivation Einleitung Ziel Automatisierung dieser Art von Umformung Hilfsmittel: der Berechnungsgraph und der dazu duale Graph
9 Übersicht Einleitung 1 Einleitung
10 Definition: Berechnungsgraph Definition Sei v j = ϕ j ((v i ) i j ), 1 j l eine Kodeliste (dabei bedeute i j, daß v j direkt von v i abhängt). dieser Kodeliste ist der bogenbewertete gerichtete kreisfreie Graph (GKG) G = (V, K, b) mit V = { n + 1,..., 0, 1,..., l}, K = {(i, j) i j}, b : K R, (i, j) v i ϕ j ((v k ) k j ).
11 Berechnungsgraph Beispiel Beispiel v 1 = v 1 v 0 1 c 1 c 2 1 0
12 Berechnungsgraph Beispiel Beispiel v 1 = v 1 v 0 v 2 = sin v c 4 c 1 c 2 1 0
13 Berechnungsgraph Beispiel Beispiel v 1 = v 1 v 0 v 2 = sin v 1 3 c 5 v 3 = v 1 v 2 c c 4 c 1 c 2 1 0
14 Berechnungsgraph Beispiel Beispiel 4 v 1 = v 1 v 0 v 2 = sin v 1 c 6 3 c 5 v 3 = v 1 v 2 c 3 2 v 4 = cos v 3 1 c 4 c 1 c 2 1 0
15 Berechnungsgraph Beispiel Beispiel v 1 = v 1 v 0 v 2 = sin v c 6 c 7 3 c 5 v 3 = v 1 v 2 c 3 2 v 4 = cos v 3 1 c 4 c v 5 = exp v 1 c
16 Berechnungsgraph Eigenschaften bietet die Möglichkeit der Berechnung von partiellen Ableitungen der Form v j v i, nämlich gemäß Kettenregel wie folgt: 1 Bilde für jeden Weg von i nach j das Produkt über die Bogenbewertungen. 2 Summiere diese Produkte auf.
17 Ziel Einleitung Ein Berechnungsgraph der Form 4 5 c 1 c 4 c 2 c hat als Bogenbewertungen die Einträge der Ableitungsmatrix. Gesucht: Folge von Transformationen, die den Berechnungsgraph in die obige Form überführt
18 Dualer Berechnungsgraph Einführung Transformationen : en en teilweise besser beschreibbar im dualen Berechnungsgraphen (DBG) hier keine formale Definition, sondern Konstruktion am Beispiel
19 Dualer Berechnungsgraph Konstruktion 4 5 c 6 c 7 3 c 5 c c 4 c 1 c 2 1 0
20 Dualer Berechnungsgraph Konstruktion 1 Ergänze Eingangs- und Ausgangspfeile. 4 5 c 6 c 7 3 c 5 c c 4 c 1 c 2 1 0
21 Dualer Berechnungsgraph Konstruktion 1 Ergänze Eingangs- und Ausgangspfeile. 2 Ersetze Pfeile durch Knoten. 4 5 c 6 c 7 3 c 5 c c 4 c 1 c 2 1 0
22 Dualer Berechnungsgraph Konstruktion 1 Ergänze Eingangs- und Ausgangspfeile. 2 Ersetze Pfeile durch Knoten. 3 Verbinde neue Knoten durch Bogen, wenn entsprechende Pfeile direkt aufeinander folgen. 4 5 c 6 c c 3 c 5 c 4 c 1 c
23 Dualer Berechnungsgraph Konstruktion 1 Ergänze Eingangs- und Ausgangspfeile. 2 Ersetze Pfeile durch Knoten. 3 Verbinde neue Knoten durch Bogen, wenn entsprechende Pfeile direkt aufeinander folgen. 4 Bogenbewertungen werden zu Knotenbewertungen (Anfangsund Endknoten erhalten Bewertung 1). 4 5 c 6 c c 3 c 5 c 4 c 1 c
24 Dualer Berechnungsgraph Eigenschaften Abbildung von Berechnungsgraph auf dualen Berechnungsgraph ist injektiv (dazu benötigt: Eingangs- und Ausgangspfeile) Ansatz für Rekonstruktion des Berechnungsgraphen aus dem DBG: 1 Ersetze innere Knoten im DBG durch zwei Knoten, die durch einen Bogen verbunden sind. 2 Zwei neue Knoten ṽ und w seien äquivalent, wenn ṽ Anfangspunkt eines neuen Bogens und w Endpunkt eines weiteren neuen Bogens ist und die den neuen Bögen entsprechenden Knoten im DBG durch einen Bogen verbunden sind. 3 Äquivalenzklassen entsprechen Knoten im Berechnungsgraphen. Streiche gegebenenfalls parallele Bögen.
25 Dualer Berechnungsgraph Eigenschaften Berechnung partieller Ableitungen: Summe von Produkten über Knotenbewertungen von Wegen (Dies folgt aus der entsprechenden Eigenschaft des Berechnungsgraphen und der Konstruktion des DBG.)
26 Übersicht Einleitung 1 Einleitung
27 Vorüberlegungen Ziel war: Vereinfachung des Berechnungsgraphen Methode: von transitiven Abhängigkeiten: transitive Abhängigkeiten im Berechnungsgraphen = Bögen im DBG
28 im DBG Vorüberlegungen Zielform Berechnungsgraph Zielform DBG c 2 c 3 c 1 c 4 c 1 c 4 c 2 c 3
29 im DBG Vorüberlegungen/1. Schritt Aufgabe Eliminiere im DBG alle inneren Bögen. für zu eliminierenden Bogen (k 1, k 2 ) im DBG zwei Fälle möglich: 1 Es gibt einen Knoten k im DBG, der die gleiche Vorgängermenge wie k 1 und die gleiche Nachfolgermenge wie k 2 hat. 2 Es gibt keinen solchen Knoten.
30 im DBG 1. Schritt, 1. Fall des Bogens (k 1, k 2 ): c k c k2 c k1 c k + c k1 c k2 c k2 c k1
31 im DBG 1. Schritt, 1. Fall weiterhin korrekte Berechnung partieller Ableitungen: Bei Wegen, die weder durch k noch durch k 1 und k 2 verliefen, ändert sich das Produkt über den Weg nicht. Im DBG gibt es zu Wegen der Form d 1,..., d i, k, d i+1,..., d l immer einen Weg der Form d 1,..., d i, k 1, k 2, d i+1,..., d l und umgekehrt, also hat man in der Summe über alle Produkte entlang solcher Wege nach Zusammenfassen stets Ausdrücke der Form (b(k ) + b(k 1 )b(k 2 )) b(d 1 ) b(d l ) stehen. Nach Streichen von (k 1, k 2 ) und Anpassen der Bewertung von k ändert sich der Wert hier also auch nicht.
32 im DBG 1. Schritt, 2. Fall Einfügen eines neuen Knotens und des Bogens (k 1, k 2 ): c k2 c k1 c k1 c k2 c k2 c k1
33 im DBG 1. Schritt, 2. Fall weiterhin korrekte Berechnung partieller Ableitungen: Bei Wegen, die nicht durch k 1 und k 2 verliefen, ändert sich das Produkt über den Weg nicht. Der neue Knoten sei k. Zu Wegen der Form d 1,..., d i, k 1, k 2, d i+1,..., d l im DBG gibt es immer einen Weg der Form d 1,..., d i, k, d i+1,..., d l im neuen Graphen und umgekehrt. Nach Streichen von (k 1, k 2 ) und Setzen der Bewertung von k ändert sich die Summe der Produkte hier also auch nicht.
34 im DBG 2. Schritt für Knoten k 1 drei Fälle möglich: 1 k 1 ist isoliert: k 1 hat keine eingehenden oder keine ausgehenden Bögen. 2 Es gibt einen Knoten k 1 im DBG, der gleiche Vorgänger- und gleiche Nachfolgermenge hat wie k 1. 3 Keiner der obigen Fälle tritt auf. (Hier ist nichts weiter zu tun.) (Verfahre im nächsten Schritt analog mit k 2.)
35 im DBG 2. Schritt, 1. Fall k 1 ist isoliert. Entferne k 1 und alle anliegenden Bögen aus dem Graphen. Die Berechnung partieller Ableitungen ist weiterhin korrekt, da es keine Wege mit k 1 als innerem Punkt geben konnte.
36 im DBG 2. Schritt, 2. Fall Es gibt einen Knoten k 1 im DBG, der gleiche Vorgänger- und gleiche Nachfolgermenge hat wie k 1. Verschmelze k 1 und k 1 : Erhöhe Bewertung von k 1 um die Bewertung von k 1. Entferne k 1 und alle anliegenden Bögen aus dem Graphen. Die Berechnung partieller Ableitungen ist weiterhin korrekt: Es gibt Bijektion zwischen den Wegen durch k 1 und den Wegen durch k 1 ; Begründung analog zur Bogen-Knoten-Verschmelzung im ersten Schritt.
37 im DBG Beispiel Beispiel c 6 c 7 c 6 c 7 c 5 c 5 c 3 1. Schritt 2. Fall c 3 c 1 c 3 c 4 c 4 c 1 c 2 c 1 c 2
38 im DBG Beispiel Beispiel c 6 c 7 c 6 c 7 c 5 c 5 c 10 c 3 1. Schritt 2. Fall c 10 c 3 c 4 c 5 c 4 c 4 c 1 c 2 c 1 c 2
39 im DBG Beispiel Beispiel c 6 c 7 c 6 c 7 c 5 2. Schritt/ c 10 c 3 c Schritt c 10 c 3 c 11 c 4 c 1 c 2 c 1 c 2
40 im DBG Beispiel Beispiel c 6 c 7 c 6 c 7 1. Schritt c 10 c 3 c Fall c 10 + c 1 c 11 c 3 c 11 c 1 c 2 c 1 c 2
41 im DBG Beispiel Beispiel c 6 c 7 c 6 c 7 c 10 c 3 c Schritt 1. Fall c 10 c 3 c 11 c 1 c 2 c 2
42 im DBG Beispiel Beispiel c 6 c 7 c 6 c 7 c 10 c 3 c Schritt 2. Fall c 10 c 11 + c 3 c 2 c 2
43 im DBG Analyse Satz Jede Folge von solchen Transformationen ist endlich. Beweisansatz: Nach jeder Transformation wird die Summe der Längen aller Wege zwischen Anfangs- und Endknoten echt kleiner: klar bei Verschmelzung von Bogen mit Knoten, da Bogen ersatzlos gelöscht wird bei Einfügen eines neuen Knotens und Löschung des Bogens: Wege durch k 1 und k 2 werden durch Wege durch k ersetzt Weglänge sinkt jeweils um Eins.
44 im DBG Analyse Satz Jede Folge von Transformationen läßt sich so fortsetzen, daß der erhaltene Graph die gewünschte DBG-Zielform hat. Beweisidee: Die folgenden Eigenschaften sind invariant unter den Transformationen: Es gibt keine direkten Verbindungen von Anfangs- und Endknoten. Nachfolger von Anfangsknoten haben Eingangsgrad 1. Vorgänger von Endknoten haben Ausgangsgrad 1. Solange es noch innere Bögen gibt, läßt sich stets noch ein sschritt durchführen.
45 im DBG Analyse Satz Die Knotenbewertungen im DBG in der Zielform sind genau die Einträge der Ableitungsmatrix. Beweis: bei der Konstruktionsvorschrift bereits gezeigt: Berechnungsvorschrift für partielle Ableitungen ist invariant unter den Transformationen. Die Aussage folgt dann aus der Struktur der Zielform des DBG.
46 im Berechnungsgraphen Vorüberlegungen Bogenelimination im DBG muß nicht wieder einen DBG als Resultat haben. aber: Werden im DBG alle Ausgangsbögen eines Knotens eliminiert, erhält man wieder einen DBG. Werden im DBG alle Eingangsbögen eines Knotens eliminiert, erhält man wieder einen DBG. Diese Front- bzw. Rückelimination des entsprechenden Bogens im Berechnungsgraphen kann dort direkt beschrieben werden.
47 im Berechnungsgraphen Rückelimination Rückelimination des Bogens (v, w): c t c r c s c t c i c t c j cr + cs + ct c k ct c l c i c j c k c l c i c j c k c l
48 im Berechnungsgraphen Frontelimination Frontelimination des Bogens (v, w): c i c j c k c l c i c j c k c l c r c s c t c i c t c j cr + cs + ct c k ct c l c t
49 im Berechnungsgraphen Knotenelimination Gegebenenfalls dadurch entstehende isolierte Knoten werden mit allen anliegenden Bögen aus dem Graphen entfernt. dadurch zwei Knoteneliminationsverfahren: Führe für einen Knoten Frontelimination für alle Eingangsbögen aus. Führe für einen Knoten Rückelimination für alle Ausgangsbögen aus.
50 im Berechnungsgraphen Beispiel Beispiel 4 5 c 6 c c 6 c 7 3 c 3 c c 3 c 6 c 3 c 7 c c 4 1 c 4 c 1 c c 1 c 2 1 0
51 im Berechnungsgraphen Beispiel Beispiel 4 5 c 6 c c 6 c 7 3 c c 5 8 c 9 2 c 8 c 5 c 6 c 9 3 c 5 c c 4 1 c 4 c 1 c c 1 c 2 1 0
52 im Berechnungsgraphen Beispiel Beispiel 4 5 c 6 c c 11 c 10 c 11 c 8 c 10 c 9 2 c 8 c c 4 1 c 4 c 1 c c 1 c 2 1 0
53 im Berechnungsgraphen Beispiel Beispiel c 10 c 11 c 11 c 8 2 c 8 + c 4 c 10 2 c 9 c 9 1 c 4 1 c 4 c 1 c 2 c 1 c
54 Übersicht Einleitung 1 Einleitung
55 Fragestellungen Einleitung Verschiedene sverfahren zur Berechnung der Ableitungsmatrix sind bekannt: Bogen- und Knotenelimination im DBG Bogenelimination im Berechnungsgraphen Knotenelimination im Berechnungsgraphen Fragen: Findet man stets mit einem Verfahren die optimale Berechnungsmethode für die Ableitungsmatrix? (offen) Was ist die Komplexität des Problems des Findens einer optimalen Berechnungsmethode? (offen) Wie effizient können die einzelnen Verfahren sein?
56 Komplexitätsbetrachtung bekannt: Das Problem, bei Knotenelimination im Berechnungsgraphen die Anzahl der neu hinzuzufügenden Bögen zu minimieren, ist NP-vollständig. aber: Minimierung der Anzahl der neu hinzuzufügenden Bögen minimiert nicht notwendigerweise die Anzahl der ALTs und umgekehrt. Bislang ist nicht bekannt, ob das Problem des Findens einer optimalen Berechnungsmethode NP-vollständig ist.
57 Effizienzvergleich Satz Es gibt einen Berechnungsgraphen, so daß eine optimale Folge von Bogeneliminationen im Berechnungsgraphen weniger ALTs benötigt als eine optimale Folge von Knoteneliminationen
58 Effizienzvergleich Satz Es gibt einen Berechnungsgraphen, so daß eine optimale Folge von Bogen- und Knoteneliminationen im DBG weniger ALTs benötigt als eine optimale Folge von Bogeneliminationen im BG
59 Algorithmen Einleitung Suchen der optimalen sfolge in den einzelnen Verfahren ist im allgemeinen aufwendig. Bei Umsetzung in Algorithmen werden Heuristiken verwendet: gierige Heuristik: in jedem Schritt nur lokale (verschiedene lokale Optimalitätskriterien möglich) simulierte Abkühlung
60 Übersicht Einleitung 1 Einleitung
61 Zusammenfassung Ziel: optimierte Berechnung der Ableitungsmatrix behandelte Hilfsmittel: im dualen Berechnungsgraphen Bogenelimination im Berechnungsgraphen Knotenelimination im Berechnungsgraphen
62 Zusammenfassung Ziel: optimierte Berechnung der Ableitungsmatrix behandelte Hilfsmittel: im dualen Berechnungsgraphen Bogenelimination im Berechnungsgraphen Knotenelimination im Berechnungsgraphen Ende
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