Lineare Algebra und analytische Geometrie I

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1 Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2017/2018 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 10 Ich war nie der talentierteste Spieler. Ich musste mir alles unheimlich hart erarbeiten und es gab bestimmt viel bessere Fußballer. Nur, ich hatte Willen! Ich musste und ich wollte nach oben. Berti Vogts Lineare Abbildungen Zwischen zwei Vektorräumen interessieren insbesondere die Abbildungen, die mit den Strukturen, also der Addition und der Skalarmultiplikation, verträglich sind. Definition Es sei K ein Körper und es seien V und W Vektorräume über K. Eine Abbildung ϕ: V W heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind. (1) ϕ(u+v) = ϕ(u)+ϕ(v) für alle u,v V. (2) ϕ(sv) = sϕ(v) für alle s K und v V. Die erste Eigenschaft nennt man dabei die Additivität und die zweite Eigenschaft die Verträglichkeit mit Skalierung. Wenn man den Grundkörper betonen möchte, spricht man von K-Linearität. Insgesamt gilt für eine lineare Abbildung die Verträglichkeit mit beliebigen Linearkombinationen, also die Beziehung ( n ) n ϕ s i v i = s i ϕ(v i ), siehe Aufgabe Statt von linearen Abbildungen spricht man auch von Homomorphismen. Die Identität Id V : V V, die Nullabbildung V 0 und die Inklusionen U V von Untervektorräumen sind die einfachsten Beispiele für lineare Abbildungen. 1

2 2 Beispiel Die einfachsten linearen Abbildungen sind (neben der Nullabbildung) diejenigen von K nach K. Eine solche lineare Abbildung ϕ: K K, x ϕ(x), ist aufgrund von Satz (siehe unten) bzw. direkt aufgrund der Definition durch ϕ(1) bzw. durch den Wert ϕ(t) für ein einziges t K, t 0, festgelegt. Es ist also ϕ(x) = ax mit einem eindeutig bestimmten a K. Insbesondere im physikalischen Kontext, wenn K = R ist und wenn zwischen zwei messbaren Größen ein linearer Zusammenhang besteht, spricht man von Proportionalität, und a heißt der Proportionalitätsfaktor. In der Schule tritt die lineare Beziehung zwischen zwei skalaren Größen als Dreisatz auf. Der Funktionsgraph einer linearen Abbildung von R nach R, die Abbildung ist allein durch den Proportionalitätsfaktor k festgelegt. Viele wichtige Funktionen, insbesondere von R nach R, sind nicht linear. Beispielsweise ist das Quadrieren x x 2, die Quadratwurzel, die trigonometrischen Funktionen, die Exponentialfunktion, der Logarithmus nicht linear. Aber auch für solche kompliziertere Funktionen gibt es im Rahmen der Differentialrechnung lineare Approximationen, die zum Verständnis dieser Funktionen beitragen. Beispiel Es sei K ein Körper und sei K n der n-dimensionale Standardraum. Dann ist die i-te Projektion, also die Abbildung K n K, (x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x n ) x i, eine K-lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die i-te Projektion heißt auch die i-te Koordinatenfunktion. Beispiel Es stehen n verschiedene Produkte zum Verkauf an, wobei das i-te Produkt (pro Einheit) a i kostet. Ein Einkauf wird durch das n-tupel (x 1, x 2,..., x n )

3 repräsentiert, wobei x i die vom i-ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch n a ix i beschrieben. Die Preisabbildung n R n R, (x 1, x 2,..., x n ) a i x i. ist linear. Dies bedeutet beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf (x 1, x 2,..., x n ) tätigt und eine Woche später den Einkauf (y 1, y 2,..., y n ), dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag gekauft hätte. (x 1 +y 1, x 2 +y 2,..., x n +y n ) 3 Wenn Sie das zehnmal kaufen, müssen Sie zehnmal soviel zahlen. In der linearen Welt gibt es keinen Rabatt. Beispiel Die zu einer m n-matrix M = (a ij ) 1 i m,1 j n gehörende Abbildung (siehe Beispiel 2.6) n j=1 s 1 s 1 a 1js j n K n K m,. M. j=1 = a 2js j., s n s n n j=1 a mjs j ist linear. Definition Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Zu a K heißt die lineare Abbildung ϕ: V V, v av,

4 4 die Streckung (oder Homothetie) zum Streckungsfaktor a. Bei einer Streckung stimmen Ausgangsraum und Zielraum überein. Die Zahl a heißt Streckungsfaktor. Bei a = 1 liegt die Identität vor und bei a = 1 spricht man von einer Punktspiegelung. Beispiel EsseiC 0 (R,R)derRaumderstetigenFunktionenvonRnach R und C 1 (R,R) der Raum der stetig differenzierbaren Funktionen. Dann ist die Abbildung D: C 1 (R,R) C 0 (R,R), f f, die einer Funktion ihre Ableitung zuordnet, linear. In der Analysis wird ja (af +bg) = af +bg für a,b R und eine weitere Funktion g C 1 (R,R) bewiesen. Lemma Es sei K ein Körper und seien U,V,W Vektorräume über K. Es seien ϕ : U V und ψ : V W lineare Abbildungen. Dann ist auch die Verknüpfung eine lineare Abbildung. Beweis. Siehe Aufgabe ψ ϕ: U W Lemma Es sei K ein Körper und es seien V und W zwei K-Vektorräume. Es sei ϕ: V W eine bijektive lineare Abbildung. Dann ist auch die Umkehrabbildung linear. ϕ 1 : W V Beweis. Siehe Aufgabe Festlegung auf einer Basis Hinter der folgenden Aussage(dem Festlegungssatz) steckt das wichtige Prinzip, dass in der linearen Algebra (von endlichdimensionalen Vektorräumen) die Objekte durch endlich viele Daten bestimmt sind. Satz Es sei K ein Körper und es seien V und W Vektorräume über K. Es sei v i, i I, eine Basis von V und es seien w i, i I, Elemente in W. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung mit f: V W f(v i ) = w i für alle i I.

5 Beweis. Da f(v i ) = w i sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft 1 ( ) f s i v i = s i f (v i ) i I i I erfüllt, und jeder Vektor v V sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben. Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung f: V W, indem wir jeden Vektor v V mit der gegebenen Basis als 5 v = i I s i v i schreiben und f(v) := i I s i w i ansetzen. Da die Darstellung von v als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Zur Linearität. Für zwei Vektoren u = i I s iv i und v = i I t iv i gilt (( ( )) f (u+v) = f s i v i )+ t i v i ( i I ) i I = f (s i +t i )v i i I = (s i +t i )f (v i ) i I = s i f (v i )+ t i f(v i ) i I ( i I ( ) = f s i v i )+f t i v i i I = f(u)+f(v). Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe InsbesondereisteinelineareAbbildungϕ: K n K m durchϕ(e 1 ),...,ϕ(e n ) eindeutig festgelegt. i I 1 Wenn I eine unendliche Indexmenge ist, so sind hier sämtliche Summen so zu verstehen, dass nur endlich viele Koeffizienten nicht 0 sind.

6 6 Beispiel In vielen Situationen soll ein Objekt (beispielsweise ein Würfel) im Raum R 3 in einer Ebene R 2 dargestellt werden. Eine Möglichkeit ergibt sich mit Hilfe einer Parallelprojektion. Dabei handelt es sich um eine lineare Abbildung R 3 R 2 die bezüglich der Standardbasen e 1,e 2,e 3 bzw. f 1,f 2 durch e 1 f 1, e 2 af 1 +bf 2, e 3 f 2 gegebenist,wobeidiekoeffizientena,b(die Tiefenschrägen )typischerweise im Bereich [ 1, 1 ] gewählt werden. Die Linearität wirkt sich dahingehend aus, 3 2 dass parallele Geraden in parallele Geraden überführt werden (oder Punkte werden). Der Punkt (x,y,z) wird dabei auf (x+ay,by +z) abgebildet. Das Bild des Objektes unter einer solchen linearen Abbildung nennt man ein Schrägbild. Eine lineare Abbildung Lineare Abbildungen und Matrizen ϕ: K n K m ist durch die Bilder ϕ(e j ), j = 1,...,n, der Standardvektoren eindeutig festgelegt, und jedes ϕ(e j ) ist eine Linearkombination m ϕ(e j ) = a ij e i und damit durch die Elemente a ij eindeutig festgelegt. Insgesamt ist also eine solche lineare Abbildung durch mn Elemente a ij, 1 i m, 1 j n, festgelegt. Eine solche Datenmenge kann man wieder als Matrix schreiben. Nach dem Festlegungssatz gilt dies für alle endlichdimensionalen Vektorräume, sobald sowohl im Definitionsraum als auch im Zielraum der linearen Abbildung eine Basis fixiert ist.

7 Definition Es sei K ein Körper und sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis v = v 1,...,v n und sei W ein m-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis w = w 1,...,w m. 7 Die Wirkungsweise von verschiedenen linearen Abbildungen des R 2 in sich, dargestellt an einer Gehirnzelle. Zu einer linearen Abbildung heißt die m n-matrix ϕ: V W M = M v w(ϕ) = (a ij ) ij,

8 8 wobei a ij die i-te Koordinate von ϕ(v j ) bezüglich der Basis w ist, die beschreibende Matrix zu ϕ bezüglich der Basen. Zu einer Matrix M = (a ij ) ij Mat m n (K) heißt die durch m v j a ij w i gemäßsatz10.10definiertelineareabbildungϕ v w(m)diedurch M festgelegte lineare Abbildung. Wenn V = W, ist, so interessiert man sich häufig, aber nicht immer, für die beschreibende Matrix bezüglich einer einzigen Basis v von V. Beispiel Es sei V ein Vektorraum mit Basen v und w. Wenn man die Identität Id: V V bezüglich der Basis v vorne und der Basis w hinten betrachtet, so ist wegen Id(v j ) = v j = a ij w i direkt Mw(Id) v = Mw, v d.h. die beschreibende Matrix zur identischen linearen Abbildung ist die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von v nach w. Lemma Es sei K ein Körper und sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis v = v 1,...,v n und sei W ein m-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis w = w 1,...,w m mit den zugehörigen Abbildungen Ψ v : K n V und Ψ w : K m W. Es sei ϕ: V W eine lineare Abbildung mit beschreibender Matrix M v w(ϕ). Dann ist d.h. das Diagramm ϕ Ψ v = Ψ w M v w(ϕ), K n M v w(ϕ) K m Ψ v V ϕ Ψw W ist kommutativ. Zu einem Vektor v V kann man ϕ(v) ausrechnen, indem man das Koeffiziententupel zu v bezüglich der Basis v bestimmt, darauf die Matrix M v w(ϕ) anwendet und zu dem sich ergebenden m-tupel den zugehörigen Vektor bezüglich w berechnet.

9 9 Beweis. Siehe Aufgabe Satz Es sei K ein Körper und sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis v = v 1,...,v n und sei W ein m-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis w = w 1,...,w m. Dann sind die in Definition festgelegten Abbildungen invers zueinander. ϕ M v w(ϕ) und M ϕ v w(m) Beweis. Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix M = (a ij ) ij und betrachten die Matrix M v w(ϕ v w(m)). Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar (i, j) die Einträge übereinstimmen. Es ist (Mw(ϕ v v w(m))) ij = i te Koordinate von (ϕ v w(m))(v j ) m = i te Koordinate von a ij w i = a ij. Sei nun ϕ eine lineare Abbildung, und betrachten wir ϕ v w(m v w(ϕ)). Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Satz überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis v 1,...,v n übereinstimmen. Es ist m (ϕ v w(mw(ϕ)))(v v j ) = (Mw(ϕ)) v ij w i. Dabei ist nach Definition der Koeffizient (M v w(ϕ)) ij die i-te Koordinate von ϕ(v j ) bezüglich der Basis w 1,...,w m. Damit ist diese Summe gleich ϕ(v j ). Wir bezeichnen die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W mit Hom K (V,W). Satz bedeutet alos, dass die Abbildung Hom K (V,W) Mat m n (K), ϕ M v w(ϕ), bijektiv mit der angegebenen Umkehrabbildung ist. Eine lineare Abbildung ϕ: V V nennt man auch einen Endomorphismus. Die Menge aller Endomorphismen auf V wird mit End K (V) bezeichnet.

10 10 Isomorphe Vektorräume Definition Es sei K ein Körper und es seien V und W Vektorräume über K. Eine bijektive, lineare Abbildung heißt Isomorphismus. ϕ: V W Ein Isomorphismus von V nach V heißt Automorphismus. Definition Es sei K ein Körper. Zwei K-Vektorräume V und W heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von V nach W gibt. Satz Es sei K ein Körper und es seien V und W endlichdimensionale K-Vektorräume. Dann sind V und W genau dann zueinander isomorph, wenn ihre Dimension übereinstimmt. Insbesondere ist ein n-dimensionaler K-Vektorraum isomorph zum K n. Beweis. Siehe Aufgabe Bemerkung Eine Isomorphie zwischen einem n-dimensionalen Vektorraum V und dem Standardraum K n ist im Wesentlichen äquivalent zur Wahl einer Basis in V. Zu einer Basis gehört die lineare Abbildung v = v 1,...,v n Ψ v : K n V, e i v i, die also den Standardraum in den Vektorraum abbildet, indem sie dem i-ten Standardvektor den i-ten Basisvektor aus der gegebenen Basis zuordnet. Dies definiert nach Satz eine eindeutige lineare Abbildung, die aufgrund von Aufgabe bijektiv ist. Es handelt sich dabei einfach um die Abbildung n (a 1,...,a n ) a i v i. Die Umkehrabbildung x = Ψ 1 v : V K n ist ebenfalls linear und heißt die zur Basis gehörende Koordinatenabbildung. Die i-te Komponente davon, also die zusammengesetzte Abbildung x i = p i x: V K, v (Ψ 1 v (v)) i, heißt i-te Koordinatenfunktion. Sie wird mit vi bezeichnet, und gibt zu einem Vektor v V in der eindeutigen Darstellung n v = λ i v i

11 die Koordinate λ i aus. Man beachte, dass die lineare Abbildung v i von der gesamten Basis abhängt, nicht nur von dem Vektor v i. Wenn umgekehrt ein Isomorphismus gegeben ist, so sind die Bilder eine Basis von V. Ψ: K n V Ψ(e i ),i = 1,...,n, 11

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13 Abbildungsverzeichnis Quelle = Variables proporcionals.png, Autor = Benutzer Coronellian auf Commons, Lizenz = CC-by-sa Quelle = Korea-grocery shopping-01.jpg, Autor = L. W. Yang, Lizenz = CC-by-sa Quelle = Schrägbild eines Würfels.svg, Autor = Benutzer WissensDürster auf Commons, Lizenz = gemeinfrei 6 Quelle = Some linear maps kpv without eigenspaces.svg, Autor = Benutzer Dividuum auf Commons, Lizenz = CC-by-sa