2.1 Maschineninterne Darstellung von Zahlen und Zeichen 2.2 Fehlererkennende Codes 2.3 Fehlerkorrigierende Codes

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1 2.1 Maschineninterne Darstellung von Zahlen und Zeichen 2.2 Fehlererkennende Codes 2.3 Fehlerkorrigierende Codes 2-1

2 2.1 Maschineninterne Darstellung von Zahlen und Zeichen Alle Daten, die ein Digitalrechner speichert und verarbeitet, werden intern in Form von Bits dargestellt. Frage: Wie werden die Datentypen aus den höheren Programmiersprachen in Bitmuster abgebildet? 2-2

3 Analoge Darstellung In der analogen Darstellung repräsentiert der technische Parameter (z. B. eine Spannung) direkt den Wert aus der Anwendung. Analoge Werte sind im Allgemeinen reelle Zahlen (Gleitkommawerte). Analoge Größen können innerhalb eines vorgegebenen Bereiches jeden beliebigen Wert annehmen α α 2-3

4 Probleme der analogen Darstellung Genauigkeit der analogen Größe Definitionsbereich der analogen Größe Arithmetische Operationen auf analogen Größen Anwendungsbeispiele Audio im traditionellen Telefonnetz und in der Unterhaltungselektronik Traditionelle Fernseh- und Videotechnik 2-4

5 Digitale Darstellung Die Darstellung von Werten erfolgt in Form von Zahlen (lateinisch: digitus : der Finger; Abzählen mit den Fingern). Beispiel: der chinesiche Abakus (Rechenrahmen) 2-5

6 Darstellung von Zahlen im Rechner Alle modernen Rechner arbeiten mit Dualzahlen (im binären Zahlensystem). Erster binärer Zustand Schalter geschlossen Transistor leitend Diode leitend Spannung hoch (Strom) Werkstoff magnetisch Zweiter binärer Zustand Schalter geöffnet Transistor gesperrt Diode gesperrt Spannung niedrig (Strom) Werkstoff nicht magnetisch Die meisten elektronischen, digitalen Systeme verwenden Spannungen: 0 Volt (Masse) +5 Volt 0 Volt +3,3 Volt -5 Volt +5 Volt 0 Volt +12 Volt 2-6

7 Logische Werte Daten vom Typ boolean (logische Daten) können nur die Werte true oder false annehmen. Daher genügt im Prinzip ein Bit. Häufig erfolgt aber eine Darstellung als ein Byte, da das Byte die kleinste adressierbare und damit direkt zugreifbare Einheit im Rechner ist. Eine weit verbreitete Konvention ist, dass ein Byte mit nur 0-Bits den Wert false darstellt, während ein Byte mit mindestens einem 1-Bit dem Wert true entspricht. Besonders häufig wird dabei das erste Bit im Byte gesetzt, da der Prozessor dieses besonders leicht auf 0 oder 1 prüfen kann. Datentyp Bitstring Manche höhere Programmiersprachen unterstützen den Datentyp Bitstring. Dieser wird direkt auf eine Folge von Bits im Speicher abgebildet. Dazu gibt es dann eine semantische Erweiterung der Operatoren der Aussagenlogik (,,,...) auf Bitmuster, die dann bitweise verknüpft werden. 2-7

8 Ganze Zahlen Positive ganze Zahlen Positive ganze Zahlen sind ein sehr häufiger Datentyp in Anwendungsprogrammen (z. B. als Feldindex, als Laufvariable in Schleifen), aber auch maschinenintern als Speicheradresse usw. Die Darstellung erfolgt als Dualzahl (Zahl zur Zahlenbasis 2). Dabei entspricht jede Ziffernposition einer Zweierpotenz (wie bei Dezimalzahlen jede Ziffernposition einer Zehnerpotenz entspricht). 2-8

9 Positive ganze Zahlen Beispiel: = Konvertierung: Dual Dezimal: Ausmultiplizieren Dezimal Dual: fortgesetzte Division durch 2 und Notieren der Reste Beispiel: als Dualzahl 30:2 = 15 Rest 0 15:2 = 7 Rest 1 7:2 = 3 Rest 1 3:2 = 1 Rest 1 1:2 = 0 Rest =

10 Rechnen mit Dualzahlen Arithmetische Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) werden im Dualsystem analog zum Dezimalsystem ausgeführt. Merke: Eine Multiplikation mit 2 entspricht einem "Linksshift" der Dualzahl um 1 Bit, eine Division durch 2 einem Rechtsshift. Beispiel für ganze Zahlen im Hauptspeicher: Liste der Ganzzahlen 28, 6, 33, 14, 2, 8, dargestellt in den Speicherzellen 513 bis

11 Oktalzahlen Das Aufschreiben von langen Bitstrings braucht viel Platz und ist unübersichtlich. Deshalb wählt man häufig eine Darstellung in Form von Oktalzahlen oder Hexadezimalzahlen (Sedezimalzahlen). Dabei ergeben jeweils drei bzw. vier Bits eine Ziffer. Bitstring Oktalziffer Beispiel: = = = 2* * *

12 Hexadezimalzahlen (Sedezimalzahlen) (1) Jeweils vier Bits ergeben eine Hexadezimalziffer. Da wir aus dem Dezimalsystem nur zehn Ziffern kennen, müssen weitere sechs Ziffernbezeichner dazu genommen werden. Man wählt dazu die Großbuchstaben A bis F. Bitstring Hexadezimal- Bitstring Hexadezimalziffer ziffer A B C D E F 2-12

13 Hexadezimalzahlen (Sedezimalzahlen) (2) Beispiel: = = B 5 16 = 11* Die oktale und hexadezimale Darstellung ist nicht nur für Ganzzahlen, sondern auch für beliebige andere Bitstrings gebräuchlich, z.b. zur Definition von Bitstring-Konstanten: ALL-ONE LEFT-HALF DC X'FF' DC X'F0' 2-13

14 Negative ganze Zahlen Erste Idee Wir wählen n-1 Bits für den Betrag als ganze Zahl und ein Bit für das Vorzeichen. Nachteile: Die Null gibt es zweimal (+0, -0). Die Arithmetik wird durch Fallunterscheidungen wesentlich komplizierter. Zweite Idee: Einerkomplement Eine negative Zahl wird durch Invertieren aller Bits der positiven Zahl desselben Betrages gebildet. Nachteile: Immer noch zwei Nullen, immer noch komplizierte Arithmetik Dritte Idee: Zweierkomplement 2-14

15 Zweierkomplement (1) Berechnung: Zweierkomplement = Einerkomplement + 1 Beispiel für 3-Bit Zahlen: 2 10 = = = Vorteile: Vorzeichen immer noch am ersten Bit erkennbar Die Addition negativer Zahlen geschieht wie die Addition positiver Zahlen! Beim Überschreiten der Null geht allerdings der Übertrag verloren. Deshalb braucht man nur noch eine Hardware-Schaltung! Subtraktion i - j durch Bildung des Zweierkomplements von j und Addition! i - j = i + (-j) Sehr einfach in Hardware zu bauen! 2-15

16 Zweierkomplement (2) Die Darstellung auf dem Zahlenkreis veranschaulicht die Ähnlichkeit von Addition und Subtraktion. 2-16

17 Gleitkommazahlen Reelle Zahlen (Gleitkommazahlen, floating point numbers) kann man auf zwei Weisen darstellen: durch Festlegen einer Konvention, wo im Maschinenwort man sich die Kommastelle denkt (Festkommazahl, fixed-point number) oder durch eine Repräsentation in Form von Mantisse und Exponent. 2-17

18 Festkomma-Darstellung (fixed-point number) Darstellung reeller Zahlen ohne Exponent Festlegung einer festen Anzahl von Stellen vor und nach dem Komma durch Konvention VZ Vorkommastellen Nachkommastellen Darstellung und Addition: 19,125 = , ,625 = , ,75 = , Umrechnung Dezimal x 10 Dual x 2 für x 10 < 1: 0,375 * 2 0,750 * 2 1,500 * 2 1,000 (alle Nachkommastellen = 0 Ende) Ergebnis 0, = 0,011 2 (durch Ablesen von oben nach unten) 2-18

19 Gleitkommazahlen Repräsentation der rellen Zahl in Form von Mantisse und Exponent: z = m * g e, m Mantisse, e Exponent. m: ganze Zahl mit gedachtem Komma vor der ersten Stelle e: ganze Zahl g: Basis, gilt als implizit vereinbart und wird nicht explizit dargestellt. Gebräuchlich sind g = 2 oder g = 16 (IBM-Großrechner: g = 16) Merke m < 0: negative reelle Zahl e < 0: reelle Zahl mit Betrag zwischen 0 und

20 Beispiel für Gleitkommazahlen Eine Gleitkommazahl werde in einem 32-Bit-Wort dargestellt mit 8 Bits für e und 24 Bits für m e m Man überlege sich, wie die arithmetischen Operationen +, -, *, / in der obigen Gleitkomma- Darstellung ausgeführt werden. Anmerkung 1 Beim Rechnen mit Gleitkommazahlen ist die Genauigkeit beschränkt, da die Länge der Mantisse beschränkt ist. Es treten Rundungsfehler auf. Anmerkung 2 Sehr kleine Prozessoren unterstützen manchmal Gleitkommazahlen nicht in Hardware. Ihre Darstellung und Operationen darauf müssen dann in Software durch Unterprogramme des Laufzeitsystems realisiert werden. Üblich ist auch die Erweiterung des Rechners um einen zusätzlichen Gleitkommaprozessor, die wesentlich zur Beschleunigung der Ausführung numerischer Anwendungsprogramme beitragen kann. 2-20

21 Darstellung der Mantisse Problem: 0,5 10 lässt sich darstellen als 0,1 2 * 2 0 oder als 0,01 2 * 2 1 etc. Lösung: Eindeutigkeit der Darstellung durch normalisierte Mantisse (Basis g = 2), z.b.: ½ m < 1, d.h. 0,5 10 = 0,1 2 * m < 2, d.h. 0,5 10 = 1,0 2 * 2-1 Werden normalisierte Mantissen vorausgesetzt, ist das erste Bit immer gleich 0 bzw. 1 und braucht nicht abgespeichert zu werden (sogenanntes hidden bit ). Beispiel: Basis g = 2, Exponent e mit 6 Bits, normalisierte Mantisse m (1 m < 2) mit 6 Bits, hidden bit. 7,75 10 = 111,110 2 = (-1) 0 *1, * VZ Exponent Mantisse 2-21

22 Versetzte Darstellung des Exponenten Diese Darstellung wird auch als Biased- oder Excess-Darstellung bezeichnet Zum tatsächlichen Exponenten wird ein bestimmter Wert (Bias) hinzuaddiert. Hat der Exponent n Bits, so beträgt dieser Wert 2 n-1. Beispiel: Basis g = 2, Exponent e mit 6 Bits in Excess-Darstellung, normalisierte Mantisse m (1 m < 2) mit 6 Bits,hidden bit. 7,75 10 = 111,110 2 = (-1) 0 *1, * 2 2 Zu speichernder Exponent e = = Vorteil dieser Darstellung: Falls für zwei Gleitkommazahlen a b gilt, so gilt das Gleiche für die (gewöhnliche) Dualdarstellung von a und b. Beispiel: a = 0,5 10 = 1,0 2 * 2-1 = b = 4 10 = 1,0 2 * 2 2 = Ohne Excess-Darstellung wäre der Exponent von a und von b (Zweierkomplement). 2-22

23 Das IEEE-Gleitkommaformat (IEEE 754) Genauigkeit Vorzeichen (bits) Exponent (bits) Fraction (= Mantisse ohne hidden bit) single precision double precision 1 (0 = positiv, 1 = negativ) (hidden bit) 52 (hidden bit) Gesamtbreite (bits) Excess Exponent

24 Zeichen (characters) Darstellung in fester Länge Die Zuordnung von Bitmustern zu den darzustellenden Zeichen nennt man einen Zeichencode. Zur Darstellung von Zeichen des Alphabets (Textzeichen, Sonderzeichen) gibt es internationale Standards. Diese verwenden eine feste Anzahl von Bits für jedes Zeichen. ASCII American Standard Code for Information Interchange. Ursprünglich ein 7- Bit-Code, inzwischen als 8-Bit-Code gebräuchlich, damit auch internationale Zeichen (z. B. deutsche Umlaute) aufgenommen werden können (IA5 = International Alphabet Number 5). EBCDIC Extended Binary Coded Decimal Interchange Code. Ein 8-Bit-Code, der auf Großrechnern weit verbreitet ist, vor allem bei IBM. 2-24

25 Darstellung von Zeichen ASCII und EBCDIC Codes enthalten: druckbare Zeichen Ziffern Kleinbuchstaben Großbuchstaben Sonderzeichen (!,?, $,...) nicht druckbare Zeichen (Steuerzeichen) Wagenrücklauf Zeilenvorschub Tabulator Klingeln Gerätesteuerzeichen Übertragungssteuerzeichen. 2-25

26 ASCII-Codetabelle (7-Bit-Code) Erste 3 Bits x y 0 nul dle P ` p 1 soh dc1! 1 A Q ` q 2 sfx dc2 " 2 B R b r 3 etx dc3 # 3 C S c s 4 eot dc4 $ 4 D T d t 5 enq nak % 5 E U e u 6 ack syn & 6 F V f v 7 bel etb ' 7 G W g w 8 bs can ( 8 H X h x 9 ht em ) 9 I Y i y A lf sub * : J Z j z B vt esc + ; K [ k { C ff fs, < L \ l D cr qs - = M ] m } E so rs. > N ^ n F si us /? O _ o del 2-26

27 ASCII: Bedeutung der Steuerzeichen Abk. Funktion Funktion (Bedeutung des Zeichens) NUL SOH STX ETX EOT ENQ ACK BEL BS HT LF VT FF CR SO SI DLE DC1-3 DC4 NAK SYN ETB CAN EM SS ESC FS GS RS US SP DEL Null Start of heading Start of text End of text End of transmission Enquiry Acknowledgement Audible signal Backspace Horizontal tabulation Line feed Vertical tabulation Form feed Carrier return Shift out Shift in Data link escape Device control Device stop Negative acknowledgement Synchronous idle End of transmission block Cancel End of medium Start of special sequence Escape File separator Group separator Record separator Unit separator Space Delete/Idle Nichtiges (ungültiges) Zeichen Beginn des Kopfes (Titels) Textanfang Textende Ende der Übertragung Anfrage Empfangsbestätigung Akustisches Signal Rücksetzen Horizontale Einstellung (Tabulator) Zeilenvorschub Vertikale Einstellung (Tabulator) Formularvorschub Schreibkopfrücklauf Umschaltung aus (Kleinschreibung) Umschaltung ein (Großschreibung) Umschaltung von Text auf Steuerzeichen Einheitensteuerung Einheitenhalt Negative Empfangsbestätigung Synchronisierzeichen (Leerlauf) Ende eines Übertragungsblockes Aufhebung Ende für ein Medium (Gerät) Beginn einer speziellen Folge Auswahl, Trennung, Umschaltung Dateitrennzeichen Gruppentrennzeichen Satztrennzeichen Trennzeichen für eine Informationseinheit Zwischenraum Löschen/ Leerlauf 2-27

28 EBCDIC-Codetabelle 2-28

29 Zeichencodes mit variabler Bitlänge Zeichencodes mit einer festen Anzahl von Bits haben den gravierenden Nachteil, dass sie nicht optimal sind, wenn die Häufigkeit der Zeichen in einem Text nicht gleich verteilt ist. Man kann sich dann Codes überlegen, bei denen Zeichen je nach ihrer Häufigkeit mit einer unterschiedlichen Anzahl von Bits dargestellt werden. Die Codetabelle wird gemäß den Zeichenhäufigkeiten anwendungsabhängig gewählt. Vorteil Im Mittel weniger Bits zur Darstellung der Anwendungsdaten. Verringert den Speicherbedarf und beschleunigt den Datentransfer. Nachteil Zusatzaufwand zum Kodieren/Dekodieren zwischen gebräuchlichen Darstellungen und dem Code mit variabler Bitlänge. Parsing (Zerlegung der Zeichenkette in die einzelnen Zeichen) wird komplizierter. 2-29

30 Beispiel für einen Code mit variabler Bitlänge (1) Zeichen Häufigkeit (%) Code Anzahl der Bits A F B [leer] D E Z P N u C H R M L S I

31 Beispiel für einen Code mit variabler Bitlänge (2) Zeichen Häufigkeit (%) Code Anzahl der Bits T K Y X G J O Q V W ? & / < unter ) ( %

32 Beispiel für einen Code mit variabler Bitlänge (3) Zeichen Häufigkeit (%) Code Anzahl der Bits = # ? , Mittlere Zeichenlänge im Code * * * * * * * * * * x 16 = 2.91 Bit pro Zeichen Wesentlich weniger als die üblichen 8 Bit pro Zeichen! 2-32

33 Der Huffman-Code David Huffman hat einen Algorithmus zur Konstruktion von optimalen Codes mit variabler Bitlänge angegeben. Mit diesem Algorithmus konstruierte Codes bezeichnet man als Huffman-Codes. Algorithmus: ErzeugeHuffmanCode 1. Bestimme die Auftrittshäufigkeiten der Zeichen und schreibe sie an die Blattknoten eines aufzubauenden Binärbaums an. 2. Nimm die bisher unerledigten zwei Knoten mit den geringsten Häufigkeiten und berechne deren Summe. 3. Erzeuge einen Elternknoten für diese beiden und beschrifte ihn mit der Summe. Markiere die Verzweigung zum linken Sohn mit 0, die zum rechten Sohn mit Markiere die beiden bearbeiteten Knoten als erledigt. Wenn es nur noch einen nicht erledigten Knoten gibt, sind wir fertig. Sonst weiter mit Schritt

34 Huffman-Code, Beispiel Wahrscheinlichkeiten der Zeichen: p(a) = 0.3; p(b) = 0.3; p(c) = 0.1; p(d) = 0.15; p(e) = 0.15 Kodierbaum Wahrschein- Zeichen Code lichkeit % 0 30% 30% A B % % % 0 10% 15% 15% C D E

35 Huffman-Code: Optimalität Die Zeichen mit großen Häufigkeiten sind näher an der Wurzel des Baumes und haben somit eine kürzere Codewortlänge; deshalb ist es ein guter Code. Es ist sogar der bestmögliche Code! Begründung: Die Länge einer kodierten Zeichenfolge ist gleich der gewichteten äußeren Pfadlänge des Huffman-Baumes. Die gewichtete äußere Pfadlänge eines Baumes ist gleich der über alle äußeren Knoten gebildeten Summe der Produkte des Gewichts (zugehöriger Häufigkeits-zähler) mit der Entfernung von der Wurzel. Dies ist offensichtlich eine Möglichkeit, die Länge der kodierten Zeichenfolge zu berechnen; sie ist äquivalent zu der über alle Buchstaben gebildeten Summe der Produkte der Häufigkeit des Auftretens eines Buchstaben mit der Anzahl der Bits bei jedem Auftreten. Kein Baum mit den gleichen Häufigkeiten bei den äußeren Knoten hat eine kleinere gewichtete äußere Pfadlänge als der Huffman-Baum. 2-35

36 Beweisidee Mit Hilfe des gleichen Prozesses kann ein beliebiger anderer Binärbaum konstruiert werden, doch ohne bei jedem Schritt unbedingt die zwei Knoten mit dem kleinsten Gewicht auszuwählen. Mittels Induktion lässt sich beweisen, dass keine Strategie zu einem besseren Ergebnis führen kann als die, bei der jeweils zuerst die beiden kleinsten Gewichte ausgewählt werden. 2-36

37 Dekodieren von Huffman-Codes (1) Nahe liegend ist eine Dekodierung unter Verwendung des Tries (eines speziellen Binärbaumes): 1. Lies den Eingabestrom sequenziell und traversiere den Trie, bis ein Blattknoten erreicht ist. 2. Gib bei Erreichen des Blattknotens das erkannte Zeichen aus. Beobachtung Die Eingabe-Bitrate ist konstant, aber die Ausgabe-Zeichenrate ist variabel. 2-37

38 Decodieren von Huffman-Codes (2) Als Alternative bietet sich die Verwendung einer Dekodiertabelle an. Erzeugung der Tabelle: Hat das längste Codewort L Bits, so hat die Tabelle 2 L Einträge. Sei c i das Codewort für Zeichen s i. c i habe l i Bits. Wir erzeugen 2 L-li Einträge in der Tabelle, bei denen jeweils die ersten l i Bits = c i sind und die verbleibenden L-l i Bits alle möglichen Kombinationen annehmen. An all diesen Adressen wird s i als erkanntes Zeichen eingetragen, zugleich wird l i als Codewortlänge vermerkt. 2-38

39 Decodieren von Huffman-Codes (3) Einsatz der Tabelle zur Dekodierung: 1. Lies L Bits aus dem Eingabestrom in einen Puffer. 2. Benutze den Puffer als Adresse in der Tabelle und gib das erkannte Zeichen s i aus. 3. Entferne die ersten l i Bits aus dem Puffer und ziehe weitere l i Bits aus dem Eingabestrom nach. 4.Weiter mit Schritt 2. Beobachtung Das Tabellenverfahren ist schnell. Die Ausgabe-Zeichenrate ist konstant, aber die Eingabe-Bitrate ist variabel. 2-39

40 Huffman-Code: Kommentare Ein sehr guter Code für viele praktische Zwecke. Allerdings nur geeignet, wenn die Häufigkeiten der Zeichen a priori bekannt und immer gleich (oder ähnlich) sind. Variante: Ermittle die Häufigkeiten für jeden gegebenen Text neu und speichere/übertrage den Code mit den Daten. Ein (durchaus berechenbarer) Verlust entsteht dadurch, dass jedes Zeichen mit einer ganzen Zahl von Bits kodiert werden muss und somit die Codelänge den Häufigkeiten nicht ganz (theoretisch optimal) angepasst werden kann. Verbesserung: arithmetische Kodierung (auf die wir hier nicht näher eingehen). 2-40

41 2.2 Fehlererkennende Codes Definition Fehler : Die empfangene Information entspricht nicht der gesendeten. Ein fehlererkennender Code ermöglicht dem Empfänger einer Nachricht festzustellen, dass es einen Über-tragungsfehler gegeben hat. Ein fehlererkorrigierender Code ermöglicht dem Empfänger einer Nachricht festzustellen, wo in der Nachricht es einen Übertragungsfehler gegeben hat; der Empfänger kann den Fehler ohne erneute Über-tragung reparieren. Fehlererkennung und Fehlerkorrektur erfordern Redundanz. Wieviel Redundanz man braucht und wie man die redundanten Bits am besten generiert, ist Gegenstand der Codierungstheorie. Man vermutet schon: Fehlerkorrektur benötigt mehr Redundanz als Fehlererkennung. 2-41

42 Fehlererkennung (1) Beispiel für Fehlererkennung: das Paritätsbit. Zu vier Datenbits wird ein Paritätsbit hinzu gefügt.. Bei gerader Parität ist die Gesamtzahl der 1-Bits gerade, bei ungerader Parität ungerade Beispiel: Gerade Parität 2-42

43 Fehlererkennung (2) Der Sender berechnet das Paritätsbit und fügt es an die Nachricht an. Der Empfänger berechnet das Paritätsbit neu und vergleicht es mit dem übertragenen Paritätsbit. Bei Abweichung erkennt er einen Fehler. Beispiel E Übertragung der Zahl 7: Kanal: FEHLER! Empfang: Test bei Empfänger: #1 gerade E=0 FEHLER-ERKENNUNG Es muß einen Fehler geben! E = Parity-Bit oder Prüfbit! Frage: Welche Arten von Übertragungsfehlern kann man mit einem Paritätsbit erkennen? Wie mächtig ist der Code? 2-43

44 Fehlererkennung: Code-Beispiel Wir betrachten einen Code, der oft in der Telekommunikation zur Übertragung von BCD- Zahlen (binary coded decimals) verwendet wird: den 2-aus-5-Code (auch Code genannt). 2 aus 5 nur zwei Einsen in 5 Bits Die Fehlererkennung erfolgt durch Geradzahligkeitsprüfung. 2-44

45 2.3 Fehlerkorrigierende Codes Eine automatische Korrektur ist nur möglich, wenn man genau weiß, wo der Fehler liegt. Das erfordert mehr Redundanz, also mehr Bits pro Zeichen als die reine Fehlererkennung. Ein fehlerkorrigierender Code ist stets auch ein fehlererkennender Code. 2-45

46 Prinzip eines fehlerkorrigierenden Codes 1. Pos: a + c a + b a - c + a - b - 2a 2a OK 2. Pos: a Korrektur: a,..., a+b, a-b FEHLER! 2-46

47 Hamming-Abstand (1) Hamming-Abstand d Der Hamming-Abstand d zwischen zwei Codewörtern c 1, c 2 ist die Anzahl der Bitpositionen, in denen sich die beiden Codewörter unterscheiden. Beispiel d( , ) = 3 (Anzahl der Bits von c 1 XOR c 2 ) Hamming-Abstand D eines vollständigen Codes C: D ( C) : = min{ d( c, c ), c, c C c c } ,

48 Hamming-Abstand (2) Satz Die Fähigkeit eines Codes, Fehler zu erkennen und Fehler zu beheben, hängt von seinem Hamming-Abstand ab (hier ohne Beweis). Erkenne e-bit Fehler: Ein Abstand von e + 1 wird benötigt. Behebe e-bit Fehler: Ein Abstand von 2e + 1 wird benötigt. 2-48

49 Wieviel Redundanz braucht man? Das Codewort bestehe aus m Zeichen-Bits. Frage: Wieviele Prüfbits werden benötigt, um jeden 1-Bit-Fehler beheben zu können? n = m + r, m Datenbits, r Redundanzbits Es gibt 2 m legale Zeichencodes. Pro Codewort muss es n illegale Codewörter im Abstand von einem Bit geben. 2 n ist die Gesamtzahl der darstellbaren Codewörter. (n+1)2m 2n = 2m+r (n+1) 2r (m + r + 1) 2r Dies ergibt die untere Grenze für r Beispiel: m = 7 (8 + r) 2 r => r

50 Code-Beispiele Fehlererkennender Code: Code mit einem einzigen Paritätsbit (gerade oder ungerade) => Hamming-Abstand = 2 => Erkennung eines 1-Bit-Fehlers ist möglich (oder Erkennung aller Fehler mit einer unge-raden Anzahl Bits) Fehlerbehebender Code: Ein Code bestehe aus vier Codewörtern: , , , => Hamming-Abstand = 5 => Korrektur von 2-Bit-Fehlern ist möglich. Beispiel: => bit-Fehler nächstes Codewort 2-50

51 Hamming-Code (1) Der Hamming-Code ersetzt jedes Datenwort von 4 Bits durch ein Codewort mit 7 Bits. Für ein gegebenes Datenwort m 1 m 2 m 3 m 4 bilden wir das Codewort c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7. Die ersten vier Bits c 1 c 2 c 3 c 4 sind dieselben wie im Datenwort. Die weiteren Bits werden wie Paritätsbits berechnet: c 5 = Parität von c 1 c 2 c 3 (c 1 c 2 c 3 ) c 6 = Parität von c 1 c 3 c 4 (c 1 c 3 c 4 ) c 7 = Parität von c 2 c 3 c 4 (c 2 c 3 c 4 ). 2-51

52 Hamming-Code (2) Insgesamt gibt es 16 Codewörter:

53 Hamming-Code (3) Decodierung Ist das empfangene Wort ein gültiges Codewort, wird es akzeptiert. Ist es ungültig, so wird es zum nächsten Nachbarn hin korrigiert. Alle 1-Bit-Fehler können eindeutig korrigiert werden. Beispiel wird zu korrigiert (Abstand 1). 2-53

54 Hamming-Code (4) Veranschaulichung: Codewort: Fülle die Bit-Positionen c 5, c 6, c 7 so aus, dass jeder Kreis eine gerade Anzahl Einsen hat. Das Codewort für m 1 m 2 m 3 m 4 = wird dann : c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 =

55 Nachteil von fehlerkorrigierenden Codes Großer Overhead (viel Redundanz), der auch im Falle einer fehlerfreien Speicherung/Übertragung anfällt. 2-55