Mathematik (Grundlagenfach)

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1 287 Mathematik (Grundlagenfach) A. Stundendotation 1. Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr Wochenstunden B. Allgemeine Bildungsziele Überblick über das Fach Charakteristisch für die Mathematik ist es, ausgehend von allgemein anerkannten Grundlagen durch strenges Beweisen immer neues gesichertes Wissen zu gewinnen. Der Mathematikunterricht schult das exakte Denken, das Abstraktionsvermögen, den Sinn für Ästhetik und weckt Freude an geistiger Arbeit. Er erzieht zu Genauigkeit, präzisem Sprachgebrauch und Objektivität, stärkt das Durchhaltevermögen und regt die Kreativität an. Dadurch fördert er die Eigenständigkeit im Urteil und das Vertrauen in das eigene Denken. Der Umgang mit der Ideenwelt und der Geschichte der Mathematik macht bewusst, zu welch grossen gedanklichen Leistungen der Mensch fähig ist. Ziel des Mathematikunterrichts im Grundlagenfach ist es, die Schülerinnen und Schüler in die Welt der Mathematik einzuführen und ihnen die nötigen Kenntnisse und Arbeitsweisen zu vermitteln, um Sachverhalte mathematisch beschreiben zu können. Der Unterricht macht mit grundlegenden Ideen mathematischer Betrachtung und Tätigkeit vertraut. Die Schülerinnen und Schüler erfahren dabei eine intensive Schulung des Denkens, bei welchem klare Begriffe und Vorstellungen entwickelt werden. Zudem gewinnen sie eine Einführung in das systematische Vorgehen und eine folgerichtige Gedankenführung, wie sie für das mathematische Arbeiten typisch sind. Das Grundlagenfach Mathematik vermittelt den Schülerinnen und Schülern eine breite mathematische Allgemeinbildung und ermöglicht es ihnen, die Mathematik auch in anderen Fachbereichen einzusetzen. Zudem werden im mathematischen Bereich Grundlagen erarbeitet, die später im Schwerpunktfach und im Ergänzungsfach vertieft betrachtet und ausgebaut werden. Zu vermittelnde Unterrichtsgebiete Die Unterrichtsgebiete werden in Teil D. Jahrespläne näher ausgeführt. Zahlen Algebra Gleichungen Geometrie Funktionen Logarithmen Wachstums und Zerfallsprozesse Folgen und Reihen Grenzwertrechnung Differenzialrechnung Integralrechnung Stochastik Analytische Geometrie

2 Mathematik (Grundlagenfach) 288 Beitrag des Faches zur Studierfähigkeit und persönlichen Bildung Der Mathematikunterricht fördert verschiedene Kompetenzen: Die Wissenskompetenz besteht in einem Verständnis mathematischer Begriffsbildungen, mathematischer Resultate und Verfahren. Die algorithmische Kompetenz (Rechnen) besteht darin, mathematische Verfahren zu beherrschen. Die argumentative Kompetenz (Beweisen) besteht darin, Demonstrationen, Argumentationen und Beweise anderer zu verstehen und selbst hervorzubringen. Die Problemlösungskompetenz (Textaufgaben) besteht darin, Problemsituationen durch den Einsatz von Mathematik zu meistern. Die Mathematik ist ein wesentliches Instrument zur Beschreibung von Modellen für Vorgänge, insbesondere in Naturwissenschaft und Technik, aber auch in Wirtschaft, Psychologie und weiteren Bereichen. Sie hat entscheidenden Anteil bei der Gewinnung von Kenntnissen über unsere Umwelt und eignet sich darum vortrefflich dazu, praxisbezogene Probleme zu lösen. Mit dem im Mathematikunterricht erarbeiteten intellektuellen Instrumentarium wird eine vertiefte Einsicht in viele Wissenschaften und damit in einen Teil unserer Welt möglich. Der Mathematikunterricht legt Grundlagen und fördert Fertigkeiten und Haltungen, die für sehr viele Studiengänge Voraussetzung sind, zum Beispiel für naturwissenschaftliche, technische und auch für wirtschafts- und sozialwissenschaftliche Studiengänge. Für die erfolgreiche Aufnahme vieler dieser Studiengänge ist das Erreichen der in den Lernzielen ausgewiesenen basalen mathematischen Kompetenzen für die allgemeine Studierfähigkeit eine notwendige Bedingung. Für einige besonders mathematikintensive Studiengänge wie Physik, Informatik und Maschineningenieurwesen ist aber auch das Erreichen der weiteren Lernziele nicht nur wünschenswert, sondern unabdingbar. C. Überfachliche Kompetenzen Das Grundlagenfach Mathematik fördert besonders die folgenden überfachlichen Kompetenzen: Selbstständigkeit verschiedene Problemlösestrategien anwenden Reflexive Fähigkeiten in abstrakten Begriffen eigenständig und kritisch denken ein Problem unter verschiedenen Gesichtspunkten betrachten Sprachkompetenz mit der Fachsprache korrekt und präzise umgehen Umgangssprache in Formelsprache übersetzen und umgekehrt über abstrakte Sachverhalte korrekt und verständlich sprechen Arbeits- und Lernverhalten Aufgaben mit grosser Sorgfalt, Konzentration und Durchhaltewillen lösen ICT-Kompetenzen Taschenrechner und Computer (Mathematiksoftware) sinnvoll einsetzen

3 Mathematik (Grundlagenfach) Jahr D. Jahrespläne Die einzelnen Unterrichtsgebiete sind dargestellt in den beiden Spalten Teilgebiete Lernziele Teilgebiete, die sich für den fächerübergreifenden Unterricht besonders eignen, sind im Folgenden mit einem Stern * bezeichnet. Bei den mit (B) bezeichneten Lernzielen handelt es sich um basale mathematische Kompetenzen für die allgemeine Studierfähigkeit. Dabei werden, wo angebracht, folgende Unterteilungen vorgenommen 4 : (B,a): Zur Erfassung und Bearbeitung eines Sachverhalts das passende mathematische Werkzeug auswählen. (B,b): Aus verschiedenen zur Verfügung stehenden Darstellungsmöglichkeiten kann die passende ausgewählt werden. (B,c): Die fachwissenschaftliche Systematik der curricularen mathematischen Begriffe herstellen. 4 Die Formulierungen basieren auf dem Anhang zum Rahmenlehrplan für die Maturitätsschulen vom 9. Juni Basale fachliche Kompetenzen für allgemeine Studierfähigkeit in Erstsprache und Mathematik der Schweizerischen Konferenz der kantonalen Erziehungsdirektoren (EDK) vom 17. März 2016.

4 Mathematik (Grundlagenfach) Jahr 1. Jahr 1. Zahlen 1.1 Reelle Zahlen - beschreiben das Prinzip der Erweiterung der Zahlenmengen (Übergang von den natürlichen zu den ganzen, rationalen und reellen Zahlen) - definieren irrationale und reelle Zahlen - führen die vier Grundoperationen in allen Zahlenmengen schriftlich und bei einfachen Rechnungen im Kopf durch (B,a) 2. Algebra 2.1 Terme - definieren den Begriff Term (B) - wenden das Distributivgesetz an und stellen es grafisch dar (B,b) 2.2 Binomische Formeln - multiplizieren binomische Ausdrücke in einem Schritt aus 2.3 Faktorisieren - faktorisieren Terme der Form ax ay (B) - faktorisieren binomische Ausdrücke - faktorisieren Terme der Form x px q 2.4 Bruchterme - addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren Bruchterme (B) - rechnen mit Doppelbrüchen (B) 2.5 Potenzen - wenden die Potenzgesetze für natürliche Exponenten an (B) 3. Gleichungen 3.1 Gleichungslehre - definieren die Begriffe Grundmenge, Lösungsmenge und Äquivalenzumformungen - lösen Spezialfälle von Gleichungen mit keiner oder unendlich vielen Lösungen und geben die Lösungsmenge korrekt an - lösen lineare Gleichungen, die mit Hilfe des Distributivgesetzes oder der binomischen Formeln vereinfacht werden müssen (B) - drücken einen Sachverhalt mit einer Gleichung aus und lösen diese

5 Mathematik (Grundlagenfach) Jahr 3.3 Gleichungen mit Parametern 3.4 Gleichungen höheren Grades - lösen lineare Gleichungen mit Parametern - lösen Gleichungen höheren Grades mit Hilfe der Faktorzerlegung 4. Geometrie 4.1 Zentrische Streckung und Ähnlichkeit 4.2 Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck* - führen zentrische Streckungen mit rationalen Streckfaktoren durch - definieren den Begriff der Ähnlichkeit - unterscheiden die Begriffe kongruent und ähnlich - wenden die Ähnlichkeitssätze an (B) - definieren die Begriffe Sinus, Cosinus und Tangens - führen mit Hilfe von Sinus, Cosinus und Tangens Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken durch (B) - leiten die Sätze tan = si x c s x und si + s = her 5. Analytische Geometrie 5.1 Elementare Vektoroperationen 5.2 Vektoren im Koordinatensystem - definieren die Begriffe Vektor und Gegenvektor - stellen die skalare Multiplikation, die Vektoraddition und die Vektorsubtraktion grafisch dar (B) - bestimmen Komponenten von Vektoren in einem Koordinatensystem - berechnen skalare Multiplikationen, Vektoradditionen und Vektorsubtraktionen (B)

6 Mathematik (Grundlagenfach) Jahr 2. Jahr 1. Funktionen 1.1 Lineare Funktionen - definieren eine allgemeine lineare Funktion = + - erklären den Fall = als direkte Proportionalität (B,c) - stellen lineare Funktionen im zweidimensionalen Koordinatensystem grafisch dar (B,b) - erklären die Bedeutungen der Parameter und - erklären den Zusammenhang zwischen der Steigung und dem Tangens des Steigungswinkels (B,c) 1.2 Quadratische Funktionen - definieren eine allgemeine quadratische Funktion in der Normalform = + + und in der Scheitelpunktform = + - stellen quadratische Funktionen im zweidimensionalen Koordinatensystem grafisch dar (B,b) - erklären den Zusammenhang zwischen der Anzahl Nullstellen des Graphen einer quadratischen Funktion und der Anzahl Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung (B,c) 1.3 Potenzfunktionen - definieren eine allgemeine Potenzfunktion = q - erklären den Fall = als indirekte Proportionalität (B,c) - erklären den Zusammenhang von Potenzfunktion und Wurzelfunktion - stellen Potenzfunktionen im zweidimensionalen Koordinatensystem grafisch dar (B,b) - erklären den Zusammenhang zwischen dem Exponenten q und den Eigenschaften des zugehörigen Graphen (B,c) 1.4 Trigonometrische Funktionen - definieren die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion am Kreis - stellen die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion mit den wichtigsten Punkten im zweidimensionalen Koordinatensystem grafisch dar (B,b) - rechnen Winkel vom Gradmass ins Bogenmass und umgekehrt um

7 Mathematik (Grundlagenfach) Jahr 2. Geometrie 2.1 Körperberechnungen - stellen Würfel, Quader und Pyramiden in einem räumlichen Koordinatensystem dar (B) - vertiefen die Berechnung von Dreiecksflächen und die Satzgruppe von Pythagoras (B) - berechnen Volumen und Oberflächen von Würfel, Quader, Zylinder und Pyramide (ohne Herleitung) (B) - berechnen räumliche Strecken und Flächen bei Würfeln, Quadern und Pyramiden (z. B. Diagonale eines Quaders, Höhe einer Pyramide, Fläche in einem Würfel, Inkugelradius im Tetraeder) 3. Gleichungen 3.1 Quadratische Gleichungen - definieren allgemeine quadratische Gleichungen + + = - lösen quadratische Gleichungen mit Wurzelziehen, Faktorisieren, quadratischem Ergänzen und der Lösungsformel und passen dabei die Methode der zu lösenden Gleichung an (B,a) - erklären den Zusammenhang zwischen der Diskriminante und der Anzahl Lösungen - lösen Textaufgaben, die auf quadratische Gleichungen führen 3.2 Wurzelgleichungen - bestimmen die Lösungsmengen von Wurzelgleichungen auf adäquate Weise (B,a) - erklären, warum Scheinlösungen auftreten können (B,c) 3.3 Lineare Gleichungssysteme - entscheiden, ob das Einsetzungs- oder das Additionsverfahren zur Lösung des Gleichungssystems geeignet ist - lösen 2x2-Gleichungssysteme (B) - erklären den Zusammenhang zwischen der Lösungsmenge eines 2x2-Gleichungssystems und der Anzahl Schnittpunkte zweier Geraden (B,c) - lösen 3x3-Gleichungssysteme - lösen Textaufgaben, die auf lineare Gleichungssysteme führen 4. Algebra 4.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten - definieren Potenzen mit negativen Exponenten mit Hilfe von Brüchen - stellen Zahlen in der wissenschaftlichen Notation dar

8 Mathematik (Grundlagenfach) Jahr 4.2 Potenzen mit rationalen Exponenten - definieren Potenzen mit rationalen Exponenten mit Hilfe von Wurzeln - wenden die Potenzgesetze für beliebige Exponenten an (B)

9 Mathematik (Grundlagenfach) Jahr 3. Jahr 1. Geometrie 1.1 Trigonometrie in allgemeinen Dreiecken - wenden den Sinus- und den Cosinussatz an 2. Wachstums- und Zerfallsprozesse 2.1 Exponentialfunktion - definieren eine allgemeine Exponentialfunktion = x - stellen Exponentialfunktionen im zweidimensionalen Koordinatensystem grafisch dar (B,b) - erklären die Bedeutung des Parameters 2.2 Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall* 2.3 Allgemeine Wachstumsvorgänge - listen Beispiele zu exponentiellem Wachstum und exponentiellem Zerfall auf (z. B. Zinseszinsrechnung, radioaktiver Zerfall) - definieren die Begriffe Halbwertszeit und Verdoppelungszeit und wenden sie an - unterscheiden lineare und exponentielle Wachstumsprozesse 3. Logarithmen 3.1 Logarithmusbegriff - definieren Logarithmen - berechnen geeignete Logarithmen ohne Taschenrechner 3.2 Rechnen mit Logarithmen - formulieren die Logarithmengesetze und wenden sie an (B) - berechnen Logarithmen für beliebige Basen mit dem Taschenrechner - lösen Exponentialgleichungen durch Exponentenvergleich und mit Hilfe von Logarithmen und passen dabei die Methode der zu lösenden Gleichung an (B,a) 3.3 Logarithmusfunktion - definieren eine allgemeine Logarithmusfunktion = g a - stellen Logarithmusfunktionen im zweidimensionalen Koordinatensystem grafisch dar (B) - erklären graphisch den Zusammenhang zwischen = g a und = x (B,c)

10 Mathematik (Grundlagenfach) Jahr 4. Folgen und Reihen 4.1 Allgemeine Zahlenfolgen - erläutern die Begriffe explizit und rekursiv - berechnen die Glieder einer explizit oder rekursiv definierten Zahlenfolge - finden für geeignete Zahlenfolgen explizite und rekursive Darstellungen - stellen Reihen mit Hilfe des Summenzeichens dar 4.2 Arithmetische Folgen und Reihen 4.3 Geometrische Folgen und Reihen - erkennen arithmetische Folgen - wenden die Formeln zur Berechnung von arithmetischen Folgen und Reihen an - erkennen geometrische Folgen - wenden die Formeln zur Berechnung von geometrischen Folgen und Reihen an - lösen Anwendungsaufgaben zu unendlich geometrischen Reihen - erklären die Begriffe Grenzwert, konvergent und divergent 5. Grenzwertrechnung 5.1 Grenzwertbegriff - erklären anschaulich den Begriff Grenzwert für ± und für - bestimmen Grenzwerte von Funktionen - erläutern anschaulich den Begriff der Stetigkeit 6. Differenzialrechnung 6.1 Differenzialquotient - berechnen Differenzenquotienten (z.b. Sekantensteigung, Durchschnittsgeschwindigkeit) (B,c) - definieren den Begriff Differenzialquotient (B) - unterscheiden Differenzen- und Differenzialquotient (B,c) - Erklären den Zusammenhang zwischen einer Ableitung und einer Tangentensteigung (B,c) 6.2 Ableitungsregeln - leiten die Grundfunktionen =, = n, = e x, =, = si und = s ab (B) - wenden die Summen-, Faktor-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel adäquat an (B,a) - leiten Polynome ab (B) 6.3 Tangenten an Graphen - berechnen Tangentengleichungen (B)

11 Mathematik (Grundlagenfach) Jahr 6.4 Kurvendiskussion - bestimmen mit Hilfe der Ableitungsregeln Hoch-, Tief- und Wendepunkte - führen Kurvendiskussionen durch (B) - erklären die notwendige Bedingung f (x)=0 für einen Extremalpunkt (B,c)

12 Mathematik (Grundlagenfach) Jahr 4. Jahr 1. Differenzialrechnung 1.1 Extremwertaufgaben - lösen mit Hilfe der Differenzialrechnung Extremwertaufgaben (B) 2. Integralrechnung 2.1 Unbestimmtes Integral - definieren die Begriffe Stammfunktion und unbestimmtes Integral - berechnen unbestimmte Integrale für die Grundfunktionen =, = n, = e x, =, = sin und = cos x - formulieren die Faktor- und Summenregel für unbestimmte Integrale und wenden sie an (B) 2.2 Bestimmtes Integral - definieren die Begriffe Untersumme, Obersumme und bestimmtes Integral - formulieren den Hauptsatz der Integralrechnung 2.3 Anwendungen - lösen Flächenprobleme mit Hilfe des Hauptsatzes der Integralrechnung 3. Stochastik 3.1 Beschreibende Statistik - definieren die Begriffe Stichprobe, Mittelwert, Varianz, Standardabweichung und Median - stellen Daten mit geeigneten Diagrammen dar (z. B. Histogramm, Kuchendiagramm) (B,b) - berechnen Mittelwerte, Varianzen, Standardabweichungen und Mediane 3.2 Kombinatorik - definieren den Begriff Fakultät (B) - definieren den Begriff Binomialkoeffizient - lösen Aufgaben zu geordneten und ungeordneten Stichproben (mit und ohne Wiederholung) 3.3 Zufallsversuch - definieren die Begriffe Zufallsversuch, Ergebnis, Ereignis, Wahrscheinlichkeit, Zufallsvariable, Laplaceversuch und mehrstufiger Zufallsversuch - berechnen Wahrscheinlichkeiten von mehrstufigen Zufallsversuchen mit Hilfe von Baumdiagrammen

13 Mathematik (Grundlagenfach) Jahr 3.4 Wahrscheinlichkeitsverteilung - erklären den Begriff Wahrscheinlichkeitsverteilung - definieren die Begriffe Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung - berechnen Erwartungswerte, Varianzen und Standardabweichungen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen 3.5 Binomialverteilung - definieren den Begriff Binomialverteilung 4. Analytische Geometrie 4.1 Skalarprodukt - definieren das Skalarprodukt - berechnen den Winkel, der von zwei Vektoren eingeschlossen wird - schildern den Zusammenhang von rechtem Winkel und Skalarprodukt - wenden das Skalarprodukt bei Winkel- und Abstandsproblemen an 4.2 Gerade im Raum - bestimmen und erläutern die Parameterdarstellung von Geraden - bestimmen die gegenseitige Lage von zwei Geraden 4.3 Anwendungen - lösen Schnitt-, Winkel- und Abstandsprobleme