Selbstkonsistente Matrizitätsmodelle zur Simulation des mechanischen Verhaltens von Verbundwerkstoffen

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1 Selbstknsistente Matrizitätsmdelle zur Simulatin des mechanischen Verhaltens vn Verbundwerkstffen (t) Peter Leßle, Ming Dng, Ewa Sppa, Siegfried Schmauder, Staatliche Materialprüfungsanstalt (MPA), Universität Stuttgart Einleitung Um das mechanische Verhalten vn Verbundwerkstffen mit zufällig verteilten Einschlüssen zu simulieren wurde ein selbstknsistentes Matrizitätsmdell entwickelt. Dieses Mdell ist eine Erweiterung des kürzlich entwickelten selbstknsistenten Mdells für Verbund werkstffe mit zufällig verteilten Einschlüssen (1). Das Matrizitätsmdell ermöglicht es, neben dem Vlumenanteil den Mikrstrukturparameter "Matrixcharakter" in die Simulatin des mechanischen Verhaltens vn Verbundwerkstffen einzubeziehen. In dieser Arbeit wird das Mdell auf einen Fe/Ag-Verbundwerkstff angewandt und seine Vrteile gegenüber früheren Ansätzen aufgezeigt.. Matrizitätsmdell Der Matrixcharakter einer Phase a in einem a -ß -Zweiphasen- Verbundwerkstff kann aus einem repräsentativen Schliffbild, das die unterschiedlichen Phasen zeigt, ermittelt werden (2). Die Phasen des Verbund werkstffs werden dabei im Rahmen der Bildbearbeitung unter Beibehaltung der Tplgie zu Linien reduziert (Bild 1). Die Länge der Skelettlinien einer Phase Sa wird dabei in Beziehung zur Bild 1: Zweiphasen-Mikrstruktur eines Fe(82%)/Ag(18%) Verbund werkstffs mit Skelettlinien. Länge der Skelettlinien aller beteiligten Phasen Sa + Sß gesetzt. Dieses Verhältnis M a heißt Matrixcharakter (GI. 1) der Phase a: t Dieser Beitrag wurde bereits veröffentlich in: Verbundwerkstffe und Werkstffverbunde, Hrsg.: K. Friedrich, DGM Infrmatinsgesellschaft mbh, Oberursel (1997) S

2 Tagung Gefüge & Bruch 1999/ Bchum Seite 30 Embedding Cmpsite I a ß S Ma = as (GI. 1) Sa+ ß Definitinsgemäß ist die Summe der Matrixcharakter beider Phasen Eins (GI. 2): M a + M ß = 1 (GI. 2) Um diesen Gefügeparameter in die Mdellierung mit einzubeziehen, wurde ein Finite-Element-Mdell, das aus zwei selbst-knsistenten Einbettungszellen besteht, entwickelt (Bild 2). In Analgie zur Realß Bild 2: Matrizitätsmdell (3D, schematisch) f ß = 0.82, Mß =0.63 (a=ag,ß=fe). I struktur wurden die Skelettlinien der Phasen in das Mdell mit aufgenmmen. Das Mdell besteht aus einem Teil in dem die Phase ß als Einschluß auftritt und einem Teil in dem die Phase a als Einschluß auftritt. Der Vlumen-anteil einer Phase ist in beiden Teilmdellen gleich. Das Ergebnis ist unabhängig davn, b die beiden Teilmdelle separat der zusammenhängend mdelliert wurden, wenn die begrenzenden Ränder genügend weit vn den Einschlüssen entfernt sind (> drei- bis fünffacher Einschlußdurchmesser) (1). Daher kann das zweiteilige Mdell zweidimensinal der dreidimensinal axialsymmetrisch verwendet werden. Da der Vlumenanteil beider Phasen in bei den Teilmdellen gleich grß ist, kann der Matrixcharakter der Phasen als Funktin der Größe der eingebetteten Zellen (W 1, W2) und des Vlumenanteils f definiert werden. Der Matrixcharakter für den dreidimensinalen axialsymmetrischen Fall ergibt sich dann zu (3): W2(V1-fß+1) M ß = ' (GI. 3) Die Größe der eingebetteten W 2(3J-l--f-ß + 1) + W 1(3Jiß + 1) Zellen kann dann aus dem Vlumenanteil und dem Martixcharakter einer Phase berechnet werden (3):

3 Tagung Gefüge & Bruch 1999/ Bchum Seite 31 (GI. 4) (GI. 5) Berechnung vn Spannungs-Dehnungs-Kurven Die Berechnung vn Spannungs-Dehnungs-Kurven mit dem Matrizitätsmdell erflgt analg zur Berechnung der Kurven mit Hilfe des unmdifizierten selbstknsistenten Einbettungszellenmdells: Die Oberkante des Mdells wird schrittweise verschben und für jedes Inkrement die zugehörige Spannung und Dehnung bestimmt. Dies erflgt durch eine gewichtete Mittelung der Spannungs- und Dehnungswerte über alle Integratinspunkte des eingebetteten Mdells. Die Gewichtung erflgt durch das den einzelnen Gauß'schen Intergratinspunkten zugerdnete Vlumen, das Ergebnis wird dann in Beziehung zum Vlumen der beiden eingebetteten Zellen LV l gesetzt. ik IO"... Vk lj 0".. = V l i, j = (x, y, z) der (r, z, <p) (GI. 6) t:.. = lj l, } = (x, y, z) der (r, z, <p) (GI. 7) Aus diesen Kmpnenten wird dann die vn Mises Vergleichsspannung berechnet zu 0" = 0" +0" +0" - 0" 0" +0" 0" +0" 0" +3 0" +0" +0" v ~ xx 2 2 zz 2 ( xx zz zz x) (2 xy yz 2 zx 2) und die Vergleichsdehnung zu (4) t: = -- t: +t: +E - E E +E E +E E v Jl xx 2 2 zz 2 (xx zz zz x) (2'Yxy 'Yyz 2 'Yzx 2) wbei Jl die Querkntraktinszahl des Verbundwerkstffs ist. (GI. 8) (GI. 9) Berechnung der Dehnungsverteilungen Die Dehnungsverteilungen in den eingebetteten Zellen des Matrizitätsmdells werden aus den Ergebnissen nach einer iterativen Spannungs-Dehnungs-Kurvenermittlung berechnet. Die Häufigkeitsverteilung einer Dehnungskmpnente wird dann durch Summatin der "Integratinspunktvlumina" derjenigen Integratinspunkte gewnnen, deren Dehnungskmpnente jeweils in einem bestimmten Intervall ~E um einen vrgegebenen Dehnungswert liegt. Die Summe aller Integratinspunktvlumina der eingebetteten Zellen, Vi(E), die den vrgegebenen Dehnungen zugerdnet werden, entspricht dem Vlumen V der beiden eingebetteten Zellen. Die Dehnungsverteilung erhält man dann, z. B. für E, durch: ges IV.(E ) f(e ) = l YY (GI. 10) YY V. ~E ges

4 Tagung Gefüge & Bruch 1999/ Bchum Seite 32 Ergebnisse und Diskussin Das Matrizitätsmdell wurde verwendet, um das mechanische Verhalten eines Fe(82 %)/Ag(l8 %) Verbundwerkstffs im ebenen Dehnungszustand (EDZ), im ebenen Spannungszustand (ESZ) und bei Axialsymmertie (ASY) zu berechnen. Der Matrixcharakter für diesen Verbundwerkstff wurde zu MPe = 0,63 aus Bild 1 ermittelt. In Bild 3 werden die berechneten einachsigen Spannungs-Dehnungs- 300 ~ ~ OJ:I 150 = ~ 250 Q., 100 rjl EDZ M=O,6 -- Experiment M=O,63 ASY _n ASY M=1,O M=O, ASY M=O,O -.-. ESZ M=O, Dehnung c. [ ] Bild 3: Spannungs-Dehnungs-Kurven eines Fe(82%)/Ag(l8%) Verbundwerkstffs (M = Matrixcharakter der Eisenphase). Kurven mit der experimentell ermittelten Kurve aus (5) verglichen. Erwartungsgemäß ist das berechnete Verhalten des mit ebenem Dehnungszustand (EDZ) mdellierten Mdells steifer und das Verhalten des mit ebenem Spannungszustand mdellierten Mdells nachgiebiger als das experimentell ermittelte Verhalten. Die beste Übereinstimmung wird mit dem axialsymmetrischen Mdell (ASY) erreicht, da es die dreidimensinale Mikrstruktur gut annähert. Die Festigkeit des mdellierten Verbundwerkstffs nimmt mit steigendem Matrixcharakter vn Fe zu. Flglich existiert nur für kleine Werte des Matrixcharakters vn Eisen ein signifikanter Unterschied bei den Kurven der axialsymmetrischen Berechnung, wenn unter den Eisenpartikeln nch keine Perklatin auftritt. Der entscheidende Einfluß des festeren Eisenskeletts für die Vrhersage des mechanischen Verhaltens des Verbundwerkstffes ist daher klar aufgezeigt. Die Häufigkeitsverteilung der Dehnungskmpnente C. (Bild 4 und Bild 5) wurde an der Oberfläche einer Fe(82%)/Ag(18%)-Prbe bei einer Gesamtdetiriung vn 5% in (5) gemessen. Da die Verfrmung an einer freien Oberfläche in guter Näherung durch einen ebenen Spannungszustand (ESZ) beschrieben werden kann, werden im flgenden nur für diesen Fall die Dehnungsverteilungen für unterschiedliche Matrixcharakter dargestellt. Wenn die berechnete Dehnungsverteilung in der Silberphase eines reinen Ag-Einschlußgefüges (Mpe = 1.0) mit den experimentellen Ergebnissen verglichen wird, ist kaum eine Übereinstimmung zu erkennen. In Bild

5 Tagung Gefüge & Bruch 1999/ Bchum Seite u_ I. I: ESZ M=O,2 : I.. 1. /i" \~!-... \ ESZ-, '\ : \ / '1.' :,-, M::O,3 ESZM=1,O Ag,..., 6~ ESZ M=O,S... ESZ M::O,O ce " QJ 10 I i I --i.' :~ ~ t=.cl... ::c s-j _._. 42 I, 1 \ : 1-"- ESZ M=O, Bild 4: Axiale Dehnungsverteilung in der Silberphase eines Fe(82%)/Ag(l8%)-Verbundwerkstffs bei 5% Gesamtdehnung (M = Matrixcharakter der Eisenphase) ESZ M=O,O _u ESZ M=O,2 -- ESZ M=O, ESZ M=O,S ESZ M=O, ESZ M=1,O Fe Bild 5: Axiale Dehnungsverteilung in der Eisenphase eines Fe(82%)/Ag(l8%)-Verbundwerkstffs bei 5% Gesamtdehnung (M = Matrixcharakter der Eisenphase). 6 und Bild 7 werden die berechneten Häufigkeitsverteilungen (ESZ, MFe = 0.6) mit den experimentellen Ergebnissen (5) und Ergebnissen aus einem Ansatz für dreiachsigen Spannungszustand aus der Infrmatinstherie nach Kreher (6) verglichen. Es zeigt sich, daß die auf dem Matrizitätsmdell basierenden

6 Tagung Gefüge & Bruch 1999/ Bchum Seite ' ESZ M=O,6, :-I,: I ~ :\\:.... I Infrmatinstherie.1 i -- Experiment.. = 10 M=O,63 = ~ i _._. ESZ M:1,O {Ai == :! Ag :~ n\!.- ~ Infrmatinstherie ESZ M=O,6 _._. ESZ M:1,O -- Experiment M=O,63 40 Fe Bild 6: Dehnungsverteilung in der Silberphase eines Fe(82%)/Ag(18%)-Verbundwerkstffs bei 5% Gesamtdehnung (M = Matrixcharakter der Eisenphase) Bild 7: Dehnungsverteilung in der Eisenphase eines Fe(82%)/Ag(18%)- Verbundwerkstffs bei 5 % Gesamtdehnung (M = Matrixcharakter der Eisenphase). 0.1 Ergebnisse und die experimentellen Befunde der Dehnungsverteilungen an der Prbenberfläche gut übereinstimmen. Zusammenfassend ergibt sich, daß das hier vrgestellte Matrizitätsmdell den Durchdringungscharakter der Mikrstruktur mit berücksichtigt und swhl das mikrskpische, als auch das makrskpische Verfrmungsverhalten vn Verbundwerkstffen mit Durchdringungsgefüge gut beschreiben kann. Danksagung Die hier vrgestellten Ergebnisse wurden im Rahmen des Schwerpunktprgramms "Gradientenwerkstffe" der DFG unter dem Kennzeichen Schm 746/12-1 gefördert, wfür an dieser Stelle gedankt sei. Literatur 1. M. Dng, S. Schmauder, Cmputatinal Materials Science 5, pp (1996). 2. M.-H. Pech, D. Ruhr, Prakt. Met. Snderbd. 24, pp (1993). 3. P. Leßle, M. Dng, E. Sppa, S. Schmauder, Scripta Materialia, submitted (1997). 4. M. Sautter, Mdellierung des Verfrmungs verhaltens mehrphasiger Werkstffe mit der Methde der Finiten Elemente, Frtschr.-Ber. VDI Reihe 5, Nr. 398, p. 78, VDI Verlag, Düsseldrf (1995). 5. M. Bmert, E. Herve, C. Stlz and A. Zaui, Appl. Mech. Rev., Vl. 47, n. 1, Part 2, pp (1994). 6. W. Kreher, Statistical Thery f Micrplasticity f Tw Phase Cmpsites, IUTAM Sympsium n Micrmechanics f Plasticity and Damage f Multiphase Materials, Kluwer Acad. Pub!., Lndn, pp (1995).

7 Gefüge und Bruch Tagung Ruhr-Universität Bchum Hörsaalzentrum Ost (HZO) März 1999