Die Rolle von Text und Kontext in Stochastik-Aufgaben

Transkript

1 Die Rolle von Text und Kontext in Stochastik-Aufgaben Franz Schoberleitner Adalbert Stifter Gymnasium Linz JKU Linz

2 Einige Feststellungen Der Stochastik-Unterricht ist besonders sprachintensiv und erfordert präzise (Alltags)sprache Interpretation von Ergebnissen Diskussion von Modell-Annahmen Formulierung von Aufgaben Der Stochastik-Unterricht nimmt für sich in Anspruch, besonders anwendungsorientiert zu sein Stochastische Begriffe kommen in der Alltagswelt vergleichsweise häufig vor Aufgaben werden (fast immer) in einem realen Kontext formuliert

3 Stochastische Begriffe und Methoden werden (großteils) in Standard-Kontexten erlernt, die einfach strukturiert und leicht zu beschreiben sind Wahrscheinlichkeitsrechnung Würfeln mit einem Spielwürfel Werfen eine Münze Ziehen aus einer Urne Anwendungsaufgaben erfordern, neue Kontexte mit diesen Standardkontexten in Verbindung zu bringen Diskussion: Qualität der Aufgaben: Didaktischer Wert der Aufgaben: Wie gut passt das intendierte Modell zur Realität? Wie relevant ist die Fragestellung? Was lernen SchülerInnen an der Aufgabe? Diskrepanz: Stochastische Kompetenz - Lösen von Prüfungsaufgaben

4 Kritik: Nicht-Ernst-Nehmen des Kontextes: Reale Zufallsversuche werden nicht hinterfragt bzw. konkretisiert Wenig relevante Fragestellungen: Zufällige Auswahl? Unabhängigkeit der Teilversuche? Woher kommt der gegebene Wert von p? Eingekleidete Aufgaben: SchülerInnen müssen lernen, diese rasch zu entkleiden Entnimm dem Text die Werte für n, p, k und vergiss den Kontext! Problem: Schließende Statistik ist weit weg (nächstes Schuljahr, klar abgegrenzt) wird nur sehr fragmentarisch unterrichtet

5 Standard-Kontext Binomialverteilung In einer Urne sind a rote und b schwarze Kugeln. p a a + b. relativer Anteil der roten Kugeln Zufallsexperiment: n-maliges zufälliges Ziehen einer Kugel mit Zurücklegen Zufallsvariable: X. Anzahl der gezogenen roten Kugeln X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p, und es gilt: p X = k = n k pk 1 p n k k 0,, n Abgrenzung zur Hypergeometrischen Verteilung..

6 Abstrakte Formulierung Ein Zufallsexperiment, das nur die beiden Ausgänge E( Erfolg ) und EE ( Misserfolg ) besitzt, wird n-mal durchgeführt. Die Ergebnisse der einzelnen Versuche seien voneinander unabhängig. Sei X die Anzahl der Erfolge in der Versuchsserie. Dann ist X binomialverteilt mit den Parametern n und p = p(e)

7 Typische Aufgaben Ein Spielwürfel wird 10 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, a. dass genau ein Sechser kommt? b. dass mehr als ein Sechser kommt? Bei einem Multiple-Choice-Test werden 10 Fragen gestellt. Zu jeder Frage werden 4 Antworten angeboten, von denen genau eine richtig ist. Der Test gilt als bestanden, wenn mindestens die Hälfte der Fragen richtig beantwortet werden. Jemand hat keine Ahnung und kreuzt zufällig an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er den Test besteht?

8 Ein Schüler hat für eine Vokabelprüfung 80% der zu lernenden Vokabel gelernt. Bei der Prüfung wird er vom Lehrer nach 5 Vokabeln gefragt, von denen er mindestens 3 wissen muss, um positiv beurteilt zu werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür? Wie geschieht eine zufällige Auswahl von Vokabeln? Wird eine solche in der Praxis tatsächlich durchgeführt? (Wichtig/unwichtig, schwer/leicht,.) Ist gelernt haben und bei Prüfung wissen dasselbe? Eigentlich: Ziehen ohne Zurücklegen, Umfang der Grundgesamtheit unbekannt

9 Ein Brandmelder löst im Falle eines Brandes mit 90%iger Wahrscheinlichkeit Alarm aus. Wie viele unabhängig voneinander funktionierende Brandmelder muss man installieren, damit im Brandfall mit 99%iger Wahrscheinlichkeit Alarm ausgelöst wird? Warum funktioniert ein Brandmelder nicht? Individuelle Störung (Unabhängigkeit plausibel) oder Art des Brandes (Unabhängigkeit fraglich)? Werden Brandmelder nicht nach einem genauen Plan im Gebäude montiert und reagieren abhängig davon, wo der Brand ausgebrochen ist?

10 Aufgaben aus Schulbüchern BRAND u.a., thema mathematik 7, 2011

11 Aufgaben aus Schulbüchern BLEIER u.a., Dimensionen Mathematik 7, 2016

12 Aufgaben aus Schulbüchern MALLE u.a., Mathematik verstehen 7, 2011

13 Wie kann man im MU damit umgehen? Probleme übergehen oder leugnen. Es geht darum, dass Schüler solche Aufgaben sicher rechnen können Modellbildung beziehungsweise Formulierungen problematisieren. Erfordert Diskussion und Zeit! Schüler: Eigentlich hat die Aufgabe keinen Sinn. Geeignete Aufgaben auswählen..

14 Bei der Übertragung von Nachrichten kommt es vor, dass gesendete Signale gestört werden. Wir betrachten einen Nachrichtenkanal, der die Zeichen 0 und 1 übertragen kann. Eine Störung liegt vor, wenn das Zeichen 0 gesendet, aber das Zeichen 1 empfangen wird und umgekehrt. Wir nehmen an, dass die Störung einzelnen Zeichen unabhängig voneinander erfolgt, und zwar mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0,1 Um die Fehleranfälligkeit der Übertragung zu senken, kann man folgende Methode verwenden: Man sendet jedes Zeichen dreimal hintereinander und ordnet der empfangenen Dreiergruppe jenes Zeichen zu, das in der Gruppe häufiger vorkommt. Beispiel: Zu sendendes Zeichen: 0 Gesendet wird: 000 Empfangen wird z.b. 010 (Störung bei der Übertragung des 2.Zeichens) Gelesen wird: 0 (also das richtige Zeichen) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zeichen richtig gelesen wird? Wie stark verbessert diese Methode die Zuverlässigkeit der Übertragung?

15 Mögliche Weiterführungen: Welche Verbesserung erreicht man, wenn man jedes Zeichen nicht dreimal, sondern fünfmal sendet? Bisher wurde angenommen, dass ein Zeichen mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,1 falsch übertragen wird. Um die besprochene Methode genauer zu analysieren, soll diese Festlegung jetzt aufgegeben werden. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zeichen richtig gelesen wird, in Abhängigkeit von p! Für welche Werte von p ergibt sich tatsächlich eine Verbesserung der Zuverlässigkeit? Für welche Werte von p ist die Verbesserung am größten?

16 Zum Text der Aufgaben Lernen Leisten Lernaufgaben: Leistungsaufgaben:

17 Fragen zur Qualität der Textierung Enthält der Text alle notwendigen Informationen? Enthält der Text nicht benötigte Informationen oder Redundanzen? Erklärt der Text die Situation klar und verständlich? Ist die Fragestellung präzis genug? Komplexität des Satzbaues (Hauptsätze, Gliedsätze, Verschachtelungen, ) Wortwahl (mathematische Fachbegriffe, externe Fachbegriffe, Fremdwörter,.) Problem: Textlänge! (Unterricht, Schulbuch, Leistungsfeststellung, )

18 Datenquelle: de.wikipedia.org/wiki/blutgruppe

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