Einführung in Mathematica
|
|
- Achim Bretz
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Einführung in Mathematica Carsten Rezny Institut für Angewandte Mathematik, Universität Bonn Eine andere Möglichkeit, eine Funktion in zwei Variablen darzustellen, ist DensityPlot: In[]:= ManipulateADensityPlotASinAx + y E, 8x, - a, a<, 8y, - a, a<e, 88a, <,., <E a.. Out[]= Eine andere Möglichkeit, eine Funktion in zwei Variablen darzustellen, ist ContourPlot:
2 In[]:= ContourPlotASinAx + y E, 8x, -, <, 8y, -, <E Out[]= Auch hier gibt es zahlreiche Optionen, um die Details der Ausgabe zu beeinflussen. In[]:= ContourPlotASinAx - y E, 8x, -, <, 8y, -, <, Contours E Out[]=
3 In[]:= ContourPlotASinAx - y E, 8x, -, <, 8y, -, <, Contours, ColorFunction "StarryNightColors"E Out[]= Es gibt zahlreiche Farbschemata: In[]:= Out[]= ColorData@"Gradients"D 8AlpineColors, Aquamarine, ArmyColors, AtlanticColors, AuroraColors, AvocadoColors, BeachColors, BlueGreenYellow, BrassTones, BrightBands, BrownCyanTones, CandyColors, CherryTones, CMYKColors, CoffeeTones, DarkBands, DarkRainbow, DarkTerrain, DeepSeaColors, FallColors, FruitPunchColors, FuchsiaTones, GrayTones, GrayYellowTones, GreenBrownTerrain, GreenPinkTones, IslandColors, LakeColors, LightTemperatureMap, LightTerrain, MintColors, NeonColors, Pastel, PearlColors, PigeonTones, PlumColors, Rainbow, RedBlueTones, RedGreenSplit, RoseColors, RustTones, SandyTerrain, SiennaTones, SolarColors, SouthwestColors, StarryNightColors, SunsetColors, TemperatureMap, ThermometerColors, ValentineTones, WatermelonColors< Ähnlich wie ContourPlot zeigt auch DensityPlot den Graphen der Funktion in der Draufsicht, verwendet aber statt Höhenlinien einen kontinuierlichen Farbverlauf.
4 In[6]:= DensityPlotASinAx - y E, 8x, -, <, 8y, -, <, ColorFunction "LightTerrain"E Out[6]= Die Auflösung eines Plots wird durch die Optionen PlotPoints und MaxRecursion bestimmt. Zunächst bestimmt Plot die Funktionswerte an PlotPoints Stellen im darzustellenden Bereich. Wenn der Graph zwischen diesen Punkten noch zu eckig ist, werden bis zu MaxRecursion Zwischenwerte bestimmt. Sin@xD In[7]:= PlotB x, 8x, -, <, PlotPoints, MaxRecursion F.8.6. Out[7]=. - - Anschaulich wird das Verhalten mit Manipulate:
5 In[8]:= ManipulateBPlotB x, 8x, -, <, PlotPoints pp, MaxRecursion mrf, 8pp,,, <, 8mr,,, <F pp mr Out[8]= Zurück zur Option PlotRange: In[9]:= PlotB, 8x, -, <F x Out[9]=
6 6 In[]:= PlotB, 8x, -, <, PlotRange AllF x Out[]= - - Wenn ein Plot beliebig große (oder kleine) Werte enthalten kann, bestimmt die Auflösung, wie weit All geht. In[]:= PlotB, 8x, -, <, PlotRange All, PlotPoints F x Out[]= Die Funktion ParametricPlot zeichnet parametrisierte Kurven. Z.B. Kreise
7 In[]:= 8t,, Π<D.. Out[]= Ellipsen In[]:= 8t,, Π<D.6.. Out[]= Spiralen. 7
8 8 In[]:= ParametricPlotA9t t Log@tD Cos@tD=, 8t,, 8 Π<E Out[]= oder Lissajous-Figuren In[]:= ParametricPlot@8Sin@ td, Sin@ td<, 8t,, Π<D.. Out[]=
9 In[6]:= 9 Manipulate@ParametricPlot@8Sin@ t + ud, Sin@ td<, 8t,, Π<D, 8u,, Π<D u.. Out[6]= Zufallszahlen und Statistik Pseudozufallszahlen können einzeln oder als Liste aus einem frei wählbaren Bereich erzeugt werden. In[7]:= Out[7]= In[8]:= Out[8]= In[9]:= Out[9]= RandomInteger@D RandomInteger@8, 999<D 9 RandomInteger@8, 999<, D 89,,, 6, 66, 9, 77, 976, 97, 76< Für Gleitkommazahlen gibt es RandomReal; RandomComplex für komplexe Zufallszahlen. RandomReal arbeitet per default mit einer Präzision von sechs Stellen, was durch die Option WorkingPrecision beeinflusst werden kann. In[]:= Out[]= In[]:= Out[]= In[]:= Out[]= RandomReal@D 8.66 RandomReal@, WorkingPrecision D RandomComplex@ + ä, WorkingPrecision D ä Der Zufallszahlengenerator berechnet eine Sequenz von annähernd gleich verteilten Zahlen, die durch ihren Startwert eindeutig bestimmt ist (daher Pseudo-Zufallszahlen). Der Startwert wird beim Start von Mathematica aus einer möglichst zufälligen Quelle gesetzt (/dev/random, Systemuhr). Zum Testen einer Rechnung ist es oft nützlich, reproduzierbare Zufallszahlen zu erhalten. Dafür kann man den Startwert manuell setzen:
10 Der Zufallszahlengenerator berechnet eine Sequenz von annähernd gleich verteilten Zahlen, die durch ihren Startwert eindeutig bestimmt ist (daher Pseudo-Zufallszahlen). Der Startwert wird beim Start von Mathematica aus einer möglichst zufälligen Quelle gesetzt (/dev/random, Systemuhr). Zum Testen einer Rechnung ist es oft nützlich, reproduzierbare Zufallszahlen zu erhalten. Dafür kann man den Startwert manuell setzen: In[]:= Out[]= In[]:= Out[]= In[]:= Out[]= Die Funktion BlockRandom lokalisiert den Zufallszahlengenerator, so dass die Verwendung von Random-Funktionen innerhalb von BlockRandom sich nicht auf später generierte Zufallszahlen auswirkt. In[6]:= Out[6]= 8.9,.9,.769< Einige Statistikfunktionen: In[7]:= Out[8]= In[9]:= Out[9]= list = RandomReal@, D; Mean@listD. StandardDeviation@listD.99 Anstelle von gleichverteilten Zufallszahlen kann man auch andere Verteilungen verwenden. In[]:= Out[]= RandomInteger@BinomialDistribution@,.7D, D 87, 68, 69, 7, 7, 6, 6, 68, 7, 6, 68, 7, 69, 7, 7, 6, 69, 68, 68, 7, 7, 7, 69, 7, 7, 69, 67, 7, 6, 68< Werte zählen: In[]:= Out[]= In[]:= In[]:= % Tally 887, <, 868, 6<, 869, <, 87, <, 86, <, 86, <, 87, <, 86, <, 87, <, 867, <, 86, << list = RandomInteger@BinomialDistribution@,.D, D; ListPlot@Tally@listD, Filling AxisD 8 6 Out[]=
11 Oder einfacher: In[]:= 8 6 Out[]= Es gibt eine größere Auswahl PoissonDistribution,... an Wahrscheinlichkeitsverteilungen: NormalDistribution, CauchyDistribution, Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (probability density function, PDF) einer Verteilung kann man auch direkt plotten: In[]:= DiscretePlot@PDF@PoissonDistribution@D, xd, 8x,, <D..8.6 Out[]=.. Ein Beispiel für eine einfache Irrfahrt (Random Walk): In[6]:= In[7]:= data = Module@8t = <, Table@t += RandomReal@8-, <D, 8<DD; ListPlot@dataD Out[7]= - -
12 Lösen von Gleichungen Viele Gleichungen kann man mit Solve lösen. In[8]:= Out[8]= In[9]:= Out[9]= eqn = x - x + x x - x + x sol = Solve@eqn, xd ::x :x >, :x >, :x Das Resultat ist eine geschachtelte Liste von Ersetzungsregeln. Dazu ein kurzer >, >> Exkurs: Ersetzungsregeln Ein Ausdruck der Form x y ist eine Ersetzungsregel. Im Unterschied zur Zuweisung wird eine Ersetzungsregel nur auf Anforderung angewandt, nie automatisch. Die Anwendung einer Ersetzungsregel geschieht mit dem Operator /. (ReplaceAll). In[]:= Out[]= x + x -. x y - + y + y Der Pfeil-Operator kam schon bei Funktionsoptionen vor, die tatsächlich auch Ersetzungsregeln sind. Ersetzungsregeln können auch Muster verwenden: In[]:= Out[]= f@x ^ D + f@yd - fahu + L E. fax_ E g@xd f@yd - g@ + ud + g@xd Analog zu verzögerten Zuweisungen (:=) gibt es auch bei Ersetzungsregeln eine Variante mit verzögerter Auswertung der rechten Seite (:>). In[]:= Out[]= In[]:= Out[]= a = ; rule = x a + x rule = x a + x a+ Ersetzungen werden nicht rekursiv durchgeführt. Wird./ mit einer Liste von Ersetzungsregeln verwendet, werden die Regeln der Reihe nach probiert, bis eine passt. In[]:= Out[]= x. 8x ->, x ->, x -> 7< Eine geschachtelte Liste von Regeln erzeugt eine Liste von Resultaten: In[]:= Out[]= x. 88x -> <, 8x -> <, 8x -> 7<< 8,, 7< Exkurs Ende Deshalb ist auch das Resultat von Solve eine Liste von Listen. Wendet man es auf die gelöste Gleichung an, erhält man
13 In[6]:= Out[6]= eqn. sol : ,, , Out[7]= + In[7]:= > 6 Simplify@%D 8True, True, True, True< Für Gleichungen fünften und höheren Grades können die Lösungen im Allgemeinen nicht in geschlossener Form notiert werden. In[8]:= Out[8]= SolveAx + x -, xe 99x RootA- + ð + ð &, E=, 9x RootA- + ð + ð &, E=, 9x RootA- + ð + ð &, E=, 9x RootA- + ð + ð &, E=, 9x RootA- + ð + ð &, E== Dennoch sind diese Lösungen exakte Zahlen, die Mathematica durch sogenannte Root-Objekte darstellt. Mit Root-Objekten kann man wie mit anderen Zahlen weiterrechnen. In[9]:= Out[9]= In[]:= Out[]= x + x -. x RootA- + ð + ð &, E - + RootA- + ð + ð &, E + RootA- + ð + ð &, E Simplify@%D Wenn eine numerische Lösung gesucht ist, kann auch das deutlich schnellere NSolve verwendet werden: In[]:= Out[]= In[]:= NSolveAx + x -, xe 88x ä<, 8x ä<, 8x ä<, 8x ä<, 8x.67<< Clear@a, b, cd Generische und nicht-generische Lösungen Für parametrisierte Gleichungen wie In[]:= eqn = a x + b x + c ; liefert Solve nur generische Lösungen, also solche, die sich explizit auf die gesuchte Variable beziehen. Dabei macht Solve implizit Annahmen über die Parameter. In[]:= Out[]= Solve@eqn, xd ::x -b - b - a c a >, :x -b + b - a c a >> In diesem Fall liefert Reduce eine allgemeinere Lösung, die auch die vorhandenen Parameter berücksichtigt:
14 In[]:= xd -b - Out[]= b - a c a ¹ && x a ÈÈ x -b + b - a c a ÈÈ Hc && b && a L c a && b ¹ && x b ÈÈ Reduce liefert auch Lösungsbedingungen für Ungleichungen. In[6]:= ReduceAx - x + >, xe Out[6]= J - N < x < ÈÈ x > J + N Im Unterschied zu Solve gibt Reduce keine Ersetzungsregeln zurück, sondern logische Ausdrücke von (Un-)Gleichungen. Im Fall von Gleichungen kann man diese mit ToRules wieder in Ersetzungsregeln umwandeln: In[7]:= ToRules@Reduce@eqn, xdd -b - Out[7]= b - a c SequenceB:x a Numerische Lösungen >, :x -b + b - a c a >, :a, x - c b >, 8c, b, a <F Wenn weder Solve noch Reduce eine Lösung finden, kann mit FindRoot numerisch nach Lösungen gesucht werden. In[8]:= Out[8]= In[9]:= eqn = LogAx + E LogA + x E x x Reduce@eqn, xd Reduce::nsmet : This system cannot be solved with the methods available to Reduce. Out[9]= ReduceBLogA + x E x, xf (Solve und Reduce benötigen unter Umständen recht lange.) FindRoot sucht ausgehend vom angegebenen Startwert eine Lösung der Gleichung mit dem Newton-Verfahren. Wie viele Lösungen es gibt, erfährt man so nicht. In[6]:= Out[6]= In[6]:= Out[6]= FindRoot@eqn, 8x, <D 8x.< FindRoot@eqn, 8x, <D 8x.98<
Einführung in Mathematica
Einführung in Mathematica Carsten Rezny Institut für Angewandte Mathematik, Universität Bonn Graphische Darstellung Mathematica verfügt über umfangreiche Möglichkeiten zur graphischen Darstellung. Ein
MehrEinführung in Mathematica
Einführung in Mathematica Carsten Rezny Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Pure Funktionen Das vorige Beispiel verwendet eine neue Schreibweise. Das erste Argument von Map oder Apply ist
MehrSoftwarepraktikum. zu Elemente der Mathematik. Carsten Rezny Institut für angewandte Mathematik Universität Bonn
Softwarepraktikum zu Elemente der Mathematik Carsten Rezny Institut für angewandte Mathematik Universität Bonn 18. 20.05.2016 Listen Liste: Aufzählung von beliebigen Objekten liste={2,1.4,"abc"} Einzelnes
MehrEinführung in Mathematica
Einführung in Mathematica Mathematica (von Wolfram Research Inc.): allgemeines System für numerische, symbolische und grafische Berechnungen, eingesetzt sowohl als - interaktives Berechnungstool als auch
MehrSoftwarepraktikum. zu Elemente der Mathematik. Carsten Rezny Institut für angewandte Mathematik Universität Bonn
Softwarepraktikum zu Elemente der Mathematik Carsten Rezny Institut für angewandte Mathematik Universität Bonn 23. 25.05.2018 Listen Liste: Aufzählung von beliebigen Objekten liste={2,1.4,"abc"} Einzelnes
MehrEinführung Was ist und kann Mathematica?
vl-evaluated.nb Einführung Was ist und kann Mathematica? VL Mathematische Software WS 6/7 Rudolf Schürer Letzte Änderung: 8. Jänner 7 Merkmale Mathematischer Software ø Numerisches Rechnen mit beliebiger
MehrDas hier ist mein file mit den Übungsbeispielen die zu Analysis 3 entstanden sind.
Das hier ist mein file mit den Übungsbeispielen die zu Analysis 3 entstanden sind. MfG Kuntner Nikolaj.5..5..5..5.5..5..5..5 Funktionalwert.5..5..5.5 3 4 5 6 Parameter t,π In[7]:= SetOptions Plot, ImageSize
MehrEinführung in Mathematica (3)
Einführung in Mathematica (3) L. Tiator, Physik auf dem Computer, SS 005 Notebook File: Z:\Mathematica_3.nb 5. Analysis 5.. Ableitungen à 5... Einfache oder mehrfache Ableitungen Eine Funktion y[x] kann
Mehr9.1 Eine Gleichung mit einer Unbekannten exakt lösen x Beispiel 1: Die Gleichung x 2 = 4 lösen. solve( x / (x 2) = 4, x ); 8 3
MAPLE_Mini_09_V1-0.doc 9-1 9 Gleichungen 9.1 Eine Gleichung mit einer Unbekannten exakt lösen x Beispiel 1: Die Gleichung x 2 = 4 lösen. solve( x / (x 2) = 4, x ); 8 3 Beispiel 2: Lösen Sie die Gleichung
Mehr6.1 Einleitung: NIntegrate, NSum. Wir betrachten folgendes Integral
6. Numerisches Rechnen mit Mathematica Eine sehr wichtige Eigenschaft von Berechnungen mit Mathematica ist die Tatsache, dass Mathematica in der Lage ist exakte, symbolische Ergebnisse von Rechnungen zu
MehrHier finden Sie die Vorlesungs-Unterlagen sowie die Übungsbeispiele zum Teil (2): Mathematica
. Einführung in Mathematica Die Vorlesung / Übung Programmieren in der Physik: C++ und Mathematica (PHY.A70 und PHY.A80) gliedert sich inhaltlich in Teile: () Programmieren mit C++ () Programmieren mit
MehrEinführung in Mathematica
Einführung in Mathematica Carsten Rezny Institut für Angewandte Mathematik, Universität Bonn Einstieg Mathematica ist eine mathematische Allzweck-Software, die vor allem für ihre Stärken im Umgang mit
MehrMaterialien zur Einführung in Computeralgebrasysteme I (Mathematica)
Materialien zur Einführung in Computeralgebrasysteme I (Mathematica) Ralf Schaper Wintersemester 008 / 09 à Einleitung Mathematica wird von seinen Autoren und Herstellern bei Wolfram Research Inc. bezeichnet
MehrDifferentialgleichungen
Differentialgleichungen Differentialgleichung von y/x In[53]:= Out[53]= In[54]:= DE = y'@xd == y@xd + x y@xd x y HxL yhxl + x yhxl - x DSolve@DE, y@xd, xd Out[54]= ::yhxl Ø x - 2 c 1 + 2 x 2 >, :yhxl Ø
MehrMaterialien zur Einführung in Computeralgebrasysteme I (Mathematica)
Materialien zur Einführung in Computeralgebrasysteme I (Mathematica) Ralf Schaper Wintersemester 009 / 0 Einleitung Mathematica wird von seinen Autoren und Herstellern bei Wolfram Research Inc. bezeichnet
MehrVektorrechnung. Grundlegende Operationen. VL Mathematische Software WS 2006/07 Rudolf Schürer. Letzte Änderung: 28. Jänner vl06-evaluated.
vl6-evaluated.nb Vektorrechnung VL Mathematische Software WS 26/7 Rudolf Schürer Lette Änderung: 28. Jänner 27 Grundlegende Operationen Vektoren werden in Mathematica durch Listen dargestellt, deren Elemente
MehrMögliche Prüfungsfragen zu VO Mathematische Software
Mögliche Prüfungsfragen zu VO Mathematische Software SS 2009 Der Prüfungsstoff umfasst alles, was in der Vorlesung vorgetragen wurde. Die folgende Liste soll Ihnen bei der Vorbereitung helfen. Bei der
MehrDarstellungsformen von Funktionen
http://www.flickr.com/photos/ishida/1805420435/in/pool-streetlampsoftheworld Darstellungsformen von Funktionen 1 E X f (x) Y Abb. 1: Konzept einer Funktion f (x): Abbildung einer Menge auf die andere Die
MehrComputational Analysis
Computtionl Anlysis Computergestützte Mthemtik m Beispiel Mthemtic Im Rhmen der Vernstltung Anlysis II im Sommersemster 0 Ronny Bergmnn Institut für Mthemtik, Universität zu Lübeck zuletzt geändert 5.Juni
MehrDifferentialgleichungen analysieren
dgl.nb Differentialgleichungen analysieren Analyse mit NDSolve Die folgende Gleichung hat wirklich nur die Lösung y[x]=sin[x], wenn man eine auf ganz R definierte sucht. Das wird deutlich, wenn man die
MehrNumerische Verfahren. Numerische Auswertung symbolischer Ergebnisse. Numerische Auswertung von Ausdrücken. numerik.nb 1. ClearAll "Global "
numerik.nb 1 Numerische Verfahren Numerische Auswertung symbolischer Ergebnisse Numerische Auswertung von Ausdrücken ClearAll "Global " Π N Sin 4 0.707107 Π N Sin, 60 4 0.707106781186547524400844362104849039284835937688474036588340
MehrNumerische Lösung mittels Differentialgleichung (Shooting)
QM_Diff_shooting.nb 1 Numerische ösung mittels Differentialgleichung (Shooting) 2. Projektarbeit zur VO Quantenmechanik SS26 Thomas Gölles, Peter andschützer, Reinhard Fuchs, Fee Rodler Der Potentialtopf
MehrStatistikpraktikum. Carsten Rezny. Sommersemester Institut für angewandte Mathematik Universität Bonn
Statistikpraktikum Carsten Rezny Institut für angewandte Mathematik Universität Bonn Sommersemester 2014 Mehrdimensionale Datensätze: Multivariate Statistik Multivariate Statistik Mehrdimensionale Datensätze:
MehrComputer und Software 1
omputer und oftware 1. Köhler 6. aple Differentialgleichungen Folien: alint Aradi Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen: f t, x t, x 1 t, x 2 t,..., x n t =0 x i t = d i x t dt i
MehrEine Einführung in Wolfram Mathematica
Eine Einführung in Wolfram Mathematica Übersicht Programmübersicht Grundlegende Funktionen Listen,Vektoren und Matrizen Operationen auf Listen Plotten Plotten von Datenpunkten Fitten von Datenpunkten Plotten
Mehr5.3 Auswertung von Ausdrücken
5.3 Auswertung von Ausdrücken Funktionen in Java bekommen Parameter/Argumente als Input, und liefern als Output den Wert eines vorbestimmten Typs. Zum Beispiel könnte man eine Funktion i n t min ( i n
MehrNumerische Mathematik I
Numerische Mathematik I à Claus Schneider Sommersemester numerik_i_inhalt.nb Inhalt. Beispiele. Lineare Gleichungssysteme I à. Problemstellung. Gestaffelte Gleichungssysteme, Dreiecksmatrizen. Gauß-Elimination.
MehrEinführung in Mathematica
Einführung in Mathematica Carsten Rezny Institut für Angewandte Mathematik, Universität Bonn Einstieg Mathematica ist eine mathematische Allzweck-Software, die vor allem für ihre Stärken im Umgang mit
MehrGleichungen in GeoGebra-CAS Quelle: https://wiki.geogebra.org/de/befehle
Gleichungen in GeoGebra-CAS Quelle: https://wiki.geogebra.org/de/befehle Hinweis Mit spitzen Klammern werden die Objekte gekennzeichnet, die du selber ausfüllen sollst. Sie dürfen bei der Übergabe nach
MehrHaftendorn März. 2017,
Kurven sehen und verstehen Haftendorn März. 07, http://www.kurven-sehen-und-verstehen.de Afg9.4 Pedalkurven der Astroide Im Buch kommt die Astroide mehrfach vor. In Abb. 8. Seite 4 sieht man schon eine
MehrÜbungsaufgaben Lösungen
Übungsaufgaben Lösungen Stochastische Matrizen, Markov-Prozesse MV5.1 Eine N N-Matrix P heißt stochastisch, wenn ihre Matrixelemente nicht-negativ sind und alle Zeilensummen 1 ergeben. In Formeln: P ij
MehrEinführung in Mathematica (2)
Einführung in Mathematica (2) Grafik und Manipulate Michael O. Distler, Computer in der Wissenschaft, SS 2012 (Vorlage von L. Tiator) Grafik - Initialisierung SetOptions Plot, ListPlot, ParametricPlot,
Mehr6. Gleichungen und Ungleichungen
6. Gleichungen und Ungleichungen 6.Z Zusammenfassung Eine Gleichung entsteht, wenn zwei Terme unter Verwendung des Gleichheitszeichens " = " gleichgesetzt werden: T 1 = T 2. Eine Gleichung ohne Variablen
MehrRechnernutzung in der Physik Teil 3 Statistische Methoden der Datenanalyse
Rechnernutzung in der Physik Teil 3 Statistische Methoden der Datenanalyse Karlsruher Institut für Technologie Ulrich Husemann Institut für Experimentelle Kernphysik, Karlsruher Institut für Technologie
MehrFunktionale Programmierung
vl05-evaluated.nb 1 Funktionale Programmierung VL Mathematische Software WS 2006/07 Rudolf Schürer Letzte Änderung: 28. Jänner 2007 Von funktionaler Programmierung spricht man dann, wenn Funktionen als
MehrStochastik-Praktikum
Stochastik-Praktikum Zufallszahlen und Monte Carlo Peter Frentrup Humboldt-Universität zu Berlin 17. Oktober 2017 (Humboldt-Universität zu Berlin) Zufallszahlen und Monte Carlo 17. Oktober 2017 1 / 23
Mehr15 Grundlagen der Simulation
15 Grundlagen der Simulation 15.1 Einführung Komplexe Problemstellungen, die einer analytischen Behandlung nur sehr schwer oder gar nicht zugänglich sind Lösung von diskreten (oder analytischen) Optimierungsaufgaben,
MehrLösung zu Serie 2. D-ERDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana Cannas. Mathematik II FS März 2016
Mathematik II FS 6. März 6 Lösung zu Serie Bemerkung: Die Aufgaben der Serie sind der Fokus der Übungsstunden vom./3. März.. a y = x und es wird die ganze Parabel einmal durchlaufen, denn x nimmt alle
MehrKurve der Maria Agnesi
Kurve der Maria Agnesi S.Taborek 28.04.2010 Zur Herleitung der Kurve dient folgende Grafik, in der der Punkt B auch Ursprung des Koordinatensystems ist: 1 von 21 30.04.10 16:05 Der Punkt P wird durch den
MehrLeseprobe. Hans-Jochen Bartsch. Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler. ISBN (Buch):
Leseprobe Hans-Jochen Bartsch Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler ISBN (Buch): 978-3-446-43800-2 ISBN (E-Book): 978-3-446-43735-7 Weitere Informationen oder Bestellungen
MehrSoftwarepraktikum. zu Elemente der Mathematik. Carsten Rezny Institut für angewandte Mathematik Universität Bonn
Softwarepraktikum zu Elemente der Mathematik Carsten Rezny Institut für angewandte Mathematik Universität Bonn 18. 20.05.2016 Anmeldung in Basis: 18. 20.05.2016 Organisatorisches Überblick GeoGebra freie
MehrEinführung in Mathematica (2)
Einführung in Mathematica () L. Tiator, Physik auf dem Computer, SS 5 Notebook File: Z:\Mathematica_.nb Übersicht über die Grafik-Befehle im Mathematica Kernel D Grafik Plot ParametricPlot ContourPlot
MehrOperatoren für das Fach Mathematik
Operatoren für das Fach Mathematik Anforderungsbereich I Angeben, Nennen Sachverhalte, Begriffe, Daten ohne nähere Erläuterungen und Begründungen, ohne Lösungsweg aufzählen Geben Sie die Koordinaten des
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 10
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 2 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt Hausaufgaben Aufgabe. Sei f : R 2 R gegeben durch x 2 y für (x, y)
MehrAnleitung zu GeoGebra 3.0
Anleitung zu GeoGebra 3.0 von Ac I. Algebraische Fähigkeiten: Funktionen und Umkehrrelationen : Verarbeitet werden Funktionen, abschnittsweise def. F., Relationen (nur als Ortslinie, nicht als Term), Funktionenscharen,
MehrMathematik Semester 3 / Arbeitsblatt f (x) = x x 3 4 x. 5 x 3 20 x. x 2 1
9.2 Aufgaben Aufgabe 16.39 aus dem Buch. 1. f (x) = x4 + 1 x 3 + x 4. f (x) = x4 1 2 x 3 8 x 2. f (x) = x3 + 1 x 3 4 x 5. f (x) = x5 + 1 5 x 3 20 x 3. f (x) = 4 x2 x 2 + 1 6. f (x) = x2 2 x 2 7. f (x)
Mehr2 Mathematica_2.nb. Hier ist ein einfacher 2-dim Plot, bei dem alle notwendigen Einstellungen, wie Achsenskalierungen automatisch vorgenommen werden:
Einführung in Mathematica (2) Grafik und Manipulate Michael O. Distler, Computer in der Wissenschaft, SS 200 (Vorlage von L. Tiator) Grafik - Initialisierung SetOptions Plot, ListPlot, ParametricPlot,
MehrR-Wörterbuch Ein Anfang... ein Klick auf einen Begriff führt, sofern vorhanden, zu dessen Erklärung.
R-Wörterbuch Ein Anfang... ein Klick auf einen Begriff führt, sofern vorhanden, zu dessen Erklärung. Carsten Szardenings c.sz@wwu.de 7. Mai 2015 A 2 B 3 C 4 D 5 F 6 R 16 S 17 V 18 W 19 Z 20 H 7 I 8 K 9
MehrVerschlüsseln eines Bildes. Visuelle Kryptographie. Verschlüsseln eines Bildes. Verschlüsseln eines Bildes
Verschlüsseln eines Bildes Visuelle Kryptographie Anwendung von Zufallszahlen Wir wollen ein Bild an Alice und Bob schicken, so dass Alice allein keine Information über das Bild bekommt Bob allein keine
Mehr5. Spezielle stetige Verteilungen
5. Spezielle stetige Verteilungen 5.1 Stetige Gleichverteilung Eine Zufallsvariable X folgt einer stetigen Gleichverteilung mit den Parametern a und b, wenn für die Dichtefunktion von X gilt: f x = 1 für
MehrEinführung in Mathematica
Einführung in Mathematica 001-018 Gerald Teschl (http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/) und Susanne Teschl (http://staff.technikum-wien.at/~teschl/) Tipp: Um Mathematica auszuprobieren gibt es eine Probeversion.
MehrEinführung in die Programmierung II. 5. Zeiger
Einführung in die Programmierung II 5. Zeiger Thomas Huckle, Stefan Zimmer 16. 5. 2007-1- Bezüge als Objekte Bisher kennen wir als Bezüge (Lvalues) nur Variablennamen Jetzt kommt eine neue Sorte dazu,
MehrZufallszahlen. Diskrete Simulation. Zufallszahlengeneratoren - Zufallszahlen
Zufallszahlen Zufallszahlengeneratoren Transformation von Zufallszahlen Test von Zufallszahlengeneratoren Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Thomas Schulze Zufallszahlengeneratoren - Zufallszahlen
MehrWeitere Anwendungen der Differentialrechnung
Weitere Anwendungen der Differentialrechnung Informationsblatt Aus der großen Zahl von Anwendungsmöglichkeiten der Differentialrechnung werden das Newton sche Näherungsverfahren und die Taylor-Reihen vorgestellt.
MehrEinstieg in die Informatik mit Java
1 / 21 Einstieg in die Informatik mit Java Einfache Ausdrücke Gerd Bohlender Institut für Angewandte und Numerische Mathematik Gliederung 2 / 21 1 Überblick 2 Arithmetische Operatoren 3 Inkrement und Dekrementoperatoren
MehrMathematische Methoden Physik I, WS06/07 Kompaktkurs Mathematica,
Mathematische Methoden Physik I, WS06/07 Kompaktkurs Mathematica, 21. 12. 2006 Astronomisches Rechen-Institut, Zentrum für Astronomie, Universität Heidelberg Mönchhofstr. 12-14, 69120 Heidelberg E-Mail:
MehrKLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen. Aufgabe 1: (10 Punkte) [ wahr falsch ] 1. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s 2.
MATHEMATISCHES INSTITUT PROF. DR. ACHIM SCHÄDLE 9.8.7 KLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen Aufgabe : ( Punkte) [ wahr falsch ]. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s. [ ]. Der Clenshaw
MehrEine Einführung in Wolfram Mathematica
Eine Einführung in Wolfram Mathematica Übersicht Programmübersicht Grundlegende Funktionen Listen,Vektoren und Matrizen Operationen auf Listen Plotten Plotten von Datenpunkten Fitten von Datenpunkten Plotten
MehrProgrammieren in C(++) und Mathematica - Übungen 2 SS 2018
Prof. Dr. A. Maas Institut für Physik N A W I G R A Z Programmieren in C(++) und Mathematica - Übungen SS 018 13./15. März 018 Das Ziel dieses Mal ist ein wenig den Entwurf eines Programms mittels Pseudocodes
MehrÜbungsaufgaben zur Kurvendiskussion
SZ Neustadt Mathematik Torsten Warncke FOS 12c 30.01.2008 Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion 1. Gegeben ist die Funktion f(x) = x(x 3) 2. (a) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie. (b) Bestimmen
MehrDas Eulerverfahren zum numerischen Lösen von DGLen
Das Eulerverfahren zum numerischen Lösen von DGLen Thomas Wassong FB17 Mathematik Universität Kassel 06.05.2008 Numerische Verfahren zur Berechnung von Differentialgleichungen Das Eulerverfahren: Programmierung
MehrSigmaPlots Gleichungsplotter und Solver
SigmaPlots Gleichungsplotter und Solver Mit SigmaPlots Gleichungsplotter und Solver können Sie - Kurven für Daten aus benutzerdefinierten Gleichungen plotten - Gleichungen für Datenpunkte berechnen oder
MehrMonte-Carlo-Methode. mit Pseudo- und Quasizufallszahlen
Gott würfelt nicht Monte-Carlo-Methode mit Pseudo- und Quasizufallszahlen Inhaltsverzeichnis Pseudo- und Quasizufallszahlen Monte-Carlo- Monte-Carlo- Monte-Carlo-Methode Bekannt nach Stadt Monte Carlo
Mehr1 Bedingte Anweisungen. 2 Vergleiche und logische Operatoren. 3 Fallunterscheidungen. 4 Zeichen und Zeichenketten. 5 Schleifen.
Themen der Übung Kontrollstrukturen, Pseudocode und Modulo-Rechnung CoMa-Übung III TU Berlin 9.10.01 1 Bedingte Anweisungen Vergleiche und logische Operatoren 3 Fallunterscheidungen 4 Zeichen und Zeichenketten
MehrNumerische Verfahren Übungen und Lösungen, Blatt 1
Technische Universität Hamburg-Harburg Institut für Numerische Simulation, E-0 Dr. Jens-Peter M. Zemke Sommersemester 2008 Numerische Verfahren Übungen und Lösungen, Blatt Aufgabe : (Thema: relativer und
Mehr(b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens eine Nullstelle von f auf 6 Nachkommastellen
Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 5.10.18 Übung 6 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 9. Oktober 018 in den Übungsstunden Aufgabe 1 GebenSieohneTaschenrechnereineNäherungvon
MehrFunktionen in Python
Funktionen in Python Prof. Dr. Rüdiger Weis Beuth Hochschule für Technik Berlin 1 / 31 1 def Anweisung 2 Argumentübergabe 3 Lokale Variablen 4 Default Argumente 5 Aufruf mit Schlüsselwort 6 Variable Argumente
MehrOrganisatorisches. Neue Übungsblätter: Nur mehr elektronisch? Abgabe Di, , 14 Uhr bis Do, , 8Uhr
Organisatorisches Neue Übungsblätter: Nur mehr elektronisch? Abgabe Di, 14.10., 14 Uhr bis Do, 23.10., 8Uhr. 14.10.2014 IT I - VO 1 1 IT I: Heute Wiederholung CuP ctd: this Arrays, ArrayLists Schleifen:
MehrPolynome. Analysis 1 für Informatik
Gunter Ochs Analysis 1 für Informatik Polynome sind reelle Funktionen, die sich ausschlieÿlich mit den Rechenoperation Addition, Subtraktion und Multiplikation berechnen lassen. Die allgemeine Funktionsgleichung
MehrWir können an jedes Pattern eine Predicate Function in Form eines Tests anschließen.
10. Regelbasiertes Programmieren - Teil II Sogenannten Rules ( -> ) stellen in Mathematica ist ein sehr mächtiges Werkzeug dar, um Ausdrücke zu manipulieren. Regeln werden dazu verwendet, um symbolische
MehrProbeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen
MATHEMATISCHES INSTITUT SoSe 24 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Probeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen Musterlösung Prof. Dr. P. Pickl Aufgabe Zeigen Sie, dass
MehrIngenieurmathematik mit Computeralgebra-Systemen
Hans Benker Ingenieurmathematik mit Computeralgebra-Systemen AXIOM, DERIVE, MACSYMA, MAPLE, MATHCAD, MATHEMATICA, MATLAB und MuPAD in der Anwendung vieweg X Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 Ingenieurmathematik
MehrAls einfache Variante dieses Ansatzes ist hier die Dissoziation einer Säure H 2 A ohne Berücksichtigung der Autoprotolyse gezeigt.
18. Ergänzung: Gekoppelte Gleichgewichte, Alternative Die "exakte" Lösung liefert ein Gleichungssystem, das manuell nicht mehr lösbar ist. "Solve" von modernen Taschenrechnern oder von Computer-Algebra-Systemen
MehrSimulation von Zufallszahlen. Grundlage: zufällige Quelle von Zufallszahlen, durch einfachen rekursiven Algorithmus am Computer erzeugt
Simulation von Zufallszahlen Grundlage: zufällige Quelle von Zufallszahlen, durch einfachen rekursiven Algorithmus am Computer erzeugt Definition: Eine Folge von Pseudo-Zufallszahlen U i ist eine deterministische
MehrEinführung in die Stochastik 6. Übungsblatt
Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS M. Kohler 3. Mai A. Fromkorth D. Furer Gruppen und Hausübung Aufgabe (a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine S Bahn Verspätung hat, betrage.3.
MehrGewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) I
Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) I Autor: Harald Höller letzte Änderung: 17.03.10 Lizenz: Creative Commons Lizenz by-nc-sa 3.0 at Differentialgleichungen lösen und plotten in Mathematica Grundlegendes
MehrMathematik für Studierende der Erdwissenschaften Lösungen der Beispiele des 1. Übungsblatts
Mathematik für Studierende der Erdwissenschaften Lösungen der Beispiele des 1. Übungsblatts 1. Wolfram Alpha: (a) Der Befehl Plot[{x^3-x,2/(3 Sqrt[3]),-2/(3 Sqrt[3]),-x,2(x+1),2(x-1)},{x,-1,1}] stellt
MehrÜbungsaufgaben zu Mathematik 2
Ü17 FH-Studiengang Angewandte Elektronik, SS 018 Übungsaufgaben zu Mathematik 6. Differentialrechnung in mehreren Variablen 11. (a) Berechnen Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte (1,, 1),
MehrÜbung 1. Man nde die gesuchten Funktionswerte. (ii) f(x, y) = sin(xy)
Man nde die gesuchten Funktionswerte. Übung (i) f(, ) = + 3 f(, ) f(, ) f(, 3) f( 3, ) f(, ) = sin() f(, π/6) f( 3, π/) f(π, /) f( π/, 7) Übung Man nde und skizziere den enitionsbereich und nde den Wertebereich
MehrLösungsskizzen zur Präsenzübung 09
Lösungsskizzen zur Präsenzübung 09 Hilfestellung zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 2015/2016 Fakultät für Mathematik Universität Bielefeld Veröffentlicht am 07. Februar 2016 von:
Mehr10. Übungsblatt zur Analysis II
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Steffen Roch Nada Sissouno WS 2009/2010 17.12.2009 10. Übungsblatt zur Analysis II Gruppenübung Aufgabe G1 Gegeben sei die Funktion g : R 2 R, g(x,y) = sin 2 y + x 3 1.
MehrMonte Carlo-Simulation
Monte Carlo-Simulation Sehr häufig hängen wichtige Ergebnisse von unbekannten Werten wesentlich ab, für die man allerhöchstens statistische Daten hat oder für die man ein Modell der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Mehr8. Der Fundamentalsatz der Algebra
8. Aussage Fundamentalsatz der Algebra. Für jede natürlich Zahl n und beliebigen komplexen Koeffizienten a 0,a,...,a n hat die algebraische Gleichung x n +a n x n +...+a x+a 0 = 0, () eine Lösung in C.
MehrDiskutiere die Funktion f(x) - Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Graph. f ( x) = 1 8 ( x3 +3 x 2 9 x+5) x f ( x) = 3 8 ( x2 +2 x 3)
Kurvendiskussion Diskutiere die Funktion f(x) - Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Graph f ( x) = 1 8 x3 + 3 8 x2 9 8 x+5 8 Zuerst berechne ich die Ableitungen. Außerdem hebe ich so weit wie möglich
MehrVerteilte Kyroptographie
Verteilte Kyroptographie Klassische kryptographische Verfahren Kryptographische Hash-Funktionen Public-Key-Signaturen Verteilte Mechanismen Schwellwert-Signaturen Verteilt generierte Zufallszahlen Verteilte
MehrD-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 16 Dr. Ana Cannas. MC-Serie 3. Kurven in der Ebene Einsendeschluss: 18. März 2016, 16 Uhr (MEZ)
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 16 Dr. Ana Cannas MC-Serie 3 Kurven in der Ebene Einsendeschluss: 18. März 216, 16 Uhr (MEZ) Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Sie dürfen während
MehrProjekt 3 Variablen und Operatoren
Projekt 3 Variablen und Operatoren Praktisch jedes Programm verarbeitet Daten. Um mit Daten programmieren zu können, muss es Möglichkeiten geben, die Daten in einem Programm zu verwalten und zu manipulieren.
MehrTeil I Mathematica kennenlernen 21
Inhaltsverzeichnis Vorwort 13 Einführung 17 Konzeption 19 Teil I Mathematica kennenlernen 21 Kapitel 1 Mathematica nutzen 23 1.1 Mathematica alstaschenrechner fürzahlen... 24 1.2 Mathematica als Taschenrechner
MehrPseudozufallsgeneratoren
Pseudozufallsgeneratoren In welchen kryptographischen Verfahren werden keine Zufallszahlen benötigt? Wie generiert man Zufallszahlen in einer deterministischen Maschine wie dem Computer? Wenn man eine
MehrHausaufgabe Modellierung und Simulation 1
Hausaufgabe Modellierung und Simulation 1 Die Pareto Verteilung Die Pareto-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung in einem rechtsseitig unendlichen Intervall zwischen x min und. Die
MehrNichtlineare Gleichungssysteme
Kapitel 2 Nichtlineare Gleichungssysteme Problem: Für vorgegebene Abbildung f : D R n R n finde R n mit oder ausführlicher f() = 0 (21) f 1 ( 1,, n ) = 0, f n ( 1,, n ) = 0 Einerseits führt die mathematische
MehrFunktionale Programmierung. Das Funktionale Quiz. Das Funktionale Quiz. Das Funktionale Quiz
Funktionale Programmierung Das Funktionale Quiz 31.5.2005 Nenne eine Gemeinsamkeit zwischen Typklassen und OO-Klassen Das Funktionale Quiz Das Funktionale Quiz Nenne einen Unterschied zwischen Typklassen
MehrSerie 13: Online Test
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 13 Dr. Ana Cannas Serie 13: Online Test Einsendeschluss: 31. Januar 214 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.
MehrStatistics, Data Analysis, and Simulation SS 2015
Mainz, May 12, 2015 Statistics, Data Analysis, and Simulation SS 2015 08.128.730 Statistik, Datenanalyse und Simulation Dr. Michael O. Distler Dr. Michael O. Distler
MehrEine Kurzanleitung zu Mathematica
MOSES Projekt, GL, Juni 2003 Eine Kurzanleitung zu Mathematica Wir geben im Folgenden eine sehr kurze Einführung in die Möglichkeiten, die das Computer Algebra System Mathematica bietet. Diese Datei selbst
MehrEinstieg in die Informatik mit Java
1 / 22 Einstieg in die Informatik mit Java Formatierte Ausgabe Gerd Bohlender Institut für Angewandte und Numerische Mathematik Gliederung 2 / 22 1 Überblick 2 Nachteile von println 3 Formatierte Ausgabe
MehrBeispiellösungen zu Blatt 77
µathematischer κorrespondenz- zirkel Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufgabe 1 Beispiellösungen zu Blatt 77 Die Zahl 9 ist sowohl als Summe der drei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen,
MehrSatz über implizite Funktionen und seine Anwendungen
Satz über implizite Funktionen und seine Anwendungen Gegeben sei eine stetig differenzierbare Funktion f : R 2 R, die von zwei Variablen und abhängt. Wir betrachten im Folgenden die Gleichung f(,) = 0.
Mehr