Geometrisches Modellieren - Körper -Modelle Repräsentationsschemata Primitive Instancing Decomposition Models Constructive Models

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1 $PDWRXGXOWPHGD Theorie und Praxis Parametrischer Kurven und Flächen Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker *RHWKH8YHUVWlWÃ)UDNIXUW *UDSKVFKHÃ'DWHYHUDUEHWXJ 5 FNEOFN Geometrisches Modellieren - Körper -Modelle Repräsentationsschemata Primitive Instancing Decomposition Models Constructive Models RXGDU\ RGHOV)OlFKHPRGHOOH Polygonale Modelle )UHIRUPIOlFKH SDUDPHWUVFKH )OlFKH 7HVRUIOlFKH Sweeping

2 UREOHPHPWRO\JRDOHRGHOOH Für glatte Flächen benötigt man sehr viele Polygone Î Datenmengen ggf. schwer zu animieren: geeignete Parameter? Ggf. hoher Berechnungsaufwand Konturen bleiben trotzdem NDWJ³ hehuvfkw DUDPHWUVFKH 5HSUlVHWDWRH. Grundsätzliches zu Parametrischen Flächen. Bézier Kurven und Flächen. B-Splines :HWHUEHVFKlIWJXJKHUPW$PDWRXGXOWPHGD 856 $GHUHÃDVHÃHWD6SOHV &DWPXOO5RP 6SOHV 7UP &XUYHV 4. Zusammenfassung 5. Glossar 6. Weitere Informationen 7. Ausblick Nächste Schritte 4

3 (NOHZHJ*HVFKFKWH Anwendungsursprung: Ab ca. 958 Anwendungen im Automobil- Karosseriebau: )UHIRUPIOlFKHallgemein &$' Auch wenn vieles in der Differentialgeometrie vorab entwickelt war. Zwei große Namen: HUUH p]hu (Renault): parametrische Repräsentation auf der Basis der Bernstein- Polynome: System UNISURF GH &DVWHOMDX (Citroen) (nur als interne Berichte veröffentlicht) 5 SDUDPHWUVFKH DWFKHV Grundlegende Idee: uraltes Verfahren aus der Gießereitechnik / Formenbau In der 6DGER[ist das bewegliche Formteil noch unveränderlich. Im digitalen Modell kann sich dieses während der Bewegung verändern Î Biparametrisches Patch 6

4 SDUDPHWUVFKH DWFKHV a) Gegeben: drei Randkurven AB, BC, CD (hier als kubische Bezier-Kurven mit ihren Kontrollpolygonen) b) Die Kurve BC wird entlang BA und CD verschoben. Die Form kann sich dabei ändern! c) Während des Verschiebens verändern sich die Punkte p und p und erzeugen neue inien EFGH und IJK d) Es entstehen die 6 Kontrollpunkte (A, B,..., P) und damit 9 Vierecke, die ein bikubisches parametrisches Bezier-Patch definieren. 7 *UXGVlW]OFKHV]X DUDPHWUVFKH.XUYHXG)OlFKH Eine parametrische Kurve im D ist durch drei univariate Funktionen definiert: 4X) = (;( X), < ( X), = ( X)) PW X Entsprechendes gilt für eine parametrische Fläche 4X, Y) = (;( X, Y ), < ( X, Y), = ( X, Y)) PW X XG Y Ein solches Flächenelement nennt man DWFK. 8 4

5 =ZVFKHUXI :HOFKHDGHUH5HSUlVHWDWRH YR.XUYHRGHU)OlFKHNHHZU" Formen der Darstellung von Kurven oder Flächen: H[SO]W PSO]W DUDPHWUVFK Kurze Diskussion am Beispiel der Kurven: 9 ([SO]WH'DUVWHOOXJ y = f(x) Bsp.: \ = [ [ Probleme: Für ein x darf es nur einen y Wert geben (Probleme z.b. ist ein Kreis nicht geschlossen darstellbar) Beschreibung nicht invariant gegenüber Rotationen Keine Kurven mit (echt) vertikalen Tangenten möglich (impliziert unendliche Steigung) 5

6 ,PSO]WH'DUVWHOOXJ f(x,y) = Bsp.: [ [ + [ \ = Probleme: Gleichung kann mehr ösungen als gewollt haben, was zur Notwendigkeit von Randbedingungen führt Richtung der Tangente ist schwer zu ermitteln DUDPHWUVFKH 'DUVWHOOXJ (t) = ( x(t), y(t) ) Bsp.: 4( W) = ( W, W W) Vorteile: Keine Mehrdeutigkeiten Geometrische Steigungen (potentiell unendlich) werden durch Tangentenvektoren (niemals unendlich) ersetzt Invarianz gegenüber Rotationen Wir verwenden daher im folgenden nur die SDUDPHWUVFKH 'DUVWHOOXJ 6

7 DUDPHWUVFKH.XUYH DVHXG.RWUROOSXNWH Parametrische Kurven sind i.d.r. (ganz rationale) Polynome gebrochen rationale Polynome n-ten Grades (n: höchster auftretender Exponent), z.b. 4( X ) = S + S X + S X N S N X In der CG werden ganz überwiegend kubische (also k=) Repräsentationen genutzt: 7\SHGHU'DUVWHOOXJYR.XUYH XG)OlFKH Exakte Darstellung Jeder Punkt ist durch eine Formel definiert Problem: Formel ist meist nicht bekannt oder zu komplex Interpolatorische Darstellung Kurve ist durch Stützstellenbedingungen beschrieben Kurve ist an den Stützstellen determiniert Approximative Darstellung Kurve ist durch Stützstellenbedingungen beschrieben Kurve ist an den Stützstellen nicht determiniert 4 7

8 ,WHUSRODWR Interpolation mit Monomen Gesucht sind die Koeffizienten eines Polynoms P(t) derart, daß P(t i ) = P i für alle Stützpunkte P i gilt Für n+ paarweise verschiedene Stützpunkte gibt es genau ein Polynom vom Grad n, das die obige Bedingung erfüllt Nachteil: Berechnung der Koeffizienten ist aufwendig Nachteil: Änderung eines Stützpunktes bedingt Neuberechnung aller Koeffizienten 5 HVSHOI U,WHUSRODWR Interpolation mit Newton-Polynomen ( W) = ( W W) ( W W) ( W W ) ( W) = M= ( W) M N M Rekursive Berechnung der Koeffizienten k j mittels der dividierten Differenzen Vorteil: Neu hinzugefügter Punkt bedeutet nur eine weitere Stufe in dem Differenzschema 6 8

9 Eine Reihe weiterer Interpolationsschemata sind üblich (z.b. agrange Polynome, Tschebyscheff Polynome oder rationale Funktionen als Basisfunktionen) Unabhängig von der Methode hat Interpolation immer das Problem der V]OODWR, insbesondere bei hohem Polynomgrad n Interpolation liefert schlechte ualität in praktischen Anwendungen (Kurven sind nicht glatt genug) 7 V]OODWRVSUREOHPEH,WHUSRODWR Beispiel: Interpolationspolynom Erwarteter Verlauf 8 9

10 $SSUR[PDWR Ziel: Vermeidung von Oszillationsproblemen Abschwächung der geometrischen Bedingungen: Nicht alle Stützpunkte liegen notwendigerweise auf der Kurve, also nicht alle Punkte werden interpoliert Einführung anderer Bedingungen als Stützpunkte (z.b. Betrag und Richtung von Tangentenvektoren) Problem: Aussehen der Kurve ist allgemein aus den Randbedingungen schwieriger vorhersagbar, aber spezielle Polynome haben interessante Eigenschaften 9 $SSUR[PDWRPWRO\RPH DOOJHPHH)HVWOHJXJH 4 k (u) S E ( X) i PW E ( X) : DVVIXNWRH S :.RWUROOSXNWH

11 $SSUR[PDWRPWRO\RPH 4(u) = k i= S E ( X) S i b i (u) Kontrollpunkte Basisfunktionen Polynome vom Grad n Grad n = : Polygonzug, unstetige Steigungen an den Eckpunkten Grad n = : In D können nur planare Kurven erhalten werden (d.h. Kurve liegt immer in einer Ebene) *UDG EOFKH:DKO Die vier Koeffizienten können z.b. durch Startpunkt, Endpunkt, Tangente am Startpunkt, Tangente am Endpunkt gegeben werden Grad n > : Rechenaufwendig, nur in speziellen Anwendungen benutzt $SSUR[PDWRDWU[VFKUHEZHVH 4(u) = [x(u) y(u) z(u)] = [u u Der dritte Faktor heißt *HRPHWUHYHNWRU*, die p i sind geometrische Nebenbedingungen (z.b. Kontrollpunkte oder definieren Tangentenvektoren, etc.) Das Produkt aus U und M ergibt die OHGJIXNWRH (diese gewichten die den Geometrievektor (die geometrischen Nebenbedingungen p i ) S S u ] S S4 DUDPHWHUYHNWRU DVVPDWU[ *HRPHWUHYHNWRU k= Î 4x4 (Kontrollpunkte) DVVIXNWRHRGHUOHGJ )XFWRV

12 4( X, Y ) = *UXGVlW]OFKHV]XENXEVFKH SDUDPHWUVFKH )OlFKH = M= S E ( X) E ( Y ) 8 = X X X 9 = Y Y Y PW S, M : 6.RWUROOSXNWH S S * = : S S Basismatrizen Ein Punkt = (x,y,z) der Fläche im kartesischen Raum ist durch (u,v) im Parameterraum bestimmt. Mann nennt solche Flächen auch 7HVRUIOlFKH. Komplizierte Flächen werden durch eine Menge von solchen Flächenelemente (Patches) zusammengesetzt. M M 7 4( X, Y ) = 8* 9 [ ] [ ] 7 'DVZRKOEHNDWHVWH&*EMHNW 8WDK7HDSRW a) Wireframe Darstellung für inien konstanten u und v. Ein Patch (von ) ist schattiert. b) Darstellung der Patch-Kanten c) Wireframe der Kontrollpunkte. 4

13 :FKWJH(JHVFKDIWH.RYH[H+ OOH Ohne Beweis: Wenn gilt: N = E ( X) = und b i sind im Definitionsbereich von u nichtnegativ, dann liegt kein Punkt der Kurve außerhalb des durch die Kontrollpunkte gegebenenen Polygons. Ähnliches läßt sich für Flächen beweisen: PolygonÎPolyhedron 5 :FKWJH(JHVFKDIWH,YDUD] JHJH EHUDIIH$EEOGXJH Gegeben sei eine Kurve im Raum. Auf alle Punkte diese Kurve wird eine affine Transformation Φ ausgeführt. Wenn die so entstehende Kurve identisch zu der ist, die entsteht, wenn man die Kontrollpunkte der Kurve transformiert und hieraus die Kurve berechnet, also k Φ( 4(u)) = ( Φ( )) ( X) i= S E sagt man die Basis b i ist YDUDWJHJH EHUDIIH$EEOGXJH. $FKWXJ Die perspektivische Transformation ist keine affine Transformation 6

14 :FKWJH(JHVFKDIWH.RWXWlW = Glattheit (VPRRWKHVV FRWXW\ Besonders wichtig beim Anfügen von Kurven oder Flächenstücken Wir unterscheiden: DUDPHWUVFKH.RWXWlW & SDUDPHWUV FKH.RWXWl W *HRPHWUVFKH.RWXWlW G ( W) GW : = G ( W) GW * JHRPHWUVF KH.RWXWl W : = α mit >, n ; * = & G ( W) GW G ( W) GW 7 Eine Bézier Kurve ist gegeben durch 4(u) =, PW & ( X) = n i= S, & X ( X)! =!( )! ( X) p]hu.xuyh sind die Binominalkoeffizienten Die B i,n nennt man Bernstein-Polynome 8 4

15 .XEVFKHp]HU.XUYH Bezier Basisfunktionen,,,, 4(u) = i= S ( X) = X ( X) = X ( X) = X, ( X) = ( X) ( X) ( X) ( X) PW Beobachtungen: p hat dominierenden Einfluss für u <, Mit wachsendem u haben nimmt der Einfluss der andere Kontrollpunkte zu Mann nennt die Basis Funktionen auch OHGJ )XFWRV 9 HVSHOHI U.XEVFKHp]HU.XUYH Eine erste interessante Eigenschaft: Steigung der Kurve in ist gegeben durch den Vektor - Entsprechendes gilt für, 4 5

16 (HDOWHUDWYH)RUPXOHUXJYR 'H&DVWHOMDX Seien p, p,..., p n die Kontrollpunkte einer Bezier-Kurve. Wir definieren: S, U U U S ( X) = ( X) S ( X) + XS + X ( ) S PW U =,..., S =,..., U S = 4( X) S ( X) = S S GD ZUG H XNW DXI S GHU.XUYH EHVWPPW GXUFK 4X = S X S S S S 'HU.RVWUXNWRVSUR]HVV DFK'H&DVWHOMDX S : DasKontrollpoligon S : Die S : Die S erste zweite Iteration Iteration :Die dritte Iteration Der Kurvenpunkt t =,7 Für alle <= t <= ergibt dieses Vorgehen die Kurve S S,7,7,7 S S,7 S,7,7 S S S S S 6

17 (HZHWHUH EOFKHRWDWR DWU[RWDWRGHUH]HU.XUYH (u) = [x(u) y(u) z(u)] = 8 4 & = [u u u ] 6 S S S S 4 Multipliziert man die Basismatrix B mit dem Parametervektor 8 so errechnen sich die Basisfunktionen OHGJ )XFWRV: (,,,,,,, ) = 8 'IIHUH]HUHYRp]HU.XUYH G4() = ( S S GX G4() = ( S S GX = ) 4() = ( S = ) 4() = ( S S S ) ) Diese Ableitungen sind also die Tangentenvektoren an den Endpunkten der Kurve:. Bezier: Interpoliert durch die Endpunkte. Zwei Weitere Kontrollpunkte bestimmen die Tangenten 4 7

18 $UHKXJYRp]HU.XUYH Zwei Bézier-Kurven und R mit den Kontrollpunkten q i und r i C Kontinuität: q = r G Kontinuität (Geometrische Kontinuität): Tangentenrichtungen gleich C Kontinuität (Parametrische Kontinuität) G4 ( ) G5 ( ) = GX GX 5 (UZHWHUXJ]XUp]HU )OlFKH 7 4( X, Y ) = 8 9 PW 8, 9 : Reihen und Zeilenpotenzvektoren & : Bézier & Basismatrix : Matrix der 6 Kontrollpunkte 4( X, Y ) =, ( X), N = M = M, N S M, ( X ) M, ( Y ) ( Y ) sind Bézier Basisfunktionen oder OHGJ )XFWRV Beachte: Die Randkurven eines Bézier Patches sind Bézier Kurven 6 8

19 =XVDPPHI JH YR)OlFKH C Kontinuität 4(, Y ) = 5(, Y ) T = U =,..., C Kontinuität wesentlich schwieriger! 7 &.RWXWlWEHH]HU)OlFKH T T = N( U U ) =,...,; N IR Bedingung ist sehr einschränkend. Freiheitsgrade reduzieren sich stark. Probleme beim Deformieren solcher Flächen; es entstehen leicht Stufen. (ggf. lockern der Kontinuitätsbedingungen möglich) + 8 9

20 =XVDPPHIDVVXJGHU (JHVFKDIWHYR p]hu.xuyhxg)olfkh Der Polynomgrad eines Kurvensegmentes ist um Eins kleiner als die Anzahl der Punkte des Kontrollpolygons Der erste und letzte Punkt des Kontrollpolygons werden interpoliert Der Tangentenvektor am Anfang und Ende der Kurve haben die gleiche Richtung wie die erste resp. letzte Kante des Kontrollpolygons Die Kurve verläuft innerhalb der konvexen Hülle des Kontrollpolygons Die Kurve ist invariant gegenüber affinen Transformationen 9 =XVDPPHIDVVXJ p]hu.xuyhxg)olfkh Zwei entscheidende Nachteile beschränken die Flexibilität: Feste Kopplung zwischen Polygongrad und der Anzahl der Kontrollpunkte Änderungen der Kontrollpunkte wirken innerhalb des Bezier- Spans (des Patches) global Historisch bedeutende Repräsentation Bézier Kurven noch oft genutzt, insbesondere in D Anwendungen: Kontrolle der Endpunkte und der Tangenten Bézier Flächen durch Verlust der Freiheitsgrade beim Modellieren beschränkt einsetzbar Häufig als Render-Primitiv genutzt 4