Die Dynamik von stoßfreien Sternsystemen. Stoßfrei: Teilchen sehen nur das gemeinsame Gravitationsfeld

Transkript

1 Die Dynamik von stoßfreien Sternsystemen Dunkle Materie E-Galaxien Galaxien Sternhaufen Stoßfrei: Teilchen sehen nur das gemeinsame Gravitationsfeld

2 Gravitation dominiert die Dynamik von Strukturen im Universum Die stoßfreie Teilchendynamik spielt eine wichtige Rolle in vielen astrophysikalischen Systemen. Monde und Ringe Sonnensystem Sternhaufen Galaxien Dunkle Materie

3 Stoßdominierte und stoßfreie Entwicklung In einem Gas bewegen sich die Moleküle mit nahezu konstanter Geschwindigkeit und erfahren nur kurzzeitig starke Beschleunigungen. v Teilchen d Fluss: Dichte f = n v 2 Pro Zeiteinheit durchstoßen nv πd Teilchen ein Fläche mit Radius d. Stoßzeitskala: τ = 1 nvπd c 2

4 Direkte Stoßzeitskala Gas bei Raumtemperatur: n 2 10 cm 19 3 d cm v cm s τ c 9 10 s Kugelsternhaufen: Falls R* Falls R* 6 3 N = 10 Sterne, R = 10 pc n 10pc = R Rote Riesen = 100R τ c τ c 30 pc n Jahre 30 pc n Jahre

5 Stern-Sternstöße Da die Zahl der roten Riesen in KSH klein ist kann man direkte Stern-Sternstöße zunächst vernachlässigen. Sternstöße werden jedoch in den dichten Zentralgebieten wichtig τ c 30 pc n Jahre n = 10 pc 5 3 Blue Stragglers

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7 Stern-Sternstöße in Galaxien τ c 30 pc n Jahre n 1 pc 3 12 τc 2 10 Jahre Galaxien sind stoßfreie Systeme. Bei Galaxienwechselwirkungen kommt es zu keinen direkten Stern-Sternstößen.

8 Rolle der Gravitation im Leben eines Sternhaufens Sternentstehung Gravitativer Kollaps einer Gaswolke

9 Simulation der Sternentstehung Gas Sterne

10 Stoßfreie, dynamische Relaxation

11 Dunkle Materie im Universum

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15 Elliptische Galaxie Numerische Simulation

16 Galaxienverschmelzung und Schwarze Löcher

17 ΛCDM simulation Dichteprofil E-galaxien dunkle Materiehalo (Hetznecker & Burkert) Warum führt die Relaxation von stoßfreien Systemen zu universellen Dichteprofilen?

18 Was bedeutet Relaxation? Das Sternsystem erreicht nach einiger Zeit einen Zustand in dem sich die Dichteverteilung nicht mehr ändert.

19 Sternsysteme im Gleichgewicht

20 Sternsysteme im Gleichgewicht

21 Phasenmischung Wir betrachten eine Scheibe aus Sternen, die auf Kreisbahnen laufen mit Winkelgeschwindigkeit dϕ 2π = ω = dt T Annahme: Alle Sterne haben anfangs ϕ 0 System ist anfangs hochgradig geordnet Anfang Ende Sterne

22 Phasenmischung des Sternsystems Für t sind alle Sterne außer Phase und gleichmäßig verteilt. Mischungszeitskala: ϕ = t ω ( ω ) max min 2π τ mix = ω max ω min

23 v Der Phasenraum Sternbahn im Phasenraum ( v, Φ ) x Die Bewegung des Sterns im Phasenraum wird beschrieben durch: xɺ = v vɺ = Φ

24 Die Verteilungsfunktion f Statt die Sternbahnen einzeln zu verfolgen untersuchen wir die Entwicklung der Sternverteilung im Phasenraum. 3 3 f (x, v, t) d x d v : Phasenraumverteilung eines Sterngases Andere Interpretation: Wahrscheinlichkeitsdichte = Wahrscheinlichkeit einen Stern bei x,v zu finden. v v ( ) f (t = 0) Was ist f (t > 0) t x x

25 v f = 1 f = 0 Gegeben: 3 3 f (x, v, t) d x d v n(x, t) d x = x f (x, v, t) d v d x v (x,t) 3 3 v f (x,v,t) d v v f (x,v,t) d v = = f (x,v,t) n(x, t)

26 Die stoßfreie Boltzmanngleichung v v + v / 2 v v / 2 v v x x / 2 x x + x / 2 x Zahl der Sterne, die die Zelle bei x + x / 2 verlassen: f (x,v,t) v v t Zahl der Sterne, die bei x x / 2 in die Zelle fliegen: f (x x,v,t) v v t

27 v v + v/ 2 v v/ 2 v dv / dt > 0 x x / 2 x x + x / 2 x Annahme: dv / dt > 0 Sterne wandern nach oben dv Nach t bewegen sich die Sterne um schneller dt t Zahl der Sterne, die die Zelle bei v + v / 2 verlassen: f (x,v,t) dv dt x t Zahl der Sterne, die bei v v / 2 in die Zelle fliegen: f (x,v v,t) dv dt x t

28 [ f (x,v,t + t) f (x,v,t)] x v = f (x x,v,t) v v t - + f (x,v v,t) dv dt x t - f (x,v,t) v v t f (x,v,t) dv dt x t f dv f = v v t x x t v x dt v f dv f = x v t v + = x v f x dt v f f f + v + vɺ = 0 t x v f (x,v,t) f f + v Φ = 0 t x v Grundgleichung der Stellardynamik 2 3 Φ = 4πGρ = 4π Gm f d v

29 Stoßfreie Boltzmanngleichung df f f f = + v Φ = 0 dt t x v Der Fluss der Sterne im Phasenraum ist inkompressibel. Entropie: f = f 0 S(t) = = ln f 3 3 f ln f d x d v f0d x d v = N ln f = kons tan t 0 Es existiert kein Gleichgewichtszustand

30 Die makroskopische Verteilungsfunktion Entwicklung von F F F erreicht einen Gleichgewichtszustand

31 Wie viele stoßfreie dynamische Gleichgewichtskonfigurationen gibt es? f (x,v,t) f f + v Φ = 0 t x v 2 3 Φ = 4πGρ = 4π Gm f d v Wir suchen nach einer zeitunabhängigen Lösung: f = t 0

32 Bewegungsintegral: Das Jeanstheorem v I = konstant Eine Funktion I(x, v), die sich entlang einer Sternbahn nicht ändert. di(x, v) Ι x I v I I = 0 = + = v Φ dt x t v t x v x Jede zeitunabhängige Lösung f (x, v) ist ein Integral der Bewegung.

33 Umgekehrt gilt auch: Jede Funktion f (I 1,I 2...) der Bewegungsintegrale I 1,I 2,... eine zeitunabhängige Lösung der stoßfreien Boltzmanngleichung. ist Sphärische Sternsysteme: 4 Bewegungsintegrale: E,L x,l y,lz Aufgrund sphärischer Symmetrie in allen physikalischen Größen kann f nur von E und L abhängen: f (x, v) = f (E,L) mit { 1 2 E = v + Φ(r) 2 L = r v ϕ

34 Systeme mit isotroper Geschwindigkeitsverteilung Es sei: f = f (E) = f (vx + vy + v z ) + Φ(r) 2 n = f dv dv dv x y z v 1 = f v dv d v dv = v = n x x x y z y v 2 z Aber: Problem Dichteverteilung: v= v esc E= (r) = π 4 m f (E) 2 ρ = m f d v 4 m f (E) v dv = π (E Φ)dE 1 2 v = 0 E=Φ(r) 2 2 E = v + Φ (r) v dv = 2(E Φ ) de

35 Fundamentalgleichung sphärischer Gleichgewichtssysteme Poissongleichung: 2 1 d 2 dφ Φ = r 2 r dr dr = 4π G ρ(r) 0 1 d 2 dφ 2 r 16 G f (E) 2(E ) de 2 = π Φ r dr dr Φ(r) Gegeben f(e), dann folgt aus der Fundamentalgleichung Φ(r) Mit Φ (r) folgt aus der Poissongleichung ρ(r)

36 Das Plummerprofil 3M 1 ρ (r) = 4πb r b ( 2 1+ ) 2 p Φ (r) = P r GM + b 2 2 f (E) b = π G M m ( E) 7 2 Die Energieverteilung des Plummerprofils unterscheidet sich stark von der Gleichgewichtsverteilung eines stossdominierten Gases. Es gibt unendlich viele Gleichgewichtsmodelle. Warum sollten dann alle heftig relaxierenden Teilchensysteme eine ähnliche Dichteverteilung haben?

37 Energie and spezifischer Drehimpuls sind während einer Kollapsphase keine Erhaltungsgrößen. 2 de 1 dv dφ = + = dt 2 dt dt dv Φ Φ v + + v Φ = dt t t dv dt = Φ x(t) Kann die Umverteilung von Drehimpuls und Energie die Entstehung von universellen Dichteprofilen erklären?