Fourier-Transformation: Grundlagen

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1 Fourier-Transformation: Grundlagen Rebecca Schulz Seminar: Integraltransformationen Dozent: Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 01/013 Westfälische Wilhelms-Universität Münster

2 Inhaltsverzeichnis 1 Definition: Fourier-Transformation 3 Eigenschaften der Fourier-Transformation 4 3 Faltung 7 4 inverse Fourier-Transformation/Plancherelformel 8 5 Anhang Literaturverzeichnis

3 1 Definition: Fourier-Transformation Die Fourier-Transformation erlaubt es ein Zeitsignal einer aperiodischen Funktion f(x) in ein Spektrum F (ω) zu zerlegen. Dabei gibt f(x) den Zeitbereich an und F (ω) den Frequenzbereich. Demnach kann angenommen werden, dass x = Zeit ist und ω= Frequenz. Die Fouriertransformation sieht wie folgt aus: Definiton 1.1: Sei f L 1 (R). Dann gilt für alle x, ω R : F f (ω) f(x)e iωx dx bezeichnet die Fourier-Transformation von f. Ist f L 1 (R n ) mit n 1 gilt : 1 F f (ω) = ( ) n f(x)e i<x,ω> dx. Dabei stellt < x, ω > das Skalarprodukt dar. Die Fourier-Transformation ist also eine Abbildung der Form: f(x) F (ω, x). Dabei stellt e iωx beziehungsweise e i<x,ω> den Integrationskern der Fourier-Transformation dar. Bemerkung 1.: Im Weiteren beschäftigen wir uns mit der Fourier-Transformation im L 1 (R). Die Sätze gelten entsprechend im L 1 (R n ). Folgerung 1.3: Sei f L 1 (R) eine gerade Funktion und x R 0, dann gilt: F cos (ω) = f(x) cos(ωx)dx π 0 bezeichnet die Kosinus-Transformation von f. Folgerung 1.4: Sei f L 1 (R) eine ungerade Funktion und x R 0,dann gilt: F sin (ω) = f(x)( sin(ωx))dx π 0 bezeichnet die Sinus-Transformation von f. 3

4 Beweis: (1.3/1.4) Klar, einfach aus F f (ω) herleiten. Eigenschaften der Fourier-Transformation Viele der gelernten Eigenschaften aus Linearer Algebra I & II und Analysis I & II für Funktionen gelten auch für die Fourier-Transformation. Satz.1: Seien f, g L 1 (R) und a,b C. Es gilt: (i) F (ω) ist linear: F af+bg (ω) = af f (ω) + bf g (ω) (ii) F (ω) ist beschränkt: F f (ω) f 1 (iii) Für die komplex konjugierte Fourier-Transformation gilt: F f (ω) = F f ( ω) mit f(x) R. Beweis: (i) Klar, einfach ausrechnen. (ii) F f (ω) = 1 f(x)e iωx dx 1 f(x) = }{{} e iωx =1 f(x) dx f(x) dx = f 1 e iωx dx (iii)f f ( ω) f(x)e i( ω)x dx f(x)eiωx dx f(x)e iωx dx = F f (ω) Satz.: F f (ω) ist eine stetige und konvergente Funktion. Beweis: Die Stetigkeit der Fourier-Transformation beweisen wir über Folgenstetigkeit. Dazu definieren wir uns eine beliebige Folge ω n in R mit ω n ω R für n. Dann gilt: lim n F f (ω n ) = lim n 1 f(x)e iωnx dx 4

5 1 }{{} = f(x)e iωx dx Satz der dominierten Konvergenz = F f (ω) Die Konvergenz folgt aus dem folgenden Lemma. Lemma.3: (Riemann-Lebesgue-Lemma)Sei f L 1 (R). Es gilt: lim ω F f (ω) = 0. lim ω F f (ω) = 0. Beweis: [Vgl. 5, S.96f] Bemerkung.4: Ist f(x) R für alle x R eine gerade Funktion, so ist F f (ω) ebenfalls eine gerade Funktion R. Ist f(x) R für alle x R eine ungerade Funktion, so ist F f (ω) ebenfalls ungerade und rein imaginär. Beweis: Wir beweisen den zweiten Teil, der erste Teil geht analog. F f (ω) f(x)e iωx dx 1 }{{} = f(x)(cos(ωx) isin(ωx))dx Euler = 1 ( f(x)cos(ωx)dx i f(x)sin(ωx)dx) i }{{} = f(x)sin(ωx)dx cos gerade Definition und Satz.5: (n-te Moment)Sei f eine n-mal stetig differenzierbare Funktion und für die k-ten Ableitungen gelte f (k) L 1 (R) für alle k n. Dann gilt: F f (n)(ω) = (iω) n F f (ω) n stellt das n-te Moment dar. Beweis per Induktion: Induktionsanfang bei n = 1: F f (1)(ω) f (1) (x)e iωx dx = }{{} partielle Integration 1 [f(x)e iωx dx] + iω f(x)e iωx dx }{{} = iωf f (ω) lim x +/ f=0 Induktionsschluss: Die Induktionsvoraussetzung F f (n)(ω) = (iω) n F f (ω) gilt für beliebiges n N. 5

6 Induktionsschritt: n n + 1 : F f (n+1)(ω) f (n+1) (x)e iωx dx [f (n) (x)e iωx dx] + iω f ( n)(x)e iωx dx [f (n 1) (x)e iωx dx] + (iω) f (n 1) (x)e iωx dx =... = (iω)n+1 f(x)e iωx dx Bemerkung.6: Die Formel vom n ten M oment wird benötigt, um Differentialgleichungen zu lösen. Satz.7: Sei xn f(x) dx für alle n N konvergent und f L 1 (R). Dann ist F f (ω) n-mal stetig differenzierbar und genügt folgender Gleichung: F x n f(x)(ω) = in d n dω n F f(ω). Beweis der Formel per Induktion: Induktionsanfang für n=1: d F dω f(ω) = d dω f(x)e iωx dx = 1 = i d dω [f(x)e iωx ]dx xf(x)e iωx dx = if xf(x) (ω) id dω F f(ω) = F xf(x) (ω) Induktionsschluss: Die Induktionsvoraussetzung F x n f(x)(ω) = in d n dω n F f (ω) gilt für beliebiges n N. Induktionsschritt: n n + 1 : d n+1 F dω n+1 f (ω) = dn+1 1 dω n+1 f(x)e iωx dx = 1 dn+1 [f(x)e iωx ]dx dω n+1 ( ix)n+1 f(x)e iωx dx = 1 = in+1 xn+1 f(x)e iωx dx in+1 d n+1 dω n+1 F f (ω) = F x n+1 f(x) Korollar.8: Seien f, g L 1 (R) und a, b R mit a 0 und g(x)=f(ax+b) Dann gilt: F g (ω) = 1 b a eiω a Ff ( ω a ). Beweis: F g (ω) f(ax + b)e iωx dx Substituiere z = ax + b x = z b F g (ω) = 1 iω(z b) dz f(z)e a a = e iωb a 1 F a f( ω) a iωz f(z)e a a + iωb a a dz = dz dx = a Daraus folgt nun: 6

7 Folgerung.9: Sei im vorigen Korollar a=1, dann gilt: F g (ω) = e iωb F f (ω). Sei b=0, dann gilt: F g (ω) = 1 a F f( ω a ). Diese Funktion wird auch als eine um a skalierte Funktion bezeichnet. Für a>1 wird von Stauchung gesprochen und für a<1 von Streckung. Beweis: Klar, einfach ausrechnen. Satz.10: (Berechnung F (ω) für rationale Funktionen)Für ω 0 sei C R die untere Hälfte des Einheitskreises und für ω 0 sei C R, die obere Hälfte des Einheitskreises jeweils von der Länge πr. Hat f(x) eine analytische Fortsetzung f(z) mit z C, Definitionslücken bei z a C R und z b C R, ist f absolut integrierbar auf ganz R und gilt lim R max z CR C R f(z) = 0, dann gilt: F (ω) = i b Res[f(z)e iωz ; z b ] für ω 0 für ω 0. F (ω) = i a Res[f(z)e iωz ; z a ] Beweis: Folgt aus dem Residuensatz. 3 Faltung In der Mathematik gibt es viele Rechenoperationen, um aus zwei Funktionen eine neue Funktion zu erstellen. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit einer neuen Rechenoperation - der sogenannten Faltung. Dieses Kapitel bezieht sich hauptsächlich auf das Buch von Pinkus und Zafrany [5]. Definition 3.1: Seien f, g L 1 (R). Es gilt für fast alle x R : (f g)(x) = f(x y)g(y)dy 7

8 (f g)(x) = f(y)g(x y)dy. Die Forderung, dass f, g L 1 (R) (und nicht in L (R) sein müssen) reicht hier aus. Schließlich wissen wir, dass (x, y) f(x)g(y) über R integrierbar ist. Wenden wir den Transformationssatz ((x) (x y)) an, ist auch f(x y)g(y) über R integrierbar. Nach Fubini existiert das y-integral und die Faltung ist über x integrierbar. Hieraus folgen 3. und 3.3: Folgerung 3.: Die Rechenoperation der Faltung ist kommutativ, das heißt es gilt: f g = g f. Proposition 3.3: Sind f, g L 1 (R), dann existiert f g und ist absolut integrierbar. Satz 3.4: (Faltungssatz)Seien f, g L 1 (R), dann gilt: F f g (ω) = F f (ω)f g (ω). Beweis: Aus der vorigen Proposition folgt, dass f und g absolut integrierbar sind. F f g (ω) = }{{} 1.1 = }{{} 3.1 }{{} = Satz von F ubini (f g)(x)e iωx dx ( (f(x y)g(y)dy))e iωx dx f(x y)e iω(x y) g(y)e iωy dxdy = ( 1 f(x y)e iω(x y) dx)g(y)e iωy dy Substituiere z = x y x = z + y = dx = dz. Dann gilt: F f g (ω) = ( 1 f(z)e iωz dz)g(y)e iωy dy = F f (ω) g(y)e iωy dy = F f (ω) F g (ω) 4 inverse Fourier-Transformation/Plancherelformel Die Fourier-Transformation kann rückgängig gemacht werden, wodurch die ursprüngliche Funktion f(x) wieder erhalten wird. Satz 4.1: (Umkehrformel)Seien f, F f L 1 (R). Dann gilt für fast alle x R : f(x) F f (ω)e iωx dω. 8

9 Beweis: Für λ > 0 definiere g λ (x) F f(ω)e iωx e λ ω dω. Aus.1 wissen wir, dass F f (ω) beschränkt ist. Somit existiert dieses Integral für λ > 0. Es gilt: 1 g λ (x) }{{} = ( 1 f(y)e iωy dy)e iωx e (λω) dω }{{} = dω 1 dyf(y + x)e iωy e (λω) T ransformationssatz y y + x Nun wissen wir, dass (y, ω) f(y)e (λω) über R integrierbar ist. Nach Hölder bleibt dies auch nach der Verschiebung (y y + x) und der Multiplikation mit der L - Funktion e iωy (**). Betrachte die Funktion h(x) = e (λx) und bestimme die Fourier-Transformation F h (ω): F h (ω) e λ x iωx dx = }{{} = }{{} u=x iω λ λ ausklammern,quadr. Ergänzung Nun benutze die Γ-Funktion: Γ(x) = 0 t x 1 e t dt. Schließlich gilt: λ iω e (x λ ) dx e λ u du = = Γ( 1 ) λ = λ. Dann ist F h (ω) = 1 λ e ω λ. 0 e λ u du = Somit gilt mit x ω und ω y : }{{} t= λ u (λω) e t dt 0 e = uλ }{{} u= t e iωy = λ e ω λ λ y e λ. e λ (x iω λ ) dx. t λdt 0 e tλ = λ 0 Setze 1 y e λ λ =: δ λ (y) (Dirac-Folge) Wegen (**) dürfen wir Fubini anwenden und erst das ω-integral berechnen: g λ (x) dy f(y + x)δ λ(y). Zum Einen muss nun noch gezeigt werden, dass gilt: lim λ 0 g λ (x) = f(x) in der L 1-1 Norm. Hierfür verwende, dass gilt: λ e y λ dy }{{} = 1. Gaußsches F ehlerintegral λ dy. λ y Dadurch ergibt sich: f(x) g λ (x) = 1 (f(x) f(x + y)) e Zum Anderen muss bewiesen werden, dass F f (ω)e iωx e (λω) für λ 0 punktweise gegen F f (ω)e iωx konvergiert und F f (ω)e iωx e (λω) durch F f (ω) beschränkt ist. Mit dem Satz der dominierten Konvergenz folgt dann: 1 F f(ω)e iωx dω = lim λ 0 g λ (x). Beides zusammen liefert dann die Behauptung. [Vgl. 9, S. 118ff] Satz 4.: (doppelte Fouriertransformation)Seien f, F f L 1 (R). Dann gilt: F Ff (x) f( x). e t t 1 dt 9

10 Beweis: F Ff (ω)(x) F f(ω)e iωx dω F f(ω)e iω( x) dω f( x) Satz 4.3: (Satz von Plancherel)Seien f, g L (R), dann gilt: f(x)g(x)dx = F f (ω)f g (ω)dω. Beweis: Wir wissen, da f & g L (R), dass f(x)g(x) L 1 (R) ist nach Hölder. Zudem ist e iωx integrierbar, sodass wir den Satz von Fubini anwenden dürfen. f(x)g(x)dx }{{} = 1 ( F f(ω)e iωx dω)g(x)dx 4.1 = 1 F f(ω)g(x)e iωx dx dω = F f(ω)( 1 g(x)e iωx dx)dω }{{} = F f(ω)f g (ω)dω 1.1 Satz 4.4: (Energieerhaltungsformel)Sei f L (R), dann gilt: f(x) dx = F f (ω) dω. Die linke Seite stellt das Energiesignal in Abhängigkeit von der Zeit dar. Die rechte Seite repräsentiert die Energie abhängig von der Frequenz. Beweis: Die Formel folgt aus dem Satz von Plancherel mit f=g 10

11 5 Anhang 5.1 Literaturverzeichnis Die Literaturangaben sind alphabetisch nach dem Namen der Autoren angeordnet. Bei der Angabe mehrerer Autoren, ist der Name des ersten Autors berücksichtigt. [1] B. Forster, Fourier- und Laplace-Transformation, Vorlesungsskript TU München, (Stand September 01) [] O. Forster, J. Wehler, Fourier-Transformation und Wavelets, Vorlesungskript LMU München, (Stand Oktober 01) [3] K. Gerhardt, Lehrbuch der Mathematik, Analysis I, =8hm6ZdsdA0QC&pg=&lpg=PA86&dq=beweis++absolut+integrierbar&source =bl&ots=djtsfibjmf&sig=nybv-snwembbtvkppmx3oipv8o&hl=de&sa=x&ei =MBR5UJ-lAozDtAag1IDgBA&ved=0CCQQ6AEwAAv=onepage&q=beweis (Stand Oktober 01) [4] K. Königsberger,Analysis II, Springer,. Auflage, 1997 [5] A.Pinkus & S.Zafrany, Fourier Series and Integral Transforms, Cambridge University Press, 1997 [6] A.D. Poularikas (ed), The Transforms and Applications Handbook, CRC Press, 000. K. B. Howl, Fourier Transforms. (Stand September 01) [7] I. Sneddon, The Use of Integral Transforms, McGraw-Hill, 197 [8] R. Wulkenhaar, Lebesgue-Integral und L p Räume, Seminar Integraltransformationen 01, WS1/Integraltransformationen/ Lebesgue.pdf (Stand Oktober 01) [9] R. Wulkenhaar, Mathematik für Physiker, Vorlesungsskript WWU Münster, 3.pdf (Stand Oktober 01) 11