Bildungsstandards für den Mathematikunterricht. Didaktik der Zahlbereiche 1. Beschlüsse der Kultusministerkonferenz 2003/04

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1 Didaktik der Zahlbereiche 1 Bildungsstandards für den Mathematikunterricht Dr. Christian Groß Lehrstuhl Didaktik der Mathematik Universität Augsburg Beschlüsse der Kultusministerkonferenz 2003/04 Wintersemester 2006/07 Was misst PISA? Mathematische Grundbildung Wesentliche Aspekte sind die Idee der mathematischen Grundbildung ( Literacy ) die Betrachtung mathematischer Kompetenzen auf der Grundlage eines Stufenmodells ist die Fähigkeit einer Person, die Rolle zu erkennen und zu verstehen, die Mathematik in der Welt spielt, fundierte mathematische Urteile abzugeben und sich auf eine Weise mit der Mathematik zu befassen, die den Anforderungen des gegenwärtigen und künftigen Lebens dieser Person als konstruktivem, engagiertem und reflektierendem Bürger entspricht. Internationales Rahmenkonzept PISA 2000

2 Kompetenzen sind (nach Weinert, 2001) die bei Individuen verfügbaren oder durch sie erlernbaren kognitiven Fähigkeiten und Fertigkeiten, um bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten, um die Problemlösungen in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvoll nutzen zu können. Weinert, F.E. (2001). Vergleichende Leistungsmessung in Schulen eine umstrittene Selbstverständlichkeit. In F. E. Weinert (Hrsg.), Leistungsmessungen in Schulen (S ). Weinheim: Beltz. Kompetenzstufenmodell (vgl. Klieme, Neubrand & Lüdtke, 2001) Stufe I Rechnen auf Grundschulniveau Stufe II Elementare Modellierungen Stufe III Modellieren und begriffliches Verknüpfen Stufe IV Umfangreiche Modellierungen auf der Basis anspruchsvoller Begriffe Stufe V Komplexe Modellierung und innermathematisches Argumentieren Kompetenzstufe 1: Rechnen auf Grundschulniveau Rechteck Ein Rechteck ist 4 cm lang und 3 cm breit. Wie groß ist sein Flächeninhalt? 12 cm 2 12 cm 7 cm 14 cm 7 cm 2 Kompetenzstufe 2: Elementare Modellierungen Glasfabrik Eine Glasfabrik stellt am Tag 8000 Flaschen her. Erfahrungsgemäß sind etwa 160 Flaschen fehlerhaft. Wie viel Prozent sind das? 0,02 % 1,28 % 5 % 0,5 % 2%

3 Kompetenzstufe 3: Modellieren und begriffliches Verknüpfen Kompetenzstufe 4: Umfangreiche Modellierungen auf der Basis anspruchsvoller Begriffe Glasfabrik Eine Glasfabrik stellt Flaschen her. 2% der Flaschen sind fehlerhaft, dies sind 160 Flaschen. Wie viele Flaschen wurden insgesamt hergestellt? 320 Flaschen 3200 Flaschen Flaschen 800 Flaschen 8000 Flaschen Lösungen über Zwischenergebnisse hinweg aufbauen; unter vielfältigen Lösungswegen einen eigenen finden. Miete In einer Großstadt kostete 1985 eine 70m 2 -Wohnung 1000 DM Miete pro Monat. Seit 1985 stieg der Mietpreis alle 5 Jahre um 20%. Welche Monatsmiete musste dann 1995 für diese Wohnung gezahlt werden? Schreibe auf, wie du rechnest. Kompetenzstufe 5: Komplexe Modellierung und innermathematisches Argumentieren Begriffliche Modellierungsleistungen umfassen Begründungen und Beweise sowie das Reflektieren über den Modellierungsprozess. Wie kannst du einen Geldbetrag von genau 31 Pfennigen hinlegen, wenn du nur 10 Pfennig-, 5 Pfennig- und 2 Pfennig-Münzen zur Verfügung hast? Gib alle Möglichkeiten an!

4 Prozentuale Verteilung auf die Kompetenzstufen bei PISA (alle Schultypen BRD; vgl. Klieme et al., 2001) Risikogruppe Deutschland ~ 25 % Hauptschule > 50 % I II III Finnland ca. 4 % Deutschland 1,3 % Bayern 2,6 % Brandenburg 0,4 % IV 10 Unter I 5 V 0 Eine Konsequenz aus PISA Was sind Bildungsstandards?... sind die von der Kultusministerkonferenz ( ) beschlossenen Bildungsstandards für die Grundschule am Ende von Klasse 4, den Hauptschulabschluss nach Klasse 9 und den mittleren Bildungsabschluss nach Klasse 10 Bildungsstandards formulieren Anforderungen an das Lehren und Lernen in der Schule, benennen Ziele der pädagogischen Arbeit in Form von erwünschten Lernergebnissen, konkretisieren so den Bildungsauftrag der Schule. in Deutsch, in Mathematik, den Fremdsprachen und den Naturwissenschaften.

5 Inhaltsverzeichnis Bildungsstandards im Fach Mathematik 1 Der Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung 2 Allgemeine Kompetenzen im Fach Mathematik 3 Standards für inhaltsbezogene Kompetenzen im Fach Mathematik 3.1 Mathematische Leitideen 3.2 Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen geordnet nach Leitideen 4 Aufgabenbeispiele Der Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung Mathematikunterricht trägt zur Bildung der Schülerinnen und Schüler durch folgende Grunderfahrungen bei: technische, natürliche, soziale und kulturelle Erscheinungen und Vorgänge mit Hilfe der Mathematik wahrnehmen, verstehen und unter Nutzung mathematischer Gesichtspunkte beurteilen Mathematik mit ihrer Sprache, ihren Symbolen, Bildern und Formeln in der Bedeutung für die Beschreibung und Bearbeitung von Aufgaben und Problemen inner- und außerhalb der Mathematik kennen und begreifen in der Bearbeitung von Fragen und Problemen mit mathematischen Mitteln allgemeine Problemlösefähigkeit erwerben. Allgemeine mathematische Kompetenzen Allgemeine Kompetenzen im Fach Mathematik

6 Allgemeine Kompetenzen im Fach Mathematik Allgemeine Kompetenzen im Fach Mathematik Beispiel: Sachaufgaben (Gerlach, 1911) Beispiel: Aufgaben mit mehreren Lösungen (Grundschule) (Reusser & Stebler, 1997; Pehkonen, Hartmann & Reiss, 2002) Karin wohnt 3 km von der Schule entfernt, Lisa wohnt 5 km von der Schule entfernt. Wie weit wohnt Karin von Lisa entfernt? Die beste 100m-Zeit von Hans beträgt 13 sec. Wie lange braucht er für 1000m?

7 Mathematische Leitideen Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen Sekundarstufe ( Klasse 9 / 10 ) Zahl Messen Raum und Form Funktionaler Zusammenhang Daten und Zufall Grundschule ( Klasse 4 ) Zahlen und Operationen Raum und Form Muster und Strukturen Größen Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit (L 1) Leitidee Zahl Die Schülerinnen und Schüler... nutzen sinntragende Vorstellungen von rationalen Zahlen, insbesondere von natürlichen, ganzen und gebrochenen Zahlen entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit, stellen Zahlen der Situation angemessen dar, unter anderem in Zehnerpotenzschreibweise, rechnen mit natürlichen, gebrochenen und negativen Zahlen, die im täglichen Leben vorkommen, auch im Kopf, [begründen die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen an Beispielen,] nutzen Rechengesetze, auch zum vorteilhaften Rechnen, Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen nutzen Überschlagsrechnungen [und andere Verfahren], runden Zahlen dem Sachverhalt entsprechend sinnvoll, verwenden Prozent- und Zinsrechnung sachgerecht, erläutern an Beispielen den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehrungen und nutzen diese Zusammenhänge, wählen und beschreiben [und bewerten] Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen, prüfen und interpretieren Ergebnisse in Sachsituationen [unter Einbeziehung einer kritischen Einschätzung des gewählten Modells und seiner Bearbeitung]. (L 2) Leitidee Messen Die Schülerinnen und Schüler nutzen das Grundprinzip des Messens, insbesondere bei der Längen-, Flächen- und Volumenmessung, auch in Naturwissenschaften und in anderen Bereichen, wählen Einheiten von Größen situationsgerecht aus (insbesondere für Zeit, Masse, Geld, Länge, Fläche, Volumen und Winkel) und wandeln sie ggf. um, schätzen Größen mit Hilfe von Vorstellungen über alltagsbezogene [geeignete] Repräsentanten,

8 Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen ermitteln Flächeninhalt und Umfang von Rechteck, Dreieck und Kreis sowie daraus zusammengesetzten Figuren, ermitteln Volumen und Oberflächeninhalt von Prisma, Pyramide und Zylinder [Kegel und Kugel] sowie daraus zusammengesetzten Körpern, [berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen, auch unter Nutzung von trigonometrischen Beziehungen und Ähnlichkeitsbeziehungen,] nehmen in ihrer Umwelt gezielt Messungen vor oder entnehmen Maßangaben aus Quellenmaterial, führen damit Berechnungen durch und bewerten die Ergebnisse sowie den gewählten Weg in Bezug auf die Sachsituation. (L 3) Leitidee Raum und Form Die Schülerinnen und Schüler erkennen und beschreiben geometrische Objekte und Beziehungen [Strukturen] in der Umwelt, operieren gedanklich mit Strecken, Flächen und Körpern, stellen geometrische Figuren und elementare geometrische Abbildungen im ebenen kartesischen Koordinatensystem dar, fertigen Netze, Schrägbilder und Modelle von ausgewählten Körpern an und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen, [analysieren und] klassifizieren Winkel, Dreiecke, Vierecke und Körper [geometrische Objekte der Ebene und des Raumes], Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen erkennen und erzeugen Symmetrien, [beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (wie Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit, Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen,] wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen und Berechnungen [und Beweisen] an, insbesondere den Satz des Pythagoras [und des Satz des Thales], zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel, wie Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamische Geometrie-Software. [untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von Konstruktionsaufgaben und formulieren diesbezüglich Aussagen,] [setzen geeignete Hilfsmittel beim explorativen Arbeiten und Problemlösen ein.]

9 Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen (L 4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang (Hauptschule) Die Schülerinnen und Schüler beschreiben und interpretieren funktionale Zusammenhänge und ihre Darstellungen in Alltagssituationen, verwenden für funktionale Zusammenhänge unterschiedliche Darstellungsformen, unterscheiden proportionale und antiproportionale Zuordnungen in Sachzusammenhängen und stellen damit Berechnungen an, nutzen die Prozentrechnung bei Wachstumsprozessen (beispielsweise bei der Zinsrechnung), auch unter Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms, nutzen Maßstäbe beim Lesen und Anfertigen von Zeichnungen situationsgerecht, lösen einfache lineare Gleichungen, vergleichen ihr Vorgehen beim Lösen einfacher linearer Gleichungen mit anderen Lösungsverfahren (wie inhaltlichem Lösen oder systematischem Probieren). (L 4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang (Mittlerer Schul-Abschluss) Die Schülerinnen und Schüler nutzen Funktionen als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge, erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge und stellen diese in sprachlicher, tabellarischer oder graphischer Form sowie gegebenenfalls als Term dar, analysieren, interpretieren und vergleichen unterschiedliche Darstellungen funktionaler Zusammenhänge (wie lineare, proportionale und antiproportionale), lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen, proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen, interpretieren lineare Gleichungssysteme graphisch, lösen Gleichungen, und lineare Gleichungssysteme kalkülmäßig bzw. algorithmisch, auch unter Einsatz geeigneter Software, und vergleichen ggf. die Effektivität ihres Vorgehens mit anderen Lösungsverfahren (wie mit inhaltlichem Lösen oder Lösen durch systematisches Probieren), Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von linearen und quadratischen Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen und formulieren diesbezüglich Aussagen, bestimmen kennzeichnende Merkmale von Funktionen und stellen Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph her, wenden insbesondere lineare und quadratische Funktionen sowie Exponentialfunktionen bei der Beschreibung und Bearbeitung von Problemen an, verwenden die Sinusfunktion zur Beschreibung von periodischen Vorgängen, beschreiben Veränderungen von Größen mittels Funktionen, auch unter Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms, geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können. (L 5) Leitidee Daten und Zufall Die Schülerinnen und Schüler werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus, [planen statistische Erhebungen,] sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel wie Software, berechnen und interpretieren Häufigkeiten und Mittelwerte [interpretieren Daten unter Verwendung von Kenngrößen], beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen, interpretieren Wahrscheinlichkeitsaussagen aus dem Alltag [reflektieren und bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren], bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten.

10 Klassifikation von Beispielen und Aufgaben Anforderungsbereiche für Aufgaben Beispiele und Aufgaben können damit also nach folgenden Gesichtspunkten unterschieden werden: Nach ihrem Inhalt: Leitidee Nach ihrer Anforderung: Kompetenz Entsprechend den Kompetenzstufen bei PISA können diese Anforderungen außerdem unterschiedlich hoch sein, d. h. verschiedenen Anforderungsbereichen angehören. Anforderungsbereich I: Reproduzieren Dieser Anforderungsbereich umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang. Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellen Dieser Anforderungsbereich umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebieten erworben wurden. Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und Reflektieren Dieser Anforderungsbereich umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u. a. mit dem Ziel, zu eigenen Problemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu gelangen. Anforderungsbereiche für Aufgaben (K1) Anforderungsbereiche für Aufgaben (K2)

11 Anforderungsbereiche für Aufgaben (K3) Anforderungsbereiche für Aufgaben (K4) Anforderungsbereiche für Aufgaben (K5) Anforderungsbereiche für Aufgaben (K6)

12 Aufgabenbeispiele für die Hauptschule Aufgabenbeispiel Terrassenplatten Soviel zur Theorie damit nun zur Praxis! Aufgabenbeispiel Terrassenplatten Beschreibung Aufgabenbeispiel Terrassenplatten Lösungsskizze

13 Aufgabenbeispiel Riesenfass Aufgabenbeispiel Riesenfass Beschreibung Aufgabenbeispiel Riesenfass Lösungsskizze Aufgabenbeispiel Räumungsverkauf

14 Aufgabenbeispiel Räumungsverkauf Beschreibung Aufgabenbeispiel Räumungsverkauf Lösungsskizze Aufgabenbeispiel Body Mass Index Aufgabenbeispiel Body Mass Index Beschreibung

15 Aufgabenbeispiel Body Mass Index Lösungsskizze Aufgabenbeispiel Würfel Aufgabenbeispiel Würfel Beschreibung Aufgabenbeispiel Würfel Lösungsskizze

16 Aufgabenbeispiel Statistische Erhebung Aufgabenbeispiel Statistische Erhebung Aufgabenbeispiel Statistische Erhebung Aufgabenbeispiel Handytarif

17 Aufgabenbeispiel Handytarif Beschreibung Aufgabenbeispiel Handytarif Lösungsskizze Aufgabenbeispiel Fähre Aufgabenbeispiel Fähre Beschreibung

18 Aufgabenbeispiel Fähre Lösungsskizze Aufgabenbeispiel Geldanlage Aufgabenbeispiel Geldanlage Beschreibung Aufgabenbeispiel Geldanlage Lösungsskizze

19 Aufgabenbeispiel Ebene Figuren Was ist neu an Bildungsstandards? Systematische Erhebung von Lernergebnissen als Basis für Qualitätsentwicklung: output-orientierte Steuerung Klare, schulform-übergreifend verbindliche Mindestanforderungen Fokussierung auf zentrale, langfristig aufgebaute Kompetenzen. Kompetenzmodell statt Lernzielkatalog Zunehmender Freiraum für Lernplanung in der Schule