Übungsaufgaben. Anhang A. Aufgaben zu 1. Aufgabe 1 1: Aufgabe 1 2: Aufgabe 1 3:

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1 Anhang A Übungsaufgaben Aufgaben zu 1 Aufgabe 1 1: a) Gegeben seien zwei Mengen X und Y sowie eine Abbildung f : X Y. Zeigen Sie, daß f genau dann bijektiv ist, wenn eine Abbildung g : Y X mit g f = id X und f g = id Y existiert. Beweisen Sie ferner, daß ein solches g falls vorhanden eindeutig bestimmt sein muß. b) Geben Sie ein Beispiel zweier Mengen X und Y sowie zweier Abbildungen f : X Y und g : Y X mit g f = id X derart an, daß f nicht bijektiv ist. Aufgabe 1 2: Es seien X, Y zwei Mengen und f : X Y eine Abbildung. Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen: a) f ist injektiv. b) Für alle Teilmengen A, B X gilt: f(a) f(b) f(a B). c) Sind A und B Teilmengen von X mit A B =, so folgt: f(a) f(b) =. d) Für alle Teilmengen A, B X gilt: f(a \ B) f(a) \ f(b). Hinweis: Wenn Sie einen Ringschluß finden, brauchen Sie nur vier Implikationen zu zeigen. Aufgabe 1 3: Es sei M := {(a, b, c) a, b, c Z a 2 = b 2 = 1} und (a, b, c) (a, b, c ) := (a a, b b, a c +c b ), wobei die Verknüpfungen + und in den Komponenten auf der rechten Seite die Addition bzw. Multiplikation in Z seien. Beweisen Sie, daß M mit der Verknüpfung eine Gruppe bildet. Und untersuchen Sie, ob diese Gruppe (M, ) abelsch ist. 429

2 430 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Aufgabe 1 4: Es sei M := {(a, b) a, b Q b 0} und (a, b) (a, b ) := ( a + b a, b b ), wobei die Verknüpfungen + und auf der rechten Seite die üblichen Verknüpfungen in Q seien. Beweisen Sie, daß eine innere Verknüpfung auf M und (M, ) eine Gruppe ist. Untersuchen Sie, ob die Gruppe abelsch ist. Aufgabe 1 5: a) Es sei (G, ) eine Gruppe mit dem neutralen Element e. Beweisen Sie: Hat G die Eigenschaft: (N) Für jedes Element a G gilt: a a = e, so ist G abelsch. b) Gibt es Gruppen G mit der Eigenschaft (N) und (1) genau drei, (2) genau vier Elementen? Geben Sie jeweils entweder eine Verknüpfungstafel an, oder zeigen Sie, daß dies nicht möglich ist. Aufgabe 1 6: Es sei (G, ) eine Gruppe, und S(G) bezeichne die Menge aller bijektiven Abbildungen von G auf G. Für ein Element g G definieren wir die Abbildung Zeigen Sie: ϕ g : G G durch ϕ g (a) := g a für alle a G. a) Es ist ϕ g S(G) für jedes g G. b) Die Abbildung Φ : G S(G) mit Φ(g) := ϕ g für jedes g G ist injektiv. Und für alle Elemente g, h G gilt: Φ(g h) = Φ(g) Φ(h). Aufgabe 1 7: Es sei G eine Gruppe mit genau vier Elementen. (Die Existenz von G wird garantiert.) Das neutrale Element von G bezeichnen wir wieder mit e. Beweisen Sie: Gibt es ein Element a G mit a a e, so folgt: G = { e, a, a a, a a a }.

3 Aufgaben zu Aufgabe 1 8: a) Es sei (G, ) eine Gruppe mit 2n Elementen (für n IN ) und e das neutrale Element. Zeigen Sie, daß die Anzahl der Elemente aus {x G x 2 = e} gerade ist. b) Es sei (G, ) eine Gruppe mit a 2 b 2 = (a b) 2 für alle Elemente a, b G. Zeigen Sie, daß G dann abelsch ist. Aufgabe 1 9: Auf R := Z Z seien folgende Verknüpfungen für alle (a, b), (a, b ) R erklärt: (a, b) + (a, b ) := ( a + a, b + b ), (a, b) (a, b ) := ( a a, a b + b a 2 a a ). (Dabei sind die Verknüpfungen in den Komponenten der rechten Seite wieder die üblichen Verknüpfungen in Z.) Zeigen Sie, daß (R, +, ) ein Ring ist. Untersuchen Sie, ob es in R ein Einselement gibt. Aufgabe 1 10: Es sei (R, +, ) ein Ring und 0 das neutrale Element seiner additiven Gruppe. Für alle Elemente x R gelte: x x = x. Beweisen Sie: a) Es gilt: x + x = 0 für alle x R. b) R ist ein kommutativer Ring. Aufgabe 1 11: Auf der Menge R := {a, b, c} werden durch folgende Tafeln zwei Verknüpfungen definiert: + a b c a a b c b b c a c c a b a b c a a a a b a b c c a b c Dann ist (R, +) eine abelsche Gruppe (was nicht gezeigt zu werden braucht). Untersuchen Sie, welche der übrigen Ringaxiome in (R, +, ) noch gelten. Aufgabe 1 12: Zeigen Sie, daß die Menge K := {a + b 5 a, b Q} zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation reeller Zahlen einen kommutativen Körper bildet.

4 432 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Aufgabe 1 13: Es gibt einen kommutativen Körper (K, +, ) mit genau vier Elementen (das ist eine wahre Voraussetzung und soll nicht gezeigt werden). Wir bezeichnen das Nullelement in K wieder mit 0. Beweisen Sie, daß für alle x K gilt: x + x = 0. Und stellen Sie die beiden Verknüpfungstafeln von K auf. Aufgaben zu 2 Aufgabe 2 1: Prüfen Sie, welche der folgenden Teilmengen von Abb(IR, IR) Untervektorräume von (Abb(IR, IR), +, ) sind: a) {f Abb(IR, IR) f(0) + f(1) = 0}. b) {f Abb(IR, IR) f(0) f(1) = 0}. c) {f Abb(IR, IR) f(2 x) = 2 f(x) x IR }. d) {f Abb(IR, IR) f(2 + x) = 2 + f(x) x IR }. e) {f Abb(IR, IR) f(x 2 ) = (f(x)) 2 x IR }. f) {f Abb(IR, IR) f(0) = f(1)}. g) {f Abb(IR, IR) f(3) = 1 + f(5)}. h) {f Abb(IR, IR) f( x) = f(x) x IR }. i) {f Abb(IR, IR) f(2) = 2 f(1)}. j) {f Abb(IR, IR) f(2) = (f(1)) 2 }. k) {f Abb(IR, IR) f(t) f( t) = 0 t IR }. l) {f Abb(IR, IR) f f = f}. Aufgabe 2 2: Wir betrachten den Körper K := Z 3 = {0, 1, 2} und den K Vektorraum (K 3, +, ). a) Wieviele Elemente enthalten die Untervektorräume von K 3? (Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich.) b) Geben Sie alle Untervektorräume von K 3 an, die den Vektor x = (1, 1, 1) K 3 enthalten. (Ein Beweis ist nicht erforderlich.)

5 Aufgaben zu Aufgaben zu 3 Aufgabe 3 1: Es seien v 1, v 2,..., v n linear abhängige Elemente eines Vektorraumes V mit n 2 und v j 0 für alle j = 1, 2,..., n. a) Beweisen Sie, daß sich mindestens zwei Vektoren v k, v l mit k l als Linearkombination der jeweils übrigen n 1 Vektoren darstellen lassen. b) Geben sie für allgemeines n 3 ein Beispiel an, bei dem sich nur genau zwei Vektoren v k, v l mit k l als Linearkombination der jeweils übrigen n 1 Vektoren darstellen lassen. Aufgabe 3 2: a) Es seien a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6 die sechs verschiedenen Vektoren im IR 4 mit jeweils genau zwei Einsen und zwei Nullen als Komponenten. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen: (1) Jede Auswahl von vier verschiedenen Vektoren aus {a 1, a 2,..., a 6 } bildet eine Basis des IR 4. (2) Keine Auswahl von vier verschiedenen Vektoren aus {a 1, a 2,..., a 6 } bildet eine Basis des IR 4. b) Lösen Sie die zu a) entsprechende Aufgabe für den Vektorraum K 4 an Stelle von IR 4, wobei K der Körper mit vier Elementen aus Aufgabe 1 13 ist. Aufgabe 3 3: Für n IN seien v 1, v 2,..., v n linear unabhängige Elemente eines Vektorraumes V. Das Element a V habe folgende Eigenschaft: Für alle 1 j n sind v 1, v 2,..., v j 1, a, v j+1,..., v n linear abhängig. Beweisen Sie, daß dann a = 0 ist. Aufgabe 3 4: Es sei V ein K Vektorraum und U 1, U 2, U 3 seien Untervektorräume von V. Welche der folgenden Aussagen sind allgemeingültig, welche nicht? a) Sind x 1, x 2,..., x n linear unabhängige Vektoren aus U 1, und gilt: x 0 V \ U 1, dann ist (x 0, x 1, x 2,..., x n ) linear unabhängig. b) Sind U 1 und U 2 verschieden mit U 1 {0} U 2, so existieren zwei in V linear unabhängige Elemente u i U i für i = 1, 2. c) Sind U 1, U 2, U 3 {0} paarweise verschieden, dann existieren drei in V linear unabhängige Elemente u i U i für i = 1, 2, 3. d) Gilt für alle u 1 U 1 und alle u 2 U 2, daß u 1, u 2 linear abhängig sind, so ist U 1 = U 2. Es ist jeweils ein Beweis oder ein Gegenbeispiel anzugeben.

6 434 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Aufgabe 3 5: Im IR 4 seien vier Vektoren vorgegeben: x 1 = (0, 2, 0, 1), x 2 = (4, 3, 1, 1), x 3 = ( 1, 1, 1, 1) und x 4 = (1, 1, 1, 0). a) Untersuchen Sie, ob (x 1, x 2, x 3, x 4 ) linear abhängig ist. Geben Sie falls möglich eine nicht triviale Linearkombination von 0 IR 4 an. b) Es sei V := <x 1, x 2, x 3, x 4 >. Untersuchen Sie, ob a = (1, 2, 0, 1) und b = (2, 1, 1, 0) Vektoren aus V sind. c) Bestimmen Sie dim IR V und gegebenenfalls eine Basis von V, die a und b enthält. Aufgabe 3 6: Für einen Vektorraum V seien A und B beliebige Teilmengen von V. Welche der folgenden Inklusionen sind allgemeingültig, welche nicht? a) <A B> (<A> <B>). b) <A B> (<A> <B>). c) <A B> (<A> <B>). d) <A B> (<A> <B>). Es ist jeweils ein Beweis oder ein Gegenbeispiel anzugeben. Aufgabe 3 7: Es sei W ein endlich dimensionaler Vektorraum und U ein Untervektorraum von W mit U W. Beweisen Sie: a) Es existiert eine Basis von W aus Vektoren, die alle nicht zu U gehören. b) Es gibt einen Untervektorraum V von W mit U V = {0} und <U V > = W. Aufgabe 3 8: Es sei IN := IN \ {0}. Wir betrachten die Elemente e i Abb(IN, IR) mit { 1, falls n = i e i (n) := 0 für alle n i für jedes i IN und das Element e 0 Abb(IN, IR) mit e 0 (n) := 1 für alle n IN. a) Zeigen Sie, daß die Familie (e i ) 0 i m für beliebiges m IN linear unabhängig ist. b) Beweisen Sie, daß für jedes m IN gilt: <e 0, e 1, e 2,..., e m > = {f Abb(IN, IR) α=α(f) IR n>m f(n) = α }.

7 Aufgaben zu Aufgabe 3 9: Es sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Gegeben seien Vektoren a, b V α, β, γ, δ K. Zeigen Sie: a) Ist αδ βγ 0, so gibt es eindeutig bestimmte Vektoren x, y V mit α x + β y = } a, γ x + δ y = b. und Skalare (1) b) Ist αδ βγ = 0, und sind a und b linear unabhängig, dann existieren keine Vektoren x, y V, die Eigenschaft (1) erfüllen. Aufgabe 3 10: a) Berechnen Sie im IR 4 diejenigen Vektoren x und y, für die gilt: 2 x + y = (1, 2, 3, 1) und 3 x + 5 y = (2, 1, 2, 5). b) Untersuchen Sie, ob folgende Vektoren im IR 4 linear abhängig oder linear unabhängig sind: (i) v 1 = (3, 0, 1, 5), v 2 = ( 3, 2, 3, 7), v 3 = (3, 5, 4, 0). (ii) w 1 = (1, 2, 0, 1), w 2 = (2, 1, 1, 3), w 3 = (0, 1, 3, 4). Im Falle linearer Abhängigkeit geben Sie bitte eine nicht triviale Linearkombination des Nullvektors an. Aufgabe 3 11: Es sei K := Z 2 = {0, 1} der Körper mit zwei Elementen. Im K Vektorraum Abb(K, K) sei die Familie (f n ) n IN definiert durch: f n (x) := x n für alle x K. Dabei ist x 0 := 1 für jedes x K. Untersuchen Sie die Familie (f n ) n IN auf lineare Unabhängigkeit. Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von <(f n ) n IN >. Aufgabe 3 12: Im IR n seien für n > 3 drei Vektoren der Form c k = (c (k) 1, c(k) 2,..., c(k) n ) mit k = 1, 2, 3 gegeben. Setze V := <c 1, c 2, c 3 >. Beweisen Sie, daß dann die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind: (1) Die drei Vektoren c k = (c (k) 1, c(k) 2, c(k) 3 ) mit k = 1, 2, 3 sind im IR3 linear unabhängig. (2) Es gibt eine Basis (b 1, b 2, b 3 ) von V mit Vektoren b k IR n der Gestalt b 1 = (1, 0, 0, b (1) 4, b(1) 5,..., b(1) n ), b 2 = (0, 1, 0, b (2) 4, b(2) 5,..., b(2) n ), b 3 = (0, 0, 1, b (3) 4, b(3) 5,..., b(3) n ).

8 436 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Aufgabe 3 13: Für alle n Z sei f n Abb(IR, IR) definiert durch { 1 x n, falls n 1 x n + 1 f n (x) := 0 sonst. a) Untersuchen Sie die Familie (f n ) n Z im Vektorraum Abb(IR, IR) auf lineare Unabhängigkeit. b) Welche der Funktionen g und h aus Abb(IR, IR) gehört zum Erzeugnis <(f n ) n Z >, welche nicht? 10x + 10 für 1 x 0 5x + 10 für 0 < x 1 g(x) := 1 x IR, h(x) := 1 2 x für 1 < x 11 0 sonst. Aufgabe 3 14: Es sei V ein K Vektorraum mit endlich vielen Elementen und m := V. Beweisen Sie: Gilt: m > 1, so ist auch n := K endlich, und es gibt dann ein l IN mit m = n l. Aufgabe 3 15: Wir betrachten IR als Vektorraum über dem Körper Q. Zeigen Sie: a) 3 2 / Q. b) 1, 2 und 3 2 sind über Q linear unabhängig. Sie dürfen ohne Beweis benutzen, daß 2 / Q ist. Aufgabe 3 16: Wir betrachten IR als Vektorraum über Q. Eine reelle Zahl x IR heißt transzendent, wenn die Familie (x n ) n IN in IR linear unabhängig ist. Beweisen Sie: Ist x IR transzendent, so gilt notwendigerweise: x 0, und die Zahlen 1 x sowie x sind ebenfalls transzendent. Aufgaben zu 4 Aufgabe 4 1: Es sei V ein K Vektorraum; ferner seien x 1, x 2, x 3, x 4 V linear unabhängig und U := <x 1 x 2, x 2 x 3, x 3 x 1 >, W := <x 1 + x 2 + x 4, x 1 + x 3 >. Bestimmen Sie die Dimensionen von U und W sowie von U W und U + W.

9 Aufgaben zu Aufgabe 4 2: Im IR Vektorraum V := Abb([ 0 ; 1 ], IR) ist durch zwei verschiedene Punkte ξ 1, ξ 2 [ 0 ; 1 ] gemäß U := {f V f(ξ 1 ) = f(ξ 2 ) = 0} ein Untervektorraum gegeben. Bestimmen Sie einen zu U komplementären Untervektorraum W von V. Aufgabe 4 3: Es sei U der Untervektorraum von Abb(IR, IR) aus Aufgabe 2 1a). Bestimmen Sie einen zu U komplementären Untervektorraum W von Abb(IR, IR). Aufgabe 4 4: Es seien V 1, V 2, V 3 Untervektorräume eines K Vektorraums W. Welche der beiden Inklusionen ist allgemeingültig, welche nicht? a) (V 1 + V 2 ) V 3 (V 1 V 3 ) + (V 2 V 3 ). b) (V 1 V 3 ) + (V 2 V 3 ) (V 1 + V 2 ) V 3. (Gefordert ist ein Beweis bzw. ein Gegenbeispiel.) Aufgaben zu 5 Aufgabe 5 1: Gegeben sei ein Vektorraum V über dem Körper K und eine Konstante n IN. Beweisen Sie: Genau dann liegen n + 1 Punkte p 0, p 1, p 2,..., p n V in einem affinen Unterraum von V mit Dimension d n 1, wenn es Skalare λ 0, λ 1, λ 2,..., λ n K gibt mit den Eigenschaften: (1) Es sind nicht alle λ k = 0. (2) Es gilt: (3) Es gilt: n λ k = 0. k=0 n λ k p k = 0. k=0 Aufgabe 5 2: Es sei V ein K Vektorraum der endlichen Dimension n 3. Und A sei ein affiner Unterraum der Dimension n 2 von V. Zeigen Sie: Es gibt einen affinen Unterraum B mit Dimension n 2 von V, der zu A nicht parallel ist und für den A B = gilt.

10 438 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Aufgabe 5 3: Es sei V ein Vektorraum der endlichen Dimension n über dem Körper K, H sei eine Hyperebene in V und A ein affiner Unterraum von V mit der Dimension k 1. Beweisen Sie: Sind A und H nicht parallel, so gilt: A H. In diesem Fall ist A H ein affiner Unterraum der Dimension k 1 von V. Aufgabe 5 4: Es sei V ein Vektorraum der endlichen Dimension n 2 über dem Körper K. Zeigen Sie: Sind A 1, A 2 Hyperebenen in V und nicht parallel, so ist A 1 A 2 ein affiner Unterraum der Dimension n 2. Aufgaben zu 6 Aufgabe 6 1: Eine reelle (n n)-matrix heißt ein magisches Quadrat, wenn die Summe aller ihrer Einträge in jeder Zeile, in jeder Spalte und in den beiden Diagonalen immer die gleiche Zahl liefert. Die Menge MQ n aller dieser magischen Quadrate bildet mit den üblichen Verknüpfungen einen Untervektorraum der reellen (n n)-matrizen (was nicht gezeigt zu werden braucht). a) Beweisen Sie: Haben zwei magische Quadrate aus MQ 3 die gleiche erste Zeile, so sind sie bereits gleich. b) Untersuchen Sie folgende magische Quadrate auf lineare Unabhängigkeit in MQ 3 : , , c) Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von MQ 3. Aufgabe 6 2: Wir betrachten den Untervektorraum MQ 4 Mat(4, 4; IR). a) Es sei I := {(i, j) IN IN i + j 5 i j 2}. Beweisen Sie: Sind A = (α ij ) und B = (β ij ) magische Quadrate aus MQ 4 und gilt: α ij = β ij (i, j) I, so folgt: A = B. für alle b) Bestimmen Sie die Dimension von MQ 4 und eine Basis von MQ 4 aus Matrizen, die jeweils an mindestens acht Stellen den Koeffizienten Null haben.

11 Aufgaben zu Aufgabe 6 3: Bestimmen Sie die allgemeine Form aller Matrizen A Mat(n, n; IR), die bei der Multiplikation mit jeder Matrix B Mat(n, n; IR) vertauschbar sind, d. h. für die gilt: A B = B A. Hinweis: Untersuchen Sie zuerst mit einfachen Matrizen B, welche Form A notwendig haben muß. Aufgabe 6 4: Wir definieren Potenzen von quadratischen Matrizen A Mat(n, n; K) rekursiv durch A 0 := E n und A k+1 := A k A für alle k IN., welche die Bedin- ( a b a) Finden Sie sämtliche Matrizen A Mat(2, 2; IR) mit A = c d gungen a b c d 0 und A 2 = 0 erfüllen. ( ) 2 3 b) Berechnen Sie alle Potenzen B k der Matrix B =. 4 6 Hinweis: Hierfür ist ein Induktionsansatz erforderlich. ) Aufgabe 6 5: a) Berechnen Sie alle Potenzen A k der Matrix A = ( b) (1) Gibt es Matrizen A Mat(2, 3; IR) und B Mat(3, 2; IR) mit A B = E 2 und zugleich B A E 3? (2) Gibt es Matrizen C Mat(2, 3; IR) und D Mat(3, 2; IR) mit C D E 2 und zugleich D C = E 3? Geben Sie jeweils ein Beispiel solcher Matrizen an, oder beweisen Sie, daß dies nicht möglich ist. ). Aufgabe 6 6: Es sei S(n) die Menge aller symmetrischen Matrizen aus Mat(n, n; IR). Für A, B S(n) definieren wir: A B := 1 2 (A B + B A). Zeigen Sie, daß gilt: a) Für jedes n IN ist eine innere Verknüpfung auf S(n). b) Für kein n 2 ist die Verknüpfung assoziativ auf S(n).

12 440 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Aufgabe 6 7: Es sei { ( ) z w IH := A Mat(2, 2; C) A = w z } mit z, w C. Zeigen Sie explizit: Mit der üblichen Matrix Addition und Matrix Multiplikation bildet die Menge IH einen Schiefkörper. (Auch die benötigten Rechenregeln für die Konjugation : C C, z = a + b i z = a b i sollen bewiesen werden.) Aufgabe 6 8: Wir übernehmen die Bezeichnung IH aus Aufgabe 6 7. a) Beweisen ( Sie: ) z w Ist A = IH, so gilt: A A = (z + z) A (z z + w w) E w z 2. b) Bestimmen Sie alle Lösungen X IH der quadratischen Gleichung X X + E 2 = 0. Aufgabe 6 9: Zeigen Sie: Jede Matrix A Mat(n, n; C) ist Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix. Dabei sind die Summanden eindeutig bestimmt. Führen Sie eine Zerlegung am Beispiel durch. A = Aufgabe 6 10: Eine quadratische Matrix A = (α ij ) Mat(n, n; K) heißt eine echte obere Dreiecksmatrix, wenn α ij = 0 für alle i j gilt. Beweisen Sie für echte obere Dreiecksmatrizen A Mat(n, n; K) folgende Aussagen: a) A n = 0. b) (E n A) 1 = E n + A + A 2 + A A n 1.

13 Aufgaben zu Aufgabe 6 11: Für echte obere Dreiecksmatrizen X Mat(n, n; K) sei exp(x) := n 1 k=0 1 k! Xk. Beweisen oder widerlegen Sie: Für alle n IN und alle echten oberen Dreiecksmatrizen A, B Mat(n, n; IR) gilt: Aufgabe 6 12: exp (A + B) = exp(a) exp(b). Es seien P, Q, W und X Matrizen aus Mat(n, n; IR). Wir betrachten folgende Aussage: W 2 = 1 4 P 2 Q X = 1 2 P + W X2 + P X + Q = 0. Diese Aussage ist für n = 1 richtig (als p-q Formel für quadratische Gleichungen). Gilt sie auch für n = 2? (Verlangt wird ein Beweis oder ein Gegenbeispiel.) Aufgaben zu 7 Aufgabe 7 1: a) Für welche b IR ist das folgende lineare Gleichungssystem lösbar? u w + 3 x = 1 2 u + v + 2 w x = 8 3 u v 3 x = b 2 u + 3 v + 3 w + 4 x = 2 b) Für welche Einträge a C ist folgende Matrix A a Mat(3, 3; C) regulär? a 1 0 A a = 0 a 1 a 0 a Aufgabe 7 2: Gegeben sei A Mat(4, 5; IR) durch A = a) Berechnen Sie den Rang von A b) Es sei b := (20, 3, α, α) t IR 4. Bestimmen Sie den Parameter α IR so, daß das lineare Gleichungssystem A x = b mindestens eine Lösung x IR 5 hat..

14 442 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Aufgaben zu 8 Aufgabe 8 1: Für A Mat(m, n; K) seien F GL(m; K) und G GL(n; K) Produkte von Elementarmatrizen mit ( ) Er 0 F A G = =: 0 0 Ẽr Mat(m, n; K), wobei r := rg(a) ist. Zeigen Sie: a) Für B := G Ẽr t F Mat(n, m; K) gilt: A B A = A und B A B = B. ( ) Er C b) Ist C Mat(n, m; K) mit Ẽr C Ẽr = Ẽr, dann gilt: C = 12. C 21 C 22 c) Ist B Mat(n, m; K) beliebig mit A B A = A und B A B = B, so folgt: sp (A B) = sp(e r ) = r 1 K K. d) Ist B Mat(n, m; K) mit B A B = B und A B A = A sowie b <A 1, A 2,..., A n >, dann gilt: (i) A B b = b. (ii) {x K n A x = b} = {y B A y + B b K n y K n }. Aufgaben zu 9 Aufgabe 9 1: Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der folgenden reellen linearen Gleichungssysteme mit Hilfe des Gauß Algorithmus: a) u + 2 v + w = 0 13 u 26 v + 2 w = 15 2 u 4 v w = 1. b) y + z = 1 5 x + 5 y = 1 3 x + z = 0 2 x + 2 y + z = 1. c) 2 a + b c + 3 d = 4 3 a + 4 b + 7 c + 2 d = 2 6 a + 19 b + 25 c + 17 d = 3.

15 Aufgaben zu Aufgabe 9 2: Bestimmen Sie den Rang der Matrix Aufgabe 9 3:. Beweisen Sie: Die Matrix A Mat(n, n; IR) mit A = n 1 n n n 1 2 n 2 n 1 hat für jedes n IN den Rang rg(a) = n. Berechnen Sie die Inverse A 1. Hinweis: Wie lassen sich die kanonischen Einheitsvektoren aus den Spalten von A kombinieren? Aufgabe 9 4: a) Beweisen Sie: Ist A Mat(n, n; K) mit A A = 0, so folgt: rg(a) n 2. b) Zeigen Sie an einem Beispiel für n = 4, daß die Abschätzung aus a) nicht verbessert werden kann. Aufgabe 9 5: Bestimmen Sie die inverse Matrix von Aufgabe 9 6: A = a) Gegeben sind sechs feste Matrizen A, B, C, D, F, G Mat(n, n; IR) für ein n IN. Gesucht sind Matrizen X, Y Mat(n, n; IR), die das folgende lineare Gleichungssystem lösen: A X + B Y = F,. C X + D Y = G. Dabei sei D regulär und (A B D 1 C) ebenfalls regulär. Zeigen Sie, daß dann X und Y eindeutig bestimmt sind, und entwickeln Sie Formeln für die Lösungen X und Y.

16 444 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN b) Berechnen Sie mit den Formeln aus a) falls anwendbar Lösungen X, Y Mat(2, 2; IR) des linearen Gleichungssystems ( ) ( ) X + Y = ( ) ( ) X + Y = ( ) 22 32, ( ) Aufgabe 9 7: Für n IN mit n 2 sei E n die (n n)-einheitsmatrix und B = (b ij ) 1 i,j n die Matrix mit den Einträgen b ij = 1 für alle 1 i, j n. Mit α, β IR bilden wir die Matrix A := α E n + β B. Beweisen Sie: A ist genau dann singulär, wenn α 2 + nαβ = 0 gilt. Bestimmen Sie im regulären Fall für α = 1 die Inverse A 1. Aufgabe 9 8: Es sei A Mat(m, n; K) beliebig. Eine Matrix B Mat(n, m; K) heißt eine verallgemeinerte Inverse (oder Pseudo Inverse) zu A, wenn gilt: A B A = A und B A B = B. Zeigen Sie: a) Gilt: A = zu A. ( ) Er 0, so ist die transponierte Matrix A 0 0 t eine verallgemeinerte Inverse b) Ist B eine verallgemeinerte Inverse zu A, und sind L GL(m; K), R GL(n; K), dann ist die Matrix R 1 B L 1 eine verallgemeinerte Inverse zu L A R. c) Jedes A Mat(m, n; K) besitzt stets eine Pseudo Inverse; diese ist im allgemeinen aber nicht eindeutig bestimmt. Hinweis: Benutzen Sie Teil b), um A zunächst auf möglichst einfache Form zu bringen. Aufgabe 9 9: Es sei sp : Mat(n, n; K) K die Spur Abbildung aus Definition 6.8 der Vorlesung. Beweisen Sie: a) Es gilt: sp (A A t ) = n i,j=1 α ij 2 für alle A = (α ij ) Mat(n, n; K). b) Es gilt: sp (A B) = sp (B A) für alle A, B Mat(n, n; K). c) Ist A Mat(n, n; K) und sp (A B) = 0 für alle B Mat(n, n; K), so folgt: A = 0.

17 Aufgaben zu Aufgaben zu 10 Aufgabe 10 1: Berechnen Sie das Signum folgender Permutationen: a) ( ) S b) ( 1 2 n 1 ) n n n für n IN. c) ( n n+1 n+2 2n ) n 1 3 2n 1 d) ( n n+1 n+2 ) 2n n 1 3 2n+1 für n IN. für n IN. Aufgabe 10 2: Stellen Sie folgende Permutationen als Produkt von Transpositionen dar: ( ) ( ) a) π = und σ = b) ϱ und τ seien die beiden Permutationen aus Aufgabe 10 1 b) bzw. c). Aufgabe 10 3: Es sei n IN mit n 2. Beweisen Sie: a) Jede Permutation σ S n ist als Produkt von Transpositionen τ k S n darstellbar, wobei τ k (1) = k gilt für alle 2 k n. b) Jede Permutation σ S n ist Produkt von Transpositionen ϱ k S n, wobei ϱ k (k) = k + 1 gilt für alle 1 k n 1. Aufgaben zu 11 bis 13 Aufgabe 11/13 1: Berechnen Sie folgende Determinante: D =

18 446 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Aufgabe 11/13 2: Berechnen Sie für allgemeines n IN die Determinante der Matrix A = (α ij ) Mat(n, n; IR) mit den Einträgen { 0, falls i = j α ij = 1 für alle i j. Aufgabe 11/13 3: Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = (α ij ) Mat(n, n; IR) mit den Einträgen α ij = i j für alle 1 i, j n. Aufgabe 11/13 4: Für gewisse Parameter a i, b j IR sei A = (α ij ) Mat(n, n; IR) die Matrix mit den Koeffizienten α ij := { ai für j i b j für j < i. (Als Beispiel betrachte etwa Aufgabe 9 5.) Zeigen Sie: Aufgabe 11/13 5: det A = a 1 n (a k b k 1 ). Es sei τ IR ein Parameter und A n = (α ij ) Mat(n, n; IR) die Matrix mit den Einträgen τ für i j = 1 α ij := 1 + τ 2 falls i = j 0 sonst. Zeigen Sie, daß dann gilt: k=2 a) det A n = (1 + τ 2 ) det A n 1 τ 2 det A n 2 für alle n 3. b) det A n = n τ 2k für alle n IN. k=0 Aufgabe 11/13 6: Zeigen Sie, daß die Determinante der Binomialmatrix A = (α ij ) Mat(n, n; IR) mit α ij := den Wert det A = 1 hat. { 1, falls i = 1 oder j = 1 α i 1,j + α i,j 1 für i > 1 und j > 1

19 Aufgaben zu 11 bis Aufgabe 11/13 7: Gegeben seien die Matrizen A Mat(m, m; K), B Mat(m, n; K) und C Mat(n, n; K). Zeigen Sie: a) Es gilt: det ( A B 0 C ) b) Das lineare Gleichungssystem = det A det C. ( A B 0 C ) x 1 x 2. x m+n = β 1 β 2. β m+n ist genau dann lösbar, wenn es ein y K n und ein z K m gibt mit C y = β m+1 β m+2. β m+n bzw. A z = β 1 β 2. β m B y. Aufgabe 11/13 8: Es seien a 1, a 2,..., a n IR vorgegeben. Zeigen Sie, daß die Abbildung f : IR IR, x det x a 1 a 2 a n 1 1 a 1 x a 2 a n 1 1. a 1 a 2 x..... a 1 a 2 a.. 3 an x 1 a 1 a 2 a 3 a n 1 ein reelles Polynom n-ten Grades ist mit den Nullstellen a 1, a 2,..., a n. Aufgabe 11/13 9: a) Beweisen Sie: Ist n IN ungerade und A Mat(n, n; IR) schiefsymmetrisch, dann ist A singulär. b) Beweisen Sie: Ist n IN ungerade, so gibt es keine Matrix B Mat(n, n; IR) mit B B = E n. c) Zeigen Sie mit einem (allgemeinen) Beispiel, daß die Aussagen aus a) und b) für kein gerades n IN richtig sind.

20 448 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Aufgabe 11/13 10: Es seien A 0, A 1, A 2,..., A n die Determinante Zeilenvektoren des IR n. Ferner bezeichne D k für jedes 0 k n D k := det A 0 A 1. A k 1 A k+1. A n. Beweisen Sie, daß gilt: det A 1 + A 0 A 2 + A 0. A n + A 0 n = D 0 + ( 1) k+1 D k. k=1 Aufgabe 11/13 11: Es sei A Mat(n, n; IR) eine reguläre Matrix, und alle Koeffizienten von A seien ganze Zahlen. Beweisen Sie: Genau dann sind auch alle Einträge von A 1 ganzzahlig, wenn det A { 1, 1} ist. Aufgabe 11/13 12: Es sei A Mat(n, n; Z ) mit A 2 = 0. a) Zeigen Sie, daß E n + A regulär ist, und bestimmen Sie (E n + A) 1. b) Beweisen Sie: det (E n + A) { 1, 1}. Aufgabe 11/13 13: Es sei A Mat(n, n; IR) mit A A = 0. Für alle t IR setze p(t) := det (E n + t A). Zeigen Sie, daß gilt: a) p Π n ist ein Polynom mit p(t) p( t) = 1 für alle t IR. b) det (E n + t A) = 1 für alle t IR.

21 Aufgaben zu Aufgabe 11/13 14: Es seien A GL(n; IR) und x IR n sowie dazu M, N, U Mat(n+1, n+1; IR) definiert gemäß ( ) ( ) ( ) En A M := 1 x En x A x, N :=, U := x t. 1 Ferner sei à die zu A komplementäre Matrix. Beweisen Sie: a) det (U M) = det (N U). b) det (A x x t ) = det A x t à x. Aufgabe 11/13 15: Es seien x 0, x 1, x 2 IR paarweise verschieden. Berechnen Sie zu 1 x 0 x 2 0 A = 1 x 1 x x 2 x 2 2 die komplementäre Matrix à und die inverse Matrix A 1. Aufgabe 11/13 16: Es sei A Mat(n, n; K) und x, b K n Matrix X k Mat(n, n; K) durch mit A x = b. Für 1 k n definieren wir die X k := (e 1, e 2,..., e k 1, x, e k+1, e k+1,..., e n ). Berechnen Sie für alle k = 1, 2,..., n das Matrixprodukt A X k, die Determinante det X k und leiten Sie daraus einen alternativen Beweis zu Satz 13.1 (Cramer sche Regel) her. Aufgaben zu 14 Aufgabe 14 1: Wir betrachten den Vektorraum IR 2 mit der kanonischen Basis (e 1, e 2 ) sowie den Vektorraum IR 3 mit der kanonischen Basis (e 1, e 2, e 3 ). Gibt es lineare Abbildungen F i : IR 2 IR 2 bzw. G i : IR 2 IR 3 für i = 1, 2 mit folgenden Eigenschaften? a) F 1 (3 e 1 + e 2 ) = e e 2, F 1 ( e 1 ) = e 1 + e 2. b) F 2 (4 e 1 + e 2 ) = e 1 + e 2, F 2 (e 1 + e 2 ) = 3 e 1 2 e 2. c) G 1 (e 1 + e 2 ) = e 1 + e 3, G 1(2 e e 2 ) = 2 e e 3, G 1(3 e 1 2 e 2 ) = e 2. d) G 2 (e 1 + e 2 ) = e 1 + e 3, G 2(2 e e 2 ) = 2 e e 3, G 2(3 e 1 2 e 2 ) = 3 e e 3. Begründen Sie Ihre Antworten. Und berechnen Sie falls möglich jeweils die Bilder F i (e j ) und G i (e j ) für jedes i, j {1, 2}.

22 450 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Aufgabe 14 2: Es seien V und W endlich dimensionale K Vektorräume, U 1 und U 2 Untervektorräume von V mit U 1 + U 2 = V sowie F i Hom K (U i, W ) Vektorraum Homomorphismen für i = 1, 2. Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen: a) Es existiert ein G Hom K (V, W ) mit G Ui = F i für i = 1, 2. b) Es gilt: F 1 (U1 U 2 ) = F 2 (U1 U 2 ). Aufgabe 14 3: Es sei C = (IR IR, +, ) der Körper der komplexen Zahlen (aus Beispiel 1.11c) der Vorlesung) und A = (α ij ) Mat(2, 2; IR) eine Matrix. Wir definieren die Abbildung f : C C durch Beweisen Sie: f(x) = f(a, b) := (A ( ) a ) t für alle x = (a, b) C. b a) f ist genau dann C linear, wenn für alle λ C und alle x C gilt: f(λ x) = λ f(x). b) f ist genau dann C linear, wenn gilt: α 11 = α 22 und α 21 = α 12. Aufgabe 14 4: Für k IN seien nun e k Abb(C, C) die Monome mit e k (x) := x k für alle x C. Wir betrachten den Polynomraum Π := <(e k ) k IN > Abb(C, C). a) Erläutern Sie, warum es eindeutig bestimmte Endomorphismen D und I aus Hom C (Π, Π) gibt mit { 0, falls k = 0, 1 D(e k ) := k (k 1) e k 2 für k 2 bzw. I(e k ) := 1 (k + 1) (k + 2) e k+2 für alle k IN. b) Untersuchen Sie D und I jeweils auf Injektivität und Surjektivität. c) Welche der folgenden Gleichungen gilt, welche nicht? (1) D I = id Π. (2) I D = id Π.

23 Aufgaben zu Aufgabe 14 5: Es sei V := Abb(IN, IR) der Vektorraum der reellen Zahlenfolgen (mit den üblichen Verknüpfungen). Jeder Folge a = (a n ) n 1 aus V ordnen wir ein F (a) V zu, definiert durch ( n F (a) := a k )n 1. Zeigen Sie: F ist ein Automorphismus auf V. k=1 Aufgaben zu 15 Aufgabe 15 1: Es seien V, W VR K endlich dimensional, F Hom K (V, W ) und U ein zu Ker F komplementärer Untervektorraum von V. Zeigen Sie: Es gibt ein G Hom K (W, V ) derart, daß (G F ) U und (F G) Im F jeweils mit der identischen Abbildung id U bzw. id Im F übereinstimmen. Aufgabe 15 2: Es sei V ein Vektorraum über K und P (V ) := {F Hom K (V, V ) F F = F }. Zeigen Sie: a) Sind F, G P (V ) mit Ker F Ker G, so gilt: G F = G. b) Ist F P (V ), so auch G = id V F. Es gelten dann die Beziehungen: (i) F G = G F = 0. (ii) V = Ker F Ker G. Aufgabe 15 3: Es seien X und Y Vektorräume über K mit dim K X = n. Ferner sei U ein Untervektorraum von X und V ein Untervektorraum von Y mit dim K U + dim K V = n. Beweisen Sie: a) Es gibt ein F Hom K (X, Y ) mit U = Ker F und V = Im F. b) Es gibt einen Vektorraum Automorphismus G auf X mit G n = id X und G k id X für alle k = 1, 2,..., n 1. Aufgabe 15 4: Es sei V ein K Vektorraum der Dimension n IN. Zeigen Sie, daß folgende Aussagen äquivalent sind: a) n ist gerade. b) Es existiert ein Endomorphismus f Hom K (V, V ) mit Ker F = Im F.

24 452 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Aufgaben zu 16 Aufgabe 16 1: a) Beweisen Sie, daß die Funktionen f 0, f 1, f 2,..., f n mit f i (x) := i 1 eine Basis von Π n Abb(IR, IR) bilden. j=0 (x j) für x IR b) Es sei D : Π 4 Π 3 die lineare Abbildung mit D(P ) = P für alle P Π 4, wobei P die Ableitung des reellen Polynoms P bezeichne. Bestimmen Sie die darstellende Matrix von D, wenn im Urbildraum Π 4 die Basis (f i ) 0 i 4 aus Teil a) und im Bildraum Π 3 die Basis (e 0, e 1, e 2, e 3 ) aus den Monomen mit e i (x) = x i für x IR gewählt wird. Aufgabe 16 2: a) Beweisen Sie, daß die Abbildungen g k : IR IR, g k (x) := (x k) 4 für k = 0, 1, 2, 3, 4 eine Basis von Π 4 bilden. b) Es sei D die Polynom Ableitung aus Aufgabe 16 1b). Ermitteln Sie die darstellende Matrix von D, wenn in Π 4 die Basis (g k ) 0 k 4 aus Teil a) und in Π 3 die kanonische Monom Basis (e k ) k=0,1,2,3 gewählt wird. Aufgaben zu 17 Aufgabe 17 1: Ein Vektorraum Homomorphismus F Hom IR (IR 3, IR 2 ) habe bezüglich der kanonischen Basen des IR 3 und des IR 2 die darstellende Matrix ( ) A = Bestimmen Sie die darstellende Matrix Φ B C (F ), wenn bei einem Basiswechsel im IR 3 die Basis B = {(8, 1, 3) t, (1, 1, 0) t, (2, 0, 1) t } und im IR 2 die Basis C = {(4, 9) t, ( 3, 7) t } gewählt wird. Aufgabe 17 2: A = i 2 3 i i 0 sei die Matrix Darstellung einer C linearen Abbildung F : C 3 C 3 bezüglich einer Basis (v 1, v 2, v 3 ) von C 3. Seien nun B := (i v 2, v 1, v 3 ) und B := (i v 1 v 2, i (v 1 + v 2 ), v 3 ) zwei weitere Basen des C 3. Bestimmen Sie die darstellenden Matrizen Φ B B (F ), ΦB B (F ) und ΦB B (F ).

25 Aufgaben zu Aufgabe 17 3: Entscheiden Sie, ob für die folgenden Matrizen A, B Mat(3, 3; IR) Basen A und B des IR 3 existieren, so daß die lineare Abbildung F : IR 3 IR 3, welche bezüglich der kanonischen Basis (e 1 t, e 2 t, e 3 t ) des IR 3 durch A beschrieben werde, bezüglich der Basen A und B die darstellende Matrix B besitzt: a) A = b) A = c) A = ; B = ; B = ; B = Aufgaben zu 18 Aufgabe 18 1: Es seien V, W, Z VR K daß gilt: und F Hom K (V, W ) sowie G Hom K (W, Z). Zeigen Sie jeweils, a) (G F ) = F G. b) Die Abbildung Φ : Hom K (V, W ) Hom K (W, V ), Φ(F ) := F ist K linear und injektiv. c) F injektiv F surjektiv. d) F surjektiv F injektiv. e) F (V ) = (Ker F ). Aufgabe 18 2: Gegeben seien die folgenden Linearformen auf Π 2 : ϕ 1 (P ) := P (x 1 ), ϕ 2 (P ) := P (x 2 ), ϕ 3 (P ) := P (x 3 ) mit x i IR für i = 1, 2, 3. a) Welchen Bedingungen müssen x 1, x 2, x 3 genügen, damit ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 in (Π 2 ) linear unabhängig sind? b) Bestimmen Sie für den Fall x 1 = 0, x 2 = x 3 = 1 Polynome P 1, P 2, P 3 Π 2 mit ϕ i (P j ) = δ ij.

26 454 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Aufgaben zu 19 Aufgabe 19 1: a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Matrix Mat(3, 3; IR). a b c b) Zeigen Sie: Ist q Π n ein reelles, normiertes Polynom, d. h. q(x) = n a k x k k=0 für alle x IR mit Höchstkoeffizient a n = 1, so gibt es eine Matrix A Mat(n, n; IR) mit p A = q. Aufgabe 19 2: Es sei V ein endlich dimensionaler K Vektorraum, F End K (V ) und F der duale Endomorphismus. a) Zeigen Sie: F und F besitzen dieselben Eigenwerte. b) Beweisen Sie: Ist λ K ein Eigenwert von F, so haben die Eigenräume dieselbe Dimension. {x V F (x) = λ x} und {f V F (f) = λ f} c) Bestimmen Sie für K = IR und F F = id V alle möglichen Eigenwerte von F, und zeigen Sie, daß V die direkte Summe der Eigenräume V λ = {x V F (x) = λ x} ist, wobei λ das gesamte Spektrum σ(f ) durchläuft: V = V λ. Aufgabe 19 3: λ σ(f ) Es sei A Mat(n, n; C) von folgender Gestalt a 1 a 2 a 3 a n. a n a 1 a.. 2. A =. a n 1 a n a.. 1 a a2 a 2 a 3 a n a 1 Ferner sei c := e 2πi n = cos 2π n + i sin 2π n und p das komplexe Polynom mit p(x) = n a j x j 1. j=1 Zeigen Sie: a) Die Vektoren b k C n mit b k = (1, c k, c 2k,..., c (n 1)k ) t für k = 0, 1, 2,..., n 1 sind Eigenvektoren von A. b) Die Zahlen p(c k ) C mit k = 0, 1, 2,..., n 1 sind Eigenwerte von A.

27 Aufgaben zu Aufgabe 19 4: Es sei V := Abb(IN, IR) der Vektorraum der reellen Zahlenfolgen. Wir betrachten die Endomorphismen F und G von V mit F ((x n ) n IN ) := ((x n+1 ) n IN ) und G((x n ) n IN ) := (0, x 1, x 2,... ). Berechnen Sie alle Spektral- bzw. Eigenwerte von F und G. Aufgabe 19 5: Es seien A, B Mat(n, n; IR) beliebig. Zeigen Sie für die komplementären Matrizen à bzw. B : a) p A (0) = ( 1) n 1 sp(ã ). b) Sind A und B ähnlich, so gilt: sp(ã ) = sp( B). Aufgabe 19 6: Es sei Π der IR Vektorraum aller reellen Polynome mit der kanonischen Basis (e k ) k IN aus den Monomen. Durch Festlegung dieser Basis werden Endomorphismen I und D auf Π definiert durch I(e k ) := 1 k + 1 e k+1 k IN und D(e k ) := k e k 1 k IN, D(e 0 ) := 0. Bestimmen Sie alle Spektral- bzw. Eigenwerte von I und von D. Aufgaben zu 20 Aufgabe 20 1: Beweisen oder widerlegen Sie, daß die folgenden Matrizen diagonalisierbar sind: ( ) 1 i a) A = Mat(2, 2; C). i b) B = Mat(3, 3; IR) Aufgabe 20 2: Es seien A, B Mat(n, n; C). Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen: a) Ist x C n ein Eigenvektor von A und von B, so ist x auch Eigenvektor von A + B. b) Ist λ C ein Eigenwert von A und µ C ein Eigenwert von B, so ist λ + µ Eigenwert von A + B. c) Ist A regulär und λ ein Eigenwert von A, so gilt: λ 0, und A 1 besitzt den Eigenwert λ 1. d) Ist A diagonalisierbar mit A k = 0 für ein k IN, so folgt: A = 0.

28 456 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Aufgabe 20 3: Gegeben sei die reelle Matrix A = a) Berechnen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren von A. b) Bestimmen Sie eine Wurzel von A, d. h. eine Matrix B Mat(3, 3; IR) mit B 2 = A. Aufgabe 20 4: Bestimmen Sie alle Eigenwerte und alle Eigenvektoren der folgenden beiden Matrizen aus Mat(n, n; C) für alle n IN : a) b) Aufgabe 20 5: Beweisen oder widerlegen Sie: Für jedes Polynom p über dem Körper K mit grad p =: m 0 und jede Matrix A Mat(n, n; K) gilt: σ(p(a)) = p(σ(a)) := {p(t) t σ(a)} a) im Fall K = IR. b) im Fall K = C. Dabei sei für p Π, gegeben durch p(t) = m a k t k k=0 mit a k K, definiert: p(a) := m a k A k für A Mat(n, n; K) mit A 0 := E n. Weiter sei σ(a) := σ(ψ K K (A)) für A Mat(n, n; K). k=0 Aufgabe 20 6: Es seien A, B Mat(n, n; K) beliebige Matrizen. Beweisen Sie oder widerlegen Sie: a) A B und B A haben dieselben Eigenwerte. b) A B und B A haben dieselben Eigenvektoren.

29 Aufgaben zu Aufgabe 20 7: Zeigen Sie: Sind A, B Mat(n, n; C) zwei diagonalisierbare Matrizen, und gilt: A B = B A, so besitzen A und B einen gemeinsamen Eigenvektor. Aufgabe 20 8: Für eine diagonalisierbare Matrix A Mat(n, n; IR) gelte: det (E n + t A) = 1 für alle t IR. Beweisen Sie, daß dann A = 0 sein muß. Aufgaben zu 21 Aufgabe 21 1: Es sei A Mat(n, n; C) und m 0, m 1, m 2,..., m n IN. Zeigen Sie, daß die Familie F der Potenzen von A, F := (A m k ) 0 k n, im Vektorraum Mat(n, n; C) linear abhängig ist. Aufgabe 21 2: Es sei A Mat(3, 3; IR) mit A = Zeigen Sie, daß A regulär ist. Und berechnen Sie die inverse Matrix A 1 mit Hilfe des charakteristischen Polynoms p A gemäß Folgerung der Vorlesung.. Aufgaben zu 22 Aufgabe 22 1: Untersuchen Sie, ob folgende Relationen Äquivalenzrelationen auf den angegebenen Mengen M sind: a) Setze M := IN IN. Für (a, b), (a, b ) M sei (a, b) (a, b ) genau dann, wenn gilt: b a (a + b ) = b a (a + b). b) Setze M := Abb(IN, IR). Für (a n ) n 1 und (b n ) n 1 aus M sei (a n ) n 1 (b n ) n 1 genau dann, wenn gilt: Die Menge {n IN a n = b n } ist unendlich. c) Setze M := Abb(IN, IR). Für (a n ) n 1 und (b n ) n 1 aus M sei (a n ) n 1 (b n ) n 1 genau dann, wenn gilt: Die Menge {n IN a n b n } ist endlich.

30 458 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Aufgabe 22 2: Untersuchen Sie, ob folgende Relationen Äquivalenzrelationen sind: a) Setze M := {(a, b, c) a, b, c IN } ; für (a, b, c), (a, b, c ) M sei (a, b, c) (a, b, c ) : c a + c b = c a + c b. b) Es sei (G, ) eine Gruppe und U eine Teilmenge von G mit den Eigenschaften: (i) Aus x U folgt: x 1 U. (ii) Aus x, y U folgt: x y U. Für a, b G gelte: a b genau dann, wenn ein x U existiert mit a = x b. Aufgaben zu 23 Aufgabe 23 1: Wir betrachten den Körper K := Z 3 = {0, 1, 2} mit drei Elementen, den K Vektorraum U := K 3 und den Untervektorraum W von U mit W := <(1, 2, 0)>. a) Bestimmen Sie die Anzahl aller Elemente und eine Basis des Quotientenraums U/W. b) Untersuchen Sie, ob die Vektoren (1, 0, 1)+W und (0, 2, 2)+W in U/W linear unabhängig sind. c) Ist (x, y, z) U, so ordnen wir (x, y, z) + W U/W das Element (x + y, z) K 2 zu. Zeigen Sie: Durch diese Zuordnungsvorschrift wird eine Abbildung f : U/W K 2 definiert. Und f ist ein Vektorraum Isomorphismus von U/W auf K 2. Aufgaben zu 24 Aufgabe 24 1: Es sei A Mat(n, n; C) eine nilpotente Matrix. Beweisen Sie, daß dann gilt: det (E n + A) = 1. Aufgabe 24 2: Gegeben sei die Matrix A = Bestimmen Sie eine Matrix S GL(3; C) so, daß B = S 1 A S (im Sinne von Bemerkung 21.9) hat. Jordan sche Normalform

31 Aufgaben zu Aufgabe 24 3: a) Bestimmen Sie für jede der Matrizen A k Mat(n, n; C) mit 1 k 4 die Zahlen m und s gemäß Bemerkung der Vorlesung und geben Sie jeweils die Jordan sche Normalform von A k an: A 1 := A 3 := , A 2 :=, A 4 := ,. b) Geben Sie zwei Matrizen an, bei denen zwar m, n und s übereinstimmen, die aber nicht ähnlich sind. Hinweis: Sie dürfen benutzen, daß Matrizen in Jordan scher Normalform nur ähnlich sind, wenn sie durch eine Permutation der Jordan Kästchen ineinander übergeführt werden können. Aufgabe 24 4: Beweisen Sie: Ist A Mat(n, n; C) nilpotent mit A k = 0 für k IN, so gilt stets: rg(a) n n k. Aufgaben zu 26 Aufgabe 26 1: Für n 2 sei V := Mat(n, n; IR) und sp : V IR die Spur Abbildung (aus Definition 6.8). Untersuchen Sie, welche der folgenden Abbildungen s i : V V IR mit i = 1, 2 Skalarprodukte auf V sind: a) s 1 (A, B) := sp (A t B) für A, B V. b) s 2 (A, B) := sp (A B) für A, B V. Aufgabe 26 2: a) Es sei V ein K Vektorraum und v 1, v 2,..., v n V sowie s eine Bilinearform auf V. Zeigen Sie: Ist A = (α ij ) Mat(n, n; K) mit α ij := s(v i, v j ) regulär, so sind v 1, v 2,..., v n linear unabhängig.

32 460 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN b) Wir betrachten IR 3 mit dem kanonischen Skalarprodukt,. Es seien von a, b, c IR 3 folgende Eigenschaften bekannt: a, a = 1, b, b = 4, c, c = 9, a, b = 0, a, c = 1, b, c = 2. Es sei ferner d IR 3 ein Vektor mit a, d = b, d = 0 und d, d = 7. Berechnen Sie mit Hilfe dieser Angaben den Wert c, d. Aufgabe 26 3: Vorgegeben sei ein Vektorraum V über IK mit einer symmetrischen Bilinearform bzw. Hermiteschen Form s. Es sei M ein Untervektorraum von V, und es gelte: s(x, x) = 0 für alle x M. Zeigen Sie: s(x, y) = 0 für alle x, y M. Aufgabe 26 4: Zeigen Sie: ( ) α11 α Eine symmetrische Matrix A = 12 α 12 α 22 wenn gilt: α 11 > 0 und det A > 0. Mat(2, 2; IR) ist genau dann positiv definit, Aufgabe 26 5: Von zwei Matrizen S, W Mat(n, n; IR) sei S symmetrisch und W regulär. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen: a) S ist positiv definit. b) W S W t ist positiv definit. Aufgaben zu 27 Aufgabe 27 1: Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist bekanntlich das halbe Produkt aus Grundseite und Höhe. Dies übertragen wir in den IR n (versehen mit dem kanonischen Skalarprodukt, ): Es seien A, B, C IR n mit A B, x := B A, y := C B, z := C A, a := x, b := y und c := z. Ist dann P die Orthogonalprojektion von IR n auf <x>, so ist F := 1 a z P (z) 2 der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C. Beweisen Sie: a) Es ist stets 4 F 2 = a 2 c 2 x, z 2. b) Mit s := a + b + c gilt: 16 F 2 = s (s 2 a) (s 2 b) (s 2 c).

33 Aufgaben zu Aufgabe 27 2: Es sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum und U ein endlich dimensionaler Untervektorraum mit Orthonormalbasis (u 1, u 2,..., u n ) sowie P U die Orthogonalprojektion von V auf U. Zeigen Sie: a) P U 2 = P U, (id V P U ) 2 = id V P U. b) V = Ker P U Ker (id V P U ) = Im P U Im (id V P U ). c) Für alle v V gilt: P U (v) 2 v 2, wobei das Gleichheitszeichen genau dann steht, wenn v = P U (v) ist. Aufgabe 27 3: Sei I := [ 1 ; 1 ] und der Vektorraum C(I) := { f Abb(I, IR) f stetig auf I } versehen mit dem Skalarprodukt, : C(I) C(I) IR, (f, g) f, g := 1 1 f(t) g(t) dt. Orthonormieren Sie die auf I eingeschränkten Monome e 0, e 1, e 2, e 3 C(I) nach dem Verfahren von Schmidt Gram (vgl. Beweis zu Satz 27.10). Aufgabe 27 4: Es sei I := [ 0 ; 2π ] und C(I) := { f Abb(I, C) f stetig auf I } VR C Skalarprodukt (f, g) f, g := 2π 0 f(t) g(t) dt. versehen mit dem Ferner seien e k C(I) definiert durch e k (x) := e ikx für alle k = 0, ±1, ±2,..., ±n, und T n := <e n,..., e 2, e 1, e 0, e 1, e 2,..., e n > sei der von diesen Funktionen aufgespannte Untervektorraum von C(I). Bestimmen Sie die Orthogonalprojektion von f C(I) mit f(x) := x π auf T n. Aufgabe 27 5: f stetig auf I } versehen mit dem Ska- Es sei I := [ 0 ; 1 ] und C(I) := { f Abb(I, IR) larprodukt (f, g) f, g := 1 0 f(t) g(t) dt. Und Π sei derjenige Untervektorraum von C(I), der aus allen Einschränkungen von Polynomen auf I besteht. Zeigen Sie folgende Aussagen: a) Sind f, g C(I) und gilt: f(t) b für alle t I mit einer Konstanten b IR, so folgt: 1 f, g f, f b f(t) g(t) dt. 0

34 462 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN b) Zu jedem f C(I) mit f 0 existiert ein Polynom p Π mit f, p > 0. Hinweis: Benutzen Sie ohne Beweis, daß gilt: Zu jedem f C(I) und jedem ε > 0 existiert ein p Π mit f(t) p(t) < ε für alle t I. c) Π = {0}. Aufgabe 27 6: Es sei V ein euklidischer bzw. unitärer IK Vektorraum. Beweisen oder widerlegen Sie: a) Für beliebige Untervektorräume U 1, U 2 V gilt: (U 1 + U 2 ) = U 1 U 2. b) Für beliebige Untervektorräume U 1, U 2 V gilt: (U 1 U 2 ) = U 1 + U 2. c) Ist V endlich dimensional, so gilt für beliebige Untervektorräume U 1 und U 2 von V : (U 1 U 2 ) = U 1 + U 2. Aufgabe 27 7: Es sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum und U ein endlich dimensionaler Untervektorraum von V. Für alle v + U V /U setzen wir: v + U := inf { v + u u U}. Zeigen Sie, daß auf dem Quotientenraum V /U wohldefiniert und eine Norm auf V /U ist. Welche geometrische Bedeutung hat v + U, wenn V = IR 3 (versehen mit dem kanonischen Skalarprodukt) und U ein zweidimensionaler Unterraum des IR 3 ist? Aufgabe 27 8: Es sei V ein euklidischer Vektorraum und B := {v V v 1}. Ferner sei v 0 V ein Einheitsvektor, also v 0 = 1. Zeigen Sie: Es gibt genau einen Unterraum U von V mit codim V U = 1 und (v 0 + U) B = {v 0 }. Aufgabe 27 9: Es sei V ein euklidischer Vektorraum. Für v 1, v 2,..., v k V sei B(v 1, v 2,..., v k ) := ( v i, v j ) 1 i,j k Mat(k, k; IR) und G(v 1, v 2,..., v k ) := det B(v 1, v 2,..., v k ). Beweisen Sie:

35 Aufgaben zu a) Es ist G(v 1, v 2,..., v k ) 0 für alle v 1, v 2,..., v k V. Und G(v 1, v 2,..., v k ) = 0 gilt genau dann, wenn v 1, v 2,..., v k linear abhängig sind. b) Es seien u 1, u 2,..., u n V beliebige Vektoren und U der von (u 1, u 2,..., u n ) erzeugte Unterraum sowie v V ein weiterer Vektor. c 1 v, u 1 n c 2 Ist dann P U (v) = c k u k, so folgt: B(u 1, u 2,..., u n ) k=1. = v, u 2.. v, u n Aufgabe 27 10: Wir verwenden die Bezeichnungen aus Aufgabe Sind a 1, a 2,..., a k V linear unabhängig, so heißt { k } P (a 1, a 2,..., a k ) := α i a i αi [ 0 ; 1 ] für i = 1, 2,..., k i=1 das von a 1, a 2,..., a k erzeugte k-dimensionale Parallelotop. Sein Inhalt I(a 1, a 2,..., a k ) wird induktiv erklärt nach dem Prinzip: (k 1)-dimensionaler Inhalt der Grundfläche mal Höhe ; dabei ist I(a 1 ) := a 1 für k = 1, a) Beweisen Sie: I(a 1, a 2,..., a k ) := I(a 1, a 2,..., a k 1 ) a k P U (a k ) für k 2 und U := <a 1, a 2,..., a k 1 > V. (1) Sind a 1, a 2,..., a k V linear unabhängig, so gilt: (I(a 1, a 2,..., a k )) 2 = G(a 1, a 2,..., a k ). (2) Sind a 1, a 2,..., a n V für V = IR n linear unabhängig, dann gilt: I(a 1, a 2,..., a n ) = det(a 1, a 2,..., a n ). b) Im Fall V = IR 2 und k = 2 spezialisieren sich alle Begriffe auf elementargeometrisch bekannte Regeln. Verifizieren Sie, daß die Formeln aus Teil a) mit diesen bekannten Regeln übereinstimmen. Aufgabe 27 11: Gegeben seien x, y IR 3 und, als kanonisches Skalarprodukt auf IR 3. Beweisen Sie: a) Es existiert genau ein u IR 3 mit u, z = det(x, y, z) für alle z IR 3. b) Für das u aus Teil a) gilt: u 2 = x 2 y 2 x, y 2. Aufgabe 27 12: Es seien V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum und v 1, v 2,..., v n V Einheitsvektoren. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen: a) Die Familie (v k ) k=1,2,...,n bildet eine Orthonormalbasis von V. b) Es gilt: x 2 = n x, v k 2 für alle x V. k=1 c n

36 464 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Aufgaben zu 28 Aufgabe 28 1: Für a < b aus IR sei der Vektorraum C[ a ; b ] := {f Abb([ a ; b ], IR) f stetig auf [ a ; b ]} versehen mit dem Skalarprodukt (f, g) f, g := b a f(t) g(t) dt. Es sei q : [ 2 ; 4 ] [ 0 ; 1 ] die Funktion mit q(x) := x 1. Wir betrachten die lineare Abbildung 2 F : C[ 0 ; 1 ] C[ 2 ; 4 ] mit F (f) := f q. Bestimmen Sie die zu F adjungierte Abbildung, falls F existiert. Aufgabe 28 2: Es sei I := [ 0 ; 1 ] und C(I) der euklidische Vektorraum aus Aufgabe Ein Endomorphismus F von C(I) sei gegeben durch F (f)(t) := 2 t f(t 2 ) für alle t I und f C(I). Falls möglich, bestimmen Sie den zu F adjungierten Endomorphismus F. Aufgabe 28 3: In Abb(IN, IR) betrachten wir die Elemente e k := (δ k,n ) n 1 (mit dem Kronecker Symbol δ k,n ) und f := ( 1 n ) n 1 sowie die Untervektorräume V := <(e k) k 1 > und W := V + <f>. Auf dem Summenraum W (und damit auch auf V ) sei ein Skalarprodukt definiert durch a, b := a n b n n=1 für alle a = (a n ) n 1 und b = (b n ) n 1 aus W. (Dies braucht nicht gezeigt zu werden.) Beweisen oder widerlegen Sie: a) Die Familie (e k ) k 1 kann zu einer Orthonormalbasis von W ergänzt werden. b) Die Einbettung F : V W mit F (a) = a für alle a V besitzt eine adjungierte Abbildung F : W V.

37 Aufgaben zu Aufgabe 28 4: a) Es sei V ein endlich dimensionaler euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt,. Für ein v V sei Φ V (v) : V IR definiert durch (Φ V (v))(w) := w, v für alle w V. Zeigen Sie: Die Abbildung Φ V ist ein Isomorphismus von V auf den Dualraum V. b) Es seien zwei endlich dimensionale euklidische Vektorräume V und W und ein Homomorphismus F Hom IR (V, W ) vorgegeben. Mit den gemäß Teil a) definierten Abbildungen Φ V und Φ W kann ein Zusammenhang zwischen der zu F adjungierten und der zu F dualen Abbildung hergestellt werden. Wie lautet dieser Zusammenhang? (Beweisen Sie Ihre Behauptung.) Aufgabe 28 5: Wir verwenden die Bezeichnungen aus Aufgabe Es sei F : Π C(I) die Einbettung des Unterraums Π in C(I), d. h. F (p) := p für alle p Π ; ferner sei (p 1, p 2,... ) eine Orthonormalbasis von Π sowie exp die Exponentialfunktion. Zeigen Sie folgende Aussagen: a) Unter der Annahme, daß die adjungierte Abbildung F : C(I) Π existiert, gibt es ein n IN mit F (exp), p ν = 0 für alle ν n. b) Es existiert ein k n mit exp, p k 0. c) Zu F existiert keine adjungierte Abbildung. Aufgabe 28 6: Es sei V VR C mit dim C V = n und B = (v 1, v 2,..., v n ) eine Basis von V sowie eine Matrix A Mat(n, n; C) gegeben. Für v = n x i v i und w = n y i v i mit Koordinaten x i, y i C i=1 bezüglich B definieren wir s A : V V C durch i=1 s A (v, w) := (x 1, x 2,..., x n ) A (y 1, y 2,..., y n ) H (wie im Beweis zu Lemma 26.5 der Vorlesung). Beweisen Sie: Die Abbildung s A ist genau dann ein Skalarprodukt auf V, wenn A Hermite sch ist und nur positive Eigenwerte besitzt. Aufgaben zu 29 Aufgabe 29 1: Bestimmen Sie die Spektralzerlegung der Matrix A =

38 466 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Aufgabe 29 2: Es sei n IN und X Mat(n, n; IR) schiefsymmetrisch. Zeigen Sie: a) Es gilt: (E n X) GL(n; IR). b) A := (E n X) 1 (E n + X) ist eine orthogonale Matrix mit det A = 1. Aufgabe 29 3: a) Es sei n IN und A SO(n) mit (A + E n ) GL(n; IR). Zeigen Sie: Es gibt genau eine Matrix X Mat(n, n; IR) mit (E n X) A = E n + X, und dieses X ist schiefsymmetrisch. b) Alle schiefsymmetrischen Matrizen X Mat(2, 2; IR) können mit einem Eintrag δ IR als ( ) 0 δ X = δ 0 dargestellt werden. Aus Teil a) und Aufgabe 29 2 ergibt sich eine solche Parameterdarstellung für fast alle A SO(2). Bestimmen Sie diese Darstellung und alle ihre Ausnahmen. Aufgabe 29 4: Es sei V ein euklidischer Vektorraum der endlichen Dimension n 2 und P V ein Vektor mit P > 1 sowie S := {v V v = 1} die Einheitssphäre. Beweisen Sie: a) Ist H eine affine Hyperebene in V mit P H und gilt: H S = {x} für ein x S, so folgt: x, P = 1. b) Ist x S und x, P = 1, so gibt es genau eine affine Hyperebene H in V mit P H und H S = {x}. c) Es gibt mindestens einen Einheitsvektor x S mit x, P = 1. Aufgabe 29 5: Gibt es Matrizen A, B, C, D mit folgenden Eigenschaften? a) A Mat(2, 2; IR) ist normal, nicht diagonalisierbar, nicht orthogonal. b) B Mat(2, 2; IR) ist diagonalisierbar, normal, nicht symmetrisch. c) C Mat(2, 2; IR) ist diagonalisierbar, nicht normal, nicht symmetrisch. d) D Mat(2, 2; C) ist normal, nicht Hermite sch, nicht unitär. Geben Sie jeweils entweder ein Beispiel an (mit Nachweis der Eigenschaften), oder zeigen Sie, daß eine solche Matrix nicht existieren kann.